橢圓知識點總結

1、橢圓知識點知識要點小結：知識點一：橢圓的定義平面內一個動點P 到兩個定點 F2 的距離之和等于常數(shù) （PF 1PF 22aF1 F2 ） ,這個動點 P 的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距注意：若 （PF j）F1F2 ；F1 F2 ，則動點 P 的軌跡為線段若(PF 1PF2|FIF2）， 則動點P 的軌跡無圖形 .知識點二：橢圓的標準方程x21?當焦點在x 軸上時，橢圓的標準方程 :2a2b22(a b 0) ，其中ca2x22?當焦點在 y 軸上時，橢圓的標準方程 :y22 2(a b 0) ，其中 ca b ；注意： 1 ?只有當橢圓2a的中心為坐標原點，

2、對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時,才能得到橢圓的標準方程;2.在橢圓的兩種標準方程中，都有（a b 0 ）和 c2a2 b 2;3.橢圓的焦點總在長軸上當焦點在 x 軸上時，橢圓的焦點坐標為(GO) ;（c,0），（0, c ） ， c)當焦點在 y 軸上時，橢圓的焦點坐標為（ 0,知識點三 :橢圓的簡單幾何性質FTOx2橢圓： -0）的簡單幾何性2質a22 y（ 1）對稱性：對于橢圓標準方x1(a b 0）: 說明：把 x 換成x、或把 y 換成y、或把 x、 y 同b2""2程a22時換成y、原方程都不變，所以橢圓x占1 是以 x 軸、 y 軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是

3、以原點為對2ba稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍 :橢圓上所有的點都位于直線x a 和 yb 所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。2 2x y橢圓二1（ a b0） 與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A, a,0 ）， A2a（a,0 ），bBQ b) ， B2( 0,b)線段 A1A2 , B1B2 分別叫做橢圓的長軸和短軸,軸長和短半軸長。（ 4）離心率 :橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用因為 （a c 0 ） ，所以 e 的取值范圍是 （0因此橢圓越扁；反之，e 越接近于 o, c

4、 就越接近 o,從而這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為圖）：（ i） （|PF i IPF22a)PF iPMi；I Ai A2 I 2a , I Bi B2 I 2b。a 和 b 分別叫做橢圓的長半2c ce 表示，記作 e2a ae 1） 。e 越接近1，則 c 就越接近 a，i1 o從而 b . a c 越小 ,b 越接近于a，這時橢圓就越接近于當且僅當 ab 時， c 0，圓。22a。注意 :橢圓 y, 2i 的圖像中線段的幾何特征（如下2a bPF 2PM 2Ml0(PM iPM2( BFi | |BF2a)；(OFiOF 2c) ； AB|A2B(3)A2F1PFi222知識點四

5、：橢圓篤 社xa bi （a b 0 ） 的區(qū)別和聯(lián)系b2焦距F1F22c| F1F2 | 2c范圍Xa, |b| x | b , y a對稱性關于 X 軸、 y 軸和原點對稱頂點(a,0) , (0, b)(0, a) , ( b,0)軸長長軸長 =2a，短軸長 =2b離心率e c(0 e 1)a準線方程X2 a2 a ycc焦半徑PF 10,PF2aIPF1°PF2a ey°a exa ey ,22 2y2Xyx注意：橢圓 21 ,221 (a b 0) 的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關系都有ababC _222(a b 0) 和 e (0 e 1) ，a b c

6、 ; 不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相a同。規(guī)律方法： 1 ?如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸， 橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a,b ；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2 ?橢圓標準方程中的三個量a,b,c 的幾何意義橢圓標準方程中， a,b,c 三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為:且(a2 b2(a b

7、0) , (a c 0) ,c2)?？山柚覉D理解記憶：顯然： a, b,c 恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a 是斜邊， b、c 為兩條直角邊。3 ?如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標2 2準方程，判斷焦點位置的方法是：看x , y 的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4 ?方C 可化為 AxBy2By2方程 Ax 2 By 21, 即 x C1，所以只有 A、B C 同號，且 ACCACB時，方程表示橢圓。當CC 時, 橢圓的焦點在x 軸上； 當 CC 時，橢圓的焦點在y 軸上。ABAB5 ?求橢圓標準方程的常用方待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位

8、置，從而確定橢圓方程的法：程 Ax 2 By 2 C（ A, B,C 均不為零） 是表示橢圓的條件B定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6?共焦點的橢圓標準方程形式上的差異22共焦點，則c 相同。與橢圓x缶1（a b0） 共焦點的橢圓方程可設為2a2a,b,c 的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；類型，設出標準方程，再由條件確定方2程中的參數(shù)y1 (mb ），此類問題常用待定系數(shù)法求解。.2b m7. 判斷曲線關于x 軸、 y 軸、原點對稱的依據(jù):若把曲線方程中的x 換成 x，方程不變，則曲線關于 yy若把曲線方程中的換成 y，方程不變，則曲線關于x軸對稱

9、;軸對稱 ;若把曲線方程中的x、 y 同時換成y，方程不變，則曲線關于原點對稱。&如何求解與焦點三角形PF1F2 （P 為橢圓上的點）有關的計算問題 ?思路分析：與焦點三角形PF1F2有關的計算問題時， ?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）三角形面積公式S PFF丄|PF 1 PF 2 sin F 1PF 2 相結合的方法進行計算解題。2將有關線段PF1、PF2、 F1 F2，有關角F1PF2 （ F1PF2F1BF2）結合起來，建立PF1 PF 2、PF 1 PF 2 之間的關系 ?9?如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系?2 2 2長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離

10、心率e - (0 e 1) ，因為 c a b , a c 0 , a顯然：當 -越小時， e（0 e 1 ）越大，橢圓形狀越扁；當 -越大， e（0 e 1 ）越小，橢圓形狀越趨近 a a 于圓。（一） ' 鼐八 . 橢圓及其性質1、橢圓的定義（ 1）平面內與兩個定點F1 ,F2 的距離的和等于常數(shù)（大于IF1 F2I ）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。（2）一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個（ 0,1） 內常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做橢圓 . 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)e就是離心率.2、橢圓的標準方程X acos

11、3、橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù) ）y bsin=14、離心率 ：橢圓焦距與長軸長之比.e橢圓的準線方程右準線 I2橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式:（左焦半徑） r1 a ex oraex其中e是離心率 -（右焦半徑） 2o焦點在 y 軸上的橢圓的焦半徑公式 :MFj aeyoMF 2| a（其中 F F2 分別是橢圓的下上焦點）?ey o（三）、 心、 直線與橢圓問題（韋達定理的運用）1、弦長公式 :若直線 I : y kx b與圓錐曲線相交與A、B 兩點， A (X1, y 1), B( X2, y 2)則 弦長 |ABJ% X2)2 (y1 y2) 2J( X1 X2 )2 (kx- !kx2

12、)271 k 2 |X1 X 21 k 2 .( X1 X2)24XIX2當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m 的取值范圍 ;2、已知弦 AB 的中點，研究AB 的斜率和方程AB 是橢圓0|+卷 =1（ a>b>0 ）的一條弦，中點M 坐標為（ xo,yo） ,則 AB 的斜率為 - 舄. 運用點差法求 AB 的斜率，設 A"yi)，X2 y12 _ a2 +RX2, y2 ）?A、B 都在橢圓b2 = 1，兩式相減得X22,y22 =1上,a2 十 b2X1 十，y1x1 x2 x1十 x2y1 十 = o,a2b2a2十b22 例 1.已知橢圓 : 及直線 y= X 十

13、0。（ 1） （ 2 ）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。y1 y2 b2 x1 + x2b2x0 ” b2x0即 XTX2 = a2 y1 + y2 = 020 故 kAB = .2 2M 點平分，求這條弦所在直線的方程。例、過橢圓乞 乞 1 內一點 M (2,1) 引一條弦，使弦被164( 四 ) 、亠四種題型與三種方法川心； 四種題型1: 已知橢圓C:2 2L 1 內有一點 A( 2，1) ，F(xiàn) 是橢圓 C 的左焦點， P 為橢圓 C 上的2516動點，求 I PAI +3 I PF| 的最小值222: 已知橢圓25y1內有一點 A (2,1),F 為橢圓的左焦點， P 是橢圓上動點

14、，求I PA| + I PF|的16最大值與最小值。223: 已知橢圓Xy1 外一點 A (5, 6),l 為橢圓的左準線 ,P 為橢圓上動點，點P 到 I 的距離為 d,32516求 | PA + -d 的最小值。5QL J224: 定長為 d(d )的線段AB 的兩個端點分別在橢圓X爲 1(a b 0) 上移動，求 AB 的中點 M""2aab2到橢圓右準線的最短距離。22& .三種方法 1: 橢圓篤y 1 的切線與兩坐標軸分別交于A,B 兩點，求三角形 OAB 的最小面積aX2y22: 已知橢圓1 和直線 l:x-y+9=0 ，在 I 上取一點 M，經過點 M

15、 且以橢圓的焦123點 F1, F 2 為焦點作橢圓，求M 在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。3：過橢圓 2x 2 y 22 的焦點的直線交橢圓A,B 兩點，求AOB 面積的最大值。- 課后同步練習221.橢圓 Xy1 的焦點坐標是，離心率是, 準線方程是251692.已知F1、 F2是橢2 X2y1 的兩個焦點，過 F1 的直線與橢圓交于MN 兩點，則厶 MNF 的周長為 () A .8圓169B. 16C. 25D. 323.橢圓2 X2 y1 上一點P 到一個焦點的距離為P 到另個焦點的距離為 (5，則259一A.5B.6C.4D.102y24.已知橢圓方程為X1,那么它的焦距

16、是()2011A.6B.3C.3.31D.315.如果方程 x2 *ky22 表示焦點在y 軸上的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是A.(0, +8)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)6 . 設 F1,F2為定點， | A. F1 F2|=6，動點M 滿足| MF1| MF 2 | 6，則動點 M 的軌跡是 (橢圓B.直線C.圓 D.線段7.已知方程22y 軸上的橢圓，貝 U m 的取值范圍為X +_ |m| 1 2表示焦點在匚=1,m58.已知橢圓的兩個焦點坐標是Fi (-2 ，-), 則橢圓標準方程是0) ， F2(2，0) ，并且經過點 P (上,2229.過點 A( -1，-2

17、) 且與橢圓y_1 的兩個焦點相同的橢圓標準方程是_ 9_10.過點P( <3,-2), Q( -2, 1) 兩點的橢圓標準方程是 _*11.2 2 .的離心率是丄，則 k 的值等于若橢圓 匕 1k 892-x2212. 已知 ABC 的頂點 B C 在橢圓 y + y =1 上，頂點 A 是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC 的周長是P 在橢圓上，POF 是面積為 .3 的正三角形，則 b的值是2214. 設 M 是橢圓乙 1 上一點， F1、F2 為焦點 ,F1MF2 6，貝 V S MF! F 2251615. 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A)2(B)(C)(D) ，C(X 2 ,y2 )x22A(X 1 ,yJ B(4, 5' 1則“AF,BF,CF16. 設5是右焦點為的橢圓 25 9上三個不同的點 ,成等差數(shù)列”是“X1 X28 ”的(A ) 充要條件(B ) 必要不充分條件(C ) 充分不必要條件(D ) 既非充分也非必要2 2X-乞 117. 如圖，把橢圓25 16 的長軸 AB 分成 8 等份，過每個分點作