比例線段及相似性質(zhì)和判定

1、比例線段與相似性質(zhì)和判定、比例的性質(zhì)1.abc"d二ad二be,這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)2.acbd（反比定理）;bdac3.aca丄（或dc）（更比定理）;bdcdbaaca bc d4.（合比定理）;bdbdaca -bc d5.（分比定理）;bdbd6.aca bc d（合分比定理）;bda -bc d，由它可推出許多比例形式a c ma c ma7.(b dn =0)(等比定理).b dnb 亠d nb二、成比例線段1比例線段對(duì)于四條線段a , b, c, d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如-b d（即a:b=c:d ）,那么這四條線段a ,

2、 b , c, d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.2 比例的項(xiàng)a c在比例式（a:b=c:d ）中，a , d稱為比例外項(xiàng)，b , c稱為比例內(nèi)項(xiàng)，d叫做a , b , c的第四b d比例項(xiàng).a b三條線段（a:b=b:c）中，b叫做a和c的比例中項(xiàng).b c3 .黃金分割«»BACB如圖，若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC和BC （ AC BC ），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AC2二AB BC ）則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中梟5 -13 5ACAB ： 0.618AB , BCAB -0.382AB , AC 與 AB 的比

3、叫做黃金比.2 2三、平行線分線段成比例定理1 .定理兩條直線被三條平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2 .推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.3. 推論的逆定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角 形的第三邊.4. 三角形一邊的平行線性質(zhì)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成 比例.如圖，AB II CD II EF，貝V 竺,CE DFCE DF AC BD CE DF .若將AC稱為上，CE稱為AC - BD ' AE - BF 

4、9; AE BF下，AE稱為全，上述比例式可以形象地表示為上上下下上上下下下 下上當(dāng)三條平行線退化成兩條的情形時(shí)，就成了“A ”字型,上，全_全，全AE AFBC ef=ebfc'AEAFEFABACBC考點(diǎn)一：比例的性質(zhì)?考點(diǎn)說明：如果要考查多以選擇和填空為主，重點(diǎn)掌握等比性質(zhì)【例1】，則52x y 3z3x-2y-z的值為【鞏固】【拓展】a c -e，則b d則k的值為【例2】已知x: y : z =1:3:5求的值x 3y z【鞏固】已知:2 求 xy+3z234考點(diǎn)二：黃金分割?考點(diǎn)說明：如果要考查可能出現(xiàn)在22題之中，需要掌握黃金分割的定義【例3】如圖所示，樂器上的一根弦 A

5、B=80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn) C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)（即 AC是AB與BC的比例中項(xiàng)），支撐點(diǎn) D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，貝UAC =cm , DC =cm .«ft AD CB【例4】如圖所示，在黃金分割矩形二與1中，分出一個(gè)正方形ABFE，求空CD考點(diǎn)三：平行線分線段成比例定理?考點(diǎn)說明：平行線分線段成比例定理的考查多數(shù)以選擇或填空的形式展開【例5】 如圖，DE II BC，且DB二AE，若AB =5, AC =10，求AE的長(zhǎng).【例6】如圖，已知DE II BC , EF II AB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）ADAECEEAA .B.ABACCFFB

6、DEADEFCFC.D.BCBDABCB【拓展】如圖，6ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，延長(zhǎng)AB交CE的延長(zhǎng)線于P 若AD =2E , 求證：AP =3AB 【例7】已知，如圖邊長(zhǎng)為2的等邊 ABC ,DE II BC , S BCD : S ABC【例8】 如圖，在 OCE中，AD II BE、BD II CE，若OA=3, AC =9，則AB的長(zhǎng)為【例9】 已知，如圖在平行四邊形 ABCD , P為BC上任一點(diǎn)，連接 DP交AB的延長(zhǎng)線于Q求證:BC AB _BP BQB考點(diǎn)四：梅涅勞斯定理?考點(diǎn)說明：梅涅勞斯型在選擇和填空中考察較多，需要熟練掌握該定理以提高解題速度梅涅勞斯定理

7、：如果一條直線與 ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于 F、D、E點(diǎn)，那么AF BDFB DCCA"這條直線叫 ABC的梅氏線, ABC叫梅氏三角形.C 作 CG II DF證法一：如左圖，過DB FB EC DC FG， AE AFFGBCDAF BD CE AF FB匹邛AF AF AGFB - BD，BD BD CE DC，EA 一 AGDC - DC三式相乘即得:AF BDFB DCCE AG BDEA 一 BD DCAG證法三：如右圖,分別過A、B、C作DE的垂線，分別交于Hi、H2、FB DC EA FB FG證法二：如中圖，過 A作AG II BD交DF的延長(zhǎng)線于

8、貝U有 AH1 II BH2 II CH 3,所以生BD匹=如FB DC EA BH 2業(yè)如=1CH3 AHi【例10】如圖，在UABC中，M是AC的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn)，且AE AB，連接EM并延長(zhǎng)，交BC 4的延長(zhǎng)線于D，則BCCDA【例11】如圖，在 ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn)， BE交AD于點(diǎn)0.(1)當(dāng)A-1時(shí)，求A0的值；AC2AD(2)當(dāng)AE1二一、1時(shí)，求A°的值；AC34AD(3)試猜想AE-1時(shí)A。的值，并證明你的猜想ACn 1AD【鞏固】如圖， AD是 ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)（1）如果-是AD的中點(diǎn)，求證：

9、AF 1” FC 一2 'AF 1 AE（2）由（1）知，當(dāng)E是AD中點(diǎn)時(shí)，一一=-成立，若E是AD上任意一點(diǎn)（E與A、D不 FC 2 -D重合），上述結(jié)論是否仍然成立，若成立請(qǐng)寫出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由【拓展】在 ABC中，底邊BC上的兩點(diǎn)-、F把BC三等分，BM是AC上的中線，A-、AF分別交BM于 G、H 兩點(diǎn)，求證： BG:GH : HM =5:3: 2B-FC考點(diǎn)五：相似三角形的性質(zhì)?考點(diǎn)說明：利用相似三角形的性質(zhì)如對(duì)應(yīng)邊成比例，求線段的長(zhǎng)，或者轉(zhuǎn)化角度。如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形,則 BF:FD =()A. 4: 5B.4:9C. 4:10D. 5:9E 為 B

10、C 上一點(diǎn)，AE 交 BD 于 F。若 BE: EC =4:5 ,A已知 E 為梯形 ABCD 一腰 AB 上一點(diǎn)，且 AE:EB=2:1 , EF II BC 交 CD 于 F , AD =5 , EF =7 ,則BC長(zhǎng)為（）A. 8C.10B. 9D. 11如圖，在梯形 ABCD中，AB II CD , AB =a , CD , E為邊AD上的任意一點(diǎn)，EF II AB，且EF交BC于點(diǎn)F .若E為邊AD上的中點(diǎn)，貝U EF = （用含有a , b的式子表示）；若E為邊AD上距點(diǎn)A最近的n等分點(diǎn)（n_2,且n為整數(shù)），則EF = （用含有n , a , b的式子表示）CII-F如圖，n 1

11、個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)厶B2D1C1的面積為Si , B3D2C的面積為S2， BmDnCn的面積為Sn，則&=； Sn= （用含n的式子表示）5Q，若以A、如圖，在ABC中，AB=6 , AC=4 , P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交AB邊于點(diǎn)P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以 A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，貝U AQ的長(zhǎng)為（）A. 3B. 3或-3C.3 或-4D.43考點(diǎn)四：相似三角形的判定?考點(diǎn)說明：熟練掌握相似三角形的判定方法,如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為 1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與 ABC相似的是（）CAB在 ABC中，/B =25 , AD是BC邊上的高，且 ADBD DC，則.BCA的度數(shù)為如圖，已知.DAB=/EAC，若再增加一個(gè)條件就能使結(jié)論 ABDE二AD BC成立，則這個(gè)條件可以是已知：如圖，點(diǎn) P是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PB=3, BF_BP于點(diǎn)B，試在射線BF上 找一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B,M,C為頂點(diǎn)的三角形與