中考專練之四邊形的計(jì)算與證明——四邊形與三角函數(shù)

1、三角形及四邊形的計(jì)算與證明是每年必考內(nèi)容，經(jīng)常與尺規(guī)作圖、中考專練之四邊形的計(jì)算與證明-四邊形與三角函數(shù)圓、函數(shù) 等結(jié)合考查，偶爾單獨(dú)考查.主要考查內(nèi)容為：（1）求角度、線段長(zhǎng)度、圖形周長(zhǎng)及面積、銳角三角函數(shù)值；（2）證明線段垂直、相等，三角形全等或相似，圖形為特殊三角形或四邊形；（3）判斷圖形形狀，線段或角之間的數(shù)量關(guān)系.1.如圖，四邊形 ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，連接 DE交AB于點(diǎn)F, /AED=2/CED,點(diǎn)G是DF的中點(diǎn).E RC(1)求證：/ CED=/ DAG;(2)若 BE=1 , AG=4,求 sin AEB 的值.【答案】(1)見解析 (2)晅4【解析】：(

2、1)證明： 矩形ABCD,AD / BC./CED =Z ADE.又點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，AG=DG./DAG =Z ADE.Z CED =Z DAG.(2) ZAED=2ZCED, / AGE =2/DAG, /AED=/AGE.AE=AG.AG=4,AE=4.在RtAAEB中，由勾股定理可求 AB= JT5.AB 一行-sin AEB .AE 4,62.如圖，四邊形 ABCD 中，/ BAD=135°, /BCD=90°, AB=BC=2, tan/BDC=求BD的長(zhǎng);（2）求AD的長(zhǎng).【答案】（1）回（2）逐【解析】（1）在 RtBCD 中，/BCD=90°,

3、BC=2, tan/BDC= 粵 3 _2_ _6CD 3 .CD= 6.，由勾股定理得 BD= BC2+CD2= 10 .如圖1過(guò)點(diǎn)口作gL必交比延長(zhǎng)線于點(diǎn)江.:/艮口=1351，月田二皿，AE ED- x ,則 x/lx:口后TEB容,.K-tiTyx 尸解得工產(chǎn)加舍），啰R.,AD MSr -班一3.已知：如圖，四邊形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) E, Z ABC = Z ACD = 90 ,AB = BC = 6<2 ,tan / CDE = 2.求對(duì)角線BD的長(zhǎng)和AABD的面積.3【答案】（1） 3m45【解析】過(guò)點(diǎn)B作BF AC于FABC ACD 90 AB BC

4、 6 2BF AF CF 6BFC ACD 90BF / CDFBE CDEtan FBE tan CDEEFBFEF 4EC 2,CD 3BE BF2 EF262 42 2-13DEEC2-CD2 .2232 .13 . BD BE DE 3.13(2) S ABDS ABE S ADE11一AE BF AE CD22454.已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) CE.求 cos/ ACE 和 tan / ACE 的值.3 1010【解析】過(guò)點(diǎn)E作EF AC于點(diǎn)F ,四邊形ABCD是正方形,BAD D90 , AC平分BAD,CAD 45 ,AC /2AD .設(shè) AE DE

5、 x ,則 ADDCAC 2V2x , CE v'5x .在 RtAAEF 中，EF AEsinCAD也x, AF2CFACAF2 2x3 2x2ACECFCE32x2,5x3.1010tanACEEFCF2x2_3 2x2x25.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于 。點(diǎn)，DE/AC, CE/BD,(1)求證：四邊形 OCED是矩形； 若AD=5, BD=8,計(jì)算sin DCE的值.【解析】（1）. DE / AC, CE / BD四邊形OCED是平行四邊形AD DC .E是AD中點(diǎn),1 AE DE AD.2四邊形ABCD是菱形AC BDDOC 90o四邊形OCED是矩形(2)二四邊形 A

6、BCD是菱形，BD=81 ”O(jiān)D BD =4, OC=OA , AD=CD 2.AD=5,由勾股定理得 OC=3四邊形OCED是矩形DE=OC= 3,DE 3在 RtDEC 中，sin DCE=-DE 3DC 56.已知：BD 是四邊形 ABCD 的對(duì)角線，ABXBC, /C=60°, AB=1 , BC= 3(1)求 tan/ABD 的值;【答案】(1) 1 (2)氏【解析】作DE BC于點(diǎn)E. .在 RtACDE 中，/ C=60°, CD = 2>/3 , . CE ,3, DE 3. .BC=3、3, BE BC CE 3.3 ,3 3. DE BE 3. 在

7、 RtABDE 中，/ EDB= / EBD=45q-. AB± BC, Z ABC=90o,/ ABD=Z ABC-/ EBD=45o.tan/ABD=1.(2)作AF BD于點(diǎn)F.在 RtAABF 中，/ ABF=45o, AB=1,BF AF -2. 2.在 RtABDE 中，DE BE 3 , BD 3 2.DF BD BF3.2上25.22在 RtAAFD 中，AD JDF2AP,13.巳連結(jié)7.如圖，在那BC中，D為AB邊上一點(diǎn)、F為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C作CE/AB交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)AE.(1)求證：四邊形 ADCE為平行四邊形.(2)若 EF=2 J2, FCD 30

8、, AED 45 ,求 DC 的長(zhǎng).【答案】(1)見解析2+2有【解析】（1）證明：CE/AB,DAF = /ECF. , F 為 AC 的中點(diǎn)，AF=CF.在4DAF和AECF中DAF ECF,AF CF,AFD CFE ,ADAFA ECF .AD=CE. CE/AB,四邊形ADCE為平行四邊形.E(2)作 FHXDC 于點(diǎn) H.四邊形ADCE為平行四邊形.AE/DC, DF= EF=2 22 , . Z FDC =/AED=45°.在 RtADFH 中，/ DHF= 90°, DF =2 y/2 , / FDC= 45°,sin/FDC=曳正，得 FH=2,

9、DF 2tan/FDC= HF 1,得 DH=2.HD在 RtACFH 中，/ FHC= 90°, FH=2, / FCD= 30°,. FC=4.由勾股定理，得 HC=2、/3.DC=DH+HC= 2+ 2屈.8 .如圖，在DABCD中，/ BAD的平分線交 CD于點(diǎn)巳交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BE, Z F=45°.(1)求證：四邊形ABCD是矩形;(2)若 AB=14, DE=8,求 sin/AEB 的值.(1)見解析10【解析】(1)證明：Q四邊形ABCD是平行四邊形,AD /BC./ DAF= / F.Q / F=45 ,/ DAE= 45 °

10、.Q AF是/ BAD的平分線,EAB DAE 45o .DAB 90o .又Q四邊形ABCD是平行四邊形， 四邊形ABCD是矩形.(2)解：過(guò)點(diǎn)B作BH AE于點(diǎn)H,如圖.Q四邊形ABCD是矩形，AB=CD, AD=BC, /DCB = /D=90 °.QAB=14, DE=8,CE=6.在 RtAADE 中，/ DAE= 45°,/ DEA=/DAE= 45 °.AD= DE = 8.BC=8.在RtABCE中，由勾股定理得BE JBC2 CE2 10.在 RtAAHB 中，/ HAB= 45°, BH AB sin45o 772 .Q 在 RtAB

11、HE 中，/ BHE= 90 °,sin/AEB.四逗BE 10BC的平行線交于點(diǎn)9 .如圖，ABC中，BCA 90 ,CD是邊AB上的中線，分別過(guò)點(diǎn)C, D作BA ,E ,且DE交AC于點(diǎn)O ,連接AE .（1）求證：四邊形 ADCE是菱形；（2）若 AC 2DE,求 sin CDB 的值.4【答案】（1）見解析 （2） 45【解析】（1）證明：DE/ BC,CE/AB四邊形DBCE是平行四邊形.CE BD.又CD是邊AB上的中線，BD AD . . CE DA.又 CE/ DA,，四邊形ADCE是平行四邊形 BCA 90 , CD是斜邊AB上的中線,AD CD .四邊形ADCE是

12、菱形.3(2)解：作CF AB于點(diǎn)F .由 可知，BC DE.設(shè)BC x,則AC 2x.在RtAABC中根據(jù)勾股定理可求得 AB J5x.1 一 1 一 一 AB CF -AC BC ,2 2“ AC BC 2.5CF x .AB 5CDsini 5AB x, 22CF 4CDB CD 510.如圖，在菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作一條直線分別交 DA、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E、F,連接 BE、DF.(1)求證：四邊形 BFDE是平行四邊形;(2)若 AB=4, CF=1 , /ABC=60°,求 sin DEO 的值.公n ,.21【答案】(1)見解析 (2)

13、 -21【解析】證明:在菱形中一如"SC, OA=OC, OB=OD,工乙iSA/CFC,在占HE竭口三CF。中 Z£(9 = zero" ZAOE= Z.COF OAOC，aj三必era gs)y-'OB-OD,二四邊形月也厄是平行四邊形,(2) Q 菱形 ABCD, ABC 60oOBC FE A MDBD ACAB BC AD DC 4ADO CDO 30oVADC為等邊三角形八 1AO AD 2, 2作OM AD于M八 1AO -AD 22OM .3 AMOA2 OM 2 1EM 2在RtEOM 中，sinDEO21711.如圖，矩形ABCD的對(duì)角

14、線AC, BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.E（1）求證：BD=BE ;（2）若 BE=10, CE=6,連接 OE,求 tan/OED 的值.4、【答案】（1）見解析 （2） 49【解析】（1）證明：.四邊形ABCD為矩形，AC = BD , AB / CD. BE / AC,四邊形ABEC為平行四邊形.BE = AC = BD.BD=BE (2)解：過(guò)點(diǎn)O作OF ± CD于點(diǎn)F .四邊形為矩形，BCD 90 . BE BD 10, CD CE 6.一一 一,r1同理，可得CF DF -CD 3. 2EF 9.在BCE中，由勾股定理可得 BC 8.OB=OD ,OF為ABCD的中位線.-1 - OF BC 4.2,，OF 4在 R/OEF 中，tan OED - -.EF 912.如圖，在矩形 ABCD中，AE平分/ BAD,交BC于E,過(guò)E做EFXAD于F,連接BF交AE于P,連接PD.3S C(1)求證：四邊形 ABEF是正方形；(2)如果 AB=4, AD=7,求 tan/ADP 的值.2【答案】(1)見解析 (2) 25【解析】(1)證明：二四邊形ABCD是矩形, / FAB = / ABE =90° , AF / BE.又 EFXAD ,/ FAB = / ABE