(完整word版)小學五年級奧數講義(教師版)30講全

1、五年級奧數-1 -小學奧數基礎教程（五年級）第 1 講數字迷（一）第 2 講數字謎（二）第 3 講定義新運算（一）第 4 講定義新運算（二）第 5 講數的整除性（一）第 6 講數的整除性（二）第 7 講奇偶性（一）第 8 講奇偶性（二）第 9 講奇偶性（三）第 10 講質數與合數第 11 講分解質因數第 12 講 最大公約數與最小公倍數（一）第 13 講最大公約數與最小公倍數（二）第 14 講余數問題第 15 講孫子問題與逐步約束法第 16 講巧算 24第 17 講位置原則第 18 講最大最小第 19 講圖形的分割與拼接第 20 講多邊形的面積第 21 講 用等量代換求面積第 22 講用割補法

2、求面積第 23 講列方程解應用題第 24 講行程問題（一）第 25 講行程問題（二）第 26 講行程問題（三）第 27 講邏輯問題（一）第 28 講邏輯問題（二）第 29 講抽屜原理（一）第 30 講抽屜原理（二）五年級奧數-2 -第 1 講數字謎（一）數字謎的內容在三年級和四年級都講過， 同學們已經掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、 枚舉等方法解題。數字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復習鞏固學過的知識外， 還要講述數字謎的代數解法及小數的除法豎式問題。例 1 把+ , -,X,寧四個運算符號，分別填入下面等式的。內，使等式成立（每個運算符號只準使 用一次）

3、：（501307）0（1709）=12。分析與解：因為運算結果是整數，在四則運算中只有除法運算可能出現分數，所以應首先確定 “十”的位置。當“寧”在第一個O內時，因為除數是 13,要想得到整數，只有第二個括號內是 13 的倍數, 此時只有下面一種填法，不合題意。（5- 13-7）X（17+9）。當“寧”在第二或第四個O內時，運算結果不可能是整數。 當“十”在第三個O內時，可得下面的填法：（5+13X7）-（ 17-9） =12。例 2 將 19 這九個數字分別填入下式中的中，使等式成立： 口口乂 口=* =5568。解：將 5568 質因數分解為 5568=26X3X29。由此容易知道，將 5

4、568 分解為兩個兩位數的乘積 有兩種：58X96 和 64X87,分解為一個兩位數與一個三位數的乘積有六種：12X464,16X348,24X232,29X192,32X174,48X116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174X32=58X96=556&例 3 在 443 后面添上一個三位數，使得到的六位數能被573 整除。分析與解：先用 443000 除以 573,通過所得的余數，可以求出應添的三位數。由443000-573=77371推知，443000+ （573-71 ） =443502 一定能被 573 整除，所以應添 502例 4 已知六位數 33口 44 是 89

5、的倍數，求這個六位數。分析與解：因為未知的數碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數的個位是 4,推知商的個位是 6;由左下式知，十位相減后的差是 1, 所以商的十位是 9。這時，雖然 89X96=8544,但不能認為六位數中間的兩個內是 85,因為還沒有考慮前面兩位數。a 可能是 6 或 7,所以 b 只可能是 7 或&3796 或 3896。由 3796X89=337844, 3896X89=346744知，商是 3796,所求六位數是 337844。例 5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字，請你用適 當的數字代替

6、字母，使加法豎式成立。FORTY2:9786TEN850+ TEN十 850SIXTY31486分析與解：先看豎式的個位。由 Y+N+N=Y Y+ 10,推知 N 要么是 0,要么是 5。如果 N=5,那么 要向上進位，由豎式的十位加法有 T+E+E+仁或 T+10,等號兩邊的奇偶性不同，所以 NM5, N=Q 此時，由豎式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10, E 不是 0 就是 5,但是 N=0,所以 E=5豎式千位、萬位的字母與加數的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進位。因為 N=0,所以 I 工 0,推知 1=1 , 0=9,說明百位加法向千位進 2。再看豎式的百

7、位加法。因為十位加法向百位進1,百位加法向千位進 2,且燈0 或 1,所以 R+T+T+P22,再由 R, T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或&若 T=7,則 R=8, X=3,這時只剩下數字 2, 4, 6 沒有用過，而 S 只比 F 大 1, S, F 不可能是 2, 4, 6 中8 9)3 3QPETaE 0 1幺 D 10再從左邊做除法。如右上式所示，由左、右兩邊做除法的商，得到商是五年級奧數-3 -的數，矛盾。若 T=8,則 R 只能取 6 或 7。R=6 時，X=3,這時只剩下 2, 4, 7,同上理由，出現矛盾；R=7 時, X=4,剩下數字 2, 3, 6,可取

8、F=2, S=3, 丫=&所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數。這個題目是美國數 學月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是 40 , 10 , 10 , 60 ,而 40+10+10 正好是 60,真是巧極了！例 6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數字，不同的字母代表不同的數字。請你填上適當 的數字，使豎式成立。107021070310704ABOBDEFAG-9814-9315-921S-EFAG838888888FFFABCBD分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減 法變

9、成加法來研究呢(見右上式)？不妨試試看。因為百位加法只能向千位進 1,所以 E=9, A=1, B=0b如果個位加法不向上進位，那么由十位加法 1+F=10,得 F=9,與 E=9 矛盾，所以個位加法向上 進 1,由 1+F+1=1Q 得到 F=8,這時 C=7。余下的數字有 2, 3, 4, 5, 6,由個位加法知，G 比 D 大 2,所以 G, D分別可取 4, 2 或 5, 3 或 6, 4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據數學的有關概念、法則、定律把原題加以變 換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。練習 11. 在一個四位數

10、的末尾添零后，把所得的數減去原有的四位數，差是621819,求原來的四位數。解：621819-( 100-1 ) = 6281。2. 在下列豎式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字。請你用適當的數字代替字母，使豎式成立：(1)A B (2) A B A B+ B C A - A C A _A B CB A A C 4 S T 3 T+4 Q 8 85 4 97 3 5 9(1)由百位加法知，A=B+1 再由十位加法 A+C=B+10 推知 C=9,進而得到 A=5, B=4 (見上右式)(2)由千位加法知 B=A-1，再由個位減法知 C=Q 因為十位減法向百位借 1,百位減法

11、向千位借 1, 所以百位減法是(10+B-1) -A=A,化簡為 9+B=2A 將 B=A-1 代入，得 A=8, B=7 (見右上式)。3. 在下面的算式中填上括號，使得計算結果最大：1 2 3 4 5 6 7 8 9。解：1-( 2-3- 4- 5-6 -7 -8 -9) =90720。4. 在下面的算式中填上若干個()，使得等式成立：1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8解：1-( 2-3)- 4-( 5-6-7-8)- 9=2.8。提示因為 22 冬二 而 1 必須在分子上，2 必須在分母上，即器卞呂、剩下的玉 4, 6, 8, 五個數填在耳中，應使呂=4 只有3X6X8 甜 土*

12、 , 1X3X6X7X8捍址*=7一種填法。由沖沖9F 帶花5.將 19 分別填入下式的中，使等式成立： *口=* =3634。提示：3634=2X23X79。46X79= 23X158= 3634。五年級奧數-4 -6. 六位數 391 是 789 的倍數，求這個六位數。提示：仿照例 3。391344。7. 已知六位數 7口 888 是 83 的倍數，求這個六位數。提示：仿例 4,商的后 3 位是 336,商的第一位是 8 或 9。774888。五年級奧數-5 -第 2 講數字謎（二）這一講主要講數字謎的代數解法及小數的除法豎式問題。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字

13、母代表相同的數字，求abcde.labcdex3=abcde1分析與解：這道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數，逐個確定各個字母所代表的數碼。現在，我們從另一個角度來解。labcde 與 abcdel 只是 1 所在的位置不同，設 x=abcde 則算式變?yōu)椋?00000+x）x3=10 x+1,300000+3x=10 x+1,7x=299999,x=42857。這種代數方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例 2 在內填入適當的數字，使左下方的乘法豎式成立。 1 24x8 1x8 1 1 24口992 1 0 0 4 4解；設被乘數為跖由唸1000PxlHf由豎式特點知.除總

14、一八“上心耳川 J 菲士* E 腎數，Li所以 x=112,被除數為 989x112=110768 右上式為所求豎式。代數解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數情況還要用傳統(tǒng)的方法。例 4 在內填入適當數字，使下頁左上方的小數除法豎式成立。分析與解：先將小數除法豎式化為我們較熟悉的整數除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯觯龜蹬c商的后三位數的乘積是 1000=23x53的倍數，即除數和商的后三位數一個是 23=8 的 倍數，另一個是 53=125 的奇數倍，因為除數是兩位數，所以除數是 8 的倍數。又由豎式特點知 a=9,從而除數應是 96 的兩位數的約數，可能的取值有 96, 48,

15、 32, 24 和 16。因為，c=5, 5 與除數的乘積仍是兩位數，所以除數只能是 16,進而推知 b=6。因為商的后 三位數是 125 的奇數倍，只能是 125, 375, 625 和 875 之一，經試驗只能取 375。至此，已求 出除數為16,商為 6.375，故被除數為 6.375x16=102。上頁右式即為所求豎式。求解此類小數除法豎式題，應先將其化為整數除法豎式，如果被除數的末尾出現n 個 0,則在除數和商中，一個含有因子 2n（不含因子 5）,另一個含有因子 5n（不含因子 2）,以此為突破 口即可求解。例 5 一個五位數被一個一位數除得到下頁的豎式（1）,這個五位數被另一個一

16、位數除得到下頁的豎 式（2）,) 匚二989112)1107601008S961008 10CS0二匚二 =bDDcnq)annoDO匚口五年級奧數-6 -求這個五位數。五年級奧數-7 -(1)ric #(2)“*；和*#卡*y5L *0分析與解：由豎式（1）可以看出被除數為 10*0 （見豎式（1），豎式（1）的除數為 3 或9。在豎式（2）中，被除數的前兩位數 10 不能被整數整除，故除數不是 2 或 5,而被除數的 后兩位數*0 能被除數整除，所以除數是 4, 6 或 8。當豎式（1）的除數為 3 時，由豎式（1） 知，a=1 或2,所以被除數為 100*0 或 101*0，再由豎式（2

17、）中被除數的前三位數和后兩 位數分別能被除數整除，可得豎式（2）的除數為 4,被除數為 10020;當豎式（1）的除數為 9 時，由能被 9 整除的數的特征，被除數的百位與十位數字之和應為&因為豎式 （2） 的除數只能是 4, 6, 8,由豎式 （2） 知被除數的百位數為偶數， 故被除數只有 10080, 10260，10440 和 10620 四種可能，最后由豎式（2）中被除數的前三位數和后兩位數分別能被除 數整除，且十位數不能被除數整除，可得豎式（2）的除數為 8,被除數為 10440。所以這個五位數是 10020 或 10440。練習 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數字

18、，不同的字母代表不同的數字，求岀1） labcd 3 = abcdS;（.2）7 abcxyz 二=6 X xyzabco答案(1) 4285;( 2) 46153&蒜；(2)用原示五喙示贏 耐灌為 7X (1000A+ B)= 6 X (1000B + A),化簡后得 538A=461B 由于 538與 461 互質， 且 A, B 均為三位數,所以 A=461, B= 538。所求六位數是 461538。2.用代數方法求解下列豎式： 8 7） 口 口 0答案（1） 124X 81=10044;（ 2）9807o 設除數是 a,根據豎式特點由 8av 100, 9a 100,推知所以

19、 a=12o3.答案（1）先將豎式化為整數除法豎式如左下式：易知 f=2 , g=0;由 g=0 知 b, d 中有一個是 5,另一個是偶數而 f= 2,所以 b= 5,進而推知3.在內填入適當的數字，使下列小數除法豎式成立:_ . . ） 口 8 0. ) . 117684- 12= 9807。提示：（1）設被乘數為 a,由 8a 10000,推知123 詐 K124#所以a=12（2）根據豎式特點知，商是五年級奧數-8 -d= 6 ;再由 d= 6 , f= 2 知 a= 2 或 7,而 e=3 或 4,所以 a=7;最后求出 c=5。見上頁右下式。（2）先將除法豎式化為整數除法豎式如左下

20、式：由豎式特點知b=c=0；因為除數與 d 的乘積是 1000的倍數， d 與 e 都不為 0,所以 d 與除數中必分別含有因子 23和 52， 故 d=8,除數是 125 的奇數倍，因此 e=5;又 f 工 0, e= 5，所以 f=g=5 ;由 g=5, d=8 得到除數為 5000- 8=625,再由 625X a 是三位 數知 a=1,所以被除數為 625X 1008=630000,所求豎式見右上式。五年級奧數-9 -第 3 講定義新運算（一）我們已經學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數學中最基本的運算，它們的意 義、符號及運算律已被同學們熟知。 除此之外，還會有什么別的

21、運算嗎？這兩講我們就來研究這個問 題。這些新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算,對于開拓思路及今后的學習都大有益處。例 1 對于任意數 a，b，定義運算“ *”：a*b=axb-a-b。求 12*4 的值。分析與解：根據題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。例 2己知表示盒的今倍減古 b的* 例如 1A2=1X32X1 = 2.10A6 的值。解；10216=10X3-6x1 = 30-3=27.、,d3 ，x=2，求 x 的值例3對于數為b, c, &規(guī)定 5b, c, d =2a

22、b 己知 52,c分析與解：按照定義的運算，由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經約定俗成的符號，如+, -,X,寧，V,等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分， 應使用通常的四則運算符號。 如例1中， a*b=axb-a-b ,新運算符號使 用“ * ”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。例臨戲示兩個就規(guī)定花bCl) 29 (|o|) =?7 112)Q x=求龍Ao2分析與解：按新運算的定義，符號表示求兩個數的平均數。因沏0 &確）中機）齢齷新定氏所以其盍義與四則運算中的意義相同，即先進行小括

23、號中的運算，再進行小括號外面的運算24r廠11（2）因為在中沒筆有重新規(guī)定運算次序，所以應至右進行運算。根據以上的規(guī)定，求=2,x=6o3Y1515按通常的規(guī)則從左五年級奧數-10 -診3規(guī)皤(扣 6由(扣)作魯襁君器L24例5規(guī)定：42 = 4+442曲冃+謝恣1$1+1M11+11U ,求佝冃分析與解：從已知的三式來看，運算“一”表示幾個數相加，每個加數各數位上的數都是符號前面的那個數，而符號后面的數是幾，就表示幾個數之和，其中第1 個數是 1 位數，第 2 個數是 2 位數，第 3 個數是 3 位數按此規(guī)定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035從例 5 知，有時新

24、運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。 例 6 對于任意自然數，定義：n! =1X2Xxn。例如 4 ! =1X2X3X4。那么 1! +2! +3! +100!的個位數字是幾？分析與解：1! =1，2!=1X2=2，3!=1X2X3=6，4!=1X2X3X4=24，5!=1X2X3X4X5=120,6!=1X2X3X4X5X6=720,由此可推知，從 5!開始，以后 6!，7!，8!,，100!的末位數字都是 0。所以，要求 1! +2! +3! +100!的個位數字，只要把 1!至 4!的個位數字相加便可求得:1+2+6+4=13 所求的個位數字是 3。例 7 如果 m n

25、 表示兩個數，那么規(guī)定：nDn=4n- (m+r)寧 2。求 30(406)012 的值。解：30(406)012=304X6- (4+6)十 2O12=3019012=4X19- (3+19)十 2012=65012=4X12- (65+12)十 2=9.5練習 31.對于任意的兩個數 a 和 b,規(guī)定 a*b=3Xa-b -3。求 8*9 的值。(值為 2)2.已知 aHb 表示 a 除以 3 的余數再乘以 b，求 13：4 的值。(值為 4)3. 已知 a b 表示(a-b )*( a+b)，試計算：(5-3) 一 (16)。(值為 0)解；(5田3)e (1璇=70- = 0,4 44

26、. 規(guī)定 a b 表示 a 與 b 的積與 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值。五年級奧數-11 -答案 7 - =- -五年級奧數-12 -5.假定mOn 表示 m 的 3 倍減去 n 的 2 倍，即 mOn=3m-2r。61) ;( (2) )8*(2)相當于由 1X2X3X -Xx=40320,求 X。40320 - 2= 20160,20160- 3= 6720 , 6720-4=1680, 1680-5=336,8-8=1,即 1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。所以 x=8。7.對于任意的兩個數 p, Q,規(guī)定 P Q= ( pXQ)

27、* 4。例如：2 8= (2X8)* 4。已知x( 85)=10，求 x 的 值。解：x( 85) = x ( 8X5*4) = x 10= xX10*4,由 xX10*4=10，求得 x=4。8.定義：a b=ab-3b, adb=4a-b/a。計算：(“3 )( 2 b) 解：(43)(26)= (4X3-3X3)(4X2-6/2) = 35=3X5-3X5=09.已知：23=2X3X4, 4=5=4X5X6X7X8,求(4 冋4)*( 3 點 3)的值。提示：新運算“：”是：從第一個數字起，求越來越大的連續(xù)幾個自然數的乘積，因數個數是第二個數字。(4 4)*( 31 3) = (4X5X

28、6X7)*( 3X4X5) =14。（0 it算占（號）答案(2)提示:x010=7,已知 x（ 401） =7,求 x 的值(2)xO(401)= 7，x(4X3-1X2)= 7,3x-10X2=7,x=9。刃=K卜4V = 1X-X-X-,234求（丙）斗57）的值；已陰二詁看獅的僮五年級奧數-13 -第 4 講定義新運算(二)例 1 已知 b= (a+b) - (a-b)，求 9 探 2 的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把 a=9, b=2 代入新運算式，即可算出結果。但是，根據四則 運算的法則，我們可以先把新運算“”化簡，再求結果。a 探 b= (a+b) - (a-b) =a+b

29、-a+b=2b。所以，仝2=2x2=4。由例 1 可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質、 法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例 2 定義運算：ab=3a+5ab+kb,其中 a, b 為任意兩個數，k 為常數。比如：207=3x2+5X2x7+7k。(1) 已知 502=73。問：805 與 508 的值相等嗎？2)當 k 取什么值時，對于任何不同的數 a，b，都有 a b=ba，即新運算“O”符合交換律？ 分析與解： (1)首先應當確定新運算中的常數 k。 因為 502=3x5+5X5X2+kX2=65+2k，所以

30、由已知 502=73,得65+2k=73,求得k= (73-65) - 2=4。 定義的新運算是： a0b=3a+5ab+4b 805=3X8+5X8X5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。因為 244 工 247,所以 805 工 508。(2)要使 a0b=b0a,由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka 3a+kb-3b-ka=0 ,3x(a-b)-k(a-b)=O,(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數 a, b,要使上式成立，必有 3-k=0，即 k=3。當新運算是 a0b=3a+5ab+3b 時，具有交換律，即a0b=b0a。例 3 對兩

31、個自然數 a 和 b,它們的最小公倍數與最大公約數的差，定義為 ab,即 ab=a , b- (a,b)。比如，10 和 14 的最小公倍數是 70,最大公約數是 2,那么 10 14=70-2=68。(1)求 1221 的值；(2)已知&x=27，求 x 的值。分析與解：(1) 1221=12 , 21- (12, 21) =84-3=81;(2)因為定義的新運算“”沒有四則運算表達式， 所以不能直接把數代入表達式 求x，只能用推理的方法。因為 6x=6 , x- (6, x) =27,而 6 與 x 的最大公約數(6, x)只能是 1, 2, 3, 6。所以 6 與 x 的最小公倍

32、數6 , x只能是 28, 29 , 30 , 33。這四個數中只有 30 是 6 的倍數，所以 6 與 x 的最小公倍數和最大公約數分別是 30 和 3。因為 axb=a , bx(a, b),所以 6xx=30 x3,由此求得 x=15。例 4 a 表示順時針旋轉 90, b 表示順時針旋轉 180, c 表示逆時針旋轉 90, d 表示不轉。定義 運算“”表示“接著做”。求：ab； bc； c a。分析與解：a b 表示先順時針轉 90,再順時針轉 180,等于順時針轉 270,也等于逆時針轉 90,所以ab=c。bc 表示先順時針轉 180,再逆時針轉 90,等于順時針轉 90,所以

33、bc=a。c a 表示先逆時針轉 90,再順時針轉 90,等于沒轉動，所以 c a=d。對于 a, b, c, d 四種運動，可以做一個關于“”的運算表(見下表)。比如 c b,由 c 所在 的行和b 所在的列，交叉處 a 就是 cb 的結果。因為運算符合交換律，所以由 c 所在的列和 b 所 在的行也可得到相同的結果。abcda.bcdSLbuaabu1宜bcdatcd例 5 對任意的數 a, b,定義：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求 f (5) -g (3)的值；(2)求 f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知 f (x+1) =21，求 x 的值。

34、解：(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2；(2) f(g(2)+g(f(2)=f(2x2)+g(2x2+1)=f(4)+g(5)=(2x4+1)+(5X5)=34；五年級奧數-14 -(3) f (x+1) =2X(x+1) +1=2x+3,由 f (x+1) =21，知 2x+3=21,解得 x=9。五年級奧數-15 -1.詢訕劇丄(1)逆甸 r齬肓熾,叭倔姻AW=B9L(2)帝(3 辺(2 朝癱：答案*工衛(wèi)*丨_ _一一答廊伽粧胞寸石亟鮭配淵觀於：m 砥畀：m 瀚W 麗那耶關加鋸潮，所曠眄 I低3)=01(53)2 =汨盼尋2 訝+令=召+鼎(購 2)

35、=5(舟畔討令茅顯歌(阿因 2 去 M(32),所以運算“回瑕有纟拾負2.定義兩種運算“”和“”如下：b 表示 a, b 兩數中較小的數的 3 倍，ab 表示 a, b 兩數中較大的數的 2.5 倍。比如：厶5=4X3=12,45=5X2.5=12.5。計算：(0.6 探 0.5)+(0.3 0.8) - (1.2 探 0.7)-(0.64 0.2) 解：原式=(0.5X3+0.8X2.5 )- (0.7X3-0.64X2.5)=7。仍-框軒虹臓竝34=16, K SS11M?. SfcB細觸提示：從已知的四式發(fā)現，第一個數的 4 倍加上第二個數等于結果，所”二丄-=七5測二翻和血滋4. 設

36、m n 是任意的自然數，A 是常數，定義運算 nOn= (AXm-n)* 4,并且 203=0.75。試確定常數 A,并計算：(507)X(202)*(302)提示：由 2O3= (AX2-3 )* 4=0.75，推知 A=3 定義的運算是：mOn= (3m-n)* 4。( 507)X(202)*(302)=(3X5-7) *4X(3X2- 2)*4*(3X3-2) *4=2X1*7/4=8/7。5. 用 a, b, c 表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內所作的旋轉運動：a 表示順時針旋轉 240 , b 表示順時針旋轉 120, c 表示不旋轉6. 對任意兩個不同的自然數 a 和 b

37、,較大的數除以較小的數，余數記為 a：b。比如 7 3=1,5 29=4,420=0。( 1)計算：1998 2000,( 519)19, 5(19 9);(2)已知 11 x=4, x 小于 20,求 x 的值。6. (1) 2, 3, 1;( 2) 7 或 14。提示：(1)( 5 9) 19= 419=3, 5(195) =5-:4= 1。(2)當 xV11 時，x 是 7;當 x 11 時，x 是 14。7. 對于任意的自然數 a, b,定義：f (a) =aXa-1 , g (b) =b* 2+1。(1) 求 f (g (6) -g (f (3)的值；(2)已知 f (g (x) =

38、8,求 x 的值。解：(1) f (g (6) - g (f (3) = f(6 *2+1)- g (3X3-1 ) = f( 4)- g(8)=(4X4-1 ) - (8*2+1) = 10 ;。(2)由 f( g (x) )= 8=3X3-1，推知 g (x) = 3 ;再由 x* 2+仁 3,得 x=4。練習 4運算“V”表示“接著做”。試以V且bcaIc *bca bca b ca, b,c 為運五年級奧數-16 -第 5 講數的整除性（一）三、四年級已經學習了能被 2, 3, 5 和 4, 8, 9, 6 以及 11 整除的數的特征，也學習了一些整除 的性質。這兩講我們系統(tǒng)地復習一下

39、數的整除性質，并利用這些性質解答一些問題。數的整除性質主要有：（1）如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數能被丙數整除。（2）如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差都能被這個自然數整除。（3）如果一個數能分別被幾個兩兩互質的自然數整除，那么這個數能被這幾個兩兩互質的自然數的乘積整除。（4） 如果一個質數能整除兩個自然數的乘積， 那么這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個。（5）幾個數相乘，如果其中一個因數能被某數整除，那么乘積也能被這個數整除。靈活運用以上整除性質，能解決許多有關整除的問題。例 1 在里填上適當的數字，使得七位數7358口能分別被 9, 25 和 8 整

40、除。分析與解：分別由能被 9, 25 和 8 整除的數的特征，很難推斷出這個七位數。因為9, 25, 8 兩兩互質，由整除的性質（3）知，七位數能被 9X25X8=1800 整除，所以七位數的個位，十位 都是0;再由能被 9 整除的數的特征，推知首位數應填 4。這個七位數是 4735800。例 2 由 2000 個 1 組成的數 11111 能否被 41 和 271 這兩個質數整除？分析與解： 因為 41X27 仁 11111,所以由每 5 個 1 組成的數 11111 能被 41 和 271 整除。 按“ 11111”把 2000 個 1 每五位分成一節(jié)，2000 -5=400,就有 400

41、 節(jié)，訂 1 瓷更 i 上訐蒼40011 111因為 2000 個 1 組成的數 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根據 整除的性質（1）可知，由 2000 個 1 組成的數 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 有四個數：76550, 76551, 76552, 76554。能不能從中找出兩個數，使它們的乘積能被 12 整除？ 分析與解：根據有關整除的性質，先把 12 分成兩數之積：12=12X仁 6X2=3X4。要從已知的四個數中找出兩個，使其積能被12 整除，有以下三種情況：（1） 找出一個數能被 12 整除，這個數與其它三個

42、數中的任何一個的乘積都能被12 整除；（2）找出一個數能被 6 整除，另一個數能被 2 整除，那么它們的積就能被 12 整除；（3） 找出一個數能被 4 整除，另一個數能被 3 整除，那么它們的積能被 12 整除。容易判斷，這四個數都不能被 12 整除，所以第（1）種情況不存在。對于第 （2） 種情況， 四個數中能被 6 整除的只有 76554,而 76550, 76552 是偶數， 所以可以 選 76554和 76550, 76554 和 76552。對于第（3）種情況，四個數中只有 76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以 可以選 76552 和 76

43、551, 76552 和 76554。綜合以上分析， 去掉相同的， 可知兩個數的乘積能被 12 整除的有以下三組數： 76550 和 76554, 76552和 76554, 76551 和 76552。例 4 在所有五位數中，各位數字之和等于 43 且能夠被 11 整除的數有哪些？分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數有兩個要求：各數位上的數字之和等于 43; 能被 11 整除。因為能被 11 整除的五位數很多，而各數位上的數字之和等于43 的五位數較少，所以應選擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數由一個 7 和四個 9 組成；（2）五位數由兩個 8 和三個 9 組成。上面兩種情況中的五位

44、數能不能被 11 整除？ 9, 8, 7 如何擺放呢？根據被 11 整除的數的特 征，如果奇數位數字之和是 27,偶數位數字之和是 16,那么差是 11,就能被 11 整除。滿足這 些要求的五位數是： 97999 , 99979, 98989。例 5 能不能將從 1 到 10 的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3 整除？分析與解：10 個數排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設題目的要求能實現。那么由題意，從前到后每兩個數一組共有 5 組，每組的兩數之和都 能被3 整除，推知 110 的和也應能被 3 整除。實際上，110 的和等于 55,不能被 3 整除。這

45、 個矛盾說明五年級奧數-17 -假設不成立，所以題目的要求不能實現。練習 51.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍數，1392 和 7018 是不是 29 的倍數？（ 1） 提示：.是。7018 和 1392分別是 4205 與 2813 的和與差。2.如果兩個數的和是 64，這兩個數的積可以整除 4875，那么這兩個數的差是多少？ （ 14）。提示：已知這兩個數的積可以整除 4875,說明這兩個數都是 4875 的因數。4875= 3X5X5X5X13,用這些因子湊成兩個數，使它們的和是 64,顯然這兩個數是 3X13=39 和 5X5=25。它 們的差是39-25=14。3.1

46、73 是個四位數。數學老師說：“我在這個中先后填入3 個數字，所得到的 3 個四位數，依次可以被 9，11, 6 整除。”問：數學老師先后填入的 3 個數字之和是多少？ （ 19） 提示：先后填入的三個數依次是 7, 8, 4。辰短畐的徹灌梆鯨推刪畝又詼獨蛾靑鴉細 4 豔 菇滋執(zhí) 1=|6,進 而知 f=4，所求數為 123654 和 321654。4月卜6汨辭娥M趟1眨其中不同的字母代表16中不同的數乳要耘能祀整甌|磁初獸蔬懈,斕瓠吋是 6 的倍數.I 觀如有朕納 答案：123654 和 321654。提示：由題意知，b, d, f 是偶數，e= 5，所以 a, c 只能是 1 和 3。士宅

47、一班有多少名學生?提示：總分等于平均分乘以學生人數，因為平均分90=9X10,所以總產一廠一二：- （人）。6.能不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3 整除？答案：不能。提示：假設能。因為前兩個數的和能被 3 整除，第 2、第 3 個數的和也能被 3 整除，所以第 1、第 3 兩個數除以 3 的余數相同。類似可知，排在第 1, 3, 5, 7, 9 位的數除以 3 的余數都相同。 在 19中，除以 3 的余數相同的數只有 3 個，不可能有 5 個。這個矛盾說明假設不成立。五年級奧數-18 -第 6 講數的整除性（二）我們先看一個特殊的數一一 1001。因為 1001=

48、7X11X13，所以凡是 1001 的整數倍的數都能 被 7,11 和 13 整除。例1贏疏否初門刑13建站分祈躺：因為応&贏XI妣1001是乙11和1?的倍熱所以 贏臥能被兀11和1灌韓能被 7, 11 和 13 整除的數的特征：如果數 A 的末三位數字所表示的數與末三位數以前的數字所表示的數之差（大數減小數）能 被 7 或11 或 13 整除， 那么數 A 能被 7 或 11 或 13 整除。 否則， 數 A 就不能被 7 或 11 或 13 整除 例 2 判斷 306371能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因為 371-306=65, 65 是 13 的倍數，不是 7 的

49、倍數，所以 306371 能被 13 整除，不能被 7 整除。 例3 已知 10 口 8971 能被 13 整除，求中的數。解：10 口 8-97 仁 1008-971 + 0=37+口 0。上式的個位數是 7,若是 13 的倍數，則必是 13 的 9 倍， 由13X9-37=80，推知中的數是 8。他惘嘲頑忌趕汀曲勒怖劇匸要舸阪贏辭機？川繚 砌撫 W2位數進行因為 100010001 各數位上數字之和是 3,能夠被 3 整除，所以這個 12 位數能被 3 整除。根據能被 7（或 13）整除的數的特征，100010001 與（100010-仁）100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么

50、都不能被 7 （或 13）整除。同理，100009 與（100-9= ） 91 要么都能被 7 （或 13）整除，要么都不能被 7 （或 13）整除。 因為91=7X13,所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知這個 12 位數能被 7 和 13 整除。例5孵4刪豎賓腳憐片那么中問方務內熾字是幾？分析與解：根據能被 7 整除的數的特征，555555 與 999999 都能被 7所肚尹肖滬哋觀瞬.邸18f因為上式中等號左邊的數與等號右邊第一個數都能被 7 整除，所以等號右邊第二個數也能被 7 整除，推知 55 99 能被 7 整除。根據能被 7 整除的數的特征，口 99-55=

51、44 也應能被 7 整除。由口 44 能被 7整除，易知內應是 6。下面再告訴大家兩個判斷整除性的小竅門。判斷一個數能否被 27 或 37 整除的方法：對于任何一個自然數，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數連加， 如果所得的和能被 27（或 37）整除，那么這個數一定能被 27（或 37）整除；否則，這個數就不 能被 27（或37）整除。例 6 判斷下列各數能否被 27 或 37 整除：（1） 2673135;（ 2） 8990615496解：（1） 2673135=2, 673, 135, 2+673+135=810因為 810 能被 27 整除，不能被 37 整除，

52、所以 2673135 能被 27 整除，不能被 37 整除。（2） 8990615496=8, 990, 615, 496, 8+990+615+496=2 109。2, 109 大于三位數，可以再對 2, 109 的各節(jié)求和，2+109=111。因為 111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，進一步 推知8990615496 能被 37 整除，不能被 27 整除。改寫。根據十進制數的意義，有abbaabbaabba = abbaX 100010001五年級奧數-19 -由上例看出，若各節(jié)的數之和大于三位數，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和

53、判斷一個數能否被個位是 9的數整除的方法：環(huán)3加丄竺厶刑2竺由此可知，296416 能被 59 整除，37289 不能被 59 整除一般地，每進行一次變換，被判斷的數的位數就將減少一位。當被判斷的數變換到小于除數時, 即可停止變換，得出不能整除的結論。練習 61. 下列各數哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205, 167128，250894，396500，675696, 796842，805532，75778885。答案能被 7 整除的有 250894, 675696, 805532；能被 13 整除的有 88205, 167128, 805532, 757788852. 六位數

54、 175 口 62 是 13 的倍數。中的數字是幾？答案 1。提示：175-62=113,只要內填 1,就有 175-162=133. 胡七莒麗麗是戚飄14丸懺砧醴至初和整舶5.1 Sfifi aabbaakt aabt-5 7 Sfi 3 ?_/ 3提示；138A679 = 701 +Ao4.能鼬 而疵肝1（101因為嘰哄91能被7和灌除，所以謚初和瑾隊從而 ababab 能被 7 和 13 整除。5. 能。提示：仿例 5。6.4。提示：仿例 6。7. 九位數 8765 口 4321 能被 21 整除，求中間中的數。7.0。解：因為 8765 口 4321 能被 21 整除，所以能被 7 和

55、 3 整除。由能被 7 整除，推知下列各式也能被 7 整除：8765 口 4-32 仁 876504+口 0-32 仁 876183+口 0, 876-（ 183+口 0）=693+口 0。由（693+口 0）能被 7 整除，可求出口 =0 或 7。再由能被 3 整除的數的特征，內的數只能是 0。8. 在下列各數中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126, 131313555, 26611777&解.能被 27 整除的數有：1884924, 2560437, 131313555, 2661177

56、7&能被 37 整除的數有：1861026, 2560437, 11159126, 1313135559. 在下列各數中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？55119, 55537 , 62899 , 71258 ,186637, 872231, 5381717。為了敘述方便， 將個位是9的數記為 k9（ =10k+9），其中k為自然數。對于任意一個自然數，去掉這個數的個位數后，再加上個位數的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換如果最終所得的結果等于 k9,那么這個數能被 k9整除；否則，這個數就不能被 k9整除。例 7（ 1）判斷 18937 能否被 29 整除；（2）判斷 29

57、6416 與 37289 能否被 59 整除 解：（1）上述變換可以表示為：3009“35*4瑞-39033+0X6五年級奧數-20 -9.能被 19 整除的數有：55119, 55537, 186637；能被 79 整除的數有：55537, 71258, 5381717。五年級奧數-21 -第 7 講奇偶性（一）整數按照能不能被 2 整除，可以分為兩類：（1）能被 2 整除的自然數叫偶數，例如 0，2，4，6，8，10，12，14，16，（2）不能被 2 整除的自然數叫奇數，例如 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,整數由小到大排列，奇、偶數是交替出現的。相鄰兩個整數

58、大小相差 1,所以肯定是一奇一 偶。因為偶數能被 2 整除，所以偶數可以表示為 2n 的形式，其中 n 為整數；因為奇數不能被 2 整除，所以奇數可以表示為 2n+1 的形式，其中 n 為整數。每一個整數不是奇數就是偶數， 這個屬性叫做這個數的奇偶性。奇偶數有如下一些重要性質：（1）兩個奇偶性相同的數的和（或差）一定是偶數；兩個奇偶性不同的數的和（或差）一定是奇數。 反過來，兩個數的和（或差）是偶數，這兩個數奇偶性相同；兩個數的和（或差）是奇數，這 兩個數肯定是一奇一偶。（2）奇數個奇數的和（或差）是奇數；偶數個奇數的和（或差）是偶數。任意多個偶數的和（或差） 是偶數。（3）兩個奇數的乘積是奇

59、數，一個奇數與一個偶數的乘積一定是偶數。（4）若干個數相乘，如果其中有一個因數是偶數，那么積必是偶數；如果所有因數都是奇數，那么 積就是奇數。反過來，如果若干個數的積是偶數，那么因數中至少有一個是偶數；如果若干個 數的積是奇數，那么所有的因數都是奇數。（5）在能整除的情況下，偶數除以奇數得偶數；偶數除以偶數可能得偶數，也可能得奇數。奇數肯 定不能被偶數整除。（6）偶數的平方能被 4 整除；奇數的平方除以 4 的余數是 1。因為（2n）2=4n2=4Xn2,所以（2n）2能被 4 整除；因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4X（n2+n） +1,所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相鄰兩

60、個自然數的乘積必是偶數，其和必是奇數。（8）如果一個整數有奇數個約數（包括 1 和這個數本身），那么這個數一定是平方數；如果一個整 數有偶數個約數，那么這個數一定不是平方數。整數的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關系也 沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數問題，便可利 用整數的奇偶性加以解決。例 1 下式的和是奇數還是偶數？ 1+2+3+4+1997+199&分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分 析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據奇偶數的性質（2）,和的奇偶性只與加數中奇數的個數有關，與加數中的偶數無關。11998 中共有 999 個奇數，999 是