2020屆江蘇高考數(shù)學(xué)(文)總復(fù)習(xí)講義：隨機(jī)事件及其概率

1、 必過數(shù)材美 1. 事件的相關(guān)概念 2. 頻數(shù)、頻率和概率 (1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件 S 下重復(fù) n 次試驗(yàn)，觀察某一事件 A 是否出現(xiàn)，稱 n 次 試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)“企為事件 A 出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件 A 出現(xiàn)的比例 fn(A) = 為事件 A 出現(xiàn)的頻率. 概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件 A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A 發(fā)生的頻率 fn(A) 穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作 P(A),稱為事件 A 的概率. 3. 概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1) 概率的取值范圍： 00,y0,4 + y = 1.則 x + y= (x + y) + y = 5+ 爭+: 5 + 2 =9,當(dāng)且僅

2、當(dāng) x = 2y時(shí)等號(hào)成立，故 x+ y 的最小值為 9. 答案：9 8. 只袋子中裝有 7 個(gè)紅玻璃球，3 個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次 7 1 只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為 7 7，取得兩個(gè)綠球的概率為 三，則取得兩個(gè)同顏色的球 15 15 的概率為 _ ;至少取得一個(gè)紅球的概率為 _. 解析：由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，取得兩個(gè)同色球，只 需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同色球的概率為 P=f + 2= . 15 15 15 由于事件 A “至少取得一個(gè)紅球”與事件 B “取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件，則至少取得 1 14 一個(gè)紅球的概率為 P(

3、A)= 1 P(B)= 1 1 1 = 14. 15 15 b+ c a+ b+ c =0.6 b a+ b+ c =1 0.65= 0.35, (1) 若獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過 2 人的概率為 0.56，求 x 的值； (2) 若獲獎(jiǎng)人數(shù)最多 4 人的概率為 0.96，最少 3 人的概率為 0.44，求y y z 的值. 解：記事件在數(shù)學(xué)競賽中，有 k 人獲獎(jiǎng)”為 Ak(k N, kw 5)，則事件 Ak彼此互斥. (1)因?yàn)楂@獎(jiǎng)人數(shù)不超過 2 人的概率為 0.56, 所以 P(A) + P(Ai) + P(A2) )= 0.1 + 0.16+ x= 0.56, 解得 x = 0.3. (2)由獲獎(jiǎng)

4、人數(shù)最多 4 人的概率為 0.96, 得 P(A5) = 1-0.96 = 0.04,即即 z= 0.04. 由獲獎(jiǎng)人數(shù)最少 3 人的概率為 0.44, 得 P(Aa) + P(A4) )+ P(A5)= 0.44, 即 y+ 0.2+ 0.04 = 0.44, 解得 y= 0.2. 10.如圖，A 地到火車站共有兩條路徑 L1和 L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取 位從 A 地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時(shí)間( (分鐘) ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 選擇 L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇 L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計(jì) 40 分鐘

5、內(nèi)不能趕到火車站的概率； 分別求通過路徑 L1和 L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率； 現(xiàn)甲、乙兩人分別有 40 分鐘和 50 分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允 許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑. 解：( (1)共調(diào)查了 100 人，其中 40 分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有 12 + 12+ 16+ 4 = 44(人), 用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為 0.44. 選擇 L1的有 60 人，選擇 L2的有 40 人，故由調(diào)查結(jié)果得所求各頻率為 所用時(shí)間( (分鐘) ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 L1的頻率 0.1 0.2

6、 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 記事件 A1, A2分別表示甲選擇 L1和 L2時(shí)，在 40 分鐘內(nèi)趕到火車站; 記事件 B1, B2分別表示乙選擇 L1和 L2時(shí)，在 50 分鐘內(nèi)趕到火車站. 由(2)知 P(A1)= 0.1 + 0.2+ 0.3= 0.6, P(A2)= 0.1 + 0.4= 0.5, P(A1) P(A2), 故甲應(yīng)選擇 L1； P(B1)= 0.1 + 0.2+ 0.3+ 0.2= 0.8,100 P(B2) )= 0.1 + 0.4+ 0.4= 0.9, P(B2) ) P(Bi),故乙應(yīng)選擇 L2. 三上臺(tái)階，自主選做志在

7、沖刺名校 1.拋擲一枚骰子，當(dāng)它每次落地時(shí)，向上一面的點(diǎn)數(shù)稱為該次拋擲的點(diǎn)數(shù)，可隨機(jī)出 現(xiàn) 1 到 6 點(diǎn)中任一結(jié)果，連續(xù)拋擲兩次，第一次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)記為 a,第二次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)記為 b, 則直線 ax+ by= 0 與直線 x+ 2y+ 1 = 0 有公共點(diǎn)的概率為 _ . 解析：設(shè)直線 ax+ by= 0 與直線 x+ 2y+ 1= 0 有公共點(diǎn)”為事件 A,則A 為它們 無公共點(diǎn)”，因?yàn)橹本€ x+ 2y+ 1 = 0 的斜率 k =- 所以 a =1所以 a = 1, b= 2 或 a= 2, 2 b 2 3 1 1 11 b= 4 或 a= 3, b= 6,所以 P( A )=五=，所以 P(

8、A)= 1-=五 2. 若隨機(jī)事件 A, B 互斥，A, B 發(fā)生的概率均不等于 0，且分別為 P(A)= 2 a, P(B) =3a 4,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 _ . 解析：因?yàn)殡S機(jī)事件 A, B 互斥，A, B 發(fā)生的概率均不等于 0,且分別為 P(A) = 2 a, P(B) = 3a 4, 0v PA v 1, 所以 0v P B v 1, P A + P B w 1, 0 v 2 av 1, 4 3 即 0v 3a 4v 1, 解得 aw3. 2a 2w 1. 答案：3 2 3. (2018 梁豐中學(xué)測試) )已知 f(x)= x2+ 2x, x 2,1，給出事件 A: f(x)a. (1) 當(dāng) A 為必然事件時(shí)，求 a 的取值范圍； (2) 當(dāng) A 為不可能事件時(shí)，求 a 的取值范圍. 解：因?yàn)?f(x)= x2+ 2x = (x+ 1)2 1, x 2,1, 所以 f(X) )min= 1,此時(shí) x= 1. 又 f( 2) = 0 v f(1)= 3,所以 f(x)max= 3. 所以 f(x) 1,3 (1)當(dāng) A 為必然事件時(shí)，即 f(x) a 恒成立， 故有 a W f(x)min= 1 , 答案: 11 12 即 a 的取值范圍是( (一8, 1. 當(dāng) A