九年級(jí)春季班第8講：等腰三角形的存在性問(wèn)題-教師版

1、QD等腰三角形的存在性問(wèn)題內(nèi)容分析6根據(jù)等腰三角形的定義，若A43C為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）= 3C; （2） BC=C4; （3） C4=43.但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會(huì)不存 在，所以等腰三角形的存在性問(wèn)題，往往有2個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤 其注意.知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：以函數(shù)為背景的等腰三角形問(wèn)題知識(shí)精講1、知識(shí)內(nèi)容：在用字母表示某條線段的長(zhǎng)度時(shí)，常用的方法有但不僅限于以下幾種：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長(zhǎng)度表示出第三邊；（2）全等或相似：通過(guò)相似，將未知邊與已知邊建立起聯(lián)系，進(jìn)而表示出未知邊（3）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A（z，x）、B（x2,y2）,則

2、d、8兩點(diǎn)間的距離為：AB = >l（xl-x2）2+（yl-y2）2 .2、解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式：（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分 式或根式方程）（3） 解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根.注：用相似的方法得到的代數(shù)式構(gòu)造一般比較簡(jiǎn)單，但對(duì)幾何能力的要求較高，用勾股定理則反之.例題解析【例1】如圖，已知AA8C中，X8=,4C=6, 8C = 8,點(diǎn)。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，ZADE=ZB.設(shè)8。的長(zhǎng)為x, CE的長(zhǎng)為y.（1）當(dāng)。為3C的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)：（2）求y關(guān)于x的函數(shù)

3、關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）如果A包七為等腰三角形，求x的值.【答案】（1） 9； （2） v = （0<x<8）:（3） 2 或 362【解析】解：:/£次?=180。一/4£>石一/位汨= 180°-= NB = NC,/. lSABDlSDCE . CE BDDC AB.v = £.dc = -（8-a） = -.AB 6648(1)當(dāng)。為 8c 中點(diǎn)時(shí)，x = 4, A CE = -x(8-4) = -Q _ r2(2)'y式的取值范圍為0vxv8.6(3)'分情況討論， 當(dāng)4時(shí)：V ZAED>ZC

4、= ZADE, ：.ADAE,此情況不存在: 當(dāng)乂。=。上時(shí)：.££ =必=1,即 £(87)= x,BD AD 6''解得：a=0 (舍)或x = 2：當(dāng)=。石時(shí)：:.ZDAE = ZADE = ZC./. DA = DC = 8-x.乂 DE _ CD* AD" AB 6-y 8-x= (8-x)2,解得:綜上的值為2嗎.【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查等腰三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論的運(yùn)用.【例2】已知，一條拋物線的頂點(diǎn)為E (-1, 4),且過(guò)點(diǎn),4 (3, 0),與軸交于點(diǎn)C, 點(diǎn)。是這條拋物線上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為加，且-3v/vT,

5、過(guò)點(diǎn)。作0K_Lx軸，垂足為K, DK分別交線段,4C于點(diǎn)G、H.(1)求這條拋物線的解析式：(2)求證：GH = HK；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求7的值.【解析】(1),，= -" + 1+4： (2)略；(3)m的值為二或3 - 36 2【解析】(1) 拋物線的頂點(diǎn)為E(T, 4),設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+l)2+4 (”=0)又丁拋物線過(guò)點(diǎn)(一3, 0 +4 = 0, ”=一1這條拋物線的解析式為y = -(文+4 ；（2） VJ （一3, 0）, E （-1，4）, C （0, 3）:.直線AE的解析式為y = 2x + 6 ；直線AC的解析式為y = x+3,丁。

6、的橫坐標(biāo)為而，£）K_Lx軸，J G （m,2加 + 6）, H （】,加 + 3）VAT （w, 0）, ：.GH=m + 3, HK=m + 3,:.GH = HK.（3） VC （0, 3）, G （川，2根+ 6）, H （川，川 + 3）1。若 CG = C，則 J/+ + 3>=82+而解得：町=T,嗎=-3都是原方程的解，但不合題意舍去: 所以這種情況不存在.2。若 GC=GH,則/+(2， + 3)2=6 + 3,解得：g=0,嗎=-2都是原方程的解，但網(wǎng)=0不合題意，舍去.3°若HC = HG,則=加+ 3,解得：5=3 3.綜上所述：當(dāng)CCG是等腰

7、三角形時(shí)，加的值為-上或3-3點(diǎn).2【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)背景下的等腰三角形的分類(lèi)討論問(wèn)題，注意對(duì)方法的選擇.模塊二：與圓有關(guān)的等腰三角形問(wèn)題）知識(shí)精講1、與圓有關(guān)知識(shí)內(nèi)容：在模塊一的基礎(chǔ)上，加入了與圓有關(guān)的要求。相關(guān)點(diǎn)主要有：（1）同圓內(nèi)半徑相等，提供了全等三角形的邊或角相等條件；（2）切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，提供了可使用的直角三角形2、解題思路：與模塊一類(lèi)似：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式 或根式方程）：（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根.例題解析4【例3】 如圖，在

8、m中，ZJCB = 90° , JC=8, tanB=-,點(diǎn)尸是線段上的一 3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心，E4為半徑的。尸與射線KC的另一個(gè)交點(diǎn)為。，射線尸。交射線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)。是線段班1的中點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)上在8C的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)E4=x, CE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě) 出定義域：（2）以點(diǎn)。為圓心，為半徑的。和。尸相切時(shí)，求。尸的半徑；（3）射線尸。與。尸相交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)PC、MC,當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求工尸 的長(zhǎng).【答案】（D y = 6-x, （0<a<5）； （2）。尸的半徑為三或肥：B536/（3）H尸的長(zhǎng)為丑或色或5或8./一13 13/ pX【解析】解：

9、（1），：AP = PD,： ZPAD = ZPDA,I /x）°:."BE = "EB,:PE = PB = "x,: SDCEACB, A CE = -D£ = 4（1O-2x） = 6-x>£5554a（2）可以求出，PQ = 8-x, PA=x, 8。= 6-435外切時(shí)，8 一x = x + 6 二x,解得：入=二， 553內(nèi)切時(shí)，8-士x = x- 6-±x,解得：x = >55 J6綜上所述，。尸的半徑為£或至：36分情況討論：PM=PC時(shí)，解得：X = 5 （此時(shí)E與C重合）:尸”=河。

10、時(shí)，解得：x = 8或x =13PC = MC時(shí)，解得：x = x = 0 （舍）.13綜上所述，4尸的長(zhǎng)為4或也或5或8.1313【總結(jié)】本題一方而考查了兩圓相切的分類(lèi)討論，另一方而考查了等腰三角形的分類(lèi)討論, 注意方法的歸納總結(jié).【例4】如圖，已知在向AA3C中，NAC3 = 90°, ,45 = 5, sin/A = ±,尸是3c邊上的一 5點(diǎn)，PELAB,垂足為E,以點(diǎn)尸為圓心，PC為半徑的圓與射線尸E相交于點(diǎn)。，線 段CQ與邊，送交于點(diǎn)D（1）求5的長(zhǎng)：（2）設(shè)CP = x, APC。的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）過(guò)點(diǎn)。作垂足為尸，聯(lián)結(jié)尸

11、F、QF,如果AP0F是以尸尸為腰的等腰三角形，求C尸的長(zhǎng).【答案】 AD = 3:（2） y = -x2（-<x<4）: 5（3）CP的長(zhǎng)為2或11【解析】（1）在氏及15C中，ZJC5=90%3C = A3.sinA = 4, A AC = 3. ； PC = PQ, :4PCQ = 4PQC . Z0ED = 90% A Z（?DE + ZP0C = 9O°. : /PCQ + ZACD =90% :. NQDE = ZACD . ： /QDE = ZADC , A ZADC = ZACD ：. AD = AC = 3.（2）作。 J.8C,垂足為點(diǎn)H. / &qu

12、ot;EB = ZACB =90°, ：. ABPE + ZABC =90°, ZABC + ZA =90°, 4 ZQPH = 3 ：. sin ZQPH =-.41 4,: PQ = PC = x, :.QH =芋,A y = ->-x>x>即y = 2一,定義域?yàn)?（3）解法一：在RqPBE 中，ZP£B=90。，BP = 4-x, sinZBPE = - 5:.BE = -（4-x） = -PE = 2（4-x） = - 5'' 5 55'" 5 5如果PF = PQ,那么72144 招用廠一一

13、x + = x,解得：x = 2 .2525如果' 那么卜會(huì)理二腎4嚕，解得：*=0 （不合題意，舍去），占=二. 1174綜上所述，如果尸。尸是以尸產(chǎn)為腰的等腰三角形，CF的長(zhǎng)為2或二4解法二：在 RmPBE 中,ZPEB=98,BP = 4-x, sinZBPE =-,如果PF = P。，那么'=尸。，： 4CF = 4FC , ZB = "FB,: PF = PB,:.CP = PB = 2.如果PF = FQ,那么PE = EQ ,.12 3812 一一工=一工一， 5 555解得：x = ,CP =.11 1174綜上所述，如果2小是以PF為腰的等腰三角形，

14、。尸的長(zhǎng)為2或充.【總結(jié)】本題主要一方面考查與圓有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，另一方面考查銳角三角比的運(yùn)用以及等腰 三角形的分類(lèi)討論，注意此題只需分兩種情況討論即可.7模塊三：與角有關(guān)的等腰三角形問(wèn)題知識(shí)精講9有時(shí)，等腰三角形通過(guò)邊來(lái)計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，而條件中又恰好有關(guān)于角的一些條件，此時(shí) 經(jīng)?？梢杂懻摻侵g的關(guān)系，再利用“等角對(duì)等邊”的性質(zhì)從而形成等腰三角形.2）例題解析【例5】 如圖1,在中，NX3C=90。，3 = 5, ZC= 30% 點(diǎn)。是KC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與工。重合），過(guò)點(diǎn)。分別作DEL"于點(diǎn)E, DFLBC于點(diǎn)、F,聯(lián)結(jié)EF,設(shè)=x, EF=y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域：

15、（2）以尸為圓心、FC為半徑的。F交直線于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G為,中點(diǎn)時(shí)，求x的 值；（3）如圖2,聯(lián)結(jié)3D,將沿直線3。翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)處，直線8廳與直線 乂。相交于點(diǎn)M，當(dāng)5DW為等腰三角形時(shí)，求乙1助的度數(shù).【答案】（1） y = 74x2-lOx + 25 （0<xv5）： （2） x 的值為？：2（3） /工助的度數(shù)為20°或40°或80°.【解析】解:（1）V DE-LAE，：.DEi!BC,：.DE = .BC = -.573 =底.AB 5/ y = 4BE? + 8尸=J,+ （后=，4/一心 + 25 （定義域?yàn)镺vx<5 ）；(2)作 G

16、HLBC 于 H,(3)分情況討論，設(shè) ZAB£)= a,則 NE 力3 = /££)5 = 90。一。,3D=AW時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在KC邊上時(shí)，/ ZE9DM = 180° - 30° - 2(90° - a) = 2a - 30° .:.NBMD = NBQM=9O0-c +勿一3O0 = a + 6O0.又丁 ZBMD = ZAC + ZC = 90°-2a + 30° = 120°-2« ,，a + 6O0 = 12O°-2a,解得：« = 20°；當(dāng)點(diǎn)

17、M在。，的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得=80。：時(shí),又,： DE 工 BM ,Z. ZMDE = ZBDE = ZBDE .又：ZMDE'+ ZBDE ABDE + ZADE = 180° ,： ZBDE = 50。, ：. ZABD = 4O° ：DW=8河時(shí)，/ ZBDM = ZA + ZABD>ZABD = ZMBD,: DM手BM ,不可能.【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)與圓有關(guān)的性質(zhì)定理的運(yùn)用，注意等腰三角形的分 類(lèi)討論.隨堂檢測(cè)【習(xí)題 1】 已知：如圖 1,在梯形4BCZ）中，NBCZA90。，8c=11, CD=6, tanNX3C=2,點(diǎn)E在邊上

18、，且4E=3瓦），EF/AB交8C于點(diǎn)F,點(diǎn)河、N分別在射線莊和線段8上.（1）求線段CF的長(zhǎng)：（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在線段在上，且設(shè)EMcosNE尸C=x, CN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域:（3）如果也 14N為等腰直角三角形，求線段的長(zhǎng).5r2 -14r-15【答案】（1）C尸的長(zhǎng)為5：（2） y =-一上（O<X<1）：2a-611（3）線段皿的長(zhǎng)為已或已有或上有. 33【解析】(1)作4G«L5C于點(diǎn)G, /. ZBGA = 90%： 4BCD = 90。，ADBC, ：.AG = DC = 6.VtanZJBC= 竺=2,:.BG=3, BGV

19、5C=11.GC=8. A,W = GC=8, ：.1E = 3ED：.AE = 6, ED = 2,:ADBC, ABJ/EF,:BF = AE = 6,:.CF = BC-BF =、.(2)過(guò)點(diǎn)河作尸。J_CD,分別交48、8、HG于點(diǎn)尸、0、H,作于點(diǎn)R, 易得G=C0 = MR.；MFs/EFC = x, ：.FR = x. VtanZJ5C = 2, ：.GH = MR = CO = 2x.：.BG=3,由 8F=6,得：GF=3,:HM=3+x, MO=CF-FR = 5-x, AH=AG-GH=6-2x.? NAMQ=/AHM+NMAH,且4出690。， ，4MAH=/NMQ,.

20、aw" .sz AH HM un 6 - 2x 3 + x.AHM s AWQV =,即=,MQ NQ 5-x y-2x5r2 -14x-15/. y =-一上，定義域：OVxKl；2x-6(3)NJAW =90。1)當(dāng)點(diǎn)河在線段EF上時(shí)，: MHM s ,且 XMiWV,：.AH=MO.*. 6-2x = 5-x,x = 1：.FM=yf52)當(dāng)點(diǎn)M在FE的延長(zhǎng)線上時(shí)同上可得，4H=M0:.2x-6 = 5-x 11 , x = 7 FM = y/5390°過(guò)點(diǎn)N作尸QJ_CQ,分別交.45、HG于點(diǎn)尸、H, 作3c于交BC延長(zhǎng)線于交直線PN于點(diǎn)0, ,:AN = MN,

21、易得 MHN g g/QM：.AH=O. HN = MO = 8令 PH=a,則/48=2。，DN=2q, CN = 6-2a"K = 5 + 2。，八四=8+ (62) =1422由此? = 2網(wǎng)得=：,3；.FR=, MR=, ：.FM = y/5 . 333綜上所述，線段尸M的長(zhǎng)為方或U"或12番. 33【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)也較多，包含了銳角三角比、相似等知識(shí)點(diǎn)的綜合 運(yùn)用，并且本題考查的是等腰直角三角形的分類(lèi)討論，注意相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用.【習(xí)題2如圖，已知在平行四邊形,438中，.宓=5, BC=8,點(diǎn)尸是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以C尸為半徑的圓C與邊,4。交于

22、點(diǎn)E、F （點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線 CE與射線A4交于點(diǎn)G.（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn),4時(shí)，求C尸的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)AP,當(dāng)JP/CG時(shí)，求弦即的長(zhǎng)：（3）當(dāng)ZUGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng).【答案】（1） CF的長(zhǎng)為5： （2） EF 工4B（3 ）圓C的半徑長(zhǎng)為JHL【解析】解：（1）作.四于H：.BH=4, AH =3, ：.CH=4.：.AC = >jAH2+CH2 =5, ：.CP = AC=5,(2).m/CG, .JPCE為平行四邊形，又 CE = CP, ：.APCE為菱形.設(shè) C9= x,則乂尸=CR A yAH2 + PH2 =CP .即產(chǎn)石彳=%，解得：x =？，.

23、七尸=（：(3)設(shè)AE = f,則CE = 5/9 + (47./. AG 5, G£ = J9 + (4-f)2 .8 f8 f y分情況討論 AE = AG,解得：z=3：39 AE=GE,解得：”不，此時(shí)E在F點(diǎn)右邊，舍去; AG = GE,解得：，=0或，=8,均不可能，舍去.【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用，注意第（3） 小問(wèn)中對(duì)求出的值的取舍.課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖，在中，ZC= 90° , BC=3, H3 = 5 .點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng) 度的速度沿C-,4

24、-8的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8后立即原速返回，若尸、。兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)， 相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.(1)當(dāng)/=秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。相遇：(2)在點(diǎn)尸從點(diǎn)5到點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)f為何值時(shí)，APC。為等腰三角形?【答案】7： (2) / =.17【解析】解：。到3點(diǎn)需要山= 4.5s, 2此時(shí)P點(diǎn)行了 4.5個(gè)單位，兩點(diǎn)相距3+4 + 5-45 = 7.5個(gè)單位，再過(guò) 1 = 2.5$,即一共過(guò)7秒后，尸與。相遇.(2)尸在3到。的過(guò)程中，。從C4邊到了 .13邊，需要分情況討論。在X。邊上，即f<2s時(shí)，V ZC = 90°.，只可能。尸=C0.，3，= 2/,解得：，=1：。在邊且未到8點(diǎn)時(shí)，即3s>f>2s時(shí)，a)CQ = PO9 作 0HL4C 于 H.171:QH =、PC ,A-(2r-4) = -(3-/),解得:r =：b)PC=CQ,CQ > 2.4 ,在 3s>f>