第18講隨機抽樣

1、第十八講隨機抽樣一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求1能從現(xiàn)實生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題；2結(jié)合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性；3在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法；4能通過試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)。二、 2010 年命題預(yù)測統(tǒng)計是在初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計初步的深化和擴展，本講的主要內(nèi)容是隨機抽樣的方法在總體中抽取樣本。預(yù)測 2010 年高考對本講的考察是：（ 1）以基本題（中、低檔題為主） ，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題

2、的能力；（ 2）熱點是隨機抽樣方法中的分層抽樣、系統(tǒng)抽樣方法。三、知識精點講解三種常用抽樣方法：1簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為 N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法。（ 1）抽簽法制簽：先將總體中的所有個體編號（號碼可以從 1 到 N ），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，號簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進(jìn)行均勻攪拌；抽簽：抽簽時，每次從中抽出1 個號簽，連續(xù)抽取成樣：對應(yīng)號簽就得到一個容量為n 的樣本。n 次；抽簽法簡便易行，當(dāng)總體的個體

3、數(shù)不多時，適宜采用這種方法。（ 2）隨機數(shù)表法編號：對總體進(jìn)行編號，保證位數(shù)一致；數(shù)數(shù)：當(dāng)隨機地選定開始讀數(shù)的數(shù)后，讀數(shù)的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在讀數(shù)過程中，得到一串?dāng)?shù)字號碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號碼后，其中依次出現(xiàn)的號碼可以看成是依次從總體中抽取的各個個體的號碼。成樣：對應(yīng)號簽就得到一個容量為n 的樣本。結(jié)論： 用簡單隨機抽樣，從含有 N 個個體的總體中抽取一個容量為n 的樣本時， 每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為1；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為n；NN 基于此，簡單隨機抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性； 簡單隨機抽樣的特點：它是不放回抽樣；它

4、是逐個地進(jìn)行抽??；它是一種等概率抽樣。2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1 個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（ 1）將總體中的個體編號。采用隨機的方式將總體中的個體編號；（ 2 ）將整個的編號進(jìn)行分段。為將整個的編號進(jìn)行分段，要確定分段的間隔k .當(dāng) N 是整數(shù)時，N ；當(dāng) N 不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體數(shù)nNkN能被n 整除，這時 k；nnl ；n（ 3）確定起始的個體編號。在第1 段用簡單隨機抽樣確定起始的個體邊號（ 4）抽取樣本。按照先確定的規(guī)

5、則（常將l 加上間隔 k ）抽取樣本： l , l k , l 2k , , l (n1)k 。3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。結(jié)論：（ 1）分層抽樣是等概率抽樣， 它也是公平的。 用分層抽樣從個體數(shù)為N 的總體中抽取一個容量為n 的樣本時，在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，都等于n ；N（ 2）分層抽樣是建立在簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表性，在實踐的應(yīng)用更為廣泛。四典例解析題型 1：統(tǒng)計概念及簡單隨機抽樣例

6、1為調(diào)查參加運動會的1000 名運動員的年齡情況，從中抽查了來說，下列說法正確的是（）A 1000 名運動員是總體B 每個運動員是個體C抽取的100 名運動員是樣本D 樣本容量是100100 名運動員的年齡，就這個問題解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況，因此應(yīng)選D。答案： D點評：該題屬于易錯題，一定要區(qū)分開總體與總體容量、樣本與樣本容量等概念。例 2今用簡單隨機抽樣從含有6 個個體的總體中抽取一個容量為2 的樣本。 問： 總體中的某一個體 a 在第一次抽取時被抽到的概率是多少? 個體 a 不是在第1 次未被抽到，而是在第2 次被抽到的概率是多少 ? 在整個抽樣過程中，個體a 被抽到的

7、概率是多少?解析：（ 1） 1 ，（ 2）1，（3）1。333點評：由問題 (1)的解答，出示簡單隨機抽樣的定義，問題 ( 2 ) 是本講難點?；诖?，簡單隨機抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性。題型 2：系統(tǒng)抽樣例 3為了了解參加某種知識競賽的 1003 名學(xué)生的成績，請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為 50 的樣本。解析：（ 1）隨機地將這 1003 個個體編號為 1， 2， 3， ， 1003（ 2）利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除 3 個個體 (可利用隨機數(shù)表 )，剩下的個體數(shù) 1000 能被樣本容量 50 整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行點評：總體中的每個個體被剔除的概率相等3，也就是每個個體不

8、被剔除的概率相等10001003.100350采用系統(tǒng)抽樣時每個個體被抽取的概率都是，所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的概率仍然1000相等，都是10005050。100310001003分成第 1 在第例 4（ 2004 年福建， 15）一個總體中有100 個個體，隨機編號為0， 1， 2， ， 99，依編號順序平均10 個小組，組號依次為1， 2， 3， ， 10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10 的樣本，規(guī)定如果在組隨機抽取的號碼為m，那么在第k 小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k 的個位數(shù)字相同.若 m=6，則7 組中抽取的號碼是_.剖析：此問題總體中個體的個數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣

9、.按題目中要求的規(guī)則抽取即可. m=6， k=7，m+k=13 ，在第 7 小組中抽取的號碼是 63.答案： 63點評：當(dāng)總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣。采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行。題型 3：分層抽樣例 5（ 2006 湖北文， 19）某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占42.5，中年人占47.5，老年人占10。登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的1，且該組中，青年人占50，中年人占40，老年人占10。為了了解各4組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工

10、中抽取一個容量為 200 的樣本。試確定（）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；（）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。解析：（）設(shè)登山組人數(shù)為x ，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、 b、 c，則有x 40% 3xb47.5%, x 10%3xc10% ，解得 b=50%,c=10%.4x4x故 a=100% 50% 10%=40%, 即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40、50、 10。（）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為320040% 60 （人）；4抽取的中年人數(shù)為350 75（人）；2004抽取的老年人數(shù)為310 15（人）。2004

11、點評：本小題主要考查分層抽樣的概念和運算，以及運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。例 6（ 2006 四川文， 5）甲校有 3600 名學(xué)生，乙校有5400 名學(xué)生，丙校有1800 名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為 90 人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（ ）A 30 人， 30 人， 30 人B30 人， 45 人， 15 人C20 人， 30 人， 10 人D30 人， 50 人， 10 人解析： B；點評：根據(jù)樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學(xué)生人數(shù)。題型 4：綜合問題例 7（ 1）（2004 年湖南， 5）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)

12、分別有150 個、 120 個、 180 個、 150個銷售點 .公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這 600 個銷售點中抽取一個容量為100 的樣本， 記這項調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20 個特大型銷售點，要從中抽取7 個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為 .則完成、這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B 分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D 簡單隨機抽樣法，分層抽樣法分析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣.依據(jù)題意，第項調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項調(diào)查

13、應(yīng)采用簡單隨機抽樣法.故選 B.答案： B（ 2）（ 2005 湖北卷理第11 題，文第 12 題）某初級中學(xué)有學(xué)生270 人，其中一年級108 人，二、三年級各 81 人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10 人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1， 2， ， 270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號1，2， ， 270，并將整個編號依次分為10 段 .如果抽得號碼有下列四種情況： 7， 34， 61， 88， 115， 142， 169， 196， 223， 250； 5， 9， 100， 107， 11

14、1， 121， 180， 195， 200， 265； 11， 38， 65， 92， 119， 146， 173， 200， 227， 254； 30，57， 84，111， 138， 165，192， 219， 246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A 、都不能為系統(tǒng)抽樣B、都不能為分層抽樣C、都可能為系統(tǒng)抽樣D、都可能為分層抽樣解析： D。點評：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定。五思維總結(jié)常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別：類別共同點各自特點簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取抽樣過程將總體均勻分成幾個中每個個系統(tǒng)抽樣部分，按照事先確定體被抽取的規(guī)則在各部分

15、抽取的概率是相同的將總體分成幾層，分分層抽樣層進(jìn)行抽取相互聯(lián)系適用范圍總體中的個數(shù)比較少在起始部分抽總體中的樣時采用簡單個數(shù)比較隨機抽樣多各層抽樣時采總體由差異明顯的用簡單抽樣或幾部分組者相同抽樣成不放回抽樣和放回抽樣：在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣。隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自

16、菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所?！澳?”，是以眾議舉寵為督：愚以為營中之親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受