中央電大《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件

1、2、1 極限概念極限概念學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求 知道極限的概念（數(shù)列極限、函知道極限的概念（數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限）數(shù)極限、左右極限） 知道極限存在的充分必要條件：知道極限存在的充分必要條件：數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng) 數(shù)列是按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)數(shù)列是按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù) x1 , x2 , x n 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 x n 。數(shù)列也可看作是定義在正整。數(shù)列也可看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)數(shù)集合上的函數(shù) x n = f ( n ) ( n = 1,2, ) x n稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。數(shù)列的極限數(shù)列的極限 定義：給定一個(gè)數(shù)列定義：給定一個(gè)數(shù)列 x n ，如果當(dāng)

2、，如果當(dāng) n 無(wú)限無(wú)限增大時(shí)，增大時(shí)， x n 無(wú)限地趨近某個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限地趨近某個(gè)固定的常數(shù) A ，則稱，則稱當(dāng)當(dāng) n 趨于無(wú)窮時(shí)，數(shù)列趨于無(wú)窮時(shí)，數(shù)列 x n以以A 為極限。記作為極限。記作 l i m x n = A x n A (n) n 這時(shí)，也稱數(shù)列這時(shí)，也稱數(shù)列x n 收斂。即當(dāng)收斂。即當(dāng) n 時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列 x n 收斂于。否則，如果當(dāng)收斂于。否則，如果當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí) x n 不能不能趨近于某個(gè)固定的常數(shù)趨近于某個(gè)固定的常數(shù) ，則稱當(dāng)，則稱當(dāng)n 時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列 x n發(fā)散發(fā)散函數(shù)趨向于正無(wú)窮的極限函數(shù)趨向于正無(wú)窮的極限 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (

3、 x ) ，如果當(dāng)，如果當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)函數(shù) f ( x ) 無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A ，則稱當(dāng)，則稱當(dāng) x 趨于正無(wú)窮時(shí)，趨于正無(wú)窮時(shí)，f ( x ) 以以 A 為極限，為極限，記作記作 l i m f ( x ) = A 或或 f ( x ) A (n+) n 函數(shù)趨向于負(fù)無(wú)窮大的極限函數(shù)趨向于負(fù)無(wú)窮大的極限 定義定義 如果當(dāng)如果當(dāng) x0 ，而，而 x 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)函數(shù) f ( x ) 無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A ，則稱當(dāng)則稱當(dāng) x 趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，f ( x ) 以以 A 為極限，為

4、極限， 記作記作 l i m f ( x ) = A 或或 f ( x ) A (n-) n-函數(shù)趨向于無(wú)窮的極限函數(shù)趨向于無(wú)窮的極限定義定義 如果自變量如果自變量 x 本身既可以取正值也可以本身既可以取正值也可以取負(fù)值，且其絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)取負(fù)值，且其絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù) f ( x ) 無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A ，則稱當(dāng)，則稱當(dāng) x 趨于無(wú)窮時(shí)，趨于無(wú)窮時(shí)， f ( x ) 以以 A 為極限，記作為極限，記作 l i m f ( x ) = A 或或 f ( x ) A (n) n函數(shù)趨向于某一點(diǎn)的極限函數(shù)趨向于某一點(diǎn)的極限定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f

5、 ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的鄰域內(nèi)（點(diǎn)的鄰域內(nèi)（點(diǎn) x0 可以除外）可以除外）有定義，如果當(dāng)有定義，如果當(dāng) x 無(wú)限趨于無(wú)限趨于 x0 （但（但 x x0 ）時(shí)）時(shí)，函數(shù)，函數(shù) f ( x ) 無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A ，則稱當(dāng)則稱當(dāng) x 趨趨 x0 時(shí)，時(shí)， f ( x ) 以以 A 為極限，記作為極限，記作 l i m f ( x ) = A 或或 f ( x ) A (x x0 ) x x0 若自變量若自變量 x 趨于趨于 x0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f ( x ) 沒(méi)有一個(gè)固定的變化趨沒(méi)有一個(gè)固定的變化趨勢(shì)，則稱函數(shù)勢(shì)，則稱函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn)

6、 x0 處沒(méi)有極限。處沒(méi)有極限。函數(shù)趨向于某一點(diǎn)的極限函數(shù)趨向于某一點(diǎn)的極限定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的鄰域內(nèi)（點(diǎn)的鄰域內(nèi)（點(diǎn) x0 可以除外）可以除外）有定義，如果當(dāng)有定義，如果當(dāng) x 無(wú)限趨于無(wú)限趨于 x0 （但（但 x x0 ）時(shí)，函數(shù)）時(shí)，函數(shù) f ( x ) 無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A ，則稱當(dāng)，則稱當(dāng) x 趨趨 x0 時(shí)，時(shí)， f ( x ) 以以 A 為極限，記作為極限，記作 l i m f ( x ) = A 或或 f ( x ) A (x x0 ) x x0 若自變量若自變量 x 趨于趨于 x0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f

7、 ( x ) 沒(méi)有一個(gè)固定的沒(méi)有一個(gè)固定的變化趨勢(shì)，則稱函數(shù)變化趨勢(shì)，則稱函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處沒(méi)有極限。處沒(méi)有極限。函數(shù)極限存在定理函數(shù)極限存在定理 定理定理 當(dāng)當(dāng) x x0 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù) f ( x ) 極限存在的充分極限存在的充分必要條件是當(dāng)必要條件是當(dāng) x x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f ( x ) 的左右極限都的左右極限都存在且相等，即存在且相等，即 l i m f ( x ) =A l i m f ( x )= l i m f ( x ) x x0 x x0 x x0 +4、無(wú)窮小量、無(wú)窮小量 定義定義 在某個(gè)變化過(guò)程中，以在某個(gè)變化過(guò)程中，以0為極為極限的變量稱為在

8、這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮限的變量稱為在這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，常用希臘字母小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，常用希臘字母，等表示。等表示。 定理定理 無(wú)窮小量與有界變量的乘積無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小量。仍為無(wú)窮小量。1、極限的四則運(yùn)算法則、極限的四則運(yùn)算法則 定理定理 在某個(gè)變化過(guò)程中，如果變量在某個(gè)變化過(guò)程中，如果變量 u 與與變量變量 v 分別以分別以A，B為極限，則有以下結(jié)論：為極限，則有以下結(jié)論：（1）變量）變量 uv 以以 AB 為極限，即為極限，即 l i m (uv) = AB（2）變量 u v 以AB為極限，即 l i m (u v) = AB BAVUBAVUBlim為極

9、限以時(shí)，變量當(dāng)03推論推論1 若在某個(gè)變化過(guò)程中，變量若在某個(gè)變化過(guò)程中，變量 u 以以 A 為極限，為極限，k 為為常數(shù)，則常數(shù)，則 lim(ku)=klimu=kA推論推論2 若若 lim u= A ，則，則limun=An(n為正整數(shù)為正整數(shù))。推論推論3 若若 lim u= A ，對(duì)正整數(shù)，對(duì)正整數(shù)n，極限運(yùn)算的幾個(gè)推論極限運(yùn)算的幾個(gè)推論2) 1(lim1) 1)(1(lim11lim,1lim,211lim, 01lim112102xxxxxxxxxxxxxxx 極限的計(jì)算極限的計(jì)算3 3x x6 6x x5 5x x1 12 23 3x x limlim、解：原式解：原式3 3x

10、x3 3x x2 2x x3 3x x ) ) )( ( (l li imm) )( (l li imm2 2x x3 3x x 1 1 31)2()2(lim)2)(1()2)(1(lim223lim11221xxxxxxxxxxxxxx x1 1x x1 12 20 0 x x limlim、) )( () ) )( ( (l li imm1 1x x1 1x x1 1x x1 11 1x x1 10 0 x x 原原式式) )( (l li imm1 1x x1 1x x1 1x x1 10 0 x x 2 21 11 1x x1 11 10 0 x x l li imm解：解：1)21

11、1 (2lim)211 ()211)(211 (lim211lim000 xxxxxxxxxx41)2)(2(2lim)2)(2(4)2)(2()2(lim)4421(lim2222xxxxxxxxxxxxx解：原式解：原式3 3n n2 2n n3 31 1n n2 2L Li im m3 32 22 2n n 、2 22 2n nn n3 3n n2 23 3n n1 12 2 limlim3 32 2 解：原式解：原式3 3x x5 5x x2 21 1x x4 4L Li im m4 42 23 32 2x x 、3 33 3x x3 3x x5 52 2x x1 1x x4 4x x

12、 l li imm0 0 解：原式解：原式3 3x x5 5x x2 21 1x x4 4x xx xL Li im m5 52 22 23 3 、3 32 23 3x x3 3x x5 5x x2 2x x1 1x x4 41 1x x limlim m mn nm mn n0 0m mn nb ba ab bx xb bx xb ba ax xa ax xa am mn n0 01 1m m1 1m mm mm m0 01 1n n1 1n nn nn nx xl li imm結(jié)論結(jié)論18135)12(4)3()21 (limxxxx) )( (l li imm1 1x x2 21 1x

13、x1 16 62 21 1x x 、) ) )( ( (l li imm1 1x x1 1x x2 21 1x xx x1 1 原原式式解解) )( )( (limlim1 1x x1 1x x1 1x x1 1x x 2 21 11 1x x1 1x x1 1 l li imm第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限1 1x xx x0 0 x x s si in nl li imm 0 00 0 1 1無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小sinsin5335sin3sin5lim535sin33sin5lim5sin3sinlim333sin3lim3sinlim00000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

14、xxxxxxxxx555sin333sin5sin3sinlim04)3sin() 1)(3(lim)3sin(32lim323xxxxxxxx2) 1sin(lim21xxxx21) 11(sinlim) 11(sin) 11)(11(limsin11lim000 xxxxxxxxxxxx41) 1sin1(2sinlim) 1sin1(2) 1sin1)(1sin1(lim21sin1lim112sinlim0000 xxxxxxxxxxxxxxx1)sin1 (limsinlim0)sin1 (limsinlim00 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1sinlim1s

15、inlimsinlimsinlim00解： 原式=) )s si in ns si in nl li immx x1 1x xx xx x3 3x x7 70 0 （、x x1 1x xx xx x3 30 0 x x0 0 x xs si in nl li imms si in nl li imm x x1 1x x3 3x x3 3x x3 30 0 x x0 0 x xs si in nl li imm. .s si in nl li imm 0 03 3 3 3 ennn)(lim11第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限ettt1)(lim10e)(1)(1 無(wú)窮小量無(wú)窮小量exxx10)1

16、(lim212222)211 (lim)211 (lim)11 (lim)11 (limxxxxxxxxxxexxxxxxxx)21 (lim)11 (lim2解：解：原式原式x x1 10 0k kx x1 1x x8 8) )( (l li imm 、) )( () ) ( ( l li immk kk kx x1 10 0k kx x1 1x x k ke e 解原式解原式=3 3x xx x2 21 1x x9 9 ) )( (l li imm、1 1x x2 21 12 22 2x x0 0 x x ) )( (l li imm3 3x xx xx xx x2 21 1x x2 21

17、 1) )( (l li imm) )( (l li imm 2 2e e xxxxxxxx)31(lim)13(lim解：原式解：原式n nn n2 2x x2 2n n1 10 0s si in nl li imm 、x xn nn n2 2x x2 2x xn n. .s si in nl li imm x x 解：原式解：原式2 2x x4 4x xx x1 11 12 22 2 ) )s si in n( (l li imm、) ). .( () )s si in n( (l li imm2 2x x4 4x x4 4x x2 22 22 2x x ) )( (l li imm. .) )s si in n( (l li imm2 2x x4 4x x4 4x x2 2x x2 22 22 2x x 4 4 x x3 31 1x x2 21 11 12 20 0 x xs si in nl li imm 、解：原式解：原式) )( (s si in n) )( () )( (l li imm1 1x x2 21 1x x3 31 1x x2 21 11 1x x2 21 10 0 x x ) )( (s si in nl li imm1