2020屆高考數(shù)學(文)總復習講義：參數(shù)方程

1、 直線參數(shù)方程的標準形式的應(yīng)用 上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為 ti，t2，則 |MiM2|=|ti 12|.基礎(chǔ)相對薄弱.一輪貝工I更需蟲視 基礎(chǔ)知識的強化和落實 第二節(jié) 、基礎(chǔ)知識批注一一理解深一點 1. 曲線的參數(shù)方程 在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標 x，y 都是某個變數(shù) t 的函數(shù) 下 并且對于 t 的每一個允許值，由這個方程組所確定的點 M(x, y)都在這條曲線上， y= gt, 那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡稱參 數(shù). 相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程 F(x，y)= 0 叫做普通方程. 2. 參數(shù)

2、方程和普通方程的互化 (1) 參數(shù)方程化普通方程：利用兩個方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù). (2) 普通方程化參數(shù)方程：如果 x = f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的 關(guān)系 y= g(t)，則得曲線的參數(shù)方程x= ft， 丨在參數(shù)方程與普通方程的互 丨 y= g t. :化中，一定要注意變量的范 ：圍以及轉(zhuǎn)化的等價性. 3.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點 M(xo，yo)，傾斜角為 a的直線 l 的參數(shù)方程為 y= yo+ tSin a (t 為參數(shù)). 過點 Mo(xo，yo)，傾斜角為 a的直線 l 的參數(shù)方程是 x= xo+ tcos = 若 Mi，M2是

3、 I 若線段 M1M2的中點 M 所對應(yīng)的參數(shù)為 t,則 t= ，中點 M 到定點 Mo的距離|MMo| 若 Mo為線段 MIM2的中點，貝 y ti+ t2= 0. |MoMi|MoM2|= |tit2|. X = xo+ rcos B, 圓心在點 Mo（xo, yo）,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 二-（B為參數(shù)）. |y= yo + rsin B x = acos 6, 1(a b O)的參數(shù)方程為彳 y= bsin 6 、基礎(chǔ)小題強化一一功底牢一點 一判一判對的打“/,錯的打“X” t 的幾何意義表示： 直線 l 上以定點 Mo為起點，任一點 M（x, y）為終點的有向線段 MoM 的

4、數(shù) 量.（）（） x= 2cos t, n （3）已知橢圓的參數(shù)方程 （t 為參數(shù)）,點 M 在橢圓上，對應(yīng)參數(shù) t = n點 O y= 4sin t 3 為原點，則直線 OM 的斜率為-3.（ ） 答案：（1）2 （2）V （3） X （二）填一填 普通方程為 _ . 解析：依題意，消去參數(shù)可得 x 2= y 1，即 x y 1 = 0. 答案：x y 1 = 0 =|t| = tl + t2 2 2 2 (3)橢圓 = （6為參數(shù)）. 參數(shù)方程 y= gt 中的 x, y 都是參數(shù) t 的函數(shù).（ 過 Mo（xo, yo）,傾斜角為a的直線 l 的參數(shù)方程為 X = xo+ tcos a,

5、 y= yo+ tsin a （t 為參數(shù)）.參數(shù) 1.在平面直角坐標系中，若曲線 C 的參數(shù)方程為 x= 2 + y= 1 + 7 2 t, .2 （t 為參數(shù)），則r x = sin B, 2 .曲線 C 的參數(shù)方程為（ （B為參數(shù)），則曲線 C 的普通方程為 ly= cos 20+ 1 16 即 7f+ 16t= 0，解得 t1= 0, t2=-， 16 所以 |AB|=|t112|= y. 答案：罕 解 直線 l 的普通方程為 2x y- 2a = 0, 圓 C 的普通方程為 x2+ y2= 16. x= sin 0, 2 (0為參數(shù)) )消去參數(shù) 0,得 y= 2 2x ( K xw

6、 1). y= cos 20+ 1 答案：y= 2 2x2( 1 w xw 1) 解析：由 3.在平面直角坐標系 xOy 中，已知直線 1 x= 1 + 才， l 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)），橢 Y3 1 2 圓 C 的方程為 x2 +y = 1,設(shè)直線 I 與橢圓 4 C 相交于 A, B 兩點，則線段 AB 的長為 x = 1+ *, 解析：將直線 l 的參數(shù)方程 V3 y=ft 2 代入 x2 + y = 1, 4 若點不宜整合太大*挖掘過深 穩(wěn)取120分就是大勝 考點一 參數(shù)方程與普通方程的互化 課堂 講練區(qū) 典 x = a 2t, 已知直x= 4cos 0, y= 4sin 0 （

7、1）求直線 l 和圓 C 的普通方程; （2）若直線 l 與圓 C 有公共點，求實數(shù) a 的取值范圍. 得 1 + 因為直線 l 與圓 C 有公共點, 故圓 C 的圓心到直線 I 的距離 d=|2a4, 解得2 5 0，得1m3. 設(shè)點 A, B 對應(yīng)的參數(shù)分別為 如 t2,貝 U &乜=m2 2m. 因為 |PA| |PB|= |t! t2|= 2,所以 m2 2m=也， 解得 m= 1 3. 因為一 1m3，所以 m= 1 士.3. 解題技法 1. 應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點 在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、 余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含

8、義. 2. 圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它 們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解，掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī) 律是解此類題的關(guān)鍵. 題組訓練 1 . (2019 湖北八校聯(lián)考)在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為 X= V3cos a, (a為參數(shù)) )，以原點 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 y= sin aI x = m+ y=* 當 sin a+ 3 = 1，即 a+ n= n+ 2k nk Z), a= 5n+ 2k nk Z)時，所求距離最 大，最大值為 2 2,

9、 此時點 P 的坐標為2, 2 . x = 2cos 0, 2. (2018 全國卷n )在直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為 ( (0為參 |y= 4sin 0 X= 1 + tcos a, 數(shù)) )，直線 I 的參數(shù)方程為 (t 為參數(shù)). |y= 2 + tsin a (1)求 C 和 I 的直角坐標方程； 若曲線 C 截直線 I 所得線段的中點坐標為(1,2)，求 I 的斜率. 2 2 解：( (1)曲線C的直角坐標方程為 X4+焉=1. 當 cos a 0 時，直線 l 的直角坐標方程為 y= tan a x + 2 tan a, 當 cos a= 0 時，直線 l 的直

10、角坐標方程為 x= 1. 將直線 l 的參數(shù)方程代入 C 的直角坐標方程，整理得關(guān)于 t 的方程(1 + 3cos a)t2 + 4(2cos a+ sin a)t 8= 0. 因為曲線 C 截直線 l 所得線段的中點( (1,2)在 C 內(nèi)， 所以有兩個解，設(shè)為 t1, t2，則& + t2= 0. 故 2cos a+ sin a= 0, 于是直線 l 的斜率 k= tan a= 2. 考點三 極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(1)求曲線 Ci的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程； 設(shè) P 為曲線 C1上的動點，求點 P 到 C2的距離的最大值，并求此時點 P 的坐標. 2 解：曲線 Ci

11、的普通方程為 令+ y2= 1, 3 由 psin 0+ n = 2，得 psin 0+ pcos 0= 2,得曲線 C2的直角坐標方程為 x + y 2 = 0. 設(shè)點 P 的坐標為(3cos a, sin a, a+ 321 2 ， 則點 P 到 C2的距離為 | 3cos a+ sin a 2| 2sin 又由得&+ t2= 4 2cos a+ Sin a , 1 + 3cos a C2的極坐標方程為 典例(2018 河北保定一中摸底) )在平面直角坐標系 xOy 中，圓 C 的參數(shù)方程為 x= 5+ 2cos t, (t為參數(shù)) )， 在以原點0為極點， x軸的非負半軸為極軸建

12、立的極坐標 y= 3+ 2sin t 系中，直線 I 的極坐標方程為 pcosj+n；=i. (1)求圓 C 的普通方程和直線 I 的直角坐標方程； 設(shè)直線 I 與 x 軸，y 軸分別交于 A, B 兩點，點 P 是圓 C 上任一點，求 A, B 兩點的 極坐標和厶 PAB 面積的最小值. x= 5+ 迄 cos t, y= 3+ 2sin t 方程為(x + 5)2+ (y 3)2 = 2. 所以直線 l 的直角坐標方程為 x y+ 2= 0. (2)直線 l 與 x 軸，y 軸的交點分別為 A( 2,0), B(0,2), 則點 A, B 的極坐標分別為(2, n+ 2kn )牡 Z) ,

13、 2,亍+ 2k n (k Z). 設(shè)點 P 的坐標為( (一 5 + 2cos a, 3 + , 2sin a), 則點 P 到直線 l 的距離 d= | 5+或cos a3 a+ 2|= 6+ I* 4 , V2 2 當 cos a+n = 1,即卩 a+ n = 2knk Z) , a= ：+ 2knk Z)時，點 P 到直線 l 的距離 取得最小值，所以 dmin = 42= 2 2, 又 |AB|= 2 2, 1 1 所以 PAB 面積的最小值 S= J dminX |AB|=1X 2 2X 2 2= 4. 解題技法極坐標、參數(shù)方程綜合問題的解題策略 (1) 求交點坐標、距離、線段長

14、可先求出直角坐標系方程，然后求解. (2) 判斷位置關(guān)系先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標方程，然后再作出判斷. (3) 求參數(shù)方程與極坐標方程綜合問題一般是先將方程化為直角坐標方程，利用直角 坐標方程來研究問題. 題組訓練 1.在直角坐標系 xOy 中，以坐標原點 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系, 消去參數(shù) t,得(x + 5)2+ (y 3)2= 2,所以圓 C 的普通 22pcos 9+n = 1,得 pcos 0 曲線 C1: p2 4 pcos 0+ 3= 0, 0 0,2 n曲線 C2: 0 0,2 n (1)求曲線 Cl的一個參數(shù)方程； 若曲線 Ci和曲線 C2相交于 A, B

15、兩點，求|ABI 的值. 解： 由 p 4 pcos 0+ 3= 0，得 x2+ y2 4x + 3= 0, 所以( (x 2)2+ y2= 1. 令 x 2= cos a, y= sin a, 所以 Ci的一個參數(shù)方程為 |y= sin a x = 2 + cos a, (a為參數(shù)) ). , ,i n n i 因為 C2： 4 p sircos 0 cousin 0 = 3, 23y = 3，即 2x 2 3y 3 = 0, 因為直線 2x 2 3y 3 = 0 與圓(x 2)2+ y2= 1 相交于 A, B 兩點, 所以 4 1x 所以圓心到直線的距離為 d= 14 03| = 寸 2

16、2+(-2 何 4 jp= 2x=殛 4 4 2 . 所以|AB|= 2 2 .在平面直角坐標系 xOy 中，直線 I 的參數(shù)方程為 x = 2 + tcos 為 y= J3+ tsin $ 參數(shù)，能 0, ，以坐標原點 O 為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知 圓 C 的圓心 C 的極坐標為 2, n，半徑為 2,直線 I 與圓 C 交于 M , N 兩點. (1) 求圓 C 的極坐標方程； (2) 當$變化時，求弦長|MN|的取值范圍. 解：( (1)由已知，得圓心 C 的直角坐標為(1, . 3),圓的半徑為 2, 圓 C 的直角坐標方程為(x 1)2+ (y 3)2= 4,

17、 即 x2+ y2 2x 2 3y= 0, / x= pcos 0, y= psin 0, p2 2 pcos 0 3 psin 0= 0, 故圓 C 的極坐標方程為 p= 4cos 0 . 由(1)知，圓 C 的直角坐標方程為 x2 + y2 2x 2_3y= 0, 將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程得， (2 + tcos $2+ ( 3+ tsin $2 2(2 + tcos $ 2 3( 3+ tsin $= 0, 整理得，t2+ 2tcos $ 3= 0, 設(shè) M , N 兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為 t1,伍， 則右 + 七2 = 2cos $,屯 t2= 3 , - |MN |= |t

18、i 12|=寸（ti + t2 f 4ti = 4coW + 12. A n cos 舟，1 故弦長|MN |的取值范圍為.13 , 4. 課時跟蹤檢測 x = tcos a, x= 4 + 2cos 0, 1.若直線/ （t 為參數(shù)）與圓/ （0為參數(shù)）相切，求直線的傾 y= tsin a y= 2sin 0 斜角a. 由于直線與圓相切，則 j4tan a = 2, 寸 1 + tan a 即 tan2a= 解得 tan a= 孑, 3 3 由于妖0, n）故a=n或 x = 8 +1, 2 .在平面直角坐標系 xOy 中，已知直線 I 的參數(shù)方程為 S t （t 為參數(shù)），曲 ly=i 的

19、最小值. 解：直線 l 的普通方程為 x 2y+ 8 = 0. 因為點 P 在曲線 C 上，設(shè) P（2s2,2 2s）, 從而點 P 到直線 l 的距離 d= |2s： 4屆2s-何+ 4 4, 石+（-2j V5 當 s= 2 時，dmin =牛5. 因此當點 P 的坐標為（4,4）時，曲線 C 上的點 P 到直線 l 的距離取到最小值 x= cos 0, 3.已知 P 為半圓 C: （ （ 0為參數(shù)，0 0 n）的點，點 A 的坐標為（1,0）, ly= sin 0 2 |MN | 13, 4. 解：直線 X= tcos a, （t 為參數(shù)）的普通方程為 y= xtan y= tsin a

20、 x = 4+ 2cos 0, y= 2sin 0 （0為參數(shù)）的普通方程為（x 4）2+ y2= 線C的參數(shù)方程為 x = 2s2, y= 2 J 2s （s 為參數(shù)）,設(shè) P 為曲線 C 上的動點, 求點 P 到直線 l 的距離 4 .5 5 . O 為坐標原點，點 M 在射線 OP 上，線段 OM 與 C 的弧 AP 的長度均為3 (1) 以 0 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點 M 的極坐標; (2) 求直線 AM 的參數(shù)方程. n 解：由已知，點 M 的極角為 3, 且點 M 的極徑等于扌， 故點M的極坐標為n ：. 由(1)知點 M 的直角坐標為 n，6P , A(1

21、,0). 4. (2019 長春質(zhì)檢) )以直角坐標系的原點 0 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系， 已知點P的直角坐標為(1,2)，點C的極坐標為 3, n，若直線 I 過點 p,且傾斜角為n，圓 C 以點 C 為圓心，3 為半徑. (1) 求直線 I 的參數(shù)方程和圓 C 的極坐標方程； (2) 設(shè)直線 I 與圓 C 相交于 A, B 兩點，求|PA| |PB|. x = 1 +當 t, 解：( (1)由題意得直線 I 的參數(shù)方程為 (t 為參數(shù)) )，圓 C 的極坐標方程 I 1 y= 2+ 尹 為尸 6sin 0. (2)由(1)易知圓 C 的直角坐標方程為 x2 + (y 3)

22、2= 9, r 魚魚 x= 1 + 八 把 2 y= 2+* 設(shè)點 A, B 對應(yīng)的參數(shù)分別為如 t2,. t1t2= 7, 又|PA|= |t1|, |PB|= |t2|, |PA| |PB|= 7. x= 2cost, 5. (2018 南昌一模) )在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為 (t ly = 2sin t+ 2 為參數(shù)) )，以坐標原點 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1) 求曲線 C 的極坐標方程； (2) 若直線 l1, b 的極坐標方程分別為 0 =彳(卩1 R), 02=(t 為參數(shù)). 代入 x2+ (y 3)2= 9,得 t2+ (

23、 3 1)t 7= 0, 故直線 AM 的參數(shù)方程為 贊鴿 R)，設(shè)直線 l1, l2與曲線 C 的交點分別為 O, M 和 0, N，求 0MN 的面積. x= 2cos t, 2 2 解：( (1)由參數(shù)方程彳 得普通方程為 x2+ (y 2)2= 4, |y= 2sin t+ 2 x = pcos 0, 2 2 2 把 代入 x2 + (y 2)2= 4,得 P2 4psin 0= 0. y= psin 0 所以曲線 C 的極坐標方程為 p= 4sin 0. n n (2)由直線 11： 01 = 6( ( p R)與曲線 C 的交點為 0, M，得|0M|= 4sin 石=2. 由直線

24、 12： 0=旳與曲線 C 的交點為 O, N,得|ON|= 4sin 2-n= 2 3. 3 3 易知/ MON = ，所以 SOMN = |OM | X |ON| = 2 X 2X 2 ,3= 2 3. x = cos 0, 6. (2018 全國卷川) )在平面直角坐標系 xOy 中，O 0 的參數(shù)方程為什 |y= sin 0 數(shù)) )，過點(0, 2)且傾斜角為a的直線 I 與O 0 交于 A, B 兩點. (1) 求a的取值范圍； (2) 求 AB 中點 P 的軌跡的參數(shù)方程. 解：( (1)O 0 的直角坐標方程為 x2+ y2= 1. 當a=；時，l 與O 0 交于兩點. 當時，

25、記 tan a= k,貝 U l 的方程為 y= kx 2. l 與 O O 交于兩點需滿足 1_2k21 , 解得 k1 , 即a ；護或a 扌. 綜上，a的取值范圍是 ：，嚴. (0為參 (2)l 的參數(shù)方程為 x= tcos a, 、y= 2+ tsin a 設(shè) A, B , P 對應(yīng)的參數(shù)分別為 tA , tB , tP , 則 tp= ,且 tA , tB滿足 t2 2 2tsin a+ 1 = 0. 于是 tA + tB= 2 , 2sin a, tP= . 2sin a. 又點 P 的坐標(x , y)滿足 x= tpCOS a, y= V2 + tpsin x= t, 7. (

26、2019 洛陽第一次統(tǒng)考) )在直角坐標系 xOy 中，曲線 Ci的參數(shù)方程為 t (t 為 |y= m+1 參數(shù)，m R)，以原點 0 為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標 方程為 p2=32C。爲0wxn) (1)寫出曲線 Ci的普通方程和曲線 C2的直角坐標方程; 已知點 P 是曲線 C2上一點，若點 P 到曲線 Ci的最小距離為 2 .2,求 m 的值. 解：( (1)由曲線Ci的參數(shù)方程消去參數(shù) t,可得 Ci的普通方程為 x y+ m= 0. 由曲線 C2的極坐標方程得 3 p 2 p2cos2 9= 3, 0 , n 2 曲線 C2的直角坐標方程為 號+ y2= i(0 W yw i). 3 設(shè)曲線 C2上任意一點 P 的坐標為