數(shù)值分析_期末總復(fù)習(xí)-習(xí)題課

1、一、一、基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 第一章、緒論第一章、緒論 了解數(shù)值分析的研究對象與特點。了解數(shù)值分析的研究對象與特點。 了解誤差來源與分類了解誤差來源與分類,會求有效數(shù)字會求有效數(shù)字; 會簡單誤差估計。會簡單誤差估計。 1.了解誤差的定性分析及避免誤差危害。了解誤差的定性分析及避免誤差危害。 第第1-31-3章章 習(xí)題課習(xí)題課( (緒論、插值、逼近、數(shù)值積分緒論、插值、逼近、數(shù)值積分) )有效數(shù)字定義有效數(shù)字定義1,|0.5 10,AnAAAxxxxnx 如果近似數(shù)的誤差限是某一位的半個單位即 則稱近似數(shù)準(zhǔn)確到了 位小數(shù),該數(shù)位向左到的第一位非零數(shù)字的所有數(shù)位叫做該近似數(shù)的有效數(shù)

2、位, 有效數(shù)位上的數(shù)字叫做有效數(shù)字.有效數(shù)字的等價定義有效數(shù)字的等價定義111(0.) 10(0,)knnxaa aak 是整數(shù) ，1Anxxa是 的1102k nAxx。四舍五入得到的近似數(shù)，如果用十進(jìn)制科學(xué)計數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)浮點數(shù)）用十進(jìn)制科學(xué)計數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)浮點數(shù)） ，記，記則稱則稱 xA為為x的具有的具有n位位有效數(shù)字有效數(shù)字的近似值。的近似值。 定理定理1 設(shè)設(shè)11110;2nARAxa（1.2.2）120.10kixa aa 用有效數(shù)字的位數(shù)用有效數(shù)字的位數(shù)估計相對誤差限估計相對誤差限有效數(shù)字的位數(shù)越多，有效數(shù)字的位數(shù)越多，相對誤差限就越小相對誤差限就越小3. 有效數(shù)字與相對誤差之間的關(guān)系有

3、效數(shù)字與相對誤差之間的關(guān)系x的近似值的近似值xA有有n位有效數(shù)字，則位有效數(shù)字，則如果如果（1.2.4）相對誤差限越小，相對誤差限越小，有效數(shù)字的位數(shù)就越多有效數(shù)字的位數(shù)就越多相對誤差限估計相對誤差限估計有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)則則 xA有有 n位有效數(shù)字位有效數(shù)字.1111021nARAxa，（） 定理定理2 設(shè)設(shè)120.10kixa aa 誤差的傳播誤差的傳播()(),() ( ()()()AAAAAAfxfxxf xfxx假定與的比值不太大 可忽略的高階項,可得計算函數(shù)的誤差限1. 對函數(shù)的計算對函數(shù)的計算對一元函數(shù)對一元函數(shù) f (x), 自變量自變量 x 的一個近似值為的一個近似

4、值為xA，以，以 f (xA) 近似近似 f (x),其誤差界記作其誤差界記作 (f (xA) )()1()|AnAkkkfuxx x對多元函數(shù)對多元函數(shù)()()1212,AAx xxx3.四則運算中誤差的傳播設(shè)為準(zhǔn)確值為近似值，則它們進(jìn)行加減乘除運算得到的誤差限分別為：()()()()1212()()()()()()121221()()()()()()()1221122()22 ()()(), () | () | (),| () | () (/),(0).|AAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例2 2 設(shè)有三個近似數(shù)設(shè)有三個近似數(shù)，24. 293. 13

5、1. 2 cba它們都有三位有效數(shù)字。試計算它們都有三位有效數(shù)字。試計算 p= =a+ +bc 的誤差界，的誤差界，并問并問 p 的計算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？的計算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？ 2.31 1.93 2.246.6332Ap ,解解AAAApab c（）（） （）AAAAAabccb（）（）（）02585.024.293.1005.0005.0 ）（相對誤差界相對誤差界0.025860.39%6.6332ARAAppp（）（）。所以所以, pA=6.6332 能有兩位有效數(shù)字。能有兩位有效數(shù)字。10.025850.5 10 ,Ap因為（ ）于是有誤差界于是有誤差界 3.下列公式如何才比

6、較準(zhǔn)確？（1）（2）解：解：要使計算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。（1）（2） 4.計算下列矩陣的范數(shù)：101010202A10101013202IA 1230,1,3 max 0,1,33A5.求矩陣的譜半徑. 矩陣A的特征值為所以譜半徑 解簡述題1. 敘述在數(shù)值運算中，誤差分析的方法與原則是什么？解：數(shù)值運算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。 誤差分析的原則有：1）要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法；2）要避免兩近數(shù)相減；3）要防止大數(shù)吃掉小數(shù)：4）注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。第二章第二章-1、插值法、插值法 1.了解插值的

7、概念。了解插值的概念。 2.掌握拉格朗日掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余項公式。插值法及其余項公式。 3.了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。 4.了解差分的概念，會牛頓前插公式、后插公式。了解差分的概念，會牛頓前插公式、后插公式。 5.會埃爾米特會埃爾米特(Hermite)插值及其余項公式。插值及其余項公式。 6.知道高次插值的病態(tài)性質(zhì)知道高次插值的病態(tài)性質(zhì),會分段線性插值和分段埃會分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。爾米特插值及其誤差和收斂性。 7.會三次樣條插值會三次樣條插值,知道其誤差和收斂性。知道其誤差和收斂性。

8、 Lagrange插值多項式插值多項式, ),(),., 1, 0( ) )(,()(jixxnixfxxfyjiii 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)表表設(shè)設(shè)的的插插值值多多項項式式為為，則則滿滿足足插插值值條條件件).1 , 0()()(nixfxLiin nkkknxlxfxL0)()( ）),.1, 0()(0nkxxxxxlnkjjjkjk 其其中中顯然，如此構(gòu)造的顯然，如此構(gòu)造的L(x) 是不超過是不超過n次多項式。當(dāng)次多項式。當(dāng)n=1時，稱為線性插值。當(dāng)時，稱為線性插值。當(dāng)n=2時，時，稱為拋物線插值。稱為拋物線插值。101( )( )( )()()nnnnkkknkxL xL xyxxx從而可改寫

9、成：101( )()()()nnxxxxxxx若引入記號),(! ) 1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnny 0 x)(xf)(1xLxk xk+1 0P1P111( )( )( )( ) ()() ( , ) (2.14) 2! kkR xf xL xfx xx xa b余項為01111,( )( ),( )( ),kkP PL xf xf xL xxxx用通過兩點的直線來代替即 線性插值：線性插值：特別地，特別地，n = 1, 2 時的插值余項時的插值余項 ：y 0 x2211( )( )( )( ) ()()()3! ( , ) (2.15)kkkR xf xL xfx

10、 xx xx xa b余項為012211,( ), ( )( ),kkP P Pf xf xLxxxx用通過三點拋物線近似代替即 拋物線插值：拋物線插值：)(xfxk- -1 xk xk+1 0P1P2P)(2xL練習(xí)練習(xí)1 給定數(shù)據(jù)表給定數(shù)據(jù)表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉格朗日插值多項式求三次拉格朗日插值多項式L3(x).123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10 xxxxxxxxx3301233,( )0( ) 1( )5( ) 14( )nL xL xl xl xlxl x ：取由 ( )公式得解解 ).12)(1(616)13

11、2( 2 xxxxxx練習(xí)練習(xí)2 要制作三角函數(shù)要制作三角函數(shù)sin sin x的值表，已知表值有四位小數(shù)，的值表，已知表值有四位小數(shù)，要求用線性插值引起的截斷誤差不超過要求用線性插值引起的截斷誤差不超過表值的舍入誤差表值的舍入誤差，試，試確定其最大允許的步長。確定其最大允許的步長。解解 f(x)=sin x, 設(shè)設(shè)xi, xi為任意兩個插值節(jié)點，最大允許步為任意兩個插值節(jié)點，最大允許步長記為長記為 h = hi = xi xi，111111121124( )sin( )()()()()2!211()()()()22221()(),88110 ,0.02.82iiiiiiiiiiiiiiiif

12、R xxxxxxxxxxxxxxxxxxxhxxxxhh00010101201101,( )()() ,()() , .()().() ,.,nnnnNxf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxxf xxx牛頓插值公式牛頓插值公式: 1,2,3,4,5, ()1,4,7,8,6. .練習(xí)4設(shè)當(dāng)時求三,四次牛頓插值多項式iixf xkxkf(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/2414324( )( )() (1)(2)(3)(4)NxNxxxxx112332248331294241x

13、xxx133( )13 (1)0 (1)(2)() (1)(2)(3)13(1)Nxxxxxxxx 用牛頓插值多項式近似函數(shù)值，其用牛頓插值多項式近似函數(shù)值，其截斷誤差截斷誤差與拉格朗日插值法相同，即與拉格朗日插值法相同，即(1)0( )( )() (1)!nnniifR xx xn 根據(jù)插值多項式的唯一性知，牛頓插值多根據(jù)插值多項式的唯一性知，牛頓插值多項式本質(zhì)上就是拉格朗日插值多項式，只是構(gòu)項式本質(zhì)上就是拉格朗日插值多項式，只是構(gòu)造不同造不同5 用已知函數(shù)表求拋物插值多項式，并求f(0.5)的近似值。解答：作差商表： x0 1 2y1 2 5ixiy 一階差商二階差商011212531 2

14、210011Nxxxxx 21151.25224fN帶重合節(jié)點的情形帶重合節(jié)點的情形 , 00 p , 10p , 31 p , 61p 393 p例：求一個次數(shù)不高于例：求一個次數(shù)不高于4的多項式的多項式P(x)使：使： 2230130101101222( )( ), ( )( ) 0( ) 3( ) 1( ) 63 ( )( ) 6 ( )103 1 20 11 010(0)6(1)0 11 0 .解 ： 設(shè)其 中 P xH xx xx xH xxxxxxxxxxxxxx 三次三次Hermite插值插值3001 1001 1( )( )( )( )( )H xyxyxmxmx01 , xx

15、 x2010100120110110210001201110( )(1 2)()( )(1 2)()( )()()( )()() ,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx截斷誤差為截斷誤差為3(4)2201( )( )( )( )() () ,( , )4!R xf xHxfxxxxa b 三次Hermite插值的基函數(shù)可表為20000021111122000111( )1 2 ()()( ),( )1 2 ()()( ),( )()( ),( )()( ).xlxxxlxxl xxxlxxxx lxxxx lx 設(shè)設(shè)f(x)=lnx，給定，給定f (1)=0, f

16、(2)=0.693147, f (1)=1, f (2)=0.5。用三次。用三次Hermite插值多項式插值多項式H3(x)計算計算f (1.5)的近似值。的近似值。解解 記記x0=1,x1=2, 利用利用(2)可得可得22012201( )(21)(2) ,( )(52 )(1) ,( )(1)(2) ,( )(2)(1) .xxxxx xxxxxxx得三次得三次Hermite插值多項式插值多項式由此得由此得f (1.5)的近似值的近似值H3(1.5)=0.40907423)1)(25(693147. 0)( xxxH.)1)(2(5 . 0)2)(1(22 xxxx例例第二章第二章-2、函

17、數(shù)逼近與曲線擬合、函數(shù)逼近與曲線擬合 了解函數(shù)逼近的基本概念了解函數(shù)逼近的基本概念,了解范數(shù)和內(nèi)積空間。了解范數(shù)和內(nèi)積空間。 了解正交多項式的概念了解正交多項式的概念,了解切比雪夫多項式和勒讓了解切比雪夫多項式和勒讓德多項式以及它們的性質(zhì)德多項式以及它們的性質(zhì),知道其他常用正交多項式知道其他常用正交多項式。 *理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最掌握最佳一次一致逼近多項式的求法。佳一次一致逼近多項式的求法。* 理解最佳平方逼近的概念理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多項式掌握最佳平方逼近多項式的求法的求法,了解用正交多項式做最佳平方逼近的方法。

18、了解用正交多項式做最佳平方逼近的方法。 了解曲線擬合的最小二乘法并會計算了解曲線擬合的最小二乘法并會計算,了解用正交多了解用正交多項式做最小二乘擬合。項式做最小二乘擬合。*了解最小二乘三角逼近了解最小二乘三角逼近*與快速傅里葉變換與快速傅里葉變換*。 最佳平方逼近最佳平方逼近(2) 函數(shù)類函數(shù)類01( ),( ),( )nSpanxxx ，,)(baCxi 線線性性無無關(guān)關(guān)，則則且且)(,),(),(10 xxxn ；）若若（,)(1baCxf *0*( )( )njjjapxax （ ）存在唯一的是最佳平方逼近；求求得得；可可由由法法方方程程組組）系系數(shù)數(shù)（dGaaabn ),(*022*2

19、20( ), (,) niiicfpxfaf（ ）令則平方誤差為001000111101(,) (,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)nnnnnnG 10( ,)( ) ( )( )kkkdfx f xx dx考慮特殊情形考慮特殊情形-(1)用多項式用多項式1,1,x, ,x2 2,xn n, ,作作n次最次最佳平方多項式佳平方多項式p* *( (x) )逼近步驟逼近步驟/ /方法方法( (權(quán)函數(shù)為時，權(quán)函數(shù)為時，a, ,b=0,1)=0,1)解法方程組解法方程組 Ga=d nndddaaannnnn1010121211111312111211*0,(0,1,2,. )*( )j

20、njjjajnpxa x求得則有22*220(,)niiifaf平方誤差為dxxxffdkkk10)(),(2( )101,1, f xxxHspanxH 例例1 1：給給定定，取取逼逼近近空空間間，在在 中中求求其其最最佳佳平平方方逼逼近近函函數(shù)數(shù)。H1,()1spanxx 取取解解：11220100)11.147,)10.609fx dxfx xdx （ ，（ ，0111/ 21.1471/ 21/ 30.609aa 法法方方程程為為010.934,0.426*( )0.9360.426aapxx 解解得得，所所求求最最佳佳平平方方逼逼近近函函數(shù)數(shù)為為2*0011212*00110(,)(

21、,)(,)(1)(,)(,)20.934 1.1470.426 0.9060.00263ffafafxdxafaf 平平方方誤誤差差為為201max1( )0.066xxp x 最最大大誤誤差差為為(2)用正交多項式作最佳平方逼近用正交多項式作最佳平方逼近 方法（步驟）：方法（步驟）：，若若,)(baCxf 01( ),( ),( )( )nxxxx取正交基及權(quán)函數(shù)，解法方程組解法方程組 ),(),(),(),(),(),(10101100nnnnfffaaa ), 1 , 0(,)()()()()(),(),(2*njdxxxdxxxfxfabajbajjjjj于是*0*( )( )njjj

22、pxax2*02222),(|jnjjjaf平方誤差平方誤差其中，其中，3023-1,1Legendre( )111, ,(31),(53 )22iiP xxxxx在上，選取正交基為正交多項式組 , 1)( x 并并取取2( ,)(0,1,2,3)21jjP Pjj。) 12/(20003/2002jG 00( )*( )( )nnjjjjjb pxaxa的系數(shù)可由法方程組；求求得得，其其中中)()(),(1ijmiikijkxx 最小二乘逼近步驟：最小二乘逼近步驟：)(, 1)(,()() 1 (21bxxxamixfxxfymii 試試驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)設(shè)設(shè)有有 線線性性關(guān)關(guān)于于點點集集中中連連

23、續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)組組設(shè)設(shè)mnjjnxxXxS,)(H)2(10 mn無關(guān)（）0( )( )H*( )( )nnjjja yf xpxax在中最小二乘擬合函數(shù)存在唯一；dafffaaannnnnnnn G),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000或或 21max( )*( )iii mf xpx 最大偏差：。2 1/2121( )|( ( )*( ) )mniiiicfpf xpx最小均方誤差：；平方誤差有與（平方誤差有與（2.4.15）相同形式的表達(dá)式。）相同形式的表達(dá)式。 (2)多項式的擬合多項式的擬合即在多項即在多項式式空間空間 中

24、作曲線擬合，稱為中作曲線擬合，稱為多項式擬合。多項式擬合。用上面討論的方法求解。子空間用上面討論的方法求解。子空間 的的基函數(shù)基函數(shù)為為 前面討論了子空間前面討論了子空間 中的最小二乘擬合。中的最小二乘擬合。 在離散在離散數(shù)數(shù)據(jù)據(jù) 的最小的最小二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學(xué)模型是多項式二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學(xué)模型是多項式Smiiiyx0, 01( ).nnp xaa xa x, 1nxxspan n。kxxkk, 1 , 0,)( 2012211100010223101112111202122234111,( )1,( ),( )1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,

25、)mmmiiiiimmmiiiiiimmmiiiiiixxxxxxxGxxxxxx 此時 當(dāng)取時（2.5.4）1011221( ,)( ,)( ,)miimiiimiiiyfdfx yfx y2111102311111223421111G1mmmmiiiiiiimmmmiiiiiiiiimmmmiiiiiiiiiadxxyaxxxax yaxxxx y則法方程為 例例 2.19 用多項式擬合表用多項式擬合表2-4中的離散數(shù)據(jù)。中的離散數(shù)據(jù)。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 1 2 3 4 5表表2-4解解 作數(shù)

26、據(jù)點的圖形如圖作數(shù)據(jù)點的圖形如圖2-2，從圖形看出用，從圖形看出用二次二次多項式擬合比較合適。這多項式擬合比較合適。這時時n=2，子空間，子空間 的基函數(shù)的基函數(shù) 。數(shù)據(jù)中沒有給。數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，不妨都取為出權(quán)數(shù)，不妨都取為1，即，即 。2210)(,)(, 1)(xxxxx 4 , 1 , 0, 1 ii o y 1.961 x*圖圖2-2ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi00.000.100.0010.250.350.062520.500.810.2530.751.090.562541.001.961.002.54.311.8751.56251.38283.272.79

27、75構(gòu)造下表構(gòu)造下表按（按（2.5.4）21111023111112234211111nnnniiiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiixxyaxxxax yaxxxx y有有 7975. 227. 331. 43828. 15625. 1875. 15625. 1875. 15 . 2875. 15 . 25210aaa 解此方程組得解此方程組得 。從而，擬合多項式為。從而，擬合多項式為2114. 1,5726. 0,1214. 0*2*1*0 aaa*2( )0.12140.57261.2114,pxxx其平方誤差其平方誤差 。擬合曲線。擬合曲線 的圖形見圖的圖形見

28、圖2-2。0337. 022 )(*x o y 1.961 x*圖圖2-2正交多項式擬合正交多項式擬合*0000*1111*(,)( ,)(,)( ,) (,)( ,)nnnnfGaafafda 即即這時直接可算出這時直接可算出), 1 , 0(,)()()(121njxxxfmiijimiijii ，法方程組的矩陣形式為，法方程組的矩陣形式為njjjjaf02*2222)(|，),(),(*jjjjfa 基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 了解數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。 C掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項。 C 掌握復(fù)化梯形

29、公式和復(fù)化辛普森公式及其余項。 C掌握龍貝格(Romberg)求積算法，知道外推法。 C會高斯求積公式,了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。 C*了解幾種常用的數(shù)值微分方法*。 第三章第三章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分一、數(shù)值積分一、數(shù)值積分第三章第三章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分.d)( :0nkkkbafAxxf求積公式. ,1, m次代數(shù)精度m次代數(shù)精度稱該求積公式具有則成立次的多項式等式不準(zhǔn)確而對于某一個成立的多項式都準(zhǔn)確對于所有次數(shù)不超過若一個求積公式mm 等價定義等價定義 若求積公式對于若求積公式對于1，x,xm都精確成立，對都精確成立，對xm+1不精不精確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度

30、為確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為m。(3.1.1).d)( ,d)( )( )( 00稱為插值型求積公式，其中，得到求積公式由拉格朗日插值bakknkkkbaknkknxxlAfAxxffxlxL .d )()!1()(d)()( :0) 1(xxxnfxxLxffRbanjjnban余項.d)( 0它是插值型求積公式次代數(shù)精度至少具有求積公式nfAxxfnkkkba定定理理abAnkk0.C ,C)(d)( ,)(0)(Cotes系數(shù)Cotes系數(shù)Cotes公式Cotes公式- -NewtonNewton稱為，稱為上的插值型求積公式在等距節(jié)點等分，步長做將求積區(qū)間nknkknkbakfa

31、bxxfkhaxnabhnba .d )()!( !) 1(dC 0000)( nnkjjknnnkjjnktjtknnktjkjtabhthax，則有作變換引理：引理：n階階Newton-Cotes公式的代數(shù)精度至少是公式的代數(shù)精度至少是n.結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)n 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，n階階Newton-Cotes公式的代數(shù)精度為公式的代數(shù)精度為n；當(dāng)當(dāng)n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，n階階Newton-Cotes公式的代數(shù)精度為公式的代數(shù)精度為n+1。2、Cotes系數(shù)特點：系數(shù)特點：( )0(1):1 nnkkC歸一性( )( )(2): C nnkn kC對稱性梯形公式梯形公式( ) ( )( )

32、.2babaf x dxf af b代數(shù)精度代數(shù)精度 = 131( )( )( , )12hR ffa bSimpson公式公式( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b代數(shù)精度代數(shù)精度 = 35(4)5(4)11 ( )()( ),( , ) ,9028802baR fh fbafa bh 柯特斯公式（柯特斯公式（Cotes )4337 ( )32 ()12 ()32 ()7 ( )90424baabababfdxhf affff b代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5,7(6)8 ( )945R fh f 11( )2()( )2nnkkhTf af xf b2()( )12

33、nThRba f 12321( ) ( )4 ()2 ()4 ()()( )3nmhSff af xf xf xf xf b(4)4( )( )( ),180nbaI fSffhab .)()(2)(2)()(2 10101niiniiinbfxfafhxfxfhT).(12)(12)(12123103fhabfhnfhTIniin ).()(2)(4)(6101121bfxfxfafhSniniiin41(4)4(4)0( )( ), ( , ).18022880nniiba hbaISfh fa b 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式是復(fù)化梯形公式是2 階收斂的階收斂的復(fù)化復(fù)化Simps

34、on求積公式求積公式復(fù)化復(fù)化Simpson公式具有公式具有4階收斂階收斂).()( )(bfafabT211初值 . )( ),( )(1022122121022niinnixfhTTiabh計算，令./ ,/C ,/ )(631533222222）（）（）（求加速值nnnnnnnnnnnnCCCRSSSTTTS).( )(24否則，轉(zhuǎn)滿足精度要求；龍貝格(Romberg)求積算法 穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理 若求積公式若求積公式(3.1.1)中系數(shù)中系數(shù)Ak0 (k0，1，n)，則此求積公式是穩(wěn)定的，則此求積公式是穩(wěn)定的2、求積余項、求積余項 若若 , (3.1.5)是插值型求積公式是插值型求積公

35、式, 0(1)110 ( )() ( )( )( )()1()( )(1)!1 !nbbbnkknnaaaknnbbnxkxnaakR fIIf x dxA f xf xL x dxR x dxfxxdxfx dxnn,) 1(baCfn 其中其中 與變量與變量x有關(guān)有關(guān),記作記作 x 。(1)1()( )(1)!nbxnafR fx dxn，。其其中中)()()(101nnxxxxxxx (3.1.7)特別地特別地, 如果求積公式是插值型的如果求積公式是插值型的, 按余項式按余項式, 對于次數(shù)對于次數(shù) n的多項的多項式式 f (x)，其余項，其余項R f 等于等于0，因而這時求積公式至少具有

36、，因而這時求積公式至少具有n次代數(shù)次代數(shù)精度精度則有余項公式則有余項公式Gauss型求積公式型求積公式當(dāng)求積系數(shù)當(dāng)求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點、求積節(jié)點xk都可以自由選取時都可以自由選取時,其代數(shù)精確其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到度最高可以達(dá)到2n+1次次? 0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x(3.4.1)考慮帶權(quán)求積公式考慮帶權(quán)求積公式定定義義3.4.1 如如果果求求積積公公式式（3.4.1）具具有有2n+1次次代代數(shù)數(shù)精精度度, 則則稱稱該該公公式式為為Gauss型型公公式式。稱稱其其節(jié)節(jié)點點為為Gauss點點.(0,1,)kx kn較簡單的方法是：較簡單的方法是：先利用區(qū)間先

37、利用區(qū)間 a,b 上的上的n+1次正交多項式確定高斯點次正交多項式確定高斯點 xk a,b , (k=0,1,n) (2) 然后利用高斯點確定求積系數(shù)然后利用高斯點確定求積系數(shù)Ak ,(k=0,1,n)插值求積公式節(jié)點一經(jīng)確定，相應(yīng)的求積系數(shù)就確定了，插值求積公式節(jié)點一經(jīng)確定，相應(yīng)的求積系數(shù)就確定了，常用的常用的Gauss求積公式求積公式 , 1x nkkkxfAdxxf0111.Gauss-Legendre求積公式求積公式不失一般性，可取不失一般性，可取a= -1，b=1而考察區(qū)間而考察區(qū)間-1，1上的高斯公式上的高斯公式 110( ) ( )().nkkkx f x dxA f x在區(qū)間在

38、區(qū)間-1，1上取權(quán)函數(shù)上取權(quán)函數(shù) 那么相應(yīng)的正交多項式為那么相應(yīng)的正交多項式為Legendre多項多項式。以式。以Legendre多項式的零點為多項式的零點為Gauss點的求積公式為點的求積公式為 （3.4.8）稱之為稱之為Gauss-Legendre求積公式求積公式。兩點兩點GaussLegendre公式公式： 313111ffdxxf五次代數(shù)精度的五次代數(shù)精度的3點點Gauss-Legendre求積公式求積公式 .515950985159511fffdxxf定理定理 3.4.2 設(shè)設(shè) ,則則Guass公式公式(3.4.1)的余項是的余項是 baCxfn,22badxxxfnxfAdxxfx

39、RbannnkkkbaG,)!22(121120(3.4.10)特別地，特別地， 對于兩點對于兩點Gauss-Legendre求積公式有求積公式有22( 4 )11( 4 )114 !33,1,1 .135GLfRxxdxf.)1()0(4)1(31)(11的的代代數(shù)數(shù)精精度度確確定定求求積積公公式式fffdxxf 1)1(1111 kdxxIkkk解：解：0) 1041(31 ;32) 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),2()(22Ifffkxxf 時時當(dāng)當(dāng) ;0) 101(31) 1 () 0(4) 1(31),3()(33Ifffkxxf 時時當(dāng)當(dāng) 。時時當(dāng)當(dāng)445232)

40、 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),4()(Ifffkxxf ),0(1)( kxf時時當(dāng)當(dāng) ) 1 ()0(4) 1(31fff 2) 1141 (31 ) 1 () 0(4) 1(31fff ),1()( kxxf時時當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)kkk,12, 0;0I ;1I 所以該求積公式的所以該求積公式的代數(shù)精度代數(shù)精度m=3。例例 例例 試構(gòu)造形如試構(gòu)造形如 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的數(shù)值求的數(shù)值求積公式積公式,使其代數(shù)精度盡可能高使其代數(shù)精度盡可能高,并指出其代數(shù)精度的階數(shù)并指出其代數(shù)精度的階數(shù).3h0解解: 令公式對令公式對

41、 f(x)=1,x, x2 均準(zhǔn)確成立均準(zhǔn)確成立,則有則有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求積公式的形式為故求積公式的形式為解之得解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h49h43h0而當(dāng)而當(dāng)f(x)=x3時時, 公式的左邊公式的左邊=81h4 /4, 右邊右邊=18h4, 公式的左公式的左邊邊 右邊右邊,說明此公式對說明此公式對 f(x)=x3不能準(zhǔn)確成立不能準(zhǔn)確成立.因此因此,公式只具有公式只具有2次代數(shù)精度次代數(shù)精度.由公式的構(gòu)造知由公式的構(gòu)造知,公式公式至

42、少至少具有具有2次代數(shù)精度次代數(shù)精度;01.1d 試分別用梯形公式和 辛普森公式 求 的近似值， 并估計誤差xIx3 3. .16667. 0)(max12)01 ( , 2)0()(max ,)1 (2)(,11)( 75. 0)211 (201 ) 1 ( 103103 xfRfxfxxfxxfTIxTx；解：.0083333. 0)(max2880)01 ( ,)1 (24)( ;69444. 0)215 . 1141 (601 2 )4(1055)4(xfRxxfSIxS）（.693147. 02ln1d 10 xxI準(zhǔn)確值.056853. 0 TI.001297. 0 SI0451.

43、1d試用的復(fù)合 辛普森公式 求 的近似值， 并估計誤差xnIx;693150. 0 )111)9 . 0117 . 0115 . 0113 . 0111 . 011(4 )8 . 0116 . 0114 . 0112 . 011(201162 . 0 .)(0,0, 2 . 051)01 (51:52121Shixihxhii解.1033333. 1)(max28802 . 0 ,)1 (24)( 5)4(10455)4(xfRxxfx.693147. 02ln1d 10 xxI準(zhǔn)確值.1081944. 2 65SI05.11d 若用復(fù)合梯形 公式 計算 ，問區(qū)間多少等分 才能保證計算結(jié)果有五

44、位有效數(shù)字?xIx)., 1 , 0(0,1)01 (1:niihxnnhi解.161)(max1201 , 2)0()(max ,)1 (2)(,11)( 2102103 nxfhRfxfxxfxxfxnx.183,574.1823/10,1021161 ,1d , 11d5 . 0 5521010nnnxxxx即故只需有一位小數(shù)因. 4114 22效數(shù)字保證計算結(jié)果有五位有周長，的計算橢圓公式試用復(fù)合梯形： yx思考思考22202002222dsin31dcossin4dyxl.1021000002986. 0|31,42211206. 2,00072744. 0|31,42210310.

45、 2,0212421. 0|31,41992078. 2,3561945. 2422822412212312TTTTTTTTTT.4221. 28有五位有效數(shù)字TI1001121( )()()1 求形如d的兩點高斯型求積公式.f xxf xf xx6 6. .0., 12)( 112202210221 , 022wwwwxxxT以及：解法112222222)()(d1)( ffxxxf,212cosd1)( 21112ninifnxxxf切比雪夫求積公式：由高斯解法. )()(d1)( 112222222ffxxxf得到dxx10214的近似值，要求誤差510例例3 3 用Romberg求積法

46、計算解：此時積分限為a=0,b=1.而 (本例主要說明本例主要說明Romberg過程過程） 214)(xxf 111 (0)(1)42322Tff2112142422111()3.1222413)()3141573TTfSTTTTffTTS14158.314414159.314414159.314413899.3)87()83()81(812114212.314431231224224844821221CCRSSCTTSfffTTSSC如此繼續(xù)算得：.14159. 3,14159. 3,14159. 3,14096. 324816RCST由于

47、.14159.314,00001.010212dxxRR因此例例4 構(gòu)造三個節(jié)點的Gauss-Legendre求積公式，并給出余項估計式。 解：由于三次Legendre多項式為：)35(21)(33xxxp其三個零點分別為：515,0,5152011)()(kkkxfAdxxf令它對2, 1)(xxxf準(zhǔn)確成立01202021220221515580,955915152()()553AAAAAAAAAA則三點Gauss-Legendre求積公式為：)515(5)0(8)515(591)(11fffdxxf余項為：2,322)!22(!22)!22()()(22)22(nnnnnnffRnn（節(jié)

48、點數(shù)）（節(jié)點數(shù)）1 , 1).(157501)6(f例如，若要計算dxx115 .1的近似值，則由上積分公式得：399709. 25 . 1888889. 0274597. 2725403. 0555556. 0)0(98)515()515(955 . 111fffdxx上述積分準(zhǔn)確值為：399527. 2) 5 . 0() 5 . 2(325 . 1232311dxx若利用三點Simpson求積公式。則395742. 2)5 . 115 . 1045 . 11(625 . 111dxx可見在節(jié)點數(shù)目相同的情況下，Gauss求積公式的精度是相當(dāng)高的。第第4-64-6章章 習(xí)題課習(xí)題課( (線性

49、方程組數(shù)值解法線性方程組數(shù)值解法, ,解非線性方程解非線性方程) )第四章、解線性方程組的直接方法第四章、解線性方程組的直接方法基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 了解求解方程組的兩類方法,了解矩陣基礎(chǔ)知識。 掌握高斯消去法,會矩陣的三角分解。 掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若當(dāng)消去法。 掌握直接三角分解法,了解平方根法,會追趕法,了解有關(guān)結(jié)論。 了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。 1.了解矩陣和方程組的性態(tài),會求其條件數(shù)。 解線性方程組的直接方法 一般的線性方程組解法： 列（全）主元素Gauss消元法 LU分解（直接三角分解法） 特殊的線性方程組解法： 平方根法（改進(jìn)）對稱正定矩陣 追趕法 三

50、對角方程組 矩陣表示與計算量 誤差分析（條件數(shù)）： 向量、矩陣范數(shù)， 誤差分析（條件數(shù)）誤差分析（條件數(shù)）， 病態(tài)方程。右端項b的擾動對解的影響11 , bbxxAbAAbxbxbA設(shè) 有 擾 動， 相 應(yīng) 解 的 擾 動 記 為即系數(shù)矩陣A的擾動對解的影響1111 , 11AAxxAAAAAxAAxAAAAA如果右端項無擾動，系數(shù)矩陣 有擾動，相應(yīng)的解 的擾動仍記為則分別用順序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利特分解)求解線性方程組 四、練習(xí)四、練習(xí)-線性方程組直接解法線性方程組直接解法. 201814 513252321321xxx,72101424004103212210144504

51、103212018145132523211）解：,24413211531215132523212）.)3 , 2 , 1 ( ,)72,10,14(TTxyUxybLy得解得解. 3, 2, 1321xxx2.2. 用帶行交換的杜利特分解計算線性代數(shù)方程組AX=bAX=b，其中 .432 ,121111011b bA A ,101011001,11LIP解： ,110100011) 1 (11AAPL ,0110122ILP ,100110011)2(1122UAAPLPL ,)(122122UAPPPLPL , ,1LUPAUPAL.) 1 , 1 , 1 ( ,) 1 , 2 , 2(TT

52、xyUxyPbLy得解得解3. 用追趕法求解三對角方程組200031002310023100224321xxxx ,1111111 21212123100231002310022ULA.1111,1000 xyxUybyL12112321cond() cond() .求矩陣的條件數(shù)和2 22 22 24 4. . H Hi il lb be er rt tH HH HH H.272318)(cond,1266421212HHH2 2H H解：.)()()(cond minmax222122AAAAHHTT2 2H H.,|)cond( n112小特征值的絕對值最大為其中為非奇異對稱矩陣時，當(dāng)A

53、AAn,11213423121212 2H HI.134134)cond( 2A第六章第六章 線性方程組的迭代解法線性方程組的迭代解法 基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 了解迭代法及其收斂性的概念。 掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。 3. 了解一階定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程組迭代法的收斂條件。 4. 知道分塊迭代法。解線性方程組的迭代法方法解線性方程組的迭代法方法 迭代方法：迭代方法： 雅可比（雅可比（JacobiJacobi）迭代法）迭代法 高斯賽德爾高斯賽德爾(Gauss-Seidel)(Gauss-Se

54、idel)迭代法迭代法 松弛法松弛法 迭代矩陣的表示迭代矩陣的表示 迭代法的收斂判別：迭代法的收斂判別： 矩陣的譜半徑矩陣的譜半徑 迭代法的收斂定理及推論（迭代矩陣）迭代法的收斂定理及推論（迭代矩陣） 對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣A A的三條判別原則的三條判別原則 誤差估計與停機(jī)準(zhǔn)則誤差估計與停機(jī)準(zhǔn)則 雅可比迭代法雅可比迭代法計算公式：對k=0,1, ), 1( ,/ )( ,),(1)()1()0()0(1)0(niaxijabxxxxiinijjkjikiTnfxBbDxULDxbULxD)(1)(1) 1()()() 1()( kJkkkkk xx得到矩陣表示借助矩陣分裂高斯高斯塞德爾迭代法塞德

55、爾迭代法計算公式：對k=0,1, ), 1( ,/ )( ,),(1)(11)1()1()0()0(1)0(niaxijaxijabxxxxiinijkjijkjikiTn kkkbUxLxDx)()1()1( ,A迭代法等價于的分裂記號采用矩陣示形式為塞德爾迭代法的矩陣表于是，高斯 fxBbLDUxLDx)(1)(1) 1()()(kGkk SORSOR迭代法的計算公式:對k=0,1, . 0 ), 2 , 1( ,/ )( ,),()(11)1()()1()0()0(1)0(松弛因子niaxijaxijabxxxxxiinijkjijkjikikiTn kkkkk）化為的分裂記號采用矩陣)

56、()()1()()1( ,DxUxLxbDxDxA.)()1()( 1)(1) 1( SORkkbLDxUDLDx為迭代法的矩陣表示形式 ,1.JacobiGauss-Seidel2.01,3.02AxbAAA設(shè)有線性方程組下列結(jié)論成立：若 為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣或不可約弱對角占優(yōu)陣，則迭代法和迭代法均收斂。若 為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則松弛法收斂。若 為對稱正定陣，則松弛法收斂的充要條件為。(0)(1)( )( ) (0,1,2,)()1.kkkxgxMxgkxM定理：對任意初始向量和右端項 ，由迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是(1)( )( )1 1, (0,1,2,) .kkkMxMxgkx推

57、論若由迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂 2 02推論松弛法收斂的必要條件是。123111.例 對于方程組211 111，112分別寫出迭代法和迭代法的計算公式，并考察求解的收斂性xxxJacobiGaussSeidel 1 1 . 2/ ) 1( , 1 , 2/ ) 1( )(2)(1) 1(3)(3)(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx式為解：雅可比迭代計算公010100111011101)( 2121212121211ULD雅可比迭代矩陣為. 1)(, 0,11|252545321212121BiBI . 2/ ) 1( , 1 , 2/ ) 1( ) 1(

58、2) 1(1) 1(3)(3) 1(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx賽德爾迭代計算公式為高斯賽德爾迭代矩陣為高斯212121212121212121110000010110 00100 010110 211112 )(ULD. 1)(, 02121Bi.式的關(guān)系注意迭代矩陣與計算公？或定理，或?qū)钦純?yōu)問：能否用 111BB34. , )( ：)()1(AIBbxAIx證 明迭代矩陣為kk. 11)(1)(11 ,)(0,20ABA知由時當(dāng)?shù)諗坑谑牵?,)(B(1)( ),( ). () ,02/5.設(shè)有方程組為對稱正定矩陣,其特征值證明迭代公式當(dāng)時收斂

59、kkAxb AAxIA xb第七章第七章 非線性方程的數(shù)值解法非線性方程的數(shù)值解法 基本內(nèi)容及基本要求基本內(nèi)容及基本要求 了解求根問題和二分法。 了解不動點迭代法,及不動點存在性和迭代收 斂性； 了解收斂階的概念和有關(guān)結(jié)論。 3. 了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4. 掌握牛頓法及其收斂性、了解簡化牛頓法和牛頓法 下山法,了解重根情形。 5. 掌握弦截法，了解拋物線法。 ( ) , , (1) , , ( ) , , (2) 01, , , , |( )( )|; ( ) , *.g xC a bxa bg xa bLx ya bg xg yL xyg xa bx 如果迭代函數(shù)并

60、且都有常數(shù)使得都有那么在上存在唯一的不動點定定理理1 11. 設(shè)設(shè)x*是是 f(x)=0在在a, b內(nèi)的唯一根內(nèi)的唯一根,且且 f(a)f(b)0,則二分法計算過程中則二分法計算過程中, 數(shù)列數(shù)列 ), 2 , 1 , 0()(21 nbaxnnn滿足滿足: | xn x*| (b a)/ 2n+1 收斂充分性定理*01* ( )(,)( )( )1, () (0,1,2,).nnxxO xxxxxxxxxxnx 定理：如果函數(shù)在 的一鄰域內(nèi)連續(xù)可微， 為方程的根，且則存在正數(shù)使得對任意迭代序列收斂于 收斂充分性定理(三) . |11|*| 4) |,|1|*| 3) *,), 2 , 1 ,