有限與無(wú)限思想

1、從感性到理性、從具體到抽象談?wù)動(dòng)邢夼c無(wú)限思想導(dǎo)語(yǔ)：有限與無(wú)限思想揭示了變量與常量，有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系.借助有限與無(wú)限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從不變認(rèn)識(shí)變，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從 近似認(rèn)識(shí)精確 .在初等微積分的學(xué)習(xí)中應(yīng)抓住基本概念，突出內(nèi)在的聯(lián)系，貫穿 基本思想方法 .具體說(shuō)來(lái)，以數(shù)列極限為基礎(chǔ)，突出微分、積分及其內(nèi)在聯(lián)系 .極 限、微分、積分概念、極限方法、運(yùn)動(dòng)辯證思想和數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)，貫穿了微積 分的全部?jī)?nèi)容 .從進(jìn)入高二階段學(xué)習(xí)的學(xué)生的認(rèn)知水平上來(lái)看，已開(kāi)始擺脫具體事物的形 式，進(jìn)入抽象、概括、分析、綜合、演繹、歸納等一般化理論思維階段，開(kāi)始向 更高級(jí)的思維辯證思維形式發(fā)展 .

2、其本質(zhì)問(wèn)題是對(duì)無(wú)限的認(rèn)識(shí)， 讓學(xué)生從感 性材料中去感受和體驗(yàn)。 提煉和概括， 逐步上升到理性認(rèn)識(shí)， 感受抽象思維的過(guò) 程和辯證思維的體現(xiàn) .新課標(biāo)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課程“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”.高中數(shù)學(xué)課程的講授應(yīng)注意數(shù)學(xué)概念、 法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)， 由于極限概念本身牽涉到 “無(wú)窮大”、“任意小”、“無(wú)限逼近”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，這些詞語(yǔ)都比較抽象 .因此在 極限的概念教學(xué)過(guò)程中， 我們應(yīng)該注意從實(shí)際問(wèn)題引入將抽象具體化從而使學(xué)生 更好地理解極限 .內(nèi)容：微積分的很多方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題上能夠以簡(jiǎn)馭繁， 尤其在證明不等 式、恒等式及恒等變形；求極值；研究函數(shù)的變化上，可以使解法簡(jiǎn)化，并能使 問(wèn)題

3、的研究更為深入全面 .以下重點(diǎn)闡述不等式的證明中有限與無(wú)限思想：在研究變化過(guò)程變量之間相互制約關(guān)系時(shí)， 更多的是對(duì)不等式的研究， 從某 種意義上來(lái)說(shuō)， 不等式的證明方法多種多樣， 沒(méi)有較為統(tǒng)一的方法， 初等數(shù)學(xué)中 經(jīng)常通過(guò)恒等變形、 數(shù)學(xué)歸納法、 二次型等方法解決， 或運(yùn)用已有的基本不等式 來(lái)證明，往往需要恒等變形，而運(yùn)用微積分的知識(shí)和方法，如函數(shù)單調(diào)性、極值判定法，可以簡(jiǎn)化不等式的證明過(guò)程，降低技巧性例題已知函數(shù)f(x)=ln 1 -x(I)求曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程；3(H)求證：當(dāng) X. (0,1)時(shí)，f(x).2(x，+)；、,x(川)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)=

4、k(x+)對(duì)x (0,1)恒成立，求k的最大值.3分析：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.也考查了轉(zhuǎn)化與化歸及分類討論的思想方法.本題背景是將函數(shù)f (x) =ln 在X = 0附近用多項(xiàng)式近似的問(wèn)題，1 -x題目中涉及到線性近似、3次近似和最佳下界估計(jì)的問(wèn)題.題目敘述簡(jiǎn)潔，設(shè)問(wèn)由 易到難、層次清晰、階梯合理，為不同水平的考生提供了展示的平臺(tái)第(I)問(wèn)通過(guò)學(xué)生熟悉的切線方程問(wèn)題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力在這一問(wèn)中在先求導(dǎo)函數(shù)時(shí)有兩類辦法，一是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)的差再來(lái)求導(dǎo)函數(shù)，二是

5、利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo) 函數(shù)第(U)問(wèn)中的函數(shù)不等式問(wèn)題考查導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力(U)問(wèn)在討論構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性上是有三類辦法，一是通過(guò)整理導(dǎo)數(shù)式說(shuō)明，二是利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)明，三 是利用均值定理來(lái)說(shuō)明第(川)問(wèn)中的最大值問(wèn)題在第(U)問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想 方法，考查推理論證的能力.(川)問(wèn)在新構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的討論上有兩類辦法，一是利用第二問(wèn)的結(jié)論分成兩類和，二是利用最高次項(xiàng)的系數(shù)分成和：k>2;或k>0解：(I)因?yàn)?f (x) =1 n(1 - x) -1 n(1 -X)，所以1 1f (x)1 匚，

6、f(0)=2 .1 +x 1 x又因?yàn)閒(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為 y =2x .(U)解法1：3令g(x) =f(x) _2(x 尋)，則22x4g(x) =f (x) 2(1 x2) =2 -1 -x因?yàn)間(x) .0 (0 ：x ：1)，所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.所以 g(x) g(0) =0, x. (0,1),3即當(dāng) x (0,1)時(shí)，f(x) 2(x ).3解法2:3 x令 g(x) =f(x) 2(x )，則2而2 2(1 _x2) _4， 0 x : 1 .1 -x則 g (x)0， 0 ： x ： 1 .所以 g(x) .

7、g(0) =0，x. (0,1).3 即當(dāng) x(0,1)時(shí)，f(x) 2(x 上).3解法3:3x令g(x) =f(x) -2(x )，則2 2 2 g (x) =f (x) -2(1 x )=2 -2(1 x ).1 -x4 x1因?yàn)?g"(x) = _x-4x=4x .|-n>0，OcxT.(1-x),1-x) 一所以g (x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，g (0)=0.所以g (x) g (0) =0， 0 x =： 1.所以g(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增. 所以 g(x) g(0) =0， x (0,1).3x即當(dāng) x(0,1)時(shí)，f(x)A2 (x+ ).3解法4:3設(shè)

8、g(x) =2(x x_).因?yàn)?f (x)=0，g (X) =2(1 X2) 0，X (0,1).1 -x所以函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.又 f (x) -g (x)=2x41 - x2則 f (x) g(x) , x (0,1).所以f (x)比g(x)在(0,1)上增長(zhǎng)得快.又因?yàn)?f(0) =g(0) =0,3即當(dāng) x (0,1)時(shí)，f(x) 2(x 乂).33x(川)由(U)知，當(dāng) k < 2 時(shí)，f(x).k(x，)對(duì) X. (0,1)恒成立.33當(dāng) k 2 時(shí)，令 h(x) = f (x) -k(x -)，則34h(X)二 f (x) k(1 x2)二

9、空.1 _x2所以當(dāng)0 ：xk二2時(shí)，h(x) <0，因此h(x)在區(qū)間(0, 4 *二2)上單調(diào)遞減.3當(dāng) 0 ex時(shí)，h(x)ch(0)=0，即 f (x)vk(x+Z). k33所以當(dāng)k 2w，f(x) k(x x3)并非對(duì)xw恒成立.綜上可知，k的最大值為2.小結(jié)：本題學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤有(1) 表述不準(zhǔn)確，如(0,1)時(shí)，g(x) g(00.(2) 邏輯推斷錯(cuò)誤，如：因?yàn)?h(0)=0，所以 h(x) 0，x (0,1)等價(jià)于 h (x)0，x (0,1)；f (x)g(x)，X(0,1)等價(jià)于 f(x)ming(X)， X(0,1)；f (x)g(x)，X(0,1)等價(jià)于 f(x

10、)ming(X)max論證不充分，如因?yàn)閔(x) 0，x(0,1)且h(0)=0，所以h(0)0.通過(guò)本題的學(xué)習(xí)，提醒教學(xué)中需注意的問(wèn)題：(1)強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).要把微積分作為一種重要的思想、方法來(lái)學(xué)習(xí).如經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)的概念，加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)和理解.(2)強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物變化快慢中的一般性和有效性這是對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的一個(gè)具體體現(xiàn)，也是優(yōu)于初等方法的體現(xiàn).以往的教 學(xué)中更多的要求學(xué)生會(huì)按步驟求極大(小)值，最大(小)值，而忽視了導(dǎo)數(shù)作 為一種通法的意義和作用.為了使學(xué)生真切地感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的意義 和作用，尤其是作為通法的一般性和有效性

11、，以及導(dǎo)數(shù)在處理和解決客觀世界變 化率問(wèn)題，最優(yōu)問(wèn)題的廣泛應(yīng)用，可以通過(guò)較豐富的實(shí)際問(wèn)題和優(yōu)化問(wèn)題舉例， 感受和體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在研究事物的變化率、變化快慢以及研究函數(shù)基本性質(zhì)和優(yōu)化問(wèn) 題的廣泛應(yīng)用.(3)強(qiáng)調(diào)幾何直觀在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的作用在教學(xué)中要反復(fù)通過(guò)圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題，通過(guò)圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用.一是加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學(xué)中幾何直觀這一重要數(shù)學(xué)思想方法對(duì) 于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用 練習(xí)題1證明以下不等式：2x求證：ex 1 x 和 ex 1 x . (x 0)2設(shè) f (x)二 ex-1 _x，貝Uf (x)二 ex-

12、1 0,x> 0，所以函數(shù)f (x)遞增，又 f (0) = 0，所以 f(x) =ex -1 - x 0，即 ex 1 x .2xx設(shè)y(x)二ex -1 - x，則y (x) = e T - x，由上面已證得的結(jié)果，2可得y(x) 0.所以函數(shù)y(x)遞增，又y(0) =0，2則 y( x) 0，即 ex 1 x .22.已知函數(shù) f (x)二xcosx-sinx， x 0, n.2(I)求證：f (x) w 0 ;(U)若a :sinx : b對(duì)x三(0, n)恒成立，求a的最大值與b的最小值.x2解：(I)由 f (x) =xcosx _si nx 得f (x) =cosx -

13、xsinx -cosx - -xsinx .因?yàn)樵趨^(qū)間(o n)上f (x)=sin xc0，所以f (x)在區(qū)間0 n上單調(diào)遞減.，2 ，2從而 f(x)w f(0) =0 .()當(dāng)x 0時(shí)，“竺 a ”等價(jià)于“ sin x _ax . 0 ”；“竺:：:b ”等價(jià)于xx“ sin x -bx ：0 ”.令 g(x) =sin x _cx，貝U g (x) =cosx - c .當(dāng)c w 0時(shí)，g(x)>>0對(duì)任意x(0,；)恒成立.I 、一，nn當(dāng)c > 1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意 x (0,) , g (x) =cosx-c ： 0，所以g(x)在區(qū)間0,-2 2_ ,、,n上單

14、調(diào)遞減.從而 g(x) ：g(0) =0對(duì)任意(0,)恒成立.2當(dāng)0 : c ：1時(shí)，存在唯一的x0 (0, J使得g(X。) =cosx0 - c = 0 .2g(x)與gx)在區(qū)間(0, n)上的情況如下：2/因?yàn)間(x)在區(qū)間0, x上是增函數(shù)，所以g(x0)g(0)=0 .進(jìn)一步，“g(x) 7對(duì) 任意x (0,)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g() =1 - nc > 0 ,即0 : c w .222n2n綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng) c w -時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x(0,-)恒成立；當(dāng)且僅當(dāng) c> 1n2時(shí)，g(x) c0對(duì)任意x(0, n恒成立.所以，若a <sinx : b對(duì)

15、任意(0, n)恒成立，則a的最大值為-,b的最小值為1 .x2nx23.設(shè)函數(shù) f (x)2 _kln x , k 0 .(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，貝U f (x)在區(qū)間(1, e上僅有一個(gè)零點(diǎn).X2解：(I)由 f (x)klnx (k 0)得2上，k x2 _kf (x) =x -X xf(x)與f (x)在區(qū)間(0, ：)上的情況如下:/所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,.k)，單調(diào)遞增區(qū)間是;f(x)在*= ,；k處取得極小值f(. k) = g 也衛(wèi).2(n)由(I)知，f(x)在區(qū)間(0,；)上的最小值為f(.ik)= k(1-|nk)

16、.2因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以k(1nk) < 0 ,從而k > e .2當(dāng)k =e時(shí)，f (x)在區(qū)間(1, ,e)上單調(diào)遞減，且 f(.e)=0 ,所以x-応是f(x)在區(qū)間(1, J6上的唯一零點(diǎn).當(dāng)k e時(shí)，f (x)在區(qū)間(0, . e)上單調(diào)遞減，且 f(1)J 0 ,2e - kf( e)0,2所以f (x)在區(qū)間(1, e上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f (x)存在零點(diǎn)，則f (x)在區(qū)間(1, . e上僅有一個(gè)零點(diǎn). ln x4設(shè)L為曲線C: y二怛在點(diǎn)(1,0)處的切線.x(I)求L的方程；(n)證明：除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線L的下方.In x 1 Tn x解：(I)設(shè) f (x)，貝U f (x).xx所以f=1.所以L的方程為y =x_1 .(n)令g(x) =x _1 _ f (x)，則除切點(diǎn)之外，曲線