2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-1學(xué)案：3.3.1單調(diào)性

1、3. 3.1 單調(diào)性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1結(jié)合實(shí)例，直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證明一些簡(jiǎn)單的不等式.3 會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.IT問(wèn)題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系 思考 i 觀察下列各圖，完成表格內(nèi)容函數(shù)及其圖象切線斜率 k 正負(fù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)單調(diào)性0丿 71 2 3；正1 ,)上單調(diào)尸尹5-3 -2 -1y. y i 2 xR 上單調(diào)尸罰嚴(yán)a負(fù)(0,)上單調(diào)-1-2，0T心L-2 -1、1dOIX(0,)上單調(diào)( g,0)上單調(diào)第3章導(dǎo)數(shù)及苴應(yīng)用 33導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用思考 2 依據(jù)上述分析，可得出什么結(jié)論?梳理導(dǎo)數(shù)值切線的斜率傾

2、斜角曲線的變化趨勢(shì)函數(shù)的單調(diào)性00角單調(diào)0，函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為增函數(shù);(4)解不等式 f (x)0)的單調(diào)性.引申探究若將本例改為 f(x) = ax2 In x(a R)呢？反思與感悟(1)在判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來(lái)確定f (x)的符號(hào)，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.(2)分類討論是把整個(gè)問(wèn)題劃分為若干個(gè)局部問(wèn)題，在每一個(gè)局部問(wèn)題中，原先的不確定因素就變成了確定性因素，當(dāng)這些局部問(wèn)題都解決了，整個(gè)問(wèn)題就解決了.跟蹤訓(xùn)練 2 已知函數(shù) f(x)= 4x3+ 3tx2 6t2x+ t 1，其中 x R, t R.當(dāng) t 工 0 時(shí)，求 f(x)的

3、單 調(diào)區(qū)間.類型二 證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題反思與感悟關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題：(1) 首先考慮函數(shù)的定義域，所有函數(shù)性質(zhì)的研究必須保證在定義域內(nèi)這個(gè)前提下進(jìn)行.(2) f (x)(或 (或w)0.跟蹤訓(xùn)練 3 證明：函數(shù) f(x)=血在區(qū)間(0, e)上是增函數(shù).x類型三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍2a例 4 已知函數(shù) f(x) = x2+-(XM0，常數(shù) a R).若函數(shù) f(x)在 x 2 ,+ )上單調(diào)遞增，求 ax的取值范圍.反思與感悟已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，一般地，函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 上單調(diào)遞增(或減)，轉(zhuǎn)化為不等式f(x)

4、 0(f (x)w0)在區(qū) 間 I 上恒成立，再用有關(guān)方法可求出參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練 4 已知函數(shù) f(x)= 3-3 lax2- (a + 1)x+ 2 在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.例 3 證明：函數(shù) f(x)=卻區(qū)間2,X幺n上單調(diào)遞減.甌當(dāng)堂訓(xùn)練1.關(guān)于函數(shù) f(x)= 1 X sin X,下列說(shuō)法正確的是 _ .(填序號(hào))1在(0,2n上是增函數(shù)；2在(0,2n上是減函數(shù)；3在(o,n上是增函數(shù)，在(n2n上是減函數(shù)；4在(0,n上是減函數(shù)，在(n2n上是增函數(shù).2 .設(shè)函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y= f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是3.

5、函數(shù) f(x)= In x ax(a0)的單調(diào)增區(qū)間為 _ .4 .若函數(shù) y= x3 ax2+ 4 在(0,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為5.求函數(shù) f(x)= (x k)ex的單調(diào)區(qū)間.規(guī)律與方法1.導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間 或某點(diǎn)附近變化的快慢程度.2 .利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù) f(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f(x)；在函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)解不等式 f (x)0 和f (x)0，則 f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；2如果 f (x) 銳上升遞增 0,解 f (x)0，得 ;3V3 由 x0,解

6、f (x)0, (x 2)20.由 f (x)0，得 x3,所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+a)；由 f (x)0，得 x0 ,函數(shù) f(x)在區(qū)間(0, +)上為增函數(shù);當(dāng) a0 時(shí)，由 g(x)= 0,得 x=亠歲或 x=亠歲(舍去).當(dāng) x (0,亠尋)時(shí)，g(x)0 , 即 f (x)0 , 即 f (x)0.所以當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,)上為減函數(shù)，在區(qū)間(亠尹,綜上，當(dāng) a= 0 時(shí)，函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+8);當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(一尋，+8)，單調(diào)減區(qū)間是(0, 引申探究f (x)= 2ax1=2ax-x x當(dāng) a0

7、 時(shí)，且 x (0, +8), f (x)0 時(shí)，令 f (x)= 0, f(x)為減函數(shù);+8)上為增函數(shù).2aV).解得 x=右拿或一72a2a(舍去).當(dāng) x (0,2a2a)時(shí)，f(x)0 , f(x)為增函數(shù).綜上所述，當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，在(負(fù)+m)上為增函數(shù).跟蹤訓(xùn)練 2 解 f (x) = 12x2+ 6tx- 6t2=6(x+ t)(2x-1),令 f (x)= 0，得 Xi= t, X2=2當(dāng) t0, x (2, t)時(shí)，f (x)0,此時(shí) f(x)為增函數(shù)，同理當(dāng) x (1,+R)時(shí)，f(x)也為增函數(shù). 當(dāng) t0, x ( t,2時(shí)，f (x)

8、0，此時(shí) f(x)為增函數(shù)， 當(dāng) t0 時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(一R,t), g, + R),f(x)的減區(qū)間為(t, 5.綜上所述，當(dāng) t0 時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(R,t), (；+R)，單調(diào)減區(qū)間是(一 t,土).xcos x- sin x例 3 證明 f (x)=2x當(dāng) x(詈，+m)時(shí)，f (x)0.又 x g, n，貝Ucos x0, / xcos x sin x0 , f（x）o, f（x）在層n上是減函數(shù).1 In x2x又 0 xe, In x0,故 f(x)在區(qū)間(0, e)上是增函數(shù).x3a 2 a例 4 解 f (x)= 2x電=2.x x要使 f(x)在2 , +

9、 s)上單調(diào)遞增，則 f (x) 0 在 x 2 , +s)時(shí)恒成立，32 a 即一 l 0 在 x2,+s)時(shí)恒成立.23-x0,2 a0, aw2x3在 x 2,+s)時(shí)恒成立. a 0(x2,+s),有且只有 f(2)=0,入 a 的取值范圍是(一s,16.跟蹤訓(xùn)練 4 解 方法一 f (x)= x2 ax (a + 1),因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，所以 f (x)w0,即卩ax (a + 1)w0,解得 a1.因?yàn)樵?,2上，ax 1 恒成立，所以 a (x 1)max= 1.跟蹤訓(xùn)練 3 證明 f(x)=In x(x) =x In xx所以 a 的取值范圍是1 , +.方法二f(x)= (x+ 1)x (a+ 1),由于函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，所以 f (x)w0,當(dāng) a 2 時(shí)，解得 K x 1.當(dāng) aw2 時(shí)，解得減區(qū)間為a+ 1, 1, 則函數(shù) f(x)不可能在1,2上為減函數(shù)