2018版高中數學蘇教版必修5學案：1習題課正弦定理和余弦定理

1、 習題課正弦定理和余弦定理 學習目標1進一步熟練掌握正弦、余弦定理在解各類三角形中的應用 2 提高對正弦、余 弦定理應用范圍的認識.3初步應用正弦、余弦定理解決一些和三角函數、 向量有關的綜合問 題 自主學習 知識點一正弦定理及其變形 a = b = c sin A sin B sin C 2. a = 2Rsin A, b= 2Rsin_B, c= 2Rsin C.（化邊為角） 3. sin A= 2R，sin B= 2R，sin C= 2R.（化角為邊） 知識點二余弦定理及其推論 2 2 2 1.a = b + c 2bccos A, cos A= 2在 ABC 中，c2= a2+ b2?

2、 C 為直角，c2a2+ b2? C 為鈍角；c2a2+ b2? C 為銳角. 知識點三解三角形的幾類問題和解法 已知條件 應用定理 一般解法 一邊和兩角（如 a, B， C） 正弦定理 由 A + B + C= 180 求 A,再由正 弦定理求出 b 與 c 兩邊及其夾角 （如 a, b, C） 余弦定理和正弦定理 由余弦定理求第三邊 C,再由正弦 定理求出第二個角，再由 A+ B+C =180求出第三個角 兩邊和其中一邊 所對的角（如 a, b, B） 正弦定理 由正弦定理求 A,再由 A+B+C = 180。求 C,最后由正弦定理求 c 三邊 a, b, c 余弦定理 先由余弦定理的推論

3、求出兩個角， 再由三角形內角和定理求第三個角 2R. 穴訝穴訝 （邊角互化） 知識點四 三角形內角的函數關系 在厶 ABC 中，邊 a、b、c 所對的角分別為 A、B、C,則有 (1) sin(A + B)= sin C, cos(A + B) = cos C, tan(A+ B) = tan C, A + B C A + B C (2) sin = cos , cos 3 = sin -. 歹題型探究 題型一利用正弦、余弦定理解三角形或求值 n 1 例 1 如圖，在 ABC 中，B= 3，, AB= 8，點 D 在 BC 邊上，且 CD = 2, cos/ ADC =f. 3 7 (1)求

4、sin/ BAD; 求 BD , AC 的長. 解在厶 ADC 中， 1 n 因為 cos/ ADC = 7，/ ADC (0, 3), 4 伍 所以 sin / ADC = 4 7 , 所以 sin / BAD = sin(/ ADC B) =sin / ADC cos B cos / ADC sin B =3 x 11 3= g 7 2 7 2 14 . (2)在厶 ABD 中，由正弦定理得 在厶 ABC 中，由余弦定理得 AC2= AB2+ BC2 2AB BC cos B =82 + 52 2 X 8 X 5 X 49, 所以 AC= 7. 重點突破重點突破 AB sin/ BAD s

5、in / ADB 8X訐 14 4 .3 =3. 反思與感悟 應用正弦、余弦定理解三角形時， 要注意結合題目中的條件， 選擇適當的定理 當題目中出現多個三角形時， 應注意弄清每一個三角形中的邊角關系， 并分析這幾個三角形 中的邊角之間的聯(lián)系 跟蹤訓練 1 如圖，在 ABC 中，已知點 D 在 BC 邊上，AD 丄 AC, sin / BAC = 押，AB = 3 3 2, AD = 3，貝 U BD 的長為 _ A 答案 3 解析 22 / sin/ BAC = sin(90 / BAD)= cos/ BAD =-, 3 在厶 ABD 中，有 BD2= AB2 + AD2 2AB AD cos

6、/BAD = 18 + 9-2 3 2 3 22 = 3. 3 BD = 3. 題型二判斷三角形的形狀 例 2 在厶 ABC 中，b= asin C, c= acos B，試判斷厶 ABC 的形狀. a2+ c2 b2 2 . 2 .2 a + c b 代入 c= acos B,得 c= a 2ac 所以 c2+ b2= a2, 所以 ABC 是以 A 為直角的直角三角形. 又因為 b = asin C,所以 b = a c，所以 b= c, a 所以 ABC 也是等腰三角形. 綜上所述， ABC 是等腰直角三角形. 反思與感悟 (1)判斷三角形形狀時，要靈活應用正弦、余弦定理進行邊角轉化 但

7、究竟是化 邊為角還是化角為邊，應視具體情況而定 (2)常用的幾種轉化形式： 若 cos A= 0,貝 y A= 90 ABC 為直角三角形； 若 cos A0 且 cos B0 且 cos C0，則 ABC 為銳角三角形； 若 sin2A+ sin2B= sin2C,則 C= 90 ABC 為直角三角形； 若 sin A = sin B 或 sin(A B)= 0，貝 U A = B,A ABC 為等腰三角形； 若 sin 2A = sin 2B,則 A= B 或 A+ B= 90, ABC 為等腰三角形或直角三角形 解由余弦定理知 cos B= 2ac 4 跟蹤訓練 2 在厶 ABC 中，c

8、os A= 4,且(a 2) : b : (c+ 2)= 1 : 2 : 3,試判斷三角形的形狀. 5 解 由已知設 a 2= x,貝 U b = 2x, c+ 2= 3x, 所以 a= 2+ x, c= 3x 2, 由余弦定理得 cos A = 4x2+ 3x 2 2 x + 2 2 = 5. 4x(3x 2) 5 解得 x= 4,所以 a= 6, b = 8, c= 10, 所以 a2 + b2= c2,所以三角形為直角三角形 . 題型三正弦、余弦定理與交匯知識點的綜合應用 例 3 在厶 ABC 中，a, b, c 分別是角 A, B, C 的對邊, 3 f f cos B =匚，且 AB

9、 BC= 21. 5 (1)求厶 ABC 的面積; 若 a = 7,求角 C. f f f -f 解 / AB BC= 21,. BA BC= 21. 二 BA BC = |BA| |BC| cos B = accos B= 21. 3 4 ac = 35,T cos B =二，二 sin B = 7 5 5 1 1 4 S- ABC=尹csin B=2 x 35 x 4 =14. T ac= 35, a = 7, c= 5. 由余弦定理得，b2= a2+ c2 2accos B = 32,. b = 4 2. 由正弦定理得，一三=毛. sin C sin B c 54 2 -sin C= b

10、sin B=忑 x 4 = 2. c0, y0，且 x2- xy+ y2= 1，求 x2- y2的最大值與最小值 解 構造 ABC，使 AB= 1, BC= x, AC = y, C= 60 由余弦定理知 AB2= AC2+ BC2-2AC BCcos C, 1 = x2 + y2- xy,即 x, y 滿足已知條件， 2 2 4 2 2 x - y = 3(sin A sin B) 2 =3(1 cos 2A- 1 + cos 2B) =3(cos 2B- cos 2A) 2 =3【COS(240 2A) cos 2 A 2 3 .3 =3( 2cos 2A 2S in 2A) 23s in

11、 (2A+ 60 ). / 0A120 , 602A+ 60300 , 當 2A + 60 = 90 時，x2 y2有最小值一 3 當 2A + 60 = 270 時，x2 y2 有最大值3. 反思與感悟 解答此類題目，我們可以根據條件， 構造三角形，利用正弦、 余弦定理將問題 予以轉化.如本題中將 x2-y2轉化為三角恒等變換及 y = Asin( 3x+的值域的問題. 跟蹤訓練 4 已知 x、y 均為正實數，且 x2 + y2- 3= xy,求 x+ y 的最大值. 解 構造 ABC，角 A, B, C 的對邊分別為 x, y, , C = 60由余弦定理知 x2 + y2- 3 =xy，

12、即 x、y 滿足已知條件. _ j= y =_ V3 =2 sin A= sin B= sin 60 = x= 2sin A, y= 2sin B, x+ y= 2(sin A + sin B) =2sin A + sin(120 一 A)由正弦定理得 x sin A x=竽 sin A, 2 3 y=in B =2(sin A+cos A + gsi n A) 3 1 =2 ,3(亍 sin A + 2cos A) =2 3sin(A + 30. 0A120 , A 當 A = 60時，x+ y 有最大值 23. 尹當堂檢測 1在鈍角厶 ABC 中，a= 1, b = 2,則最大邊 c 的取

13、值范圍是 _ . 答案 5a2+ b2= 1 + 4 = 5,即 c .瓦 又因 c a+ b= 1 + 2= 3,所以 c 3. 2在 ABC 中，若 c= 2acos B，則 ABC 的形狀一定是 _ 三角形. 答案等腰 解析 / c= 2acos B，由正弦定理得 2cos Bs in A = sin C = si n(A+ B), A sin Acos B cos Asin B= 0, 即 sin(A B)= 0, 又.一 n B n, A A B= 0 ,A A= B. ABC 是等腰三角形. 3.已知 ABC 的三邊長分別為 AB = 7, BC= 5, AC= 6.則 AB BC

14、 的值為 _ 答案 -19 解析由余弦定理的推論知: 所以 AB BC = |AB| |BC| cos-ft) =7x 5X ( 3!)= 19. x/3 c 4. 在 ABC 中，B = 60 a= 1, SBC=，則一 2 sin C 答案 2 A c= 2,自查自自查自糾糾cos B = AB2+ BC2- AC2 2AB BC 19 35. 解析 ABC= acsin B= 1 c 于 2 2 2 1 b2= a2 + c2 2accos B = 1 + 4 2 1 ( () )=3, - c b 3 -b = 3， = = 2. u sin C sin B 電 2 a b c 5. 在 ABC 中，若-O-T=二 77 =二 TC，則 ABC 是 cos A cos B cos C - 答案等邊 a b 解析 / = , sin Acos B sin Bcos A = 0, cos A cos B si n(A B)= 0, / A, B (0, n, A B ( n, n ) - A B= 0 , A= B. 同理 B = C,. A= B= C, ABC 為等邊三角形. 課堂那結 - 1 1判斷三角形的形狀是看該三角形是否為某些特殊的三角形 （如銳角