專題與圓有關的最值問題

1、與圓有關的最值（取值范圍）問題引例 1：在坐標系中， 點 A的坐標為 （3 ，0） ，點 B為y軸正半軸上的一點， 點 C是第一象限內(nèi)一點， 且 AC=2設 tan BOC=，m 則 m的取值范圍是 引例 2：如圖，在邊長為 1 的等邊 OAB中，以邊 AB為直徑作 D，以 O為圓心 OA長為半徑作 O，C為半圓 弧 ?AB上的一個動點（不與 A、B兩點重合），射線 AC交 O于點 E，BC=a ，AC=b ，求 a b 的最大值 .引例 3：如圖， BAC=60°，半徑長為 1 的圓 O與 BAC的兩邊相切， P為圓 O上一動點，以 P為圓心， PA長 為半徑的圓 P 交射線 AB

2、、A 3B 6AC于 D、E 兩點，連接33DE，則線段( ).也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的基礎知識、 基本技能和基本思維方此題是一個圓中的動點問題， 法，注重了初、高中知識的銜接1引例 1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義） ，尋找動點 C與兩個定點 O、A 構成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為 特殊位置（相切）進行線段、角度有關計算，同時對三角函數(shù)值的變化（增減性）進行了延伸考查，其實質(zhì)是 高中“ 直線斜率 ”的直接運用；2引例 2：通過圓的基本性質(zhì)，尋找動點 C與兩個定點 A、B 構成三角形的不變條件，結合不等式的性質(zhì) 進行轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是高中“ 柯西不等式 ”的直接運用；3引例 3：本例動點的個

3、數(shù)由引例 1、引例 2 中的一個動點，增加為三個動點，從性質(zhì)運用、構圖形式、 動點關聯(lián)上增加了題目的難度， 解答中還是注意動點 D、E與一個定點 A構成三角形的不變條件 （ DAE=60°）， 構造弦 DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑 AP之間的數(shù)量關系，其實質(zhì)是高中“ 正弦定理 ”的直接運用；綜合比較、 回顧這三個問題， 知識本身的難度并不大， 但其難點在于學生不知道轉(zhuǎn)化的套路， 只能憑直觀 感覺去尋找、猜想關鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透 .二、解題策略1直觀感覺，畫出圖形；2特殊位置，比較結果；3 理性分析動點過程中所維系的不變條件，通過幾何構建

4、，尋找動量與定量（常量）之間的關系，建立 等式，進行轉(zhuǎn)化 .三、中考展望與題型訓練 例一、斜率運用如圖， A點的坐標為（ -2 ， 1），以 A為圓心的 A切 x 軸于點 B，P（a，b）為A上的一個動點，請分別探索： b a 的最大值； b a 的最小值；拓展延伸】 ： b 2a 的范圍； b 2a 的范圍；例二、圓外一點與圓的最近點、最遠點1如圖，在 RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，點 D是平面內(nèi)的一個動點，且 AD=2，M為 BD的中點，在 D 點運動過程中，線段 CM長度的取值范圍是.2如圖， O的直徑為 4，C為 O上一個定點， ABC=30°，

5、動點 P從A點出發(fā)沿半圓弧 ?AB向 B點運動（點P與點 C在直徑 AB的異側 ） ，當 P 點到達 B點時運動停止，在運動過程中，過點C作 CP的垂線 CD交 PB的延長線于 D 點1）在點 P 的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為2）在點 P 的運動過程中，線段AD長度的最大值為例三、正弦定理1如圖， ABC中， BAC=60°， ABC=45°， AB=2 2 ，D是線段 BC上的一個動點，以 AD為直徑作O 分A、B 不重合），M是 CD的中點，過點2. 如圖，定長弦 CD在以 AB為直徑的 O上滑動（點 C、 D與點 AB于點 P，若 CD=3， AB=8，則

6、PM長度的最大值是C 作 CP例四、柯西不等式、配方法1如圖，已知半徑為2 的O 與直線 l 相切于點A，點 P 是直徑 AB 左側半圓上的動點，過點P 作直線 l 的垂設 PC的長為 x（ 2< x<4），則當 x=時，PD?CD的值最線，垂足為 C，PC與O交于點 D，連接 PA、PB， 大，且最大值是為 .2如圖， 線段 AB=4，C為線段 AB上的一個動點， 以 AC、BC為邊作等邊 ACD和等邊 BCE，O外接于 CDE， 則 O半徑的最小值為 （ ）.A.4 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 32E3在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心， 2 為半徑畫 O，P是

7、O上一動點，且 P在第一象限內(nèi)，過例四、相切的應用（有公共點、最大或最小夾角） 1如圖，在 Rt ABC中， C=90°， AC=6，BC=8， 則線段 CE長度的最小值是.D為 AB邊上一點，過點 D作 CD的垂線交直線 BC于點 E，2如圖， RtABC中， C=90°， A=30°， AB=4，以 AC上的一點 O為圓心 OA為半徑作 O，若 O與邊 BC始終有交點（包括 B、 C兩點），則線段 AO的取值范圍是.3如圖，射線 PQ射線 MN，PMMN，A為PM的中點，O為射線 PQ上的一個動點， ACAB交MN于點 C，當以O 為圓心，以 OB為半徑的圓與

8、線段PM有公共點時 （包括 P、 M兩點），則線段 OP長度的最小值為MBQN點 P作 O的切線與 x 軸相交于點 A，與 y軸相交于點 B，線段 AB長度的最小值是.例五、其他幾何知識的運用如圖所示， ACAB，AB=6，AC=4，點 D是以 AB為直徑的半圓 O上一動點， DE CD交直線 AB于點 E，設 DAB= ， （0°< <90°）若要使點 E 在線段 OA上（包括 O、A 兩點），則 tan 的取值范圍 為 .【題型訓練】 1如圖，已知直線 l 長線交直線 l 于點 C， 圍為 .與 O相離， 若在 O 上存在點OAl于點 A，OA=5，OA與

9、O相交于點 P， AB與 O相切于點 B， BP的延 Q，使 QAC是以 AC為底邊的等腰三角形，則 O 的半徑 r 的取值范2已知：如圖， Rt ABC中， B=90o， A=30o，BC=6cm，點 O從 A點出發(fā)，沿 AB以每秒 3 cm的速度向 B點方向運動，當點 O運動了 t 秒(t >0) 時，以 O點為圓心的圓與邊 AC相切于點 D，與邊 AB相交于 E、F兩點， 過 E作 EG DE交射線 BC于 G.( 1)若點 G在線段 BC上，則 t 的取值范圍是( 2)若點 G在線段 BC的延長線上，則 3如圖， M， N 的半徑分別為 2cm， 直線 PQ與連心線 l 所夾的銳

10、角度數(shù)為(A) 612t 的取值范圍是 .4cm，圓心距 MN=10cmP 為 M上的任意一點， 當 P、 Q在兩圓上任意運動時，33(D)Q為 N上的任意一點， tan 的最大值為 ( ).(B)34(C)4如圖，在矩形 ABCD中， AB=3，BC=4， 個動點，連接 AP、 OP，則 AOP面積的最大值為 ( 21 5O 為矩形(A)4(B)(C)ABCD的中心，以 ).358(D)D為圓心 1 為半徑作 D，P為 D上的一1745如圖，在 Rt ABC中， C=90°， Q，則線段 PQ長度的最小值是 ( ).A 1924AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊 AB相切 的動圓與

11、 CA、CB分別相交于點 P、6如圖，在等腰 RtABC中， C=90°，AC=BC=，4 D是 AB的中點，點 E在 AB邊上運動（點 E 不與點 A重合）， 過 A、D、 E三點作 O，O交 AC于另一點 F，在此運動變化的過程中， 線段 EF長度的最小值為AFPQEOADB2CA2B12DCBD422BD.4AyQOAxBPOAxC. 3(0 ，1)( )A. 78如圖，已知 一個動點，射線A、B 兩點的坐標分別為 （-2 ，0）AD與 y 軸交于點 E1111在直角坐標系中 為 .9如圖，等腰切線長 PQ長度的最小值為 （12在坐標系中，點 AB于點 B，則 tan10如圖

12、BAC60°，半徑長 1 P 交射線 AB、AC于 D、E 兩點，A 3的 O與 BAC的兩邊相切， P為 O上一動點，以 P為圓心， PA長為半徑的 連接 DE，則線段 DE長度的范圍為 .C點 A 的坐標為（ 3， 0），點 P（ m， n ）是第一象限內(nèi)一點，且AB=2，則 m n的范圍 C的圓心坐標為 （0 ，-1） ，半徑為 1，D是 C上的 則 ABE面積的最大值是 （ ）.10A的坐標為（ 3，0），點B是y軸右側一點，且 AB=2，點 C上直線 y=x+1上一動點，且 CB ACB m，則 m 的取值范圍是.BD7如圖， A、 B兩點的坐標分別為 （2 ，0） 、（0 ，2） ， C的圓心的坐標為 一個動點，線段 DA與 y 軸交于點 E，則 ABE面積的最小值是22233Rt ABC中， ACB=90°， AC=BC=4， C的半徑為