彈性力學(xué)概念

1、力學(xué)：研究彈性體由于受外力，邊界約束或溫度改變等作用而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。彈性力學(xué)的研究對象：為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼等。（是各種彈性體，包括桿件，平面體、空間體、板和殼體等。彈性力學(xué)研究的對象比較廣泛，可以適用于土木、水利、機(jī)械等工程中各種結(jié)構(gòu)的分析。）彈性力學(xué)的任務(wù)在邊界條件下，從平衡微分方程、幾何方程和物理方程求解應(yīng)力、應(yīng)變和位移等未知函數(shù)研究方法已知條件：1物體的幾何形狀，即邊界面方程2物體的材料參數(shù)3所受外力的情況4所受的約束情況。求解的未知函數(shù)：應(yīng)力、應(yīng)變和位移。解法：在彈性體區(qū)域內(nèi)，根據(jù)微分體上力的平衡條件建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上應(yīng)變和位移的幾何條件，

2、建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理?xiàng)l件建立物理方程 彈性體邊界上，根據(jù)面力條件，建立應(yīng)力邊界條件；根據(jù)約束條件建立位移邊界條件 然后在邊界條件下，求解彈性體區(qū)域內(nèi)的微分方程，得出應(yīng)力、形變和位移彈性力學(xué)的基本假設(shè)（即滿足什么樣條件的物體是我們在彈性力學(xué)中要研究的）（1）均勻性假設(shè)即物體是由同一種材料所組成的，在物體內(nèi)任何部分的材料性質(zhì)都是相同的。（用處：物體的彈性參數(shù)，如彈性模量E，不會隨位置坐標(biāo)的變化而變化）（2）連續(xù)性假設(shè)即物體的內(nèi)部被連續(xù)的介質(zhì)所充滿，沒有任何孔隙存在。（用處：彈性體的所用物理量均可用連續(xù)的函數(shù)去表示）（3）完全彈性假設(shè)即當(dāng)我們撤掉作用于物體的外力后，物體可以恢復(fù)到原

3、狀，沒有任何的殘余變形；應(yīng)力（激勵）與應(yīng)變（響應(yīng)）之間呈正比關(guān)系。（用處：可以使用線性虎克定律來表示應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）（4）各向同性假設(shè)即物體內(nèi)任意一點(diǎn)處，在各個方向都表現(xiàn)出相同的材料性質(zhì)。（用處：物體的彈性參數(shù)可以取為常數(shù)）（5）小變形假設(shè)即在外力的作用下，物體所產(chǎn)生的位移和形變都是微小的。（用處：可以在某些方程的推導(dǎo)中略去位移和形變的高階微量。即簡化幾何方程，簡化平衡微分方程） 上述這些假定，確定了彈性力學(xué)的研究范疇：研究理想彈性體的小變形狀態(tài)外力是其他物體作用于研究對象的力（分為體力和面力）體力是作用于物體體積內(nèi)的外力（如重力和慣性力） 面力是作用于物體表面上的外力（如液體壓力和接觸力）

4、內(nèi)力假想將物體截開，則截面兩邊有互相作用的力，稱為內(nèi)力切應(yīng)力互等定理作用于兩個互相垂直面上，并且垂直于該兩面交線的切應(yīng)力是互等的（大小等正負(fù)號相同）形變就是物體形狀的改變。在彈性力學(xué)中，通過任一點(diǎn)作3個沿正坐標(biāo)方向的微分線段，并以這些微分線段的應(yīng)變來表示該點(diǎn)的形變所謂位移就是位置的移動 應(yīng)力單位截面積上的內(nèi)力成為平面應(yīng)力問題條件1等厚度薄板2面力只作用于板邊，其方向平行與中面（xOy面），且沿厚度（z向）不變3體力作用于體積內(nèi)，其方向平行于中面，且沿厚度不變4約束只作用于板邊，其方向平行于中面，且沿厚度不變歸納起來講，所謂平面應(yīng)力的問題，就是只有平面應(yīng)力分量存在，且僅為x，y的函數(shù)的彈性力學(xué)問

5、題成為平面應(yīng)變問題條件1常截面長住體2面力作用于柱面上，其方向平行于橫截面，且沿長度方向不變3體力作用于體積內(nèi)，其方向平行于橫截面，且沿長度方向不變4約束作用于柱面上，其方向平行于橫截面，且沿長度方向不變歸納起來講，所謂平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量存在，且僅為x，y的函數(shù)問題平衡微分方程表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）的微分體的平衡條件 平衡問題中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)1求斜面應(yīng)力分量（Px，Py）2由斜面應(yīng)力分量求斜面上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力 3求一點(diǎn)的主應(yīng)力及應(yīng)力方向4求一點(diǎn)的最大和最小的正應(yīng)力和切應(yīng)力幾彈性何方程表示任一點(diǎn)的微分線段上，形變分量與位移分量之間的關(guān)系式形變與位移的關(guān)系1如果物體的位移確定

6、，則形變完全確定2當(dāng)物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。可分為：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件位移邊界條件實(shí)質(zhì)上是變形連續(xù)條件在約束邊界上的表達(dá)式應(yīng)力分量和正的面力分量的正負(fù)號規(guī)定不同在正坐標(biāo)面上，應(yīng)力分量與面力分量同號；在負(fù)坐標(biāo)面上，應(yīng)力分量與面力分量異號應(yīng)力邊界條件兩種表達(dá)方式：1在邊界點(diǎn)取出一個微分體，考慮其平衡條件2在同一邊界上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對應(yīng)的面力分量（數(shù)值相同，方向一致）圣維南原理如果把物體的一小部分邊界上的面力，變化為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同）那么近處的應(yīng)力分布將有顯著

7、的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì) 特別注意圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界上（又稱局部邊界、小邊界和次要邊界）圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)應(yīng)力邊界條件上應(yīng)用圣維南原理就是在小邊界上將精確的應(yīng)力邊界條件式，代之為靜力等效的主矢量和主矩的條件形變協(xié)調(diào)條件的物理意義1形變協(xié)調(diào)條件是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結(jié)果2形變協(xié)調(diào)條件是形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件應(yīng)力求解考慮的條件1體力為常量2全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件3彈性體為單連體應(yīng)力分量和剪切力必然與彈性常數(shù)無關(guān)，由此可得應(yīng)力解法與模型

8、材料無關(guān)；平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題可互換；求應(yīng)力分量=平衡微分方程=非齊次特解+齊次通解按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)當(dāng)滿足的條件是1相容方程式2應(yīng)力邊界條件式。其中假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件3對于多連體，還須滿足位移的單值條件逆解法步驟1先找出滿足相容方程的解答2由得出應(yīng)力分量3在給定的邊界形狀下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出相應(yīng)的面力半逆解法步驟1假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式2推求應(yīng)力函數(shù)的形式3由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)4由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量5考察邊界條件幾何方程表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式空間問題物理方程兩種形式1應(yīng)變用應(yīng)力表示用于按應(yīng)力求解方法2應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法解的唯一性定理符合

9、線彈性和小變形假定的彈性體，無初應(yīng)力和初應(yīng)變的作用，只受到給定的體力，邊界上的面力和邊界上的約束位移的作用，則彈性體在平衡狀態(tài)時，其體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變的解是唯一的解的疊加定理在線彈性和小變形假定下，作用于彈性體上幾組荷載產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力和變形），等于每組荷載產(chǎn)生的效應(yīng)之和，且與加載順序無關(guān)虛位移原理假定處于平衡狀態(tài)的彈性體在虛位移過程中，沒有溫度的改變，也沒有速度的改變，即沒有熱能和動能的改變，則按照能量守恒定理，形變勢能的增加，等于外力勢能的減少，也就等于外力所做的功，即所謂虛功虛位移1所謂虛位移，是指滿足協(xié)調(diào)條件（位移邊界條件和幾何方程）的。在平衡狀態(tài)附近可能發(fā)生的微小位移改變2不僅適用于

10、彈性體，也適用于一般的可變形體3虛位移是位移狀態(tài)即位移函數(shù)的微小改變。虛位移在數(shù)學(xué)上稱為位移的變分，因此虛位移原理式又稱為位移變分方程4注意微分和變分是不同的概念，兩者的自變量和因變量是不同的。虛功方程處于平衡狀態(tài)的彈性體，當(dāng)發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的功最小勢能原理在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使彈性體的總勢能成為極值?？紤]到二階變分可以得出對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個極值是極小值外力功的互等定理符合線彈性和小變形假定的彈性體，若受到兩組不同的外力作用，則第一組外力在第二組外力引起的位移上所做的功，等于第二組外力

11、在第一組外力引起的位移上所做的功三種數(shù)值解法變分法、差分法和有限單元法有限單元法的兩種導(dǎo)出方法1結(jié)構(gòu)力學(xué)方法：首先將結(jié)構(gòu)離散化，把連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解2變分方法：同樣將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再將連續(xù)體中的變分原理推廣應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，從而導(dǎo)出有限單元法有限單元法特點(diǎn)1具有極大的可解性2具有極大的通用性3只要適當(dāng)?shù)募用芫W(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度有限單元法用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解彈性力學(xué)問題有限單元法主要內(nèi)容1結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)2對離散化結(jié)構(gòu)應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解a.單元的位移模式b.單元的應(yīng)變和應(yīng)力列陣c.單元的節(jié)點(diǎn)力列陣d.單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣離散化結(jié)構(gòu)構(gòu)

12、成將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在單元邊界上的一些結(jié)點(diǎn)處用鉸連接起來保證有限單元法收斂性，位移滿足條件1位移模式必須能反映單元的剛體位移2位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變3位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性移置原則1剛體靜力等效原則：使原荷載與移置荷載的主矢量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同2變形體靜力等效 ：在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等整體勁度矩陣由單元勁度矩陣的元素集合合成，因此，K也具有對稱性。又由于列每一結(jié)點(diǎn)的方程時，只涉及此結(jié)點(diǎn)周圍的一些結(jié)點(diǎn)，所以K矩陣具有高度的稀疏性提高應(yīng)力精度，解決應(yīng)力波動性問題，兩種方法1繞結(jié)點(diǎn)平均法：把環(huán)繞某一結(jié)點(diǎn)的各單元的

13、常量應(yīng)力加以平均，用來表征該結(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力2兩相鄰單元平均法：把兩個相鄰單元的常量應(yīng)力加以平均，用來表征公共邊中點(diǎn)處的應(yīng)力應(yīng)力波動性在相鄰的兩單元中，如果一個單元的應(yīng)力比真解低，則相鄰單元的應(yīng)力會比真解高一概念1彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個分支。 2.固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動理論、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。.4研究對象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛5.彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)

14、法.6彈性力學(xué)研究問題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué) 三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；.7.彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8.幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9.物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。10.平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。12.邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13圣維南原理主要

15、內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇Я亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪Γc無面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。15.求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)力法。16.彈性力學(xué)的基本原理：解的唯一性原理解的疊加原理圣維南原理。會推導(dǎo)兩種平衡微分方程17.逆解法步

16、驟：(1)先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù) （2）由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量 （3）在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件, 分析這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問題。（或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù)18.半逆解法步驟：(1)對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式(2)按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的

17、一般形式（含待定函數(shù)項(xiàng)）；(3)將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá)形式；(4)將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(5)根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全部應(yīng)力邊界條件。如果都能滿足，則所得出的解就是正確解，否則要重新假設(shè)應(yīng)力分量，重復(fù)上述過程并進(jìn)行求解。. 19. “小孔口問題”應(yīng)符合兩個條件：（1）孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體的尺寸，這使孔口的存在所引起的應(yīng)力擾動只局限于一個小的范圍內(nèi)；（2）孔邊距離彈性體邊界比較遠(yuǎn)（約大于1.5倍的孔口尺寸），這使孔口與邊界之間不發(fā)生相互干擾。20. 在小孔口問題中，孔口附近將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)

18、象，它具有兩個特點(diǎn)：（1）孔附近的應(yīng)力高度集中，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時的應(yīng)力。（2）應(yīng)力集中的局部性，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5倍的孔口尺寸（如圓也直徑）的范圍內(nèi)，在此范圍之外，可以忽略不計(jì)。21.FEM（有限元法）分析的主要步驟： （1）將連續(xù)體變化為離散化結(jié)構(gòu)。 （2）對單元體進(jìn)行分析 a單元的位移模式 b單元的應(yīng)變列陣 c單元的應(yīng)力列陣 d單元的結(jié)點(diǎn)力列陣 f單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣 （3）整體分析二、公式1. 已求出應(yīng)力分量，求位移分量的步驟：（1）將應(yīng)力分量 代入物理方程 求出應(yīng)變分量（2）將應(yīng)變分量帶入幾何方程求出位移分量2.極坐標(biāo)中的邊界條件是：3. 應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式為.：應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的的轉(zhuǎn)換式4.在將平面應(yīng)