第10 章 使用導數(shù)的最優(yōu)化方法

1、精選課件第第10章章 使用導數(shù)的最優(yōu)化方法使用導數(shù)的最優(yōu)化方法 無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題2. 最速下降法最速下降法4.共軛梯度法共軛梯度法5.擬牛頓法擬牛頓法3. 牛頓法牛頓法精選課件一一. 無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題nRxtsxf .)(min有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)。其其中中)(xf 無約束非線性規(guī)劃問題的求解方法分為解析法和直接法兩類。解析法解析法 需要計算函數(shù)的梯度，利用函數(shù)的解析性質(zhì)構(gòu)造迭代公式使之收斂到最優(yōu)解。本節(jié)介紹最速下降法、共軛梯度法、牛頓法、變尺度法等解析方法 直接法直接法 僅通過比較目標函數(shù)值的大小來移動迭代點。下一章

2、主要介紹模式搜索法等直接方法。精選課件 無約束非線性規(guī)劃問題的求解方法分為解析法和直接法兩類。 一般來說，無約束非線性規(guī)劃問題的求解是通過一系列一維搜索來實現(xiàn)。因此，如何選擇搜索方向是解無約束非線性規(guī)劃問題的核心問題，搜索方向的不同選擇，形成不同的求解方法。本章主要介紹解析法;另一類只用到目標函數(shù)值,不必計算導數(shù),通常稱為直接方法直接方法,放在第11章討論.精選課件nExxf)(min本章考慮如下的下降算法：本章考慮如下的下降算法：; 1,) 1 ()1()1(kdx令選定搜索方向給定初始點)()(min)()()2()()(0)()(kkkkdxfdxf，求一維搜索問題令：.k得到解為步；轉(zhuǎn)

3、第令處的搜索方向否則，選取在是最優(yōu)解，停；若令：2, 1,)3()1()1()1()()()1(kkdxxdxxkkkkkkk算法。選取不同，得到不同的搜索方向)(kd主要介紹最速下降法、牛頓法，共軛梯度法，擬牛頓法等精選課件10.1 最速下降法最速下降法 10.1.1 最速下降方向最速下降方向 考慮無約束問題nExxf)(min(6.1.2)其中函數(shù) 具有一階連續(xù)偏導數(shù). 人們在處理這類問題時,總希望從某一點出發(fā),選擇一個目標函數(shù)值下降最快的方向,以利于盡快達到極小點.正是基于這樣一種愿望,早在1847年法國著名數(shù)學家Cauchy提出了最速下降法最速下降法.后來,Curry等人作了進一步的研

4、究.現(xiàn)在最速下降法已經(jīng)成為眾所周知的一種最基本的算法,它對其他算法的研究也很有啟發(fā)作用,因此在最優(yōu)化方法中占有重要地位.下面我們先來討論怎樣選擇最最速下降方向速下降方向. )(xf精選課件 人們在處理這類問題時,總希望從某一點出發(fā),選擇一個目標函數(shù)值下降最快的方向,以利于盡快達到極小點.正是基于這樣一種愿望,早在1847年法國著名數(shù)學家Cauchy提出了最速下降法最速下降法.后來,Curry等人作了進一步的研究.現(xiàn)在最速下降法已經(jīng)成為眾所周知的一種最基本的算法,它對其他算法的研究也很有啟發(fā)作用,因此在最優(yōu)化方法中占有重要地位.下面我們先來討論怎樣選擇最最速下降方向速下降方向. 我們知道,函數(shù)

5、在點 處沿方向 的變化率可用方向?qū)?shù)來表達,對于可微函數(shù),方向?qū)?shù)等于梯度與方向的內(nèi)積,即)(xfxddxfdxDfT)();(6.1.2)因此,求函數(shù) 在點 處的下降最快的方向,可歸結(jié)為求解下列非線性規(guī)劃:)(xfx1.)(mindtsdxfT(6.1.3)精選課件根據(jù)Schwartz不等式,有)()()(xfdxfdxfT去掉絕對值符號,可以得到)()(xfdxfT(6.1.4)由上式可知,當)()(xfxfd(6.1.5)時等號成立.因此,在點 處沿(6.1.5)所定義的方向變化率最小,即負梯度方向為最速下降方向負梯度方向為最速下降方向. 這里要特別指出,在不同尺度下最速下降方向是不同的

6、.前面定義的最速下降方向,是在向量 的毆氏范數(shù) 不大于1的限制得到的,屬于毆氏度量意義下的最速下降方向.如果改用其他度量,比xd2d精選課件如,設(shè) 為對稱正定矩陣,在向量 的 范數(shù) 不大于1的限制下,極小化 ,則得到的最速下降方向與前者不同.AdA21)(AdddTAdxfT)( 10.1.2 最速下降算法最速下降算法 最速下降法的迭代公式是)()() 1(kkkkdxx(10.1.6)其中 是從 出發(fā)的搜索方向,這里取在點 處的最速下降方向,即)()()(kkxfd)(kd)(kx 是從 出發(fā)沿方向 進行一維搜索的步長,即 滿足k)(kx)(kdk)(min)()()(0)()(kkkkkd

7、xfdxf(10.1.11)(kx精選課件 計算步驟計算步驟如下: 1.給定初點 ,允許誤差 ,置 .nEx) 1 (01k 2.計算搜索方向)()()(kkxfd 3.若 ,則停止計算;否則,從 出發(fā),沿 進行一維搜索,求 ,使)(kd)(kx)(kdk)(min)()()(0)()(kkkkkdxfdxf 4.令 ,置 ,轉(zhuǎn)步2.)()() 1(kkkkdxx1: kk 例例10.1.1 用最速下降法解下列問題:22212)(minxxxf.101,) 1 , 1 () 1 (Tx初點精選課件解：解：,)2,4()(21Txxxf.)2,4()()1(1Txfd.)21 ,41()1()1

8、(Tdx，令22)1()1()21()41 (2)()(dxf)(min求解0)21(4)41(16)(令1851Tdxx)94,91()1(1)1()2(22212)(minxxxf) 1 , 1 ()1(x第二次迭代：.)9/8,9/4()()2()2(Txfd1 . 0789. 15/54)9/8()9/4(22)2(dTdx984941)2()2(，令81)21 (1681)41(2)()(22)2()2(dxf精選課件Tdx984941)2()2(，令81)21 (1681)41(2)()(22)2()2(dxf)(min求解，令081)21 (6481)41(16)(1252Tdx

9、x11272)2(2)2()3(第三次迭代：.)27/4,27/8()()3()3(Txfd1 . 03313. 027/54)27/4()27/8(22)3(d進行一維搜索：沿從)3()3(dx)()(min)3()3(dxf求解21412721227411272)3()3(dx精選課件21412721227411272)3()3(dx，令2222)3()3(27)21 (427)41(8)()(dxf22212)(xxxf，027)21 (1627)41(64)(2218528880341243241912721227418511272)3(3)3()4(dxx212438842432)(

10、)4(xf,)2,4()(21Txxxf0736. 052438)()4(xf412432x似解滿足精度要求，得到近00*x精確解精選課件)()(min)()(kkdxf求解在最速下降法的一位搜素中0)()()(T)()(kkkddxf由k解得步長滿足：故步長k0)()(T)()(kkkkddxf)()()1(kkkkdxx0)()(T)1(kkdxf)()()(kkxfd其中0)(T)1(kkdd即在最速下降法中相鄰兩次搜索方向是正交的。精選課件)()(min)()(kkdxf對于一維搜索cxbAxxxfTT21)(對于二次嚴格凸函數(shù)其中A為n維對稱正定矩陣可以求出步長因子k)()()(kk

11、xfd其中滿足：由步長k0)()(T)()(kkkkddxfbAx)(xf由0)()()()(kTkkkdbdxA解得：)()()()()()()()()()()(kTkkTkkTkkTkkAdddxfAdddbAx)()()1( kkxfxf）（)()(2)()()()()(21kTkkTkAddxfxf（本章習題7）精選課件鋸齒現(xiàn)象鋸齒現(xiàn)象 最速下降法的迭代點在向極小點靠近的過程中，走的是曲折的路線：后一次搜索方向d(k+1)與前一次搜索方向 d(k)總是相互垂直的，稱它為鋸齒現(xiàn)象鋸齒現(xiàn)象。這一點在前面的例題中已得到驗證。除極特殊的目標函數(shù)（如等值面為球面的函數(shù)）和極特殊的初始點外，這種現(xiàn)

12、象一般都要發(fā)生。 最速下降法的收斂性精選課件 從直觀上可以看到，在遠離極小點的地方，每次迭代都有可能使目標函數(shù)值有較多的下降，但在接近極小點的地方，由于鋸齒現(xiàn)象，每次迭代行進的距離開始逐漸變小。因而收斂速度不快。 已有結(jié)論表明，最速下降法對于正定二次函數(shù)關(guān)于任意初始點都是收斂的(定理10.1.2)，而且恰好是線性收斂的。精選課件鋸齒現(xiàn)象鋸齒現(xiàn)象，其其等等值值面面近近似似數(shù)數(shù)可可以以用用二二次次函函數(shù)數(shù)近近似似在在極極小小點點附附近近，目目標標函函橢球面。橢球面。1x*x2x3x它它只只是是。標標函函數(shù)數(shù)的的一一種種局局部部性性質(zhì)質(zhì)最最速速下下降降方方向向反反映映了了目目快快的的方方向向。局局部

13、部目目標標函函數(shù)數(shù)值值下下降降最最注注的的算算法法。最最速速下下降降法法是是線線性性收收斂斂精選課件精選課件10.2 牛頓法牛頓法 6.2.1 牛頓法牛頓法 設(shè) 是二次可微實函數(shù), .又設(shè) 是 的極小點的一個估計,我們把 在 展成Taylor級數(shù),并取二階近似:)(xfnEx)(kx)(xf)(xf)(kx)()(21)()()()()()()(2)()()()(kkTkkTkkxxxfxxxxxfxfxxf其中 是 在 處的Hessian矩陣.為求 的平穩(wěn)點,令)()(2kxf)(xf)(kx)(x0)(x0)()()()(2)(kkkxxxfxf即(10.2.1)精選課件設(shè) 可逆,有(10

14、.2.1)得到牛頓法的迭代公式)()(2kxf)()()(1)(2)()1(kkkkxfxfxx(10.2.2)其中 是Hessian矩陣 的逆矩陣. 這樣, 知道 后,算出在這一點處目標函數(shù)的梯度和Hessian矩陣的逆,代人(10.2.2),便得到后繼點 ,用 代替 ,再用(10.2.2)計算,又得到 的后繼點.依此類推,產(chǎn)生序列 .在適當?shù)臈l件下,這個序列收斂.1)(2)(kxf)()(2kxf)(kx)1( kx1kk)1( kx)(kx 精選課件22112)()()(. 2)(. 1kxxxxxfxfxfkxf則牛頓法產(chǎn)生的序列收斂于 .x 實際上,當牛頓法收斂時,有下列關(guān)系:2)(

15、)1(xxcxxkk其中 C 是某個常數(shù).因此,牛頓法至少2級收斂,參看文獻19.可見牛頓法的收斂速率是很快的.精選課件例例10.2.1 用牛頓法解下列問題:2241) 1(minxx.) 1 , 0()1(Tx 我們?nèi)〕觞c解：)()()(1)(2)()1(kkkkxfxfxx2312) 1(4)(xxxf24)()1(xf200) 1(12)(212xxf20012)(2xf)()()1(1)1(2)1()2(xfxfxx242/10012/11003/113/110第2次迭代：027/32)()2(xf2009/48)()2(2xf精選課件第2次迭代：027/32)()2(xf2009/4

16、8)()2(2xf)()()2(1)2(2)2()3(xfxfxx027/322/10048/903/103/1)2(x09/5繼續(xù)迭代，得到,.081/65,027/19)5()4(xx最終收斂到最優(yōu)解x*=(1,0)T精選課件我們先用極值條件求解.令0)(bAxxf下面用牛頓法求解. 任取初始點x(1) , 根據(jù)牛頓法的迭代公式：特別地,對于二次凸函數(shù),用牛頓法求解,經(jīng)1次迭代即達極小點.設(shè)有二次凸函數(shù)cxbAxxxfTT21)(其中A是對稱正定矩陣。)()()(1)(2)()1(kkkkxfxfxx求迭代點x(2) bAx1得到是最小值點嗎？bAx1為什么？xbAbAxAxxfAxx1)

17、1(1)1()1(1)1()2()()(即1次迭代達到極小點.精選課件)()(12xfxfd不一定是下降方向,經(jīng)迭代,目標函數(shù)值可能上升.此外,即使目標函數(shù)值下降,得到的點 也不一定是沿牛頓方向的最好點或極小點.因此,人們對牛頓法進行修正,提出了阻尼牛頓法. 值得注意,當初始點遠離極小點時,牛頓法可能不收斂.原因之一,牛頓方向 以后還會遇到一些算法,把它們用于二次凸函數(shù)時,類似于牛頓法,經(jīng)有限次迭代必達到極小點.這種性質(zhì)稱為二次終止性二次終止性. )1( kx對于二次凸函數(shù),用牛頓法求解,經(jīng)1次迭代即達極小點精選課件 10.2.2 阻尼牛頓法阻尼牛頓法 阻尼牛頓法與原始牛頓法的區(qū)別在于增加了沿

18、牛頓方向的一維搜索,其迭代公式是)()()1(kkkkdxx(6.2.6)其中 為牛頓方向, 是由一維搜索得到的步長,即滿足)(min)()()()()(kkkkkdxfdxfk)()()(1)(2)(kkkxfxfd 阻尼牛頓法的計算步驟計算步驟如下: 1.給定初始點 ,允許誤差 ,置 . 2.計算 )1 (x01k1)(2)()(),(kkxfxf精選課件 3.若 ,則停止迭代;否則,令)()(kxf)()()(1)(2)(kkkxfxfd 4.從 出發(fā),沿方向 作一維搜索:)(kx)(kd)()(min)()()()(kkkkkdxfdxf令 .)()()1(kkkkdxx 5.置 ,轉(zhuǎn)

19、步2.1: kk 由于阻尼牛頓法含有一維搜索,因此每次迭代目標函數(shù)值一般有所下降(決不會上升).可以證明,阻尼牛頓法在適當?shù)臈l件下具有全局收斂性,且為2級收斂.精選課件10.310.3、共軛梯度法、共軛梯度法精選課件10.3.1 共軛方向法共軛方向法1. 共軛方向和共軛方向法共軛方向和共軛方向法定義定義共軛。共軛。關(guān)于關(guān)于和和，則稱，則稱若有若有AddAddT21210 ARdddnk它它們們兩兩兩兩關(guān)關(guān)于于中中一一組組非非零零向向量量，如如果果是是設(shè)設(shè),21。共共軛軛，即即kjijiAddjTi,2,1,0 共軛方向。共軛方向。組組共軛的，也稱它們是一共軛的，也稱它們是一則稱這組方向是關(guān)于則

20、稱這組方向是關(guān)于AA注：注：002121 dddIdTT21dd 共軛是正交的推廣。共軛是正交的推廣。，和和中中的的兩兩個個非非零零向向量量的的對對稱稱正正定定矩矩陣陣，對對于于是是設(shè)設(shè)21ddRnnAn 是是單單位位矩矩陣陣，則則如如果果 A精選課件幾何意義幾何意義設(shè)有二次函數(shù)設(shè)有二次函數(shù))()(21)(xxAxxxfT 對對稱稱正正定定矩矩陣陣，是是其其中中nnA 是一個定點。是一個定點。x的的等等值值面面則則函函數(shù)數(shù))(xfcxxAxxT )()(21為中心的橢球面。為中心的橢球面。是以是以 x由于由于,0)()( xxAxf,0)(2 AxfA所所以以正正定定，因因為為的的極極小小點點

21、。是是因因此此)(xfxx,)(2Axf 而而精選課件幾何意義幾何意義設(shè)有二次函數(shù)設(shè)有二次函數(shù))()(21)(xxAxxxfT 對對稱稱正正定定矩矩陣陣，是是其其中中nnA 是一個定點。是一個定點。x的的等等值值面面則則函函數(shù)數(shù))(xfcxxAxxT )()(21為中心的橢球面。為中心的橢球面。是以是以 x由于由于,0)()( xxAxf,0)(2 AxfA所所以以正正定定，因因為為的的極極小小點點。是是因因此此)(xfxx,)(2Axf 而而精選課件點，點，是在某個等值面上的一是在某個等值面上的一設(shè)設(shè))0(x處的法向量為處的法向量為該等值面在點該等值面在點)1(x. )()()1()1(xx

22、Axf o1x2xx)1(d)0(x中的一個方向，中的一個方向，是是nRd)1(。以以最最優(yōu)優(yōu)步步長長搜搜索索得得到到點點沿沿著著)1()1()0(xdx所所在在等等值值面面的的切切向向量量。是是點點則則)1()1(xd正交，正交，與與則則)()1()1(xfd , 0)()1()1( xfdT即即,)1()2(xxd 令令)1(x所以所以, 0)2()1( AddT共共軛軛。小小點點的的向向量量關(guān)關(guān)于于向向量量與與由由這這一一點點指指向向極極即即等等值值面面上上一一點點處處的的切切A)2(dcxxAxxxfT)()(21)(精選課件共共軛軛的的非非零零個個是是階階對對稱稱正正定定矩矩陣陣，是

23、是設(shè)設(shè)AkdddnAk,21性無關(guān)。性無關(guān)。向量，則這個向量組線向量，則這個向量組線. 1 . 3 .10定理證明證明，使得，使得設(shè)存在實數(shù)設(shè)存在實數(shù)k ,21,01 kiiid ，則則有有上上式式兩兩邊邊同同時時左左乘乘AdTj,01 kiiTjiAdd 可化簡為可化簡為共軛的向量，所以上式共軛的向量，所以上式個個是是因為因為Akdddk,21.0 jTjjAdd ，是正定矩陣，所以是正定矩陣，所以而而因為因為0,0 jTjjAddAd所以所以。kjj,2,1,0 線線性性無無關(guān)關(guān)。因因此此kddd,21精選課件2 . 3 .10定理，設(shè)設(shè)有有函函數(shù)數(shù)cxbAxxxfTT 21)(共軛向量。

24、共軛向量。一組一組是是階對稱正定矩陣。階對稱正定矩陣。是是其中其中AdddnAk)()2()1(,進行搜索，進行搜索，為初始點，依次沿為初始點，依次沿以任意的以任意的)()2()1()1(,kndddRx 上上的的在在是是函函數(shù)數(shù)則則得得到到點點kkkBxxfxxxx )1()1()1()3()2()(,極小點，其中極小點，其中,|1)(RdxxBikiiik 是是時，時，當當，生成的子空間。特別地生成的子空間。特別地是由是由)1()()2()1(, nkxnkddd上上的的唯唯一一極極小小點點。在在nRxf)(推論推論有有在上述定理條件下，必在上述定理條件下，必。kidxfiTk,2,1,0

25、)()()1( 精選課件)(*)1(*1)1(*1)1()(*)1(*1)1()(*)()1(.kkkkkkkkkkkkkdddxddxdxx), 1()(*)()1(kidxxiiii證：設(shè)), 1 , 0(0)()()1(kidxfiTk若上的極小點。在是函數(shù)要證kkBxxfx)1()1()(,|1)(RdxxBikiiik ,)1(kBxx對于)()1(1)1 (1)1 (kkkkdddxx)()()1( kxfxf要證)()()()()1()1()1(kTkkxxxfxfxf)(1)1(*)1()()()(ikiTkiikdxfxf則必有)()()1( kxfxf,)1(kBxx對于)

26、, 1 , 0(0)()()1(kidxfiTk下證精選課件), 1 , 0(0)()()1(kidxfiTk下用歸納法證的極小點，沿方向在為由), 1 , 0()()()()1(kidxxfxiii為問題中的即*)(*)()1(iiiiidxx的解。)()(min)()(iidxf0)()(T)(*)(iiiiddxf.,.,2 , 1, 0)()(T)1(kidxfii顯然成立。時當0)(,1)()1(kTkdxfk. 1,.,2 , 1,0)(,)()(midxfnmkiTm成立有時假設(shè)當.,.,2 , 1,0)(,1)()1(midxfmkiTm成立證時則當)(*)()1()1()(m

27、kmmmAdbAxbAxxf)(*)()(mkmAdxf)()(*)()()(T)1()()()(iTmkiTmimAdddxfdxfmi時，故當，由歸納假設(shè)，0)()()(iTmdxf0)()()(iTmAdd又, 0)()(T)1(imdxfmi時，故當0)()(T)1(mmdxf而.,.,2 , 1,0)()()1(midxfiTm成立故精選課件，設(shè)設(shè)有有函函數(shù)數(shù)cxbAxxxfTT 21)(共軛向量。共軛向量。一組一組是是階對稱正定矩陣。階對稱正定矩陣。是是其中其中AdddnAk)()2()1(,推論：進行搜索，進行搜索，為初始點，依次沿為初始點，依次沿以任意的以任意的)()2()1(

28、)1(,kndddRx 上上的的在在是是函函數(shù)數(shù)則則得得到到點點kkkBxxfxxxx )1()1()1()3()2()(,|1)(RdxxBikiiik 上上的的唯唯一一極極小小點點。在在nRxf)(nkkidxfiTk，且有), 1 , 0(0)()()1(0)()1(nxf時，當，特別地nk 極小點，其中極小點，其中點。經(jīng)有限次迭代必得極小沿一組共軛方向搜索，即對于二次凸函數(shù)，若精選課件共軛方向法對于極小化問題對于極小化問題:法法為為共共軛軛方方向向法法是是正正定定矩矩陣陣，稱稱下下述述算算其其中中 A,21)(mincxbAxxxfTT ；共共軛軛方方向向取取定定一一組組)()2()1

29、(,)1(ndddA,)2()1()()1( kkxxx確確定定點點依依次次按按照照下下式式由由任任取取初初始始點點 )(min)()()()()()()()1(kkkkkkkkkdxfdxfdxx 。滿足滿足直到某個直到某個0)()()( kkxfx注注至多經(jīng)過至多經(jīng)過求解上述極小化問題，求解上述極小化問題，可知，利用共軛方向法可知，利用共軛方向法由定理由定理2。次次迭迭代代必必可可得得到到最最優(yōu)優(yōu)解解n精選課件 )(min)()()()()()()()1(kkkkkkkkkdxfdxfdxx ；共軛方向取定一組)()2()1(,ndddA對于上述正交方向法，它是下降算法嗎？不難得到：, 0

30、)()(T)1(kkdxf由)()()()()()(kTkkTkkAdddxfcxbAxxxfTT21)()()(21)()()()(yxAyxyxyfyfxfTT由)()(21)()()()()()1()()1()()1()()1(kkTkkkkTkkkxxAxxxxxfxfxf）（)()(2)()()()(21kTkkTkAdddxf, 0)()()1(kkxfxf）（，若0)()()(kTkdxf).()()1( kkxfxf）（則故正交方向法，它是下降算法。精選課件？共軛方向如何構(gòu)造一組)()2()1(,ndddA可由一組線性無關(guān)向量組，類似于schmidt正交化過程，。共軛方向構(gòu)造一

31、組)()2()1(,ndddA.13具體步驟見本章習題共軛方向的方法。下一節(jié)介紹另一種構(gòu)造cxbAxxxfTT21)(min化問題對于二次凸函數(shù)的極小精選課件精選課件10.3 共軛梯度法共軛梯度法 10.3.2 共軛梯度法共軛梯度法 共軛梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年為求解線性方程組而提出.后來,人們把這種方法用于求解無約束最優(yōu)化問題,使之成為一種重要的最優(yōu)化方法. 下面,重點介紹Fletcher-Reeves共軛梯度法共軛梯度法,簡稱FR法法. 共軛梯度法的基本思想基本思想是把共軛性與最速下降方法相結(jié)合,利用已知點處的梯度構(gòu)造一組共軛方向,并沿這組方向進行搜索,求

32、出目標函數(shù)的極小點.根據(jù)共軛方向的基本性質(zhì),這種方法具有二次終止性. 我們先討論對于二次凸函數(shù)的共軛梯度法,然后再把這種方法推廣到極小化一般函數(shù)的情形.精選課件10.3.2. 共軛梯度法 如何選取一組共軛方向？如何選取一組共軛方向？:共軛梯度法共軛梯度法eevesRFletcher 代點代點向相結(jié)合，利用已知迭向相結(jié)合，利用已知迭將共軛性和最速下降方將共軛性和最速下降方基本思想：基本思想：進行搜索，求出進行搜索，求出共軛方向，并沿此方向共軛方向，并沿此方向處的梯度方向構(gòu)造一組處的梯度方向構(gòu)造一組函數(shù)的極小點。函數(shù)的極小點。以下分析算法的具體步驟。以下分析算法的具體步驟。cxbAxxxfTT 2

33、1)(min是是常常數(shù)數(shù)。，是是對對稱稱正正定定矩矩陣陣，其其中中cRbARxnn ,我們先討論對于二次凸函數(shù)的共軛梯度法,然后再把這種方法推廣到極小化一般函數(shù)的情形精選課件；，第一個搜索方向取為，第一個搜索方向取為任取初始點任取初始點)()1()1()1()1(xfdx ，令令，若若，設(shè)設(shè)已已求求得得點點)(0)()2()1(1)1()1( kkkkxfgxfx:)1(按按如如下下方方式式確確定定則則下下一一個個搜搜索索方方向向 kd)1()(1)1(kkkkdgd 令令共軛。共軛。關(guān)于關(guān)于和和要求要求Addkk)()1( ？如如何何確確定定k ，得，得）式兩邊同時左乘）式兩邊同時左乘則在（

34、則在（AdTk)(1)()(1)()1()(0kTkkkTkkTkdAdAgdAdd )2()()(1)(kTkkTkkdAdgAd 解解得得cxbAxxxfTT 21)(min初始搜索方向為最速下降方向精選課件:)3(搜搜索索步步長長的的確確定定，步步長長利利用用一一維維搜搜索索確確定定最最優(yōu)優(yōu)和和搜搜索索方方向向已已知知迭迭代代點點kkkdx ,)()(。即求解即求解)(min)()(kkdxf , )()()()(kkdxf 記記，令令0)()()()()( kTkkddxf ，即即有有0)()()()( kTkkdbdxA ，則則有有令令bAxxfgkkk )()()(，0)()( k

35、TkkdAdg )3()()()(kTkkTkkAdddg 解解得得精選課件3 . 3 .10定理次次算法在算法在，對于正定二次函數(shù)對于正定二次函數(shù)nmFRcxbAxxxfTT 21)(），下下列列關(guān)關(guān)系系成成立立（且且對對所所有有的的一一維維搜搜索索后后即即終終止止，并并mii 1;1,2,1,0)1()()( ijAddjTi;1,2,1,0)2( ijggjTi。iTiiTiggdg )()3(注注共共軛軛的的。是是可可知知搜搜索索方方向向）由由定定理理（Adddm)()2()1(,31則則構(gòu)構(gòu)造造的的搜搜索索必必須須取取負負梯梯度度方方向向，否否算算法法中中第第一一個個搜搜索索方方向向

36、)2(方方向向不不能能保保證證共共軛軛性性。）可可知知，的的（由由定定理理33)3(,0|2)( iiTiiTigggdg處處的的下下降降方方向向。是是迭迭代代點點所所以以)()(iixd精選課件的的計計算算公公式式可可以以簡簡化化。算算法法中中，由由定定理理iFR 3)4()()(1)(iTiiTiiAddgAd )()()(1iTiiTiAdddAg / )( / )( )()1()()()1(1iiiTiiiiTixxAdxxAg .)()()(bxAxfgiii )()(1)(11iiTiiiTiiggdggg iTiigdg)(21| )4(|221iigg )1964,Re(|22

37、1evesFletcherggiii精選課件)1964,Re(|221evesFletcherggiii式：外，還有下列等價表達除表達式有多個等價式，定理中，對于二次凸規(guī)劃，上述221|iiiigg)1972,()()(1)(11wolfeseensenggdgggiiTiiiTii)1967,()()()(1DanielAddAdgiTiiTii)()(11dixongdggiTiiTii)1969,()()(11PPRgggggiTiiiTii常用兩個公式:著名的FR和PPR公式精選課件算算法法步步驟驟：FR。，令，令精度要求精度要求，任取初始點任取初始點1. 1)1( kx 為為所所求求

38、極極小小點點；停停止止，若若令令)1(1)1(1,|, )(. 2xgxfg 。令令，）計計算算利利用用公公式式（否否則則，令令)1(1)1()2(11)1(3,dxxgd 為所求極小點；為所求極小點；停止，停止，若若令令)1(1)1(1,|, )(. 3 kkkkxgxfg ）計計算算。用用公公式式（其其中中否否則則，令令4,)(1)1(kkkkkdgd 。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，令，令）計算）計算利用公式（利用公式（3,3. 4)()()1(kkkkkdxx 。令令1: kk)3()()()(kTkkTkkAdddg)4(|221iiiggcxbAxxxfTT21)(min求解二次凸規(guī)劃的FR 共軛梯度法求

39、解二次凸規(guī)劃的FR 共軛梯度法迭代多少次才可以達到最優(yōu)解？精選課件算算法法求求解解下下述述問問題題：用用例例FR22212)(minxxxf 。初初始始點點取取為為Tx)2,2()1( 解：解：.)2,4()(21Txxxf 次迭代：次迭代：第第1,)4,8(1)1(Tgd 令令)1()1()1(11AdddgTT ,2004),(21)(2121 xxxxxf.2004 A而而 482004)4,8(48)4,8(185 .2004A，或利用0)()()()()(kTkkddxfk求出, )()()()(kkdxf 記記精選課件)1(1)1()2(dxx 所以所以TT)4,8(185)2,2

40、( T)98,92( 次迭代：次迭代：第第 2.)916,98(2Tg 21221|gg .81448)916()98(2222 )1(12)2(dgdTT)4,8(814)916,98( T)4,1(8140 .)2,4()(21Txxxf ,)4,8(1)1(Tgd)1(12)2(dgd精選課件)2()2()2(22AdddgTT 412004)4,1()8140(41)916,98(81402209 )2(2)2()3(dxx TT)4,1(8140209)98,92( T)0,0( Tg)0,0(3 即即為為所所求求極極小小點點。)3(x精選課件10.3.3. 用于一般函數(shù)的共軛梯度法

41、nRxtsxf .)(min共軛梯度法進行修改：共軛梯度法進行修改：對用于正定二次函數(shù)的對用于正定二次函數(shù)的確確定定。）計計算算，需需由由一一維維搜搜索索不不能能利利用用公公式式（搜搜索索步步長長3)2(i 。速下降方向，即第一個搜索方向仍取最)() 1 ()1()1(xfd算算：其其它它搜搜索索方方向向按按下下式式計計,)()()1()1(iiiidxfd 。其其中中2)(2)1(|)(|)(|iiixfxf )3()()()(kTkkTkkAdddg精選課件）計算。用公式（其中令4, 1)(1)1(kkkkkdgdk10.3.3. 用于一般函數(shù)的共軛梯度法nRxtsxf .)(min。速下

42、降方向，即第一個搜索方向仍取最)() 1 ()1()1(xfd)4(|221iiigg)(min)2()()(kkdxf但求解一維搜索問題確定。）計算，需由一維搜索不能利用公式（搜索步長3i)3()()()(kTkkTkkAdddg精選課件此此時時可可采采取取一一定定能能滿滿足足停停止止條條件件，算算法法在在有有限限步步迭迭代代后后不不)3(如如下下措措施施：沒沒有有求求成成一一輪輪搜搜索索后后，如如果果還還次次迭迭代代為為一一輪輪，每每次次完完以以n新的初始點，新的初始點，的最后一個迭代點作為的最后一個迭代點作為得極小點，則以上一輪得極小點，則以上一輪一輪搜索。一輪搜索。一個搜索方向，開始下

43、一個搜索方向，開始下取最速下降方向作為第取最速下降方向作為第注注，如如算算采采用用其其它它形形式式的的公公式式計計在在共共軛軛梯梯度度法法中中，也也可可i 。）共軛梯度法共軛梯度法PRPgggggiTiiiTii()(11 精選課件10.3 共軛梯度法共軛梯度法 10.3.2 共軛梯度法共軛梯度法 共軛梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年為求解線性方程組而提出.后來,人們把這種方法用于求解無約束最優(yōu)化問題,使之成為一種重要的最優(yōu)化方法. 下面,重點介紹Fletcher-Reeves共軛梯度法共軛梯度法,簡稱FR法法. 共軛梯度法的基本思想基本思想是把共軛性與最速下降方法相

44、結(jié)合,利用已知點處的梯度構(gòu)造一組共軛方向,并沿這組方向進行搜索,求出目標函數(shù)的極小點.根據(jù)共軛方向的基本性質(zhì),這種方法具有二次終止性. 我們先討論對于二次凸函數(shù)的共軛梯度法,然后再把這種方法推廣到極小化一般函數(shù)的情形. 考慮問題精選課件cxbAxxxfTT21)(min其中 , 是對稱正定矩陣, 是常數(shù).nExAc 具體求解方法如下: 首先,任意給定一個初始點 ,計算出目標函數(shù) 在這點的梯度,若 ,則停止計算;否則,令)1(x)(xf01g1)1()1()(gxfd(10.3.12)沿方向 搜索,得到點 .計算在 處的梯度,若 ,則利用 和 構(gòu)造第2個搜索方向 ,再沿 搜索.)1(d)2(x)

45、2(x02g2g)1(d)2(d)2(d 一般地,若已知點 和搜索方向 ,則從 出發(fā),沿 進行搜索,得到)(kx)(kd)(kx)(kd)()()1(kkkkdxx(10.3.14)精選課件其中步長 滿足k)(min)()()()()(kkkkkdxfdxf我們可以求出 的顯式表達.令k)()()()(kkdxf求 的極小點,令)(0)()()()1(kTkdxf(10.3.15)根據(jù)二次函數(shù)的梯度的表達式,(6.3.15)即00(0)()()()()()()()1(kTkkkkTkkkkTkdAdgdbdxAdbAx(10.3.16)精選課件由(6.3.16)得到)()()(kTkkTkkA

46、dddg(10.3.17) 計算 在 處的梯度.若 ,則停止計算;否則,用共軛.按此設(shè)想,令)(xf)1( kx01kgAddddgkkkkk關(guān)于和，并使構(gòu)造下一個搜索方向和)()1()1()(1)(1)1(kkkkdgd(10.3.18)上式兩端左乘 ,并令0)()(1)()1()(kTkkkTkkTkAddAgdAdd由此得到AdTk)()()(1)(kTkkTkkAddAgd(10.3.19)精選課件 再從 出發(fā),沿方向 搜索.)1( kx)1( kd綜上分析，在第個搜索方向取負梯度的前提下, 重復(fù)使用公式(10.3.14),(10.3.17),(10.3.18)和(10.3.19),就

47、能伴隨計算點的增加,構(gòu)造出一組搜索方向.下面將要證明,這組方向是關(guān)于 共軛的.因此,上述方法具有二次終止性.A 定理定理10.3.3 對于正定二次函數(shù)(10.3.12),具有精確一維搜索的Fletcher-Reeves法在 次一維搜索后即終止，并且對所有 ,下列關(guān)系成立:nm )1 (mii)0(. 31, 2 , 10. 21, 2 , 10. 1)()()(iiTiiTijTijTidggdgijggijAdd蘊涵精選課件 例例6.3.1 考慮下列問題：2322212121minxxx 取初始點和初始搜索方向分別為021111)1()1(dx和 在FR法中，初始搜索方向必須取最速下降方向初

48、始搜索方向必須取最速下降方向，這一點絕不可忽視。 對于二次凸函數(shù)，F(xiàn)R法的計算步驟計算步驟如下： 1.給定初始點 ,置 .)1(x1k精選課件 2.計算 ,若 ,則停止計算,得點 ;否則,進行下一步.)()(kkxfg0kg)(kxx 3.構(gòu)造搜索方向,令)1(1)(kkkkdgd其中,當 時, ,當 時,按公式 1k01k1k)0, 1(221iiiigigg計算因子 .1k 4.令)()()1(kkkkdxx其中按公式(6.3.17)計算步長k精選課件 5.若 ,則停止計算,得點 ;否則,置 ,返回步2.nk )1( kxx1: kk 由精選課件10.4 擬牛頓法擬牛頓法 6.4.1 擬牛頓條件擬牛頓條件前面介紹了牛頓法,它的突出優(yōu)點是收斂很快.但是,運用牛頓法需要計算二階便導數(shù),而且目標函數(shù)的Hessian矩陣可能非正定.為了克服牛頓法的缺點,人們提出了擬牛頓法.它的基本思想基本思想是用不包含二階導數(shù)的矩陣近似牛頓法中的Hessian矩陣的逆矩陣.精選課件 Newton法的優(yōu)缺點都很突出。 優(yōu)點：高收斂速度（二階收斂）； 缺點：對初始點、目標函數(shù)要求高，計算量、存儲量大（需要計算、存儲Hesse矩陣及其逆）。 擬Newton法是模擬Newton法給出的一個保優(yōu)去劣的算法 擬Newton法是效果很好的一大類方法。它當中的DFP算法和