數(shù)值分析幾十個(gè)程序

1、第一題 關(guān)于舍入誤差累計(jì)的效果模擬。x*是在（0，1）上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，對(duì)x*取5位有效數(shù)字得到x,將產(chǎn)生的k（比如取為10000）個(gè)x*（x）相加得到X*（X），研究X*-X的分布情況以及X*-X和k的關(guān)系。將得到的結(jié)果用圖形表示出來。k=1;kk=ones(1,1000);xc=ones(1,1000);while k<=1000r=rand(1,k);v=vpa(r,5);x0=sum(r);x1=sum(v);cha=x0-x1;xc(k)=cha;kk(k)=k;k=k+1;end;plot(kk,xc,'rh') 可以看出隨著處理的數(shù)據(jù)的增大誤

2、差也越來越大，但是還分布在橫軸的兩側(cè)第二題 研究產(chǎn)生各種特定矩陣的方法（階數(shù)在10-100），比如對(duì)稱陣，三對(duì)角陣，正定矩陣，正交陣，對(duì)角占優(yōu)矩陣，說明如何生成。（1）生成對(duì)稱矩陣k=10;a=rand(10,10);for i=1:k %先生成一個(gè)下三角矩陣; for j=1:k if j>i a(i,j)=0; end; end;end;aa=a' %加上他本身的轉(zhuǎn)置;g=a+aag = 1.9760 0.0377 0.8852 0.9133 0.7962 0.0987 0.2619 0.3354 0.6797 0.1366 0.0377 0.2135 0.6538 0.49

3、42 0.7791 0.7150 0.9037 0.8909 0.3342 0.6987 0.8852 0.6538 1.4881 0.5000 0.4799 0.9047 0.6099 0.6177 0.8594 0.8055 0.9133 0.4942 0.5000 1.7730 0.0287 0.4899 0.1679 0.9787 0.7127 0.5005 0.7962 0.7791 0.4799 0.0287 0.1429 0.5216 0.0967 0.8181 0.8175 0.7224 0.0987 0.7150 0.9047 0.4899 0.5216 1.6007 0.4

4、538 0.4324 0.8253 0.0835 0.2619 0.9037 0.6099 0.1679 0.0967 0.4538 0.7985 0.5269 0.4168 0.6569 0.3354 0.8909 0.6177 0.9787 0.8181 0.4324 0.5269 0.7448 0.1981 0.4897 0.6797 0.3342 0.8594 0.7127 0.8175 0.8253 0.4168 0.1981 1.8855 0.4177 0.1366 0.6987 0.8055 0.5005 0.7224 0.0835 0.6569 0.4897 0.4177 1.

5、9982（2）三對(duì)角矩陣k=zeros(5,5);a=rand(1,5);b=rand(1,4);c=rand(1,4);a=diag(a);b=diag(b);c=diag(c);k(1:4,2:5)=c;aa=k; %將得到的結(jié)果賦值給其他變量 因?yàn)榇藭r(shí)的K已經(jīng)不是以前的了必須再次初始化 才能不會(huì)影響以后的操作（如下一步）k=zeros(5,5);k(2:5,1:4)=b;bb=k;aa+bb+a %將上述的三個(gè)矩陣復(fù)合得到三對(duì)角;ans = 0.5005 0.8175 0 0 0 0.0714 0.4711 0.7224 0 0 0 0.5216 0.0596 0.1499 0 0 0

6、0.0967 0.6820 0.6596 0 0 0 0.8181 0.0424也是三對(duì)角k=6;a=zeros(6,6);a(1,1:2)=rand(1,2);a(6,5:6)=rand(1,2);i=2; %i不能忘了初始化while i>1&i<6a(i,(i-1):(i+1)=rand(1,3);i=i+1;end;aa = 0.1389 0.6963 0 0 0 0 0.5303 0.8611 0.4849 0 0 0 0 0.3935 0.6714 0.7413 0 0 0 0 0.5201 0.3477 0.1500 0 0 0 0 0.5861 0.2621

7、 0.0445 0 0 0 0 0.0938 0.5254（3）正定矩陣a=rand(5,5);b=a'c=a*b c = 0.3505 0.6554 0.6104 0.5783 0.7651 0.6554 1.6287 1.4020 0.9147 1.5272 0.6104 1.4020 1.4758 1.1823 1.7376 0.5783 0.9147 1.1823 1.4337 1.7436 0.7651 1.5272 1.7376 1.7436 2.3737矩陣的轉(zhuǎn)置和他本身的乘積是正定的（4）正交矩陣 隨機(jī)生成一個(gè)方陣，然后利用schmidt正交化對(duì)列向量進(jìn)行正交化單位化得

8、到一個(gè)正交矩陣；a=rand(5,5);a=vpa(a,7);b=zeros(5,5);b(:,1)=a(:,1);for i=2:5sum=zeros(5,1); for j=1:(i-1) sum=sum+(dot(a(:,i),b(:,j)/dot(b(:,j),b(:,j)*b(:,j); end; b(:,i)=a(:,i)-sum;end; %完成對(duì)矩陣的正交化schmidt;for k=1:5b(:,k)=b(:,k)/sqrt(dot(b(:,k),b(:,k); end; %完成對(duì)矩陣的單位化;b=vpa(b,7)b*b' b = 0.4662487, -0.5697

9、477, 0.4464938, 0.5031049, 0.07435341 0.4330088, 0.5708757, -0.2023893, 0.4915742, -0.451661 0.6966242, -0.2311083, -0.434368, -0.5221337, 0.002112758 0.2120276, 0.3050953, 0.7502452, -0.4773735, -0.266848 0.2547048, 0.4505489, 0.09021349, 0.06878292, 0.8480929 ans = 1.000000000000000658769429433138

10、, 0.00000000000000020501909475855146103181737845679, -0.00000000000000021440423350092585100221961008361, 0.0000000000000005427542082813480164677324711907, -0.00000000000000011700162166438432633834107099474 0.00000000000000020501909475855146103181737845679, 1.0000000000000003207231381623452, 0.000000

11、00000000058082238049994760442870183594865, -0.00000000000000073536380504684284367618389622692, 0.00000000000000040560052001944880242963606302516 -0.00000000000000021440423350092585100221961008361, 0.00000000000000058082238049994760442870183594865, 1.0000000000000016447931562774053, 0.000000000000000

12、63268757033543168173701894986961, -0.00000000000000013226852520735450182808565768223 0.0000000000000005427542082813480164677324711907, -0.00000000000000073536380504684284367618389622692, 0.00000000000000063268757033543168173701894986961, 0.99999999999999936362009174092183, 0.000000000000000255697544

13、97442931226184064248466 -0.00000000000000011700162166438432633834107099474, 0.00000000000000040560052001944880242963606302516, -0.00000000000000013226852520735450182808565768223, 0.00000000000000025569754497442931226184064248466, 0.99999999999999902311091880723728（5）對(duì)角占優(yōu)矩陣隨機(jī)生成一個(gè)矩陣，將每行的元素求和然后復(fù)賦值給對(duì)角元素

14、，得到對(duì)角占優(yōu)矩陣；a=4*rand(10,10);for i=1:6a(i,i)=sum(abs(a(i,1:6); %對(duì)角占優(yōu)矩陣式對(duì)角線元素的絕對(duì)值之和大于其他元素的絕對(duì)值之和，所以這里取了絕對(duì)值;endaa = 12.3828 1.3800 0.2741 3.0666 3.6312 1.7501 0.9074 2.7388 0.3920 2.7565 1.3859 8.8416 0.8722 0.0873 3.8983 1.2834 1.7841 1.7724 0.9827 2.8715 2.2300 3.7099 12.0057 1.5724 0.4795 0.5362 1.0649

15、 1.7427 2.4629 2.2361 1.1991 3.0243 1.6569 9.5047 2.0759 0.5383 1.8364 3.1721 1.2198 2.1334 0.6363 1.1530 2.6448 0.8169 11.7626 3.2238 1.7316 3.2622 3.0679 3.5029 2.6610 2.4247 3.1339 2.6491 2.5481 15.5160 1.0385 3.0085 1.0689 1.5724 2.7368 3.0641 0.9915 3.6590 3.8156 3.7770 0.5349 3.1570 0.1580 1.8

16、323 3.1696 3.3846 2.2177 0.0276 3.7877 3.9534 1.6769 2.0051 1.1862 0.8330 1.3945 3.6079 0.9183 2.9857 3.8664 1.6396 2.0274 2.2207 2.2255 3.02911.0003 2.3828 0.0277 3.1987 0.2694 1.4848 1.2973 2.5230 3.8763 2.1868下面也是三對(duì)角占優(yōu)k=6;a=zeros(6,6);a(1,1:2)=rand(1,2);a(6,5:6)=rand(1,2);i=2; %i不能忘了初始化哦親while i&

17、gt;1&i<6a(i,(i-1):(i+1)=rand(1,3);i=i+1;end;for i=1:6 a(i,i)=sum(a(i,:);end; %在三對(duì)角矩陣的基礎(chǔ)上將每一行的數(shù)相加然后復(fù)制給對(duì)角元素 則得到的矩陣式對(duì)角占優(yōu)的;aa = 1.0292 0.8620 0 0 0 0 0.8843 1.6271 0.1548 0 0 0 0 0.1999 1.3555 0.7487 0 0 0 0 0.8256 1.9341 0.3185 0 0 0 0 0.5341 0.7357 0.1117 0 0 0 0 0.9899 1.5043第三題 比較高斯消去法和帶有列主元的

18、高斯消去法的效果。要求構(gòu)造一些方程組，方程組的精確解已知，用上面兩種方法分別求解，說明選主元的效果。高斯消去法 A=1 2 3 1;2 7 5 6;1 4 9 -3; %增廣矩陣;x=zeros(1,3);m,n=size(A);for i=1:(m-1) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去;end endA;x(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代 未知數(shù)的最后一個(gè)分量單獨(dú)計(jì)算出其他的如下;for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i);

19、 end xx = 2 1 -1 高斯列主元法A=1 2 3 1;2 7 5 6;1 4 9 -3; %增廣矩陣;m,n=size(A);for i=1:(m-1) temp=max(abs(A(i:m,i); %當(dāng)前處理的矩陣的第一列的絕對(duì)值最大的元素; a,b=find(abs(A(i:m,i)=temp); %找到最大元素所在的位置; tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo; %交換兩行;for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去; end A;endx

20、(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代;for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end xA = 2 7 5 6 0 -3/2 1/2 -2 0 1/2 13/2 -6 A = 2 7 5 6 0 -3/2 1/2 -2 0 0 20/3 -20/3 x = 2 1 -1 下面構(gòu)造一些已知解的矩陣，然后分別用以上兩種方法進(jìn)行求解，比較它們運(yùn)行的結(jié)果：高斯消去A=rand(500,500);yizhij=rand(500,1);b=A*yizhij;A=A,b; %增廣矩陣;x=zeros(1,500)

21、;m,n=size(A);for i=1:(m-1) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去;end endA;x(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代 未知數(shù)的最后一個(gè)分量單獨(dú)計(jì)算出其他的如下;for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end dot(x'-yizhij,x'-yizhij)ans = 4.8354e-020高斯列主元法A=rand(500,500);yizhij=rand(500,1);b=A*yiz

22、hij;A=A,b; %增廣矩陣; m,n=size(A);for i=1:(m-1) temp=max(abs(A(i:m,i); %當(dāng)前處理的矩陣的第一列的絕對(duì)值最大的元素; a,b=find(abs(A(i:m,i)=temp); %找到最大元素所在的位置; tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo; %交換兩行;for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去; end A;endx(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代;for i=(m-1):-1:1

23、 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end dot(x'-yizhij,x'-yizhij)ans = 6.1236e-023可以看出運(yùn)用高斯列主元法求解比高斯消去法更加精確。第四題采用緊湊格式實(shí)現(xiàn)矩陣的LU分解，并使用這個(gè)方法求解線性方程組。A=2 4 2 6;4 9 6 15;2 6 9 18;6 15 18 40;N = size(A);n = N(1);L = zeros(4,4);U = eye(4,4); %U的對(duì)角元素為1;L(1:4,1) = A(1:4,1); %L的第一列;U(1,1:4) = A(

24、1,1:4)/L(1,1); %U的第一行;for k=2:4 for i=k:4 L(i,k) = A(i,k)-L(i,1:(k-1)*U(1:(k-1),k); %L的第k列; end for j=(k+1):4 U(k,j) = (A(k,j)-L(k,1:(k-1)*U(1:(k-1),j)/L(k,k); %U的第k行; endendLUb=9 23 22 47'y = inv(L)*b;x = inv(U)*y %求解方程;L = 2 0 0 0 4 1 0 0 2 2 3 0 6 3 6 1 U = 1 2 1 3 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 x =

25、 1/2 2 3 -1 第五題 設(shè)計(jì)對(duì)稱正定線性方程組，使用平方根法計(jì)算方程組的解。A=2 4 2 6;4 9 6 15;2 6 9 18;6 15 18 40;b=9 23 22 47'n=length(b);%方程個(gè)數(shù)nL=zeros(n,n);L(1,1)=sqrt(A(1,1);L(2:n,1)=A(2:n,1)/L(1,1);for j=2:n-1 L(j,j)=sqrt(A(j,j)-sum(L(j,1:j-1).2); for i=j+1:n L(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*L(j,1:j-1)/L(j,j); endendL(n,n)=sq

26、rt(A(n,n)-sum(L(n,1:n-1).2);L y = inv(L)*b;x = inv(L')*y %求解方程;L = 1393/985 0 0 0 3363/1189 1 0 0 1393/985 2 1351/780 0 4756/1121 3 1351/390 1 x = 1/2 2 3 -1 第六題 追趕法求解三對(duì)角線性方程組三對(duì)角線性方程組的追趕法編程，使得算法計(jì)算次數(shù)達(dá)到最小。a=2.0 -1 0 0 0 ;-1 2 -1 0 0;0 -1 2 -1 0;0 0 -1 2 -1;0 0 0 -1 2;b=1 0 0 0 0;y=zeros(1,5);x=zer

27、os(1,5);L=zeros(5,5);U=zeros(5,5);U(1,2)=a(1,2)/a(1,1);for i=2:4 %利用書上給出的步驟編寫; U(i,(i+1)=a(i,(i+1)/(a(i,i)-a(i,(i-1)*U(i-1),i);end;y(1)=b(1)/a(1,1);for i=2:5 y(i)=(b(i)-a(i,(i-1)*y(i-1)/(a(i,i)-a(i,(i-1)*U(i-1),i);end;x(5)=y(5);i=4;while i>=1 x(i)=y(i)-U(i,(i+1)*x(i+1); i=i-1;end;yx=vpa(x,4)y = 1

28、/2 1/3 1/4 1/5 1/6 x = 0.8333, 0.6667, 0.5, 0.3333, 0.1667第七題 調(diào)用Matlab的cond()函數(shù)分析隨機(jī)生成的非奇異陣的的階數(shù)和條件數(shù)之間的關(guān)系i=11;kk=zeros(1,90);con=zeros(1,90);while i<=100 kk(i-10)=i; k=1; chengji=1; while k<=50 a=rand(i,i); %生成i階的方陣，對(duì)么一個(gè)方陣作50次的求解條件數(shù)的運(yùn)算，最后求取平均值; c=cond(a); chengji=chengji*c; %把每次一運(yùn)行出來的結(jié)果乘在一起，最后取幾

29、何平均數(shù); k=k+1; end; c=chengji.(1/50); con(i-10)=c; i=i+1;end;plot(kk,con,'rh')hold on;p=polyfit(kk,con,2);con=polyval(p,kk);plot(kk,con)可以看出隨著非奇異矩陣階數(shù)的不斷增大條件數(shù)呈現(xiàn)多項(xiàng)式函數(shù)增大第八題 編寫線性方程組的Jacobi方法和高斯賽德爾迭代法的程序。使用圖形反映譜半徑和殘差之間的關(guān)系。Jacobi方法高斯賽德爾迭代法A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;n=max(size(

30、A);for i=1:n if A(i,i)=0 '對(duì)角元素為0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次數(shù)的初始化;mk=50; %迭代次數(shù)的最大值;r=1;%前后項(xiàng)之差的無窮范數(shù);while k<=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end; %以上是迭代公式的等價(jià)翻譯;r=norm(x

31、-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失敗'else'迭代成功'end;xkans =迭代成功x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 15A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;n=max(size(A);for i=1:n if A(i,i)=0 '對(duì)角元素為0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次數(shù)的初始化;mk=50; %迭代次數(shù)的最大值;r=1;%前后項(xiàng)之差的無窮范數(shù);while k<

32、;=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end; %以上是迭代公式的等價(jià)翻譯;r=norm(x-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失敗'else'迭代成功'end;xkans =迭代成功x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 8其中高斯賽德爾迭代法只是在Jacobi方法在一個(gè)地方的

33、更改。并且可以看出高斯賽德爾迭代法比Jacobi方法收斂更快。第九題 編寫線性方程組的SOR方法的程序，對(duì)一個(gè)給定的矩陣，選擇不同的不同的松弛因子，研究松弛因子和迭代矩陣的譜半徑之間的關(guān)系。w=1w=1.5A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;w=1;n=max(size(A);for i=1:n if A(i,i)=0 '對(duì)角元素為0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次數(shù)的初始化;mk=100; %迭代次數(shù)的最大值;r=1;%前后項(xiàng)之差的無窮范數(shù);while k&l

34、t;=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; x(i)=(1-w)*x0(i)+w/A(i,i)*(b(i)-sum); end; %以上是迭代公式的等價(jià)翻譯;r=norm(x-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失敗'else'迭代成功'end;wxkans =迭代成功w = 1x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 8A=8 -3

35、 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;w=1.5;n=max(size(A);for i=1:n if A(i,i)=0 '對(duì)角元素為0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次數(shù)的初始化;mk=100; %迭代次數(shù)的最大值;r=1;%前后項(xiàng)之差的無窮范數(shù);while k<=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0

36、(j); end; x(i)=(1-w)*x0(i)+w/A(i,i)*(b(i)-sum); end; %以上是迭代公式的等價(jià)翻譯;r=norm(x-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失敗'else'迭代成功'end;wxkans =迭代成功w = 1.5000x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 51松弛因子和迭代矩陣的譜半徑之間的關(guān)系A(chǔ)=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;for i=1:3 for j=1:3 if j>=i A(i,j)=0; end; end;end;L=A;A=8 -3

37、2;4 11 -1;6 3 12;for i=1:3 for j=1:3 if j<=i A(i,j)=0; end; end;end;U=A;A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;D=A-L-U;L,D,U,pbj=zeros(1,199);kk=zeros(1,199);w=0.01;k=1; %這里用K是為了防止下面出現(xiàn)錯(cuò)誤;while w<2 B=inv(D+w*L)*(1-w)*D-w*U); p=vrho(B); pbj(k)=p; %記錄下譜半徑; kk(k)=w; %記錄下松弛因子; k=k+1; w=w+0.01;end;plot(kk,pbj,'

38、;rh') %畫圖; hold on;p=polyfit(kk,pbj,2)pbj=polyval(p,kk);plot(kk,pbj,'b') %畫圖;為什么1.5的哪個(gè)位置是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)呢第十題 編寫線性方程組的最速下降法的程序，并研究對(duì)于給定的矩陣A（給定特征值），設(shè)定矩陣A的所有特征值，研究殘差的范數(shù)和迭代次數(shù)k之間的關(guān)系，說明最速下降法的缺點(diǎn)在哪里。同時(shí)研究特征值的變化是否影響迭代收斂的速度。最速下降法求解線性方程組的程序和運(yùn)行結(jié)果如下:e=0.0000001; %給定誤差限;A=4 -1 2;-1 5 3;2 3 6;b=12;10;18;x=1;1;1;k=

39、1; %初始化，是用來統(tǒng)計(jì)迭代次數(shù)的;r=b-A*x; %初始化r，并用于第一次的判斷“while norm(r)>e”;while norm(r)>er=b-A*x;arf=dot(r,r)/dot(A*r,r); %步長的計(jì)算公式;y=x+arf*r; %得到下一個(gè)迭代點(diǎn);r=b-A*y; %得到新的剩余向量;x=y; k=k+1; %得帶次數(shù)加1;end;k %輸出迭代次數(shù)和最后一次迭代得到的x;xk = 76x = 3.0000 2.0000 1.0000研究殘差的范數(shù)和迭代次數(shù)k之間的關(guān)系(二次擬合的效果)e=0.0000001; %給定誤差限;A=4 -1 2;-1 5

40、 3;2 3 6;b=12;10;18;x=1;1;1;kk=zeros(1,1000);rr=zeros(1,1000);k=1; %初始化，是用來統(tǒng)計(jì)迭代次數(shù)的;r=b-A*x; %初始化r，并用于第一次的判斷“while norm(r)>e”;while norm(r)>er=b-A*x;arf=dot(r,r)/dot(A*r,r); %步長的計(jì)算公式;y=x+arf*r; %得到下一個(gè)迭代點(diǎn);r=b-A*y; %得到新的剩余向量;rr(k)=norm(r);x=y; kk(k)=k;k=k+1; %得帶次數(shù)加1;end;kkk=kk(1,1:k);rr=rr(1,1:k)

41、;p=polyfit(kk,rr,2)rr=polyval(p,kk);plot(kk,rr)k = 76p = 0.0005 -0.0443 0.9259研究殘差的范數(shù)和迭代次數(shù)k之間的關(guān)系(三次擬合的效果)研究殘差的范數(shù)和迭代次數(shù)k之間的關(guān)系(四次擬合的效果)可以看出最速下降法收斂比較慢，事實(shí)上最速下降法只是線性收斂。當(dāng)矩陣的特征值改變后：迭代次數(shù)變?yōu)閗k=48;說明特征值的變化對(duì)收斂速度是有影響的，但是當(dāng)特征值變化不大時(shí)對(duì)收斂速度的影響是比較小的第十一題 使用乘冪法計(jì)算方陣的主特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。特別的要研究矩陣的特征值對(duì)于收斂速度的影響，分下面的情況：（1）主特征值是單根的情況，

42、（2）主特征值是重根的情況，（3）主特征值是共軛根的情況。（1）乘冪法計(jì)算方陣的主特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量A=1 -1 2;-2 0 5;6 -3 6;x0=1;1;1;eps = 1.0e-5;v = x0; M = 5000; m = 0; l = 0; %這是L;for(k=1:M) y = A*v; m = max(y); v = y/m; if(abs(m - l)<eps) %臨近的兩次得到的特征值的差的絕對(duì)值小于誤差限; l = m; s = k; else if(k=M) disp('迭代步數(shù)太多，收斂速度太慢！'); l = m; s = M; end e

43、ndendlvs迭代步數(shù)太多，收斂速度太慢！l = 5.0000v = 0.2778 0.8889 1.0000s = 5000矩陣的特征值對(duì)于收斂速度的影響，分下面的情況：（1）主特征值是單根的情況第十二題 對(duì)稱正定矩陣的加速迭代方法的驗(yàn)證。第十三題 反冪法求矩陣的最小特征值的程序，為簡單起見，選擇矩陣是對(duì)稱正定的。在計(jì)算過程中，一定要使用LU分解的技術(shù)。第十四題 使用Householder方法將對(duì)稱矩陣化成三對(duì)角陣。A=6 2 3 1;2 5 4 8;3 4 9 1;1 8 1 7;B=zeros(m,n);m,n=size(A);i=m-2;k=1;for i=1:im,n=size(A);v1=A(1,2:n)' %依照筆記上的操作，編寫代碼如下;sgm=sqrt(dot(v1,v1);E=eye(n-1,1);v=(v1+sgm*E)./sqrt(dot(v1+sgm*E,v1+sgm*E);p1=eye(n-1)-2*(v*v');p=eye(n);p(2:m,2:n)=p1;A=p'*A*p;B(k:k+1,k:k+1)=A(k:k+1,k:k+1); %這里是為了將每次迭代產(chǎn)生的“A”的前兩行和前兩列