17-18版第3章第15課基本不等式及其應(yīng)用

1、第 15 課基本不等式及其應(yīng)用最新考綱內(nèi)容要求ABC基本不等式及其應(yīng)用V抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)I知識檢理_ a + b1. 基本不等式.abw(1) 基本不等式成立的條件：a0, b0.(2) 等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 注.2. 幾個重要的不等式a2+ b22ab(a, b R)；(2)|+2(a, b 同號且不為零);ia+b2abwh a,bR);a+b a2+b2 w,bR).3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè) a0, b0,則 a, b 的算術(shù)平均數(shù)為 號，幾何平均數(shù)為 I ab,基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4. 利用基本不等式求最值問題已知 x0, y0,貝

2、U如果 xy 是定值 p,那么當(dāng)且僅當(dāng) x= y 時，x+ y 有最小值是 2 . p(簡記：積定和最小).2(2)如果 x+ y 是定值 q,那么當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時，xy 有最大值是卷(簡記：和定積最大).學(xué)情自測1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“/”，錯誤的打“X”)1函數(shù) y= x+x的最小值是 2.()x入函數(shù) f(x) = cos x+ cOSx，x 0,2的最小值等于 4.()x0, y0 是+y 2 的充要條件.()y x若 a0,則 a3+ 土的最小值為 2 a.()a答案X(2)X(3)X X2._若 a, b R，且 ab0,貝 U 下列不等式中，恒成立的是

3、 _.(填序號)1a2+ b22ab;2a+ b2 ab;a2+ b2 2ab= (a b)20,二錯誤；對于 ，當(dāng) a0, b0，二 |+討2:2.3._若 a, b 都是正數(shù)，則 J+ +4aj 的最小值為_.9 va, b 都是正數(shù)，二 1+1 1 +4a = 5+ b+5+ 2；曽=9,當(dāng)且僅當(dāng) b= 2a0時取等號.14 .若函數(shù) f(x) = x+-(x2)在 x= a 處取最小值，則 a 等于_ .x 212=(x2)，即卩 x= 3 時取等號，即當(dāng) f(x)取得最小值時，x= 3,即 a = 3.x 25.(教材改編)若把總長為 20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最

4、大面積是25 設(shè)矩形的一邊為 x m，矩形場地的面積為 y,11故 f(x) = 4x 2+ 4x5 的最大值為(2)由 Iog2x+ Iog2y= 1 得 xy= 2.2 2 2x+ y (x y) + 2xyxyxy又 xy，. x y0.故丘土的最小值為 4.則另一邊為 2X(20-2x) = (10-x)m,則 y= x(10-x)X+If-X 2= 25,當(dāng)且僅當(dāng) X= 10 X,即卩 X= 5 時，ymax= 25.明考向題型突破IIt e d 豎利用基本不等式求最值?角度 1 配湊法求最值卜1-151(1)已知 xy0，且 Iog2x+ Iog2y= 1，貝 U的最小值為xy5(

5、1) 1(2)4 (1)因為 x0，則 f(x) = 4x 2+=4x 55 4x+ 54- + 30,則詈取最小值時，a 的值為_.13(1)52 (1)法一：由 x+ 3y= 5xy 可得而+ 5x= 1， 3x + 4y= (3x+ 4y)9 4 3x 12y 1312=一+ 一+ +- + = 55+5+5y+5x 5+5(當(dāng)且僅當(dāng) 5y=聯(lián)即 x=1, y=1時，等號成立), 3x + 4y 的最小值是 5.法二:由 x+ 3y= 5xy, 得 x=3y5y-1Ix0,y0,1y5.3x + 4y=9y5y- 1+ 4y(1) 9 4,+4y113 9+ -5+51+4y-5利用基本

6、不等式證明不等式上空回碼竟例國已知 a0, b0, a+ b= 1,求證:旦+ 2b腫=旦+ 14|a|+.、4 舊廣 b 4|a|+，當(dāng)且僅當(dāng) 4尸甲時等號成立.4|a| b又 a+ b = 2, b0,當(dāng) b= 2a, a= 2 時，2春| +罟取得最小值.?角度 3 不等式的綜合應(yīng)用設(shè)正實滿足 l|HRy4y99則EH取得最大值時的最大值為_ .(填序號) q= rp；卩二 rp; p= rq.(1)1手X2-3；H+4y2二 x+=卞廠T X 當(dāng)且僅當(dāng)x = 21時等號成 y+x列y x3立，因此 z= 4y2-6y2+ 4y2= 2y2,所以|+ y-y-卡二a + b _ _因為

7、ba0,故一.ab.又 f(x)= In x(x0)為增函數(shù)，所以 f又 r = 2(f(a) + f(b) = (In a+ In b) = In . ab= p,： p= rq.規(guī)律方法1.利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大, 積定和最小”.2 在求最值過程中若不能直接使用基本不等式，可以考慮利用拆項、配湊、常數(shù)代換、 平方等技巧進行變形，使之能夠使用基本不等式.卜(2)設(shè) f(x)= In x,0af( ab)，即 qp.11 1+匸+飛8;a b ab(2) 1+a1+ b 卜 9.【導(dǎo)學(xué)號：62172085】11 111 證明(1)a+1+不二21+b.

8、a+ b= 1，a0，b0,1+ b=寧 +2 + j：+ a 2 + 2 二 4,111 11+ b+ 058（當(dāng)且僅當(dāng) a= b=時等號成立）(2)法一 ：a0，b0，a+ b= 1,二5+22+a5+4= 9, 1+ a 1 + b9（當(dāng)且僅當(dāng) a= b=1時等號成立）.法二：1+11+b=1+a+b+ab，11 1由（1）知，a+1+ ab8，故1+a1+b=1+a+b+沖9.規(guī)律方法1.1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基本不等式是代換的前 提，不能盲目變形.2利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式必須是有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化

9、為“和”式，達到放縮的效果，必要時，也需 要運用“拆、拼、湊”的技巧，同時應(yīng)注意多次運用基本不等式時等號能否取到. 1+1+2+a，同理 1+1=2+a，-、1- aa- bb- a2變式訓(xùn)練 1設(shè) a，b 均為正實數(shù)，求證：豐+古+ ab2 2.證明由于 a，b 均為正實數(shù)，又因為 ab+ ab2 希 ab= 2 2,2當(dāng)且僅當(dāng)不=ab 時等號成立,11 2所以孑+孑+ ab話+ ab2 2,11A b2, 當(dāng)且僅當(dāng)c2ab,基本不等式的實際應(yīng)用運貨卡車以每小時 x 千米的速度勻速行駛 130 千米，按交通法規(guī)限制 50 x2x -x+ 1.5= 21.5,當(dāng)且僅當(dāng) x=100即 x= 10

10、 時取等號.x故該企業(yè) 10 年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.即 y= x+100 x + 1.5(x N+).名師微博 o思想與方法1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功 能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍如果條件 等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與 積進行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進行求解.2.基本不等式的兩個變形:2ab（a，b R，當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時取等號）. .2(2)a；ba-b ,ab1(a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時取等號). a+ba1 2+ b2課時

11、分層訓(xùn)練( (十五)A 組基礎(chǔ)達標(biāo)(建議用時：30 分鐘)、填空題1y= x+ 的最小值是 2;2y= 2 3x 4(x0)的最大值是 2 4 3; X243y sin2x+snx 的最小值是 4;4y 2 3x4xv0)的最小值是 2 4 3. 入24不正確，令 si n2X t,則 Ovt 0)的解集為(xi, x2),貝 U xi+ x2+一乳的最小值是xix23,故 X1+ X2+ 旦的最小值為4,3.3X1X234不正確，Txv0,二一 x0,_ 2依題意可得 X1+ X2 4a, X1x2-X1+ X2+aX1X2 y 2 3x 4 2 +, a14a+肓4a+3a3.已知 a0,

12、 b0,若不等式 a310,b0,所以由 3a+b$薩0 恒成立得 mW+ b(3a+ b)= 10+石 +恒成立.因為3b+鴛2號36,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時等號成立，所以10+曽+評16,所以 mW16,即 m 的最大值為 16.1 14.(2017 鹽城模擬)若 x0, y0,且 2x+ y= 2,則- +-的最小值是_ .xy2+ 2 由 2x+ y= 2 得 x+ 扌二 1.+ +yx+2卜1+1+六+xxyxy 22 2x y=3+ 2x+&3+2茁3+ 2.5.要制作一個容積為 4 m3，高為 1 m 的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米 20 元，側(cè)面造價是每平

13、方米 10 元，則該容器的最低總造價是160 元由題意知，體積 V= 4 m3,高 h= 1 m,所以底面積 S= 4 m2,設(shè)底面矩形的一條邊長是 x m,則另一條邊長是4m.又設(shè)總造價入是 y 元，則當(dāng)且僅當(dāng)2x=8,即宀2時取得等號.6.已知 x, y (0,+x), 八 1y,若 1+m(m0)的最小值為 3,則 m 的值為4 由 23=2得 x+ y= 3,貝U1 , m 1,Im_+_=(x+ y) +_x y 3x y1 , y , mx 1=31+m+x+y3(1 + m+ 2 m), 3(1 + m+ 2 .m) = 3, 即 ( . m+ 1)2= 9,解得 m=4.y=2

14、0X80+ 202x 8= 160.1 27.若實數(shù) a, b 滿足 a +b=.ab,則 ab 的最小值為1 22 2 由 a+.ab 知 a0, b0,所以8.已知正數(shù) x, y 滿足 x2+ 2xy 3 = 0,則 2x + y 的最小值是【導(dǎo)學(xué)號：62172087】3 一 x231313x33由 x2+2xy3=0得 y=-2x=2x2x，則 2x+y= 2x+ 云一x=3+ 無23,當(dāng)且僅當(dāng) x= 1 時，等號成立，所以 2x+ y 的最小值為 3.9._ 當(dāng) a0 且 a 1 時，函數(shù) f(x) = loga(x 1)+ 1 的圖象恒過點 A,若點 A 在直線 mx y + n =

15、 0 上，則 4m+ 2n的最小值為 .22 由題意可得：點 A 的坐標(biāo)為(2,1),所以 2m + n=1,所以 4m+ 2n= 22m+ 2n2.22m2n=2 22m+n= 2 2.1 1 210. (2017 蘇州期末)已知 ab=;, a, b (0,1)，貝 U + 的最小值為41 a 1 b學(xué)號：62172088】4+鉅ab b=丄4+34 4a.12121 8a+ = + = + 1 a 1 b 1 a 彳丄 1 a 4a 1 一 4a=丄+ 24a1竺=丄*亠+ 21 a4a 11 a 4a 1=池+凡+ 24 4a 4a 122,當(dāng)且僅當(dāng)1 2 訐 b,1 21+2=ab,

16、即 a=眾，b= 2 眾時取“=”，所以 ab 的最小值為 2 2.3x 32 2x；即 ab2 2,2b1a=3_4+40144a+4a1+2=31 + 2+ 匯 + 汽1+ 2 3_ 4a 1 4 4a |(3 + 2 2)+ 2= 4+ 當(dāng)且僅當(dāng) x= 16,y=4 時，等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=4+2：時，取“八二、解答題3811. (1)當(dāng) x2 時，求函數(shù) y= x+ 2x3 的最大值;設(shè) 0 x2，求函數(shù) y= x4 2x 的最大值.解y=2(2x 3)+2x+ 23 2x 8) 3、2+3 2xJ+2.355于是 yw 4 +3= 2 故函數(shù)的最大值為一2 v0 x0,_ _ x

17、+ 2_ x y= x 4 2x = , 2 x 2 x 0, y0,且 2x+ 8y xy= 0,求:(1) xy 的最小值；(2) x+ y 的最小值.8 2解由 2x+ 8y xy= 0,得 x+1,xy又 x0, y0.8 2 8/x 廠頂，得xy64,當(dāng) XV,有3-2x3 2x82+3 2x 2當(dāng)且僅當(dāng)32匚 3x1,即 x=2 時取等號.所以 xy 的最小值為 64.8 2由 2x+ 8y xy= 0,得 x + y = 1,8 , 22x 8y則 x+ y= x+y (x+y)= 10+y +x 10+ 22x8y= 18.V y x當(dāng)且僅當(dāng) x= 12 且 y= 6 時等號成

18、立，所以 x+ y 的最小值為 18.B 組能力提升(建議用時：15 分鐘)11.(2016 揚州期末)已知 ab1 且 2logab+ 3logba= 7,貝 U a+ 2的最小值為_1 、3由 2logab+ 3logba= 7 得 logab= q 或 logab = 3(舍去),2-a= b ,12121r-a+b21= b2+ R 二(b21)+ 尸 +12b21b21+1二 3.當(dāng)且僅當(dāng) b21 = b2 1，即卩 b= 2, a = 2 時等號成立.2 2x y2. (2015 山東高考)定義運算“？”： x?y=(x, y R, xy 0).當(dāng) x0, y0 時，x?xy3.經(jīng)

19、市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以 30 天計)，第 t 天(Kt30, t N+)1的旅游人數(shù) f(t)(萬人)近似地滿足 f(t) _4+-，而人均消費 g(t)(元)近似地滿足 g(t) _ 120 |t20|.(1) 求該城市的旅游日收益 W(t)(萬元)與時間 t(1 t0, y0.故 xy+ (2y)x_2 2x yxy4y2- x2_ x2+ 2y2 2xy2xy _ 2xy = 2xy2,當(dāng)且僅當(dāng)x_ . 2y 時, 等號成立.401 + 4t + 罕仁 t 401 + 2 寸 4t 00= 441(t= 5 時取最小值).當(dāng) t (20,30時，因為 W(t)= 559+旱4t 遞減，所以 t = 30 時，W(t