導數(shù).第1級.導數(shù)

1、第1講導數(shù) 我們在一起吧當前形勢新課標剖析導數(shù)及其應用在近五年北京卷（理）中考查 1314 分內(nèi)容ABC具體要求導數(shù)的概念通過對大量實例的分析， 經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知導數(shù)概念及 其幾何意義導數(shù)的幾何道瞬時變化率就是導數(shù)， 體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵意義通過函數(shù)圖象直觀地理解導數(shù)的幾何意義根據(jù)導數(shù)定根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù) y C ，y x ，y x2，y x導數(shù)的運算義求簡單函 數(shù)的導數(shù)y 1， y x 的導數(shù) x導數(shù)的四則能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)導數(shù)公式表會使用導數(shù)公式表要求層次3，高考 要求北京2009

2、年2010 年（新課標）2011 年（新課標）2012 年（新課標）2013 年（新課標）高考解讀第 18 題 14 分第 18 題 13 分第 18 題 13 分第 18 題 13 分第 18 題 13 分導數(shù)的引入我們在必修一的時候?qū)W習了函數(shù)單調(diào)性的知識，可以從變化趨勢來研究函數(shù)比如增函數(shù)就是越來越大的， 減函數(shù)就是越來越小的 我們知道了函數(shù)的增和減之后， 自然引出的問題就是增和減的速度 就 好比我們還是嬰兒的時候，最開始掌握的運動方式是爬，開始是練習向前爬和向后爬，能掌握方向了 之后，就要開始關注爬的速度有些社區(qū)還會組織嬰兒爬行比賽回到函數(shù)的角度，我們原始的函數(shù) 定義解決的是 “在哪里

3、”的問題（代入坐標求解） ，必修一的函數(shù)單調(diào)性這一節(jié)中我們初步解決了“往哪走”的問題現(xiàn)在我們要研究的就是在大概知道 “往哪走”的前提之下，解決具體 “怎么走”“走多快 ”的 問題為了研究此類問題，聰明的人類引入了導數(shù)的概念在介紹導數(shù)之前，我們先來了解一個簡單概念：平均變化率1.1 導數(shù)的概念知識點睛 函數(shù)的平均變化率 ：一般地，已知函數(shù) y f(x)， x0， x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記x x1 x0，y y1 y0 f (x1) f(x0) f(x0 x) f(x0)，則當 x 0時，商 f(x0 x) f(x0) y稱作函數(shù) y f (x)在區(qū)間 x0,x0x (或 x0 x,x0)x

4、x上的平均變化率 【教師備案】講變化率的時候可以和速度結(jié)合到一起，比如小車問題(課件中有圖) 有一個小車在忽忽悠悠的往前開，我們每隔1 秒鐘拍一張照片，就可以得到如下的圖：t 1s 時：0m2m8m18m0s1s2s 3s這時計算平均速度就可以用位移差除以時間差，這其實也是速度的定義：速度就是位移的 變化率那么平均速度也就是位移的平均變化率我們也可以把時間間隔變成0.5 秒，就會變成下圖：t 0.5s 時：0m2m8m18m0s 0.5s 1s 1.5s 2s 2.5s 3s比如我們要計算 1 到1.5秒間的平均速度，也需要用位移差 s t 如果我們排除位移、速度這樣的具體物理概念，只研究 “

5、變化 “這件事的話，我們就可以得 到更廣泛的平均變化率的概念建議老師可以換一個例子，比如從圓的面積隨半徑的變化率入手x x x2x我們很容易發(fā)現(xiàn)，在半徑均勻變化的時候，圓面積隨半徑的平均變化率并不是均勻的，而 是越變越快 這個現(xiàn)象在生活中有很實際的例子， 比如我們?nèi)ベI蛋糕的時候， 六寸、 九寸、 十二寸的蛋糕價格并不是均勻增長的， 從九寸到十二寸的價格增長一定比從六寸到九寸的 價格增長大平均變化率有本身的缺陷， 比如小車問題中， 我們看到從 0s到1s的平均速度是 2m/ s，但 是我們并不能說這一段時間每一個時刻的速度都是2m/ s蛋糕問題也是一樣的，比如我們有一個神奇的蛋糕，會越變越大，原

6、來是六寸的，一段時間后漲到了七寸，然后出現(xiàn)一 個神奇的小狗，把新出來的寬為一寸 “蛋糕環(huán) ”吃了，最后剩下的還是一個六寸的蛋糕那 么這段時間蛋糕大小的平均變化率應該是0 ，從這個角度講蛋糕是沒變的，但實際過程中有很復雜的變化平均變化率在刻畫此類問題的時候顯得不夠精確了還有很多的例子，比如有一個人投資股票，一開始投入了10塊錢，一年之后收回 10 塊錢，那么這一年中的平均變化率就是 0 ，但是這一年中肯定有起伏的變化老師可以選取自己 比較擅長的例子進行講解產(chǎn)生這個問題的重要原因是平均變化率只能刻畫一個x 上的平均情況，只考慮起點和終點兩個時刻的狀態(tài)，而對于中間狀態(tài)沒有刻畫(這里的x 可以指時間，

7、也可以指剛才提過的半徑變化) 而當我們精確處理每一個瞬間變化情況的時候，自然的想法就是讓x 無限的小此時得出的變化率就是瞬時變化率我們可以重新看剛才舉的例子，比如小車的問題，當時間間隔無限小的時候，得到的結(jié)果 就是瞬時速度 圓的例子也是一樣的， 圓的面積隨半徑的平均變化率是 2x x ，當 x趨 向于零的時候，瞬時變化率也就變成了2x 這樣我們就可以從平均變化率的問題引入到瞬時變化率的問題教師備案】教師可以由前兩個小車問題講解平均變化率，在學生理解什么是平均變化率后，讓學生做例 1尖子班學案 1 也是平均變化率的問題，老師也可以選擇性的讓學生做做 建議 老師在讓學生計算平均變化率之前多舉一些簡

8、單的例子，可以參考鋪墊題中使用具體的 某個數(shù)來計算平均變化率，然后再讓學生去做用x0 解平均變化率的題對于學生來說，一個比較合理的學習順序是這樣的：最后我們加入的易錯門診，強調(diào)的是導數(shù)的定義然后就可以進入第二板塊：導數(shù)的運 算了2 函數(shù)的瞬時變化率、函數(shù)的導數(shù) ：設函數(shù) y f (x) 在 x0 附近有定義，當自變量在x x0 附近改變量為 x 時，函數(shù)值相應的改變y f (x0 x) f (x0) 如果當 x 趨近于 0時，平均變化率yxf(x0 x) f(x0) 趨近于一個常數(shù) l ，那么常數(shù) l 稱為函數(shù) xf (x) 在點 x0 的瞬時變化率當 x趨近于零時， f(x0x) f ( x

9、0 )趨近于常數(shù) l ”可以用符號xf (x0x) f(x0)x當 x 0 時，”記作：l ”，或記作 “l(fā)im f (x0x)f (x0)x0l ”，符號”讀作 “趨近于”函數(shù)在 x0 的瞬時變化率，通常稱為 這時又稱 f(x)在 x x0處是可導的 “當 x 0時， f (x0 x) f (x0)f (x)在 x x0處的導數(shù)，并記作 f (x0) 于是上述變化過程，可以記作f (x0 x) f (x0)f (x0) ”或“l(fā)imx0f (x0) ”經(jīng)典精講xfx2x2 在區(qū)間 3，3f (3 x) f(3)總結(jié)】考點 1： 導數(shù)的定義【鋪墊】求下列函數(shù)在區(qū)間2，2x和 3，3x上的平均變

10、化率 f xx f(x) x2【解析】 f xx 在區(qū)間2，2x 上的平均變化率為yf (2x)f(2) 2x2xxxfxx 在區(qū)間3，3x 上的平均變化率為yf (3x)f(3) 3x3xxx f x2x2在區(qū)間2，2x 上的平均變化率為yf (2 x)f (2)222 x 221；1；xx上的平均變化率為22x 326 x ；x 可以讓學生感受一下函數(shù)變化快慢，比如從上題的結(jié)果來看，在相同的時間內(nèi)一次函數(shù)的變 化是一直不變的；二次函數(shù)的變化是越來越快的教師備案】教師可以先講鋪墊，根據(jù)鋪墊讓學生從具體的區(qū)間體會函數(shù)的平均變化率，再由具體的 區(qū)間引申出一般區(qū)間的平均變化率，然后講例1例 1】

11、平均變化率與瞬時變化率 求下列函數(shù)在區(qū)間 x0 ， x0 x 上的平均變化率 f (x) x f(x)2 x31 f (x) x3 f (x)x f(x)x 求下列函數(shù)分別在x 1 ，x2 和 x3處的瞬時變化率 f (x) x f(x)2 x31 f (x) x3 f(x) f (x)xx追問】從瞬時變化率角度分析每個函數(shù)的整體變化趨勢，我們可以很明顯的看出對于一次函數(shù)，二次函數(shù)，三次函數(shù)來說，次數(shù)越高，往后變化越快教師備案】求例 1 的瞬時變化率時，前三個是讓學生體會簡單函數(shù)的瞬時變化率，老師可 以重點講前三個，然后讓學生自己體會后兩個；如果學生的程度特別特別好， 可以求下面兩個函數(shù)在 x

12、 1 處的瞬時變化率 f x sin x f x cosx解析】 yf (x0x)f(x0 )xxyf(x0x)f(x0)xxyf(x0x)f(x0)xxyf (x0x)f (x0)xxyf (x0x)f (x0)xxx0x x01；x22x0xx02x0x；x33x0xx0223x023x0 x ( x) ；x11x0x x01；2xx0 x0xx0xx01.xx0x x0 y x 同理在1， 在 x 1處的瞬時變化率為 f (1)2 處的瞬時變化率為 f (2) 1 ；在 xylim lim 1 1 ；x 0 x x 03 處的瞬時變化率為 f (3)1 y x 同理在 x2x0x ， 在

13、 x 1處的瞬時變化率為2 處的瞬時變化率為 f (2) 4 ；在 xyf (1) lim lim 2x 0 x x 0 3處的瞬時變化率為f (3)6223x03x0 x ( x) ， 在 x 1處的瞬時變化率為同理在 xf (1) lim y limx 0 x x 02 處的瞬時變化率為 f (2) 12 ；在 x 3處的瞬時變化率為12x0 x0，在 x 1處的瞬時變化率為 xy f (1) lixm0 yxf (3)lixm027 1；同理在 x2 處的瞬時變化率為 f (2)1；4在 x 3 處的瞬時變化率為f (3) yx 在 x 1處的瞬時變化率為 f (1)lixm0 yx1

14、lim x 0 1 x 124；1；212213 2 3 6 總結(jié)】由例 1 看出一次函數(shù)的增長速度不變，二次函數(shù)三次函數(shù)的增長速度越來越快， 增長的，只不過增長速度越來越慢 教師備案】 只求在 x 1處的瞬時變化率，解析為： sin x0 x sinx0同理在 x 2 處的瞬時變化率為 f (2)在 x 3 處的瞬時變化率為 f (3)x 也是在 y f (x0x) f (x0)xx2x sin x0 2sin2 xsinx0 cos x 1 cosx0 sincosx0 sin xsin x0xsin2xsinx22cosx0sin x ，x在 x 1 處的瞬時變化率為 f 1lim yx

15、 0 xlixm0xsin sin1 2 xxsin2sincos1xxcos1 y f (x0x) f (x0)xcos x0xcosx0cosx0sin2x2xsinsin xsinx0，x在x1處的瞬時變化率為y lim lim cos1 x 0 x xxsin2x2xsin2sin1sin xsin1 教師備案】 的解析用到了lxim0 sin xx 0 x1的結(jié)論：證明： lxim解析】0 sinx sinx1x sinx lim x 0 xsin x10xsin x 為偶函數(shù)，只考慮xx tanx ， 從 圖 sin x tan xcosx ；容易證明1x 0 的情形，上直接讀出l

16、imcos x 1；于是由夾逼定理 1 lim sinx x 0 x 0 x這個證明過程是不嚴格的，只從對極限的直觀上作個說明)1 ，于是x 上的平均變化率，在 x 1 處的瞬時變化率與導數(shù)提高班學案 1解析】 函數(shù) f(x) 在 1，1 x 上的平均變化率為32x) (1 2) ( x)3 3( x)2xy3f (1 x) f(1) (1 x)32(1xxxx在x1處的瞬時變化率與導數(shù)相等，為f(1) lim y lim f(1 x)x 0 x x 0 xf(1)lixm0(2x)2 3 x 1) 1 拓 1】 求函數(shù) f (x) x3 2x 在 1，12( x)2 3 x 1，尖子班學案

17、1【拓 2】已知 f x kx 4 k 0 ，且 f x 在區(qū)間 1，2 上的平均變化率是 4 ，則 k 【解析】 4f 2 2k 4 ， f 1 k 4 ， f 2 f 1 2k 4 k 4 3k所以 f x 在區(qū)間 1，2 上的平均變化率為 3k k 4 2 1 2 1 3總結(jié)】一次函數(shù)的平均變化率就是斜率目標班學案 1【拓3】 質(zhì)點 M按規(guī)律 s t at2 1作直線運動， 若質(zhì)點 M在t 2s時的瞬時速度為 8m/s，求 a的值解析】 質(zhì) 點 在 2s 時 的 瞬 時 速 度 為 s 2litm0 s litm0 s(2t) s(2)t 0 t t 0litm0 4a a t 4a 8

18、 ， a 2x0處可導，則limx0x03xx)正理解，原來的建議板書：x是 x x x ，跟 x2 x1是一回事，所以這里用 x2 x1給學生講更直觀，1A f x0B 3f x0C f x0D 03分析】 此 題很容易出錯教師可以引導學生根據(jù)導數(shù)的定義來求解，從而加深學生對導數(shù)定義的真函數(shù)值的差f x2f x1x2 x1x2 x1自變量趨近相等自變量的差B因為 fx 在 xx0處可導，所以fx0 t f x0fx0 3 x f x0 ，f x0lim0 0 limt0t x 03x解析】lim x2 x1所以 lim3f x0f x0 3 x f x0x 0 x 教師備案】在講完易錯門診后

19、，學生對導數(shù)的定義可能還有一些模糊，這時老師可以選擇下面的 道小題讓學生做做，讓學生把導數(shù)的定義理解透徹 若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 (a ，b) 內(nèi)可導且 x0(a ，b) ，則 lim f(x0 h) f (x0 ) 的值為()A f (x0 )設f (3)A若1f(x0 lim x0B 2f (x0 )Cf (3 h) f (3) 0 2hC則 lhimB2 x)3x2f (x0)f (x0 )D0D11 ，則 f (x0) 等于A23B設 f(x)在 x0可導，A 2f x0解析】 CB因為 f(x) 在 x0可導，所以f x0x fx03 x 等于()0xC3fx0D 4fx0f

20、x0hf x0fx0 hf x0f x0limlimC 32D則xhh f (x0 2 x) f(x0) limx 0 3 x2f(x0 2 x) f (x0)lim23 f x0 1 ，3x02xDx0f x0x f x0 3 xlimx0f x0x f x0 3 x4lim 0 0x 0 4 x4f x0知識點睛f (x0 h) f (x0)f x0 h f x0lhim0lhim0hh 0 hBf (3limh) f(3)1lim f(3 h) f (3)1 f 32h02h2 h 0 h2B現(xiàn)在我們要做的是從某一個點處的導數(shù)向一個函數(shù)的導數(shù)過渡 延續(xù)我們剛才的學習順序：關于求導公式：常

21、見的求導公式我們可能并不會推導，但是建議和學生提及一下推導的要點，并說明 這個推導并不是高中知識范疇之內(nèi)的這樣可以讓學生比較信服，也可以和學生強調(diào)公式是前人推導 出來給我們做題用的1可導與導函數(shù)：如果 f (x)在開區(qū)間 (a , b)內(nèi)每一點都是可導的， 則稱 f (x)在區(qū)間 ( a , b)可導這樣，對開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每個值 x ，都對應一個確定的導數(shù) f (x) 于是，在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)， f ( x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我1x，xx x 的導數(shù)推導們把這個函數(shù)稱為函數(shù) y f (x)的導函數(shù)記為 f(x)或y(或 yx) 導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)如果不特別指明求某一點的導數(shù)，那

22、么求導數(shù)指的就是求導函數(shù)2常用函數(shù) f x C，f x x，f x x2 ，【教師備案】常用函數(shù)的導數(shù)推導過程如下：lixm0xxlixm0 C Cx 0 x0；limxlimxxx1；lixm0xxlixm0x2xxx2lixm0 2xx 2x ；limx0111 limx0x 0 x x x xlixm0 x x12；xlixm0x12x3基本初等函數(shù)的導數(shù)公式若 f x C ( C為常數(shù))，則 f x 0；若 f x x ( Q ) ，則 f x x 1 ；若 f x ax，則 f x axln a ；特別地， 若 f x ex，則 f x ex ； 11若 f x loga x，則 f

23、 x 1 ；特別地，若 f x lnx ，則 f x 1 ；xlna x若 f x sinx ，則 f x cosx ；若 f x cosx ，則 f x sinx 【教師備案】基本初等函數(shù)的推導過程不要求學生掌握，學生只需把導數(shù)公式記住就行， 老師在講完 導數(shù)公式后可以讓學生做例 2 ，本題可以老師帶領學生一起做4導數(shù)的四則運算法則：其中f(x)，g(x)都是可導函數(shù)， C為常數(shù)：(f(x) g(x) f (x) g(x)；f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)；Cf(x) Cf (x)； f(x)f(x)g(x)2 f(x)g(x)(g(x) 0)g(x) g (x)教師

24、備案】這里只證一個加法的四則運算xgxxf x g x設 y f xg x ，則 y f xfxxfxgxx g x fg y fg ， lim y limfglimflim g ，即 yfgfgxxx x 0 x x 0xxx0xx 0 x我們也可以換一種方式來解釋這個公式基本上所有學生都學過 “水上行舟 ”問題，我們可以把 x 看做是時間， f x 看做是船的位移，gx 看做是水的位移，那么 f x和g x分別指的就是船和水的瞬時變化率，也就是速度這樣我們的公式也就很好理解了 f x g x 總的位移， f x g x 就是總的速 度，自然等于右邊 f x g x ，也就是船速加水速四則運

25、算記憶法則： 加法的導數(shù)等于導數(shù)的加法； 常數(shù)與函數(shù)之積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)； 乘法的導數(shù)等于第一個導數(shù)乘以第二個第二個導數(shù)乘以第一個；除法的導數(shù)等于分母不動乘以分子導數(shù)減去分子不動乘以分母導 數(shù)，再除以分母平方關于復合函數(shù)求導知識點，老師們可以根據(jù)學生情況進行選擇我們例題中沒有相關試 題具體將在同步講解復合函數(shù)的求導：對于可導函數(shù) y f (u)，u u(x) ， fx df df du fu ux dx du dx教師備案】 講完導數(shù)的四則運算，可以讓學生做例2 ；例 2屬于簡單函數(shù)的四則運算，例 2屬于需要先把函數(shù)化簡，再用四則運算 ；對于目標班的學生，因為程度比較好，所以可以

26、讓學生做做目標班學案 2；在例 2 的后邊還有一個【挑戰(zhàn)十分鐘】 ，【挑戰(zhàn)十分鐘】的主要 目的是讓學生熟練導數(shù)的四則運算，可以讓學生在規(guī)定的時間內(nèi)做做經(jīng)典精講考點 2： 導數(shù)的運算例 2】導數(shù)的運算 求下列函數(shù)的導數(shù)2012 xy x y 2 求下列函數(shù)的導數(shù) y x3cosx yxy e y lnxx2 3x 1 ex y exsin xyxln xftanx 求下列函數(shù)的導數(shù)2 1 1 f x x x22 yxx解析】 y 2012x 2011 ； y 2xln 2；y 3x2 sin x ； y 2x 3 exx11x1 f x xxsin2x cos2yxe；y1x2 x3x 1 ex

27、2 xx 2 ex ； y ex sin x ex cosx ex sinx cosx ； yln x 1ln2xsinx cosx22 cos x sin x122cos xcos x(sin x) cosx sin x(cos x)2 cos xx 先化簡 ， y x 1x11xxf xx3 1 1， f x 3x2 先使用三角公式進行化簡 f x12；x1113221212xxyx2x222xx1x sincosxsinx222111xx sin xx (sin x)1 cosx222挑戰(zhàn)十分鐘】 讓學生熟練的掌握求導公式以及導數(shù)的運算法則求下列函數(shù)的導數(shù)yyyysin xcosx； y

28、 x 1 ；y1x；yxex ；y2xsin x ； y x ln xxxxcosxsin1x ； y 1； yx；2；yx11 ；ysin x 2； y 2x2x 11 x2x1xx22； y 2x2 33x 1； yx12 xx11 314 2x3； y2 ； y x4 3x2 5x 6 ； y3 x22x cosx ； yx2 sinx ；5 ； y 2 sinx ； y2x cosx ；223x2 ；y3； y 4x 6xxcosxsinx； y11 2 ； yx2xln xx；yxsinx ； y解析】 yyy12 x12x； y1 x ex ； yyxcosx sinx2；xy28

29、2x ； y2；2；2x 1yx2 2ysinx xcosx ；2；2；x12x；y218x2 4x 9 ； y3x2提高班學案 2拓 1】設函數(shù) f x 2x3 ax2 x ， f 1 9 ，則 a 解析】 12 f x 6x2 2ax 1且 f 1 9 ， 6 2a 1 9，解得 a 1尖子班學案 2拓 2】已知 f x ln x ，若 f a 0 ，則 lna x解析】 1ln x1 ln x ，由 fa 0得 1 l2na 0，a2lna 1x2x例 3 引入】 導數(shù)實際也是一個函數(shù)，和原函數(shù)密切相關，關于導函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等等我們會 在春季課上重點介紹在預習課里我們先介紹一個函數(shù)

30、的基本性質(zhì)在函數(shù)中我們有這樣的結(jié)論： y f x 是一個函數(shù)，是可以 “動 ”的，而 y f 1 就是一個 數(shù)，因為自變量已經(jīng)取定了，他就不能“動 ”了所以在函數(shù)考察中曾經(jīng)有過這樣的問題：f x 1 2xf 1 ，求 f x ”，我們的做法很簡單，就是把 x 1代入，求出 f 1 的值即可解這類題的關鍵就在于理解 f 1 其實是一個固定的數(shù)例 3 就是這類題在導數(shù)中的 考察比如例 3（ 1）中的 f 1 表示的就是 f x 這個函數(shù)在 x 1處的導數(shù)，這是一個 固定的數(shù)這類題解法的基本過程是：通過求導把原式轉(zhuǎn)化為一個導函數(shù)的等式，然后 代入需要求的值 強調(diào)這個概念的目的是防止學生在計算 f 1

31、 x 導數(shù)的時候把它當做兩 個函數(shù)相乘求導例 3】f a 實際是一個數(shù)已知 f x 3x3 2f 1 x 5，則 f 2 已知函數(shù) f x f cosx sin x ，則 f 的值為44 已知函數(shù) f xsinx2xf 3，則 f3與f3的大小關系是（ ）A f fB ffCff D 不能確定333333 30求導得 f x9x22f 1 ，所以 f192f1， f 1 3解析】所以 fx 9x26所以 f 2301fxfsin xcosx ， ff sin cos， 解得 f 2 1444 4 44f22121422B因為 f x cosx 2f ，fcos2f，所以 f 1333332則

32、f x sinx x ，所以 f3 ，f3 ，323323經(jīng)比較可知 f1.3 導數(shù)的幾何意義知識點睛設 函 數(shù) y f(x)的圖B(x0 x, f(x0x) 的y f (x0 x)f (x0)圖所示 AB為過點 A(x0, f(x0)與條割線由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化xx率當點 B沿曲線趨近于點 A時，割線 AB繞點 A 轉(zhuǎn)動，它的最終位 置為直線 AD，這條直線AD叫做此曲線在點 A的切線，即 f(x0 x) f (x0)limx 0 x切線 AD 的斜率，簡單地說， 曲線上某一點處x切線的斜率就反映了曲線在這點處的變化率，所以說切線的斜率就是導數(shù)教師備案】切線

33、的定義：直線l與曲線C有一個交點 ”，是“直線l是曲線 C的切線”的條件解析】 既不充分也不必要 一方面：只有一個交點不見得是切線，如圖1；另一方面：切線不見得只有一個2；更加強，切線與函數(shù)圖象可能會有無數(shù)個交點，如圖2yOx圖3對于程度很好的學生可以進一步解釋：相切只是局部概念，不是整體概念，比方說知識點睛中的圖只是在 A 點附近割線逼近的情況，至于這個范圍以外的部分和切線無關什么是切線的的斜率，舉個例子：函數(shù) f (x) 的圖象在 x 3處與 x 軸相切，在 x 1 與 x 為 AB，CD ，其中 A ，B ，C ，D 的坐標分別為 0，3 ， 6，3 ，如圖，則 lixm0 f(1 x)

34、 f (1) ； fx 0 xf 5 y解析】32，0，limx0f(1 x) f (1) 可以看出是在求函數(shù)在 xx 1 處的瞬時變化率，由導數(shù)的幾何意義知， 在lixm0 f(1x0x) f (1) x2 ，同理 f 3 0 ， f 5 kCD 2【教師備案】例 4 主要講導數(shù)與切線斜率之間的關系，讓學生從圖象上充分了解導數(shù)與切線斜率之間 的關系， 老師在講完導數(shù)的幾何意義后可以讓學生做例4；在學生理解導數(shù)與切線斜率之間的關系后講切線方程，例 5主要是求切線方程，例 5 后邊有一個【挑戰(zhàn)十分鐘】 ，老師 可以以例 5 為例講切線方程，以【挑戰(zhàn)十分鐘】為練習讓學生熟練的求切線方程；例 6 主

35、要講切點的核心作用，讓學生靈活的運用導數(shù)與切線之間的關系，對于目標班的學生， 因為程度很好，可以讓學生做做目標班學案3經(jīng)典精講考點 3：【例 4】導數(shù)的幾何意義導數(shù)等于切線斜率如圖，直線 l是曲線 y f(x)在x 4處的切線，則 f (4)解析】如圖，是y曲線 y f(x)在點 M (2 ，f (2) 處的切線方程2x 3， f(2) f (2) 函數(shù) yA11，fsinx 的圖象上一點B 32是偶函數(shù)若曲線1 處的切線的斜率為C22在點1，f1233 處的切線的斜率為12 處的切線的斜率為 2 ，則該曲線在點D3x 2時， y 1 f 2 ， y2x 3的斜率為 2 ，故 f 2 2， f

36、(2) f (2) 3 D2由偶函數(shù)的圖象關于 y軸對稱知， 在對稱點處的切線也關于 y軸對稱，故所求切線的斜率為 2 也可由特殊函數(shù) y x2 得到此題答案例 5】切線方程已知曲線 y x 直線 l 的斜率為 k 5 3 1，所以 f (4)4 0 2上一點 A 1，2 ，求曲線在點 A 處的切線方程x( 2010豐臺一模文 12)函數(shù) f (x) ln x的圖象在點 e, f (e) 處的切線方程是【追問】求 y ex在 (x0，f(x0) 處的切線方程，并且計算切線和x 軸交點的坐標由此找出指數(shù)函數(shù)切線的小性質(zhì) 切線和 x 軸交點橫坐標和切點的橫坐標之間的差是一個 定值，這個定值只受指數(shù)

37、函數(shù)的底影響最后由此性質(zhì)類比可以得到對數(shù)函數(shù)的相 關性質(zhì)解析】 yx12xey1111，在點 A處的切線方程為 y 2 1(x 1)，即 x 2y 5 022總結(jié)】即ylne切線方程：y0追問】 y11 ， 所求的切線方程為 y f e ex e ，化簡為 x ey 0 斜率 =導數(shù)x0 x x0 ，本質(zhì)就是點斜式點坐標ex0x (1 x0)ex0 ，令 y 0得 x x0 1 ，故橫截距與切點橫坐標之差為1.挑戰(zhàn)十分鐘】 學生在學完切線方程后，對切線方程可能還不是很熟悉，老師可以選擇以下十個小題 讓學生多練練求曲線求函數(shù)求曲線1 x2在點 2 ，1 處的切線方程；411 在點 1， 1 處的

38、切線方程；x3x求函數(shù)求曲線求曲線求曲線求曲線2x 1 在點 2，13 處的切線方程； 1 在點 2 ，5 處的切線方程；x2xln x 在點 e ，e 處的切線方程； x2ex x 3 在點 0，3 處的切線方程；1 在點 2 ， 1 處的切線方程； 1xx 在點 1 ，1 處的切線方程；2x 1求曲線cosx 在點6， 23 處的切線方程；求函數(shù)sin x 在 x解析】 x y x y 6 3x 12y 6 x y 2 x y 3 3=0 處的切線方程60 ； 14x y0；x15 0； 3x 4y 4 0； 2x y e=0；2 0； 6x 12y 6 3 =0；例 6】切點的應用2 x

39、曲線 y在點P 處的切線的斜率為3，A 3，B 3 ，9C則點 P 的坐標為( 3， 2 若曲線1 與 y 1 x3 在 xx0 處的切線互相垂直，則x0 等于()A3 366B3 366C 2D 2 或 033a 相切，則 a 的值為（ ）A1B 2C 1D 2解析】 CA曲線 yx21在xx0 處的切線斜率為y (x0) 2x0 ；曲線 y 1率為 y(x0)3x02 ，由題意有： 2x0 （3x0 ) 1 ，解得 x0 3 6B設切點P(x0，y0） ，則 y0 x0 1 ， y0ln x0 a ， 已知直線 yx 1 與曲線 y ln xx3 在 x3 36 6又曲線 y ln x a

40、 在 x x0處的切線斜率為1 y |x x0 x01x0 處的切線的斜 x0 1， y0 2 ， a 2 故選 B總結(jié)】切線的相關問題絕大多數(shù)都是圍繞切點做的，這是由于切點是曲線和切線的結(jié)合點，它的坐 標可以同時影響曲線和切線一般來說，只要題目中出現(xiàn)了切點或切線，我們都需要設出切 點坐標，然后利用切點的三個性質(zhì)：切點在曲線上、切點在切線上、切點處的導數(shù)等于切線 的斜率，列出三個方程解出切點坐標后基本就 ok 了所以建議老師在課上強調(diào)切點的重要 性，至少讓學生見到類似問題的時候可以想到 “切點 ”這個核心要素例如：例 6 的（ 3），我們一開始就要明白這個題的關鍵是解出切點坐標，我們就可以列出

41、：y0 x0 1 切點在直線上y0 ln x0 a 切點在曲線上1y x0 1 =1 切點處導數(shù) = 切線斜率 x0提高班學案 3拓 1】 曲線 y x2 上切線的傾斜角為 的點的坐標為4 解析】 1 ，124 切線的傾斜角為 ， k = tan 1，設切點坐標為 x0，y0 ，曲線 y x2在x x0處的441 切線斜率為 y |x x0 2x0， 2x0 1，x0，021 1 1 y0 41 ，故切點坐標為 2 ，4尖子班學案 3拓 2】曲線 y x3 3x 上切線平行于 x 軸的點的坐標 解析】 1， 2 或 1，2切線平行于 x軸，切線的斜率為 0 ，設切點坐標為 x0，y0 ，曲線

42、y x3 3x在 x x0處 的切線斜率為y |x x03x023，3x0230，x01或x01，當x01時，y02；當x01時， y0 2 故切點坐標為 1， 2 或 1，2目標班學案 2拓 3】 設函數(shù) f(x)3x3ax b(a0) 若曲線 yf x 在點 2，f 2 處與直線 y 8 相切，求a ，b 的值已知直線 yax1 與曲線 yln x 1 相切，則a 的值為( )A1B2CeD 1 e解析】f x 3x23a 因為曲線 yfx在點2，f2 處與直線y8 相切，f20，34a0，所以即f28.86ab 8.解得 a 4，b 24 D設切點 P(x0，y0)，則 y0 ax0 1

43、， y0 ln x0 1， 1又曲線 y lnx 1在x x0處的切線斜率為 y|x x0a0 x0 ax0 1， y0 2 ，1x0 e ， a 故選 D e若曲線x x3 x2 1 與 g xx2 1在 x x0處的切線互相平行，則x0解析】 43曲線 f x x3 x2 1在x x0處的切線斜率為 3x02 2x0 ；曲線 g x x2 1在x x0處的切線240時，兩個函數(shù)的斜率為 2x0 ，由題意知 3x02 2x0 2x0，解得 x0 0 或者 x0，但是當 x03 切線重合，所以 x0 4 3實戰(zhàn)演練1時，函數(shù)的瞬時變化率為(演練 1】 若函數(shù) f (x) 2 ，則當 xx已知函數(shù)f(x)x2 ，則 lixm0 f(1x0x)xf (1)等于(A2xB 1 xC 2 D定義法：f( 122xx) f ( 1) 1x( 2)x1A 1B 1C2解析】)D1lim0x) f ( 1)x2 lim x 0 x 12或者直接求導f (x)2，2，12演練 2】若 limx0f x0 2 x f x01 ，則 f x0等于)A2B 2C2D解析】 CA f (x) 1 xBf (x) xC f (x)是 f(x) 31x32x 1的導函數(shù)，則f(1)的值為 _設 f (x)xln x ，若f (x0)2 ，則 x0()2AeB eln 2 C2Dln2解析】 C3f (x)