標尺刻度的設計ppt課件

1、 標尺刻度的設計標尺刻度的設計13.1 實驗目的實驗目的 本實驗涉及微積分和線性代數(shù)的若干基本知識。通過實驗復習函數(shù)的反函數(shù)、定積分的應用和計算、解微分方程和解代數(shù)方程組等內(nèi)容；并且介紹了連續(xù)型數(shù)學問題近似化處理的若干基本技巧，例如插值法、二分法和兩點邊值問題的差分法等。13.2 實際問題實際問題 在石油的生產(chǎn)地和加工廠，為了儲存原油，經(jīng)常使用大量的儲油罐。油罐的外形為一個圓柱體和兩個圓錐體的組合，上端有一注油孔見圖13.1）。 由于經(jīng)常注油和取油，有時很難知道油罐中剩油的數(shù)量。這給現(xiàn)有儲油量的統(tǒng)計帶來很大的麻煩。顯然，將剩油取出計量是不現(xiàn)實的。因而，希望能設計一個精細的標尺：工人只需將該尺垂

2、直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據(jù)標尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。這是一個來自油田的問題。 13.3 數(shù)學模型數(shù)學模型 設圓柱的底面半徑為R，長度為L；而圓錐的底面半徑也是R，高為A。若標尺被油浸濕位置的高度為H，而此時罐內(nèi)的油量為V。那么我們的問題歸結(jié)為求出函數(shù)max( ) , 0(13.1)HH VVV22max213.23VR LR A其中（）換言之，要求油量函數(shù)() , 0213.3VV HHR（）的反函數(shù)。 由于對稱性，我們只要研究RH 0的情形就行了。13.4 問題的解法問題的解法求油量函數(shù)的解析方法RHHVHVHVbc0, )(2)()(記其中)(HVc和)(HVb分

3、別為相應圓柱和圓錐一側(cè)部分）中的儲油量。先求)(HVc。 設圓柱體截面中儲油部分對應的弓形區(qū)域面積為S(H)，弓形對應的圓心角的一半為 那么易得sin)()(2HRRRHS利用三角函數(shù)表達式，就有222()arccos 111113.5HHHS HRRRRR（）222()arccos 111113.5HHHS HRRRRR（）221111arccosRHRHRHLRLSVc13.6（）再求)(HVb 設與圓錐體底面平行且距底面x處的截面上表示儲油部分的弓形區(qū)域面積為Q，那么和前面S不同的是：Q不僅與H有關，而且與x有關。設該弓形的半徑為r高為h， 由幾何關系見圖13.3不難看出： xArARx

4、hH從而得到1xrRA（13.7）于是類似于S的求法，有2221111arccos)(rhrhrrhrxHQ通過作變換rHRrht1113.9()RxRtRHRH A（）AxRr1而2222111()arcsin 1113.10QtRHttt（）RxhHA（13.8）RAHbdxxHQHV0),()(dttttHRRAHRR12223111arcsin)( 這個積分雖然比較復雜，但還是可以積出來，建議讀者自己進行計算，也可以借助數(shù)學軟件。具體結(jié)果為dtttt111arcsin222Ctttttt1ln1211arcsin312222從而可知2222)(22arcsin31)(HRHHRARHR

5、HARHVb232() ln13.11ARRHHRHRRH（）綜合13.4）、（13.6和13.11三式，就有221111arccos)(RHRHRHLRHV2222)(22arcsin32HRHHRARHRHAR232() ln13.12ARRHHRHRRH（）刻度位置函數(shù)的求法 顯然，要由油量函數(shù)的解析表達式13.12來解析地求出反函數(shù)H(V)的顯式表示是不可能的。 介紹兩種近似方法。1插值法將區(qū)間0，R作如上等分： ),2,1(,00niHiHHi那么由式13.12可以求得V在各分點的值：max010(13.13)2nVVVV 現(xiàn)在的問題是：如果給出油量V*，如何確定求出相應的標尺刻度位

6、置H*？ 而這實際上是求方程*)(VHV的根。（1線性插值 設),(1*iiVVV，在此區(qū)間上用線性函數(shù)近似H(V)，則有*1111(13.14)iiiiiiiiVVVVHHHVVVV（2二次插值 先找出最接近的V*的iV),(11iiVV用二次函數(shù)近似H(V)，則有iiiiiiiiiiiiiiHVVVVVVVVHVVVVVVVVH)()()()(111*1*11111*11111()()(13.15)()()iiiiiiiVVVVHVVVV，然后在插值方法還有多種，這里介紹的是最簡單的。 2二分法基本思想？綜上所述，可以將標尺刻度設計的過程歸納為：步驟一 把區(qū)間0，R依精度需要分成n等份，

7、得剖分點 00HHiHini, 2 , 1；其中HRH 利用公式13.12算出刻度位置iH處相應的油量), 2 , 1(niVi。 步驟二 根據(jù)所需的各油量讀數(shù)所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過插值或二分逼近法獲得相應的刻度位置值。 五、數(shù)值實例五、數(shù)值實例現(xiàn)在我們以5,1,1LAR（單位：m為例進行實際計算。（1求油量函數(shù)的值 取)10, 2 , 1(,1 . 0,00iHiHHHi，由油量表達式16.12可得計算結(jié)果如表13.1所示。iiHcVbVV 00.00.000 00.000 00.000 010.10.293 60.002 30.298 220.20.817 50.012 80.

8、843 130.31.477 50.034 31.546 140.42.236 50.068 22.372 950.53.070 90.115 33.301 560.63.963 40.175 44.314 270.74.899 60.248 15.395 880.85.867 40.332 06.531 490.96.855 70.424 97.705 5101.07.854 00.523 68.901 2i（2用插值法求刻度位置的值 這里我們僅求對應)(934. 53*mV的H*的值。 由式13.14得線性插值近似值為4747. 08 . 08395. 54531. 68395. 5934. 57 . 04531. 68395. 54531. 6934. 5*H而由式13.15得二次插值近似值為6 . 0)4531. 62314. 4)(8395. 52314. 4()4531. 6934. 5)(8395. 5934. 5(*H7 . 0)4531. 68395. 5)(2314. 48395. 5()4531. 6934. 5)(2314. 4934. 5(0748. 08 . 0)8395. 54531. 6)(2314. 48395. 5()8395. 5934. 5)(2314. 4934. 5( 兩種插值