求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧精編版

1、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧精編版MQS system office room MQS16H-TTMS2A-M0SS8Q8-MQSH16898求 雙 曲 線 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 技 巧在求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時，如果能根據(jù)已知條件設(shè)出方程的合理形式，可以簡化運(yùn)算， 優(yōu)化解題過程。下面結(jié)合例題介紹求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。一雙曲線的一般方程例1求經(jīng)過點(diǎn)P（3,2“），Q（-6血7）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。分析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：4-4=1 （“>（）, b>0）或與一二= CT ITCT b"1 （ « > 0 , /7 > 0 ）,可以討論解決。也可以應(yīng)用下面的

2、方法解決。解 設(shè)雙曲線方程為Ax2 + By2 = 1（AB<0 ）。因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P（3,2“），創(chuàng)-6血7）,所以嚴(yán)+ 283T，解得人=_丄，防丄。故所求雙曲線方程 ' 丿 '）72A + 49B = 17525說明 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時，為了避 免討論焦點(diǎn)的位置，一般設(shè)雙曲線方程為Ax2 + By2 = 1 （AB<0）,這樣可以簡化運(yùn) 算。二等軸雙曲線例2 等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與直線x-2y= 0交于兩點(diǎn)A、B,且|AB| = 2V15O求此等軸雙曲線的方程。分析 根據(jù)等軸雙曲線的特點(diǎn)，可以設(shè)

3、含有一個參數(shù)的方程x2-r = «2 （”0 ）,求出a即可。"2 2 2解 設(shè)等軸雙曲線方程為X2 - >'2 =（4>0）。由xy=a *解得交點(diǎn)a、Bx-2y = 0.的坐標(biāo)分別為備引、卜手廠引。因?yàn)樗浴?=3。故所求雙曲線方程為x2-r = 9o說明 等軸雙曲線是一類特殊的雙曲線，它有一些特殊的性質(zhì)，比如：離心率£ = 血，漸近線方程為y = ±x且互相垂直等等。三共焦點(diǎn)雙曲線例3 已知過點(diǎn)（3>/2,2）,且與雙曲線話一才=1有共同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析 根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)與/、滬的關(guān)系，有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)

4、為二一一 16-k2-= 1 （一4<比<16）,求出 £ 即可。4 + R解設(shè)雙曲線方程為上一一丄一=1 （-4OK16）,將（32,2）代入，得上= 16-k 4 + k'74。故所求雙曲線方程為二一工=1。 12 8說明 與雙曲線二一2；= I共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為二一¥_= 1（b2 crcr _k b- +k<k<a2） o根據(jù)橢圓與雙曲線的關(guān)系，與橢圓4 + 4 = 1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為 cr lr= I （b2<k<a2）,請注意它們的區(qū)別。a-k b-k四共漸近線雙曲線例4求經(jīng)過點(diǎn)（-3,2宀），且與雙曲線

5、名一蘭=1有共同漸近線的雙曲線方程。分析因?yàn)殡p曲線卜卜I的兩條漸近線方程為雙曲線卜。，因此與它 共漸近線的雙曲線方程可表示為雙曲線二一二=兄（幾工0）。解 設(shè)雙曲線方程為- = 2 （20 ）,因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)（-3,23）,所以2=上丄一匚）=丄。故所求雙曲線方程為匚一=丄，即另一罕=1。91649164244說明求共漸近線的雙曲線方程也可以討論焦點(diǎn)分別在兩條坐標(biāo)軸上的悄況，以上解 法避免了討論過程，使解題更合理。另外，以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸、虛軸為實(shí)軸的雙 曲線叫做原雙曲線的共輒雙曲線。顯然共輒雙曲線有相同的漸近線，因此求共輒雙曲線方 程時可以采用這個方法。五同離心率的雙曲線例5求經(jīng)過點(diǎn)

6、(2,0),且與雙曲線少一 22= 1的離心率相同的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。76416分析因?yàn)橐粭l雙曲線和雙曲線二一£= 1 («>0, /7>0)離心率相同，那么它的29焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上。若焦點(diǎn)在x軸上，它的方程可設(shè)為存一(“'cr2 2>0, b>09 2> 0 )；若焦點(diǎn)在y軸上，它的方程可設(shè)為二一4=2 (">0,方>0, cr 少2> 0 ) o解(1)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，它的方程可設(shè)為二一乂 =兄(2>0 ),6416將(2,0)代入，得兄=丄。此時所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

7、4 - V2 = 1 o164(2 )當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，它的方程可設(shè)為右一話=幾(2>0 ), 將(2,0)代入,得兄=_扌V 0 (舍去)。故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2 = 1 o4說明已知同離心率與相同漸近線求雙曲線方程的方法類似，請你比較它們的區(qū)別。 六已知雙曲線漸近線的雙曲線例6 求一條漸近線方程為3工+ 4)，=0, 個焦點(diǎn)是(4,0)的雙曲線方程。分析 由3x + 4y=0,得- + -=0,因此借助與共漸近線方程問題的方法，設(shè)所I求雙曲線方程為少一才=兄(20 ),求出兄即可。169解 根據(jù)題意，可設(shè)所求雙曲線方程為二一匚=2 (兄工0)。又因?yàn)榻裹c(diǎn)在X軸169上，所以2>0o因?yàn)閏 = 4,所以16/1 + 9兄=16,解得2 =。故所求雙曲線方程為25十 _ )' 1256144°25 務(wù)說明 漸近線方程為丄土上=