(完整word版)小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)講義(教師版)30講全

1、五年級(jí)奧數(shù)-1 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級(jí)）第 1 講數(shù)字迷（一）第 2 講數(shù)字謎（二）第 3 講定義新運(yùn)算（一）第 4 講定義新運(yùn)算（二）第 5 講數(shù)的整除性（一）第 6 講數(shù)的整除性（二）第 7 講奇偶性（一）第 8 講奇偶性（二）第 9 講奇偶性（三）第 10 講質(zhì)數(shù)與合數(shù)第 11 講分解質(zhì)因數(shù)第 12 講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）第 13 講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）第 14 講余數(shù)問(wèn)題第 15 講孫子問(wèn)題與逐步約束法第 16 講巧算 24第 17 講位置原則第 18 講最大最小第 19 講圖形的分割與拼接第 20 講多邊形的面積第 21 講 用等量代換求面積第 22 講用割補(bǔ)法

2、求面積第 23 講列方程解應(yīng)用題第 24 講行程問(wèn)題（一）第 25 講行程問(wèn)題（二）第 26 講行程問(wèn)題（三）第 27 講邏輯問(wèn)題（一）第 28 講邏輯問(wèn)題（二）第 29 講抽屜原理（一）第 30 講抽屜原理（二）五年級(jí)奧數(shù)-2 -第 1 講數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級(jí)和四年級(jí)都講過(guò)， 同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、 枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識(shí)多，思考性強(qiáng)，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過(guò)的知識(shí)外， 還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問(wèn)題。例 1 把+ , -,X,寧四個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別填入下面等式的。內(nèi)，使等式成立（每個(gè)運(yùn)算符號(hào)只準(zhǔn)使 用一次）

3、：（501307）0（1709）=12。分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四則運(yùn)算中只有除法運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，所以應(yīng)首先確定 “十”的位置。當(dāng)“寧”在第一個(gè)O內(nèi)時(shí)，因?yàn)槌龜?shù)是 13,要想得到整數(shù)，只有第二個(gè)括號(hào)內(nèi)是 13 的倍數(shù), 此時(shí)只有下面一種填法，不合題意。（5- 13-7）X（17+9）。當(dāng)“寧”在第二或第四個(gè)O內(nèi)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。 當(dāng)“十”在第三個(gè)O內(nèi)時(shí)，可得下面的填法：（5+13X7）-（ 17-9） =12。例 2 將 19 這九個(gè)數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立： 口口乂 口=* =5568。解：將 5568 質(zhì)因數(shù)分解為 5568=26X3X29。由此容易知道，將 5

4、568 分解為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積 有兩種：58X96 和 64X87,分解為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三位數(shù)的乘積有六種：12X464,16X348,24X232,29X192,32X174,48X116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174X32=58X96=556&例 3 在 443 后面添上一個(gè)三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573 整除。分析與解：先用 443000 除以 573,通過(guò)所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000-573=77371推知，443000+ （573-71 ） =443502 一定能被 573 整除，所以應(yīng)添 502例 4 已知六位數(shù) 33口 44 是 89

5、的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個(gè)位是 4,推知商的個(gè)位是 6;由左下式知，十位相減后的差是 1, 所以商的十位是 9。這時(shí)，雖然 89X96=8544,但不能認(rèn)為六位數(shù)中間的兩個(gè)內(nèi)是 85,因?yàn)檫€沒(méi)有考慮前面兩位數(shù)。a 可能是 6 或 7,所以 b 只可能是 7 或&3796 或 3896。由 3796X89=337844, 3896X89=346744知，商是 3796,所求六位數(shù)是 337844。例 5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請(qǐng)你用適 當(dāng)?shù)臄?shù)字代替

6、字母，使加法豎式成立。FORTY2:9786TEN850+ TEN十 850SIXTY31486分析與解：先看豎式的個(gè)位。由 Y+N+N=Y Y+ 10,推知 N 要么是 0,要么是 5。如果 N=5,那么 要向上進(jìn)位，由豎式的十位加法有 T+E+E+仁或 T+10,等號(hào)兩邊的奇偶性不同，所以 NM5, N=Q 此時(shí)，由豎式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10, E 不是 0 就是 5,但是 N=0,所以 E=5豎式千位、萬(wàn)位的字母與加數(shù)的千位、萬(wàn)位上的字母不同，說(shuō)明百位、千位加法都要向上進(jìn)位。因?yàn)?N=0,所以 I 工 0,推知 1=1 , 0=9,說(shuō)明百位加法向千位進(jìn) 2。再看豎式的百

7、位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)1,百位加法向千位進(jìn) 2,且燈0 或 1,所以 R+T+T+P22,再由 R, T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或&若 T=7,則 R=8, X=3,這時(shí)只剩下數(shù)字 2, 4, 6 沒(méi)有用過(guò)，而 S 只比 F 大 1, S, F 不可能是 2, 4, 6 中8 9)3 3QPETaE 0 1幺 D 10再?gòu)淖筮呑龀āＨ缬疑鲜剿?，由左、右兩邊做除法的商，得到商是五年?jí)奧數(shù)-3 -的數(shù)，矛盾。若 T=8,則 R 只能取 6 或 7。R=6 時(shí)，X=3,這時(shí)只剩下 2, 4, 7,同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7 時(shí), X=4,剩下數(shù)字 2, 3, 6,可取

8、F=2, S=3, 丫=&所求豎式見(jiàn)上頁(yè)右式。解這類題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數(shù)。這個(gè)題目是美國(guó)數(shù) 學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是 40 , 10 , 10 , 60 ,而 40+10+10 正好是 60,真是巧極了！例 6 在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請(qǐng)你填上適當(dāng) 的數(shù)字，使豎式成立。107021070310704ABOBDEFAG-9814-9315-921S-EFAG838888888FFFABCBD分析與解：按減法豎式分析，看來(lái)比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運(yùn)算，是否可以把減 法變

9、成加法來(lái)研究呢(見(jiàn)右上式)？不妨試試看。因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn) 1,所以 E=9, A=1, B=0b如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法 1+F=10,得 F=9,與 E=9 矛盾，所以個(gè)位加法向上 進(jìn) 1,由 1+F+1=1Q 得到 F=8,這時(shí) C=7。余下的數(shù)字有 2, 3, 4, 5, 6,由個(gè)位加法知，G 比 D 大 2,所以 G, D分別可取 4, 2 或 5, 3 或 6, 4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變 換，將不熟悉的問(wèn)題變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題。另外，做題時(shí)要考慮解的情況，是否有多個(gè)解。練習(xí) 11. 在一個(gè)四位數(shù)

10、的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819,求原來(lái)的四位數(shù)。解：621819-( 100-1 ) = 6281。2. 在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：(1)A B (2) A B A B+ B C A - A C A _A B CB A A C 4 S T 3 T+4 Q 8 85 4 97 3 5 9(1)由百位加法知，A=B+1 再由十位加法 A+C=B+10 推知 C=9,進(jìn)而得到 A=5, B=4 (見(jiàn)上右式)(2)由千位加法知 B=A-1，再由個(gè)位減法知 C=Q 因?yàn)槭粶p法向百位借 1,百位減法

11、向千位借 1, 所以百位減法是(10+B-1) -A=A,化簡(jiǎn)為 9+B=2A 將 B=A-1 代入，得 A=8, B=7 (見(jiàn)右上式)。3. 在下面的算式中填上括號(hào)，使得計(jì)算結(jié)果最大：1 2 3 4 5 6 7 8 9。解：1-( 2-3- 4- 5-6 -7 -8 -9) =90720。4. 在下面的算式中填上若干個(gè)()，使得等式成立：1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8解：1-( 2-3)- 4-( 5-6-7-8)- 9=2.8。提示因?yàn)?22 冬二 而 1 必須在分子上，2 必須在分母上，即器卞呂、剩下的玉 4, 6, 8, 五個(gè)數(shù)填在耳中，應(yīng)使呂=4 只有3X6X8 甜 土*

12、 , 1X3X6X7X8捍址*=7一種填法。由沖沖9F 帶花5.將 19 分別填入下式的中，使等式成立： *口=* =3634。提示：3634=2X23X79。46X79= 23X158= 3634。五年級(jí)奧數(shù)-4 -6. 六位數(shù) 391 是 789 的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。提示：仿照例 3。391344。7. 已知六位數(shù) 7口 888 是 83 的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。提示：仿例 4,商的后 3 位是 336,商的第一位是 8 或 9。774888。五年級(jí)奧數(shù)-5 -第 2 講數(shù)字謎（二）這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問(wèn)題。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字

13、母代表相同的數(shù)字，求abcde.labcdex3=abcde1分析與解：這道題可以從個(gè)位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個(gè)確定各個(gè)字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn)在，我們從另一個(gè)角度來(lái)解。labcde 與 abcdel 只是 1 所在的位置不同，設(shè) x=abcde 則算式變?yōu)椋?00000+x）x3=10 x+1,300000+3x=10 x+1,7x=299999,x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡(jiǎn)潔。我們?cè)倏磶讉€(gè)例子。例 2 在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。 1 24x8 1x8 1 1 24口992 1 0 0 4 4解；設(shè)被乘數(shù)為跖由唸1000PxlHf由豎式特點(diǎn)知.除總

14、一八“上心耳川 J 菲士* E 腎數(shù)，Li所以 x=112,被除數(shù)為 989x112=110768 右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡(jiǎn)潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例 4 在內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁(yè)左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見(jiàn)下頁(yè)右上方豎式）?？梢钥闯?，除數(shù)與商的后三位數(shù)的乘積是 1000=23x53的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個(gè)是 23=8 的 倍數(shù)，另一個(gè)是 53=125 的奇數(shù)倍，因?yàn)槌龜?shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是 8 的倍數(shù)。又由豎式特點(diǎn)知 a=9,從而除數(shù)應(yīng)是 96 的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有 96, 48,

15、 32, 24 和 16。因?yàn)?，c=5, 5 與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是 16,進(jìn)而推知 b=6。因?yàn)樯痰暮?三位數(shù)是 125 的奇數(shù)倍，只能是 125, 375, 625 和 875 之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取 375。至此，已求 出除數(shù)為16,商為 6.375，故被除數(shù)為 6.375x16=102。上頁(yè)右式即為所求豎式。求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n 個(gè) 0,則在除數(shù)和商中，一個(gè)含有因子 2n（不含因子 5）,另一個(gè)含有因子 5n（不含因子 2）,以此為突破 口即可求解。例 5 一個(gè)五位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得到下頁(yè)的豎式（1）,這個(gè)五位數(shù)被另一個(gè)一

16、位數(shù)除得到下頁(yè)的豎 式（2）,) 匚二989112)1107601008S961008 10CS0二匚二 =bDDcnq)annoDO匚口五年級(jí)奧數(shù)-6 -求這個(gè)五位數(shù)。五年級(jí)奧數(shù)-7 -(1)ric #(2)“*；和*#卡*y5L *0分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為 10*0 （見(jiàn)豎式（1），豎式（1）的除數(shù)為 3 或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù) 10 不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是 2 或 5,而被除數(shù)的 后兩位數(shù)*0 能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是 4, 6 或 8。當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為 3 時(shí)，由豎式（1） 知，a=1 或2,所以被除數(shù)為 100*0 或 101*0，再由豎式（2

17、）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩 位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為 4,被除數(shù)為 10020;當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為 9 時(shí)，由能被 9 整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為&因?yàn)樨Q式 （2） 的除數(shù)只能是 4, 6, 8,由豎式 （2） 知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)， 故被除數(shù)只有 10080, 10260，10440 和 10620 四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除 數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為 8,被除數(shù)為 10440。所以這個(gè)五位數(shù)是 10020 或 10440。練習(xí) 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字

18、，不同的字母代表不同的數(shù)字，求岀1） labcd 3 = abcdS;（.2）7 abcxyz 二=6 X xyzabco答案(1) 4285;( 2) 46153&蒜；(2)用原示五喙示贏 耐灌為 7X (1000A+ B)= 6 X (1000B + A),化簡(jiǎn)后得 538A=461B 由于 538與 461 互質(zhì)， 且 A, B 均為三位數(shù),所以 A=461, B= 538。所求六位數(shù)是 461538。2.用代數(shù)方法求解下列豎式： 8 7） 口 口 0答案（1） 124X 81=10044;（ 2）9807o 設(shè)除數(shù)是 a,根據(jù)豎式特點(diǎn)由 8av 100, 9a 100,推知所以

19、 a=12o3.答案（1）先將豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：易知 f=2 , g=0;由 g=0 知 b, d 中有一個(gè)是 5,另一個(gè)是偶數(shù)而 f= 2,所以 b= 5,進(jìn)而推知3.在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立:_ . . ） 口 8 0. ) . 117684- 12= 9807。提示：（1）設(shè)被乘數(shù)為 a,由 8a 10000,推知123 詐 K124#所以a=12（2）根據(jù)豎式特點(diǎn)知，商是五年級(jí)奧數(shù)-8 -d= 6 ;再由 d= 6 , f= 2 知 a= 2 或 7,而 e=3 或 4,所以 a=7;最后求出 c=5。見(jiàn)上頁(yè)右下式。（2）先將除法豎式化為整數(shù)除法豎式如左下

20、式：由豎式特點(diǎn)知b=c=0；因?yàn)槌龜?shù)與 d 的乘積是 1000的倍數(shù)， d 與 e 都不為 0,所以 d 與除數(shù)中必分別含有因子 23和 52， 故 d=8,除數(shù)是 125 的奇數(shù)倍，因此 e=5;又 f 工 0, e= 5，所以 f=g=5 ;由 g=5, d=8 得到除數(shù)為 5000- 8=625,再由 625X a 是三位 數(shù)知 a=1,所以被除數(shù)為 625X 1008=630000,所求豎式見(jiàn)右上式。五年級(jí)奧數(shù)-9 -第 3 講定義新運(yùn)算（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意 義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。 除此之外，還會(huì)有什么別的

21、運(yùn)算嗎？這兩講我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn) 題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒(méi)有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算,對(duì)于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例 1 對(duì)于任意數(shù) a，b，定義運(yùn)算“ *”：a*b=axb-a-b。求 12*4 的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。例 2己知表示盒的今倍減古 b的* 例如 1A2=1X32X1 = 2.10A6 的值。解；10216=10X3-6x1 = 30-3=27.、,d3 ，x=2，求 x 的值例3對(duì)于數(shù)為b, c, &規(guī)定 5b, c, d =2a

22、b 己知 52,c分析與解：按照定義的運(yùn)算，由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+, -,X,寧，V,等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分， 應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符號(hào)。 如例1中， a*b=axb-a-b ,新運(yùn)算符號(hào)使 用“ * ”，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來(lái)表示。例臨戲示兩個(gè)就規(guī)定花bCl) 29 (|o|) =?7 112)Q x=求龍Ao2分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。因沏0 &確）中機(jī)）齢齷新定氏所以其盍義與四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)行小括

23、號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號(hào)外面的運(yùn)算24r廠11（2）因?yàn)樵谥袥](méi)筆有重新規(guī)定運(yùn)算次序，所以應(yīng)至右進(jìn)行運(yùn)算。根據(jù)以上的規(guī)定，求=2,x=6o3Y1515按通常的規(guī)則從左五年級(jí)奧數(shù)-10 -診3規(guī)皤(扣 6由(扣)作魯襁君器L24例5規(guī)定：42 = 4+442曲冃+謝恣1$1+1M11+11U ,求佝冃分析與解：從已知的三式來(lái)看，運(yùn)算“一”表示幾個(gè)數(shù)相加，每個(gè)加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號(hào)前面的那個(gè)數(shù)，而符號(hào)后面的數(shù)是幾，就表示幾個(gè)數(shù)之和，其中第1 個(gè)數(shù)是 1 位數(shù)，第 2 個(gè)數(shù)是 2 位數(shù)，第 3 個(gè)數(shù)是 3 位數(shù)按此規(guī)定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035從例 5 知，有時(shí)新

24、運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進(jìn)行運(yùn)算。 例 6 對(duì)于任意自然數(shù)，定義：n! =1X2Xxn。例如 4 ! =1X2X3X4。那么 1! +2! +3! +100!的個(gè)位數(shù)字是幾？分析與解：1! =1，2!=1X2=2，3!=1X2X3=6，4!=1X2X3X4=24，5!=1X2X3X4X5=120,6!=1X2X3X4X5X6=720,由此可推知，從 5!開始，以后 6!，7!，8!,，100!的末位數(shù)字都是 0。所以，要求 1! +2! +3! +100!的個(gè)位數(shù)字，只要把 1!至 4!的個(gè)位數(shù)字相加便可求得:1+2+6+4=13 所求的個(gè)位數(shù)字是 3。例 7 如果 m n

25、 表示兩個(gè)數(shù)，那么規(guī)定：nDn=4n- (m+r)寧 2。求 30(406)012 的值。解：30(406)012=304X6- (4+6)十 2O12=3019012=4X19- (3+19)十 2012=65012=4X12- (65+12)十 2=9.5練習(xí) 31.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù) a 和 b,規(guī)定 a*b=3Xa-b -3。求 8*9 的值。(值為 2)2.已知 aHb 表示 a 除以 3 的余數(shù)再乘以 b，求 13：4 的值。(值為 4)3. 已知 a b 表示(a-b )*( a+b)，試計(jì)算：(5-3) 一 (16)。(值為 0)解；(5田3)e (1璇=70- = 0,4 44

26、. 規(guī)定 a b 表示 a 與 b 的積與 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值。五年級(jí)奧數(shù)-11 -答案 7 - =- -五年級(jí)奧數(shù)-12 -5.假定mOn 表示 m 的 3 倍減去 n 的 2 倍，即 mOn=3m-2r。61) ;( (2) )8*(2)相當(dāng)于由 1X2X3X -Xx=40320,求 X。40320 - 2= 20160,20160- 3= 6720 , 6720-4=1680, 1680-5=336,8-8=1,即 1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。所以 x=8。7.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù) p, Q,規(guī)定 P Q= ( pXQ)

27、* 4。例如：2 8= (2X8)* 4。已知x( 85)=10，求 x 的 值。解：x( 85) = x ( 8X5*4) = x 10= xX10*4,由 xX10*4=10，求得 x=4。8.定義：a b=ab-3b, adb=4a-b/a。計(jì)算：(“3 )( 2 b) 解：(43)(26)= (4X3-3X3)(4X2-6/2) = 35=3X5-3X5=09.已知：23=2X3X4, 4=5=4X5X6X7X8,求(4 冋4)*( 3 點(diǎn) 3)的值。提示：新運(yùn)算“：”是：從第一個(gè)數(shù)字起，求越來(lái)越大的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的乘積，因數(shù)個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)字。(4 4)*( 31 3) = (4X5X

28、6X7)*( 3X4X5) =14。（0 it算占（號(hào)）答案(2)提示:x010=7,已知 x（ 401） =7,求 x 的值(2)xO(401)= 7，x(4X3-1X2)= 7,3x-10X2=7,x=9。刃=K卜4V = 1X-X-X-,234求（丙）斗57）的值；已陰二詁看獅的僮五年級(jí)奧數(shù)-13 -第 4 講定義新運(yùn)算(二)例 1 已知 b= (a+b) - (a-b)，求 9 探 2 的值。分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把 a=9, b=2 代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則 運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“”化簡(jiǎn)，再求結(jié)果。a 探 b= (a+b) - (a-b) =a+b

29、-a+b=2b。所以，仝2=2x2=4。由例 1 可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、 法則的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。例 2 定義運(yùn)算：ab=3a+5ab+kb,其中 a, b 為任意兩個(gè)數(shù)，k 為常數(shù)。比如：207=3x2+5X2x7+7k。(1) 已知 502=73。問(wèn)：805 與 508 的值相等嗎？2)當(dāng) k 取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù) a，b，都有 a b=ba，即新運(yùn)算“O”符合交換律？ 分析與解： (1)首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù) k。 因?yàn)?502=3x5+5X5X2+kX2=65+2k，所以

30、由已知 502=73,得65+2k=73,求得k= (73-65) - 2=4。 定義的新運(yùn)算是： a0b=3a+5ab+4b 805=3X8+5X8X5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。因?yàn)?244 工 247,所以 805 工 508。(2)要使 a0b=b0a,由新運(yùn)算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka 3a+kb-3b-ka=0 ,3x(a-b)-k(a-b)=O,(3-k)(a-b)=0。對(duì)于兩個(gè)任意數(shù) a, b,要使上式成立，必有 3-k=0，即 k=3。當(dāng)新運(yùn)算是 a0b=3a+5ab+3b 時(shí)，具有交換律，即a0b=b0a。例 3 對(duì)兩

31、個(gè)自然數(shù) a 和 b,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為 ab,即 ab=a , b- (a,b)。比如，10 和 14 的最小公倍數(shù)是 70,最大公約數(shù)是 2,那么 10 14=70-2=68。(1)求 1221 的值；(2)已知&x=27，求 x 的值。分析與解：(1) 1221=12 , 21- (12, 21) =84-3=81;(2)因?yàn)槎x的新運(yùn)算“”沒(méi)有四則運(yùn)算表達(dá)式， 所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式 求x，只能用推理的方法。因?yàn)?6x=6 , x- (6, x) =27,而 6 與 x 的最大公約數(shù)(6, x)只能是 1, 2, 3, 6。所以 6 與 x 的最小公倍

32、數(shù)6 , x只能是 28, 29 , 30 , 33。這四個(gè)數(shù)中只有 30 是 6 的倍數(shù)，所以 6 與 x 的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是 30 和 3。因?yàn)?axb=a , bx(a, b),所以 6xx=30 x3,由此求得 x=15。例 4 a 表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90, b 表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180, c 表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90, d 表示不轉(zhuǎn)。定義 運(yùn)算“”表示“接著做”。求：ab； bc； c a。分析與解：a b 表示先順時(shí)針轉(zhuǎn) 90,再順時(shí)針轉(zhuǎn) 180,等于順時(shí)針轉(zhuǎn) 270,也等于逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90,所以ab=c。bc 表示先順時(shí)針轉(zhuǎn) 180,再逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90,等于順時(shí)針轉(zhuǎn) 90,所以

33、bc=a。c a 表示先逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90,再順時(shí)針轉(zhuǎn) 90,等于沒(méi)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以 c a=d。對(duì)于 a, b, c, d 四種運(yùn)動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“”的運(yùn)算表(見(jiàn)下表)。比如 c b,由 c 所在 的行和b 所在的列，交叉處 a 就是 cb 的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算符合交換律，所以由 c 所在的列和 b 所 在的行也可得到相同的結(jié)果。abcda.bcdSLbuaabu1宜bcdatcd例 5 對(duì)任意的數(shù) a, b,定義：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求 f (5) -g (3)的值；(2)求 f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知 f (x+1) =21，求 x 的值。

34、解：(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2；(2) f(g(2)+g(f(2)=f(2x2)+g(2x2+1)=f(4)+g(5)=(2x4+1)+(5X5)=34；五年級(jí)奧數(shù)-14 -(3) f (x+1) =2X(x+1) +1=2x+3,由 f (x+1) =21，知 2x+3=21,解得 x=9。五年級(jí)奧數(shù)-15 -1.詢訕劇丄(1)逆甸 r齬肓熾,叭倔姻AW=B9L(2)帝(3 辺(2 朝癱：答案*工衛(wèi)*丨_ _一一答廊伽粧胞寸石亟鮭配淵觀於：m 砥畀：m 瀚W 麗那耶關(guān)加鋸潮，所曠眄 I低3)=01(53)2 =汨盼尋2 訝+令=召+鼎(購(gòu) 2)

35、=5(舟畔討令茅顯歌(阿因 2 去 M(32),所以運(yùn)算“回瑕有纟拾負(fù)2.定義兩種運(yùn)算“”和“”如下：b 表示 a, b 兩數(shù)中較小的數(shù)的 3 倍，ab 表示 a, b 兩數(shù)中較大的數(shù)的 2.5 倍。比如：厶5=4X3=12,45=5X2.5=12.5。計(jì)算：(0.6 探 0.5)+(0.3 0.8) - (1.2 探 0.7)-(0.64 0.2) 解：原式=(0.5X3+0.8X2.5 )- (0.7X3-0.64X2.5)=7。仍-框軒虹臓竝34=16, K SS11M?. SfcB細(xì)觸提示：從已知的四式發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)的 4 倍加上第二個(gè)數(shù)等于結(jié)果，所”二丄-=七5測(cè)二翻和血滋4. 設(shè)

36、m n 是任意的自然數(shù)，A 是常數(shù)，定義運(yùn)算 nOn= (AXm-n)* 4,并且 203=0.75。試確定常數(shù) A,并計(jì)算：(507)X(202)*(302)提示：由 2O3= (AX2-3 )* 4=0.75，推知 A=3 定義的運(yùn)算是：mOn= (3m-n)* 4。( 507)X(202)*(302)=(3X5-7) *4X(3X2- 2)*4*(3X3-2) *4=2X1*7/4=8/7。5. 用 a, b, c 表示一個(gè)等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：a 表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 240 , b 表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120, c 表示不旋轉(zhuǎn)6. 對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù) a 和 b

37、,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為 a：b。比如 7 3=1,5 29=4,420=0。( 1)計(jì)算：1998 2000,( 519)19, 5(19 9);(2)已知 11 x=4, x 小于 20,求 x 的值。6. (1) 2, 3, 1;( 2) 7 或 14。提示：(1)( 5 9) 19= 419=3, 5(195) =5-:4= 1。(2)當(dāng) xV11 時(shí)，x 是 7;當(dāng) x 11 時(shí)，x 是 14。7. 對(duì)于任意的自然數(shù) a, b,定義：f (a) =aXa-1 , g (b) =b* 2+1。(1) 求 f (g (6) -g (f (3)的值；(2)已知 f (g (x) =

38、8,求 x 的值。解：(1) f (g (6) - g (f (3) = f(6 *2+1)- g (3X3-1 ) = f( 4)- g(8)=(4X4-1 ) - (8*2+1) = 10 ;。(2)由 f( g (x) )= 8=3X3-1，推知 g (x) = 3 ;再由 x* 2+仁 3,得 x=4。練習(xí) 4運(yùn)算“V”表示“接著做”。試以V且bcaIc *bca bca b ca, b,c 為運(yùn)五年級(jí)奧數(shù)-16 -第 5 講數(shù)的整除性（一）三、四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被 2, 3, 5 和 4, 8, 9, 6 以及 11 整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除 的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下

39、數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問(wèn)題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。（3）如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4） 如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積， 那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。（5）幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除。靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問(wèn)題。例 1 在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358口能分別被 9, 25 和 8 整

40、除。分析與解：分別由能被 9, 25 和 8 整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?, 25, 8 兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9X25X8=1800 整除，所以七位數(shù)的個(gè)位，十位 都是0;再由能被 9 整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填 4。這個(gè)七位數(shù)是 4735800。例 2 由 2000 個(gè) 1 組成的數(shù) 11111 能否被 41 和 271 這兩個(gè)質(zhì)數(shù)整除？分析與解： 因?yàn)?41X27 仁 11111,所以由每 5 個(gè) 1 組成的數(shù) 11111 能被 41 和 271 整除。 按“ 11111”把 2000 個(gè) 1 每五位分成一節(jié)，2000 -5=400,就有 400

41、 節(jié)，訂 1 瓷更 i 上訐蒼40011 111因?yàn)?2000 個(gè) 1 組成的數(shù) 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根據(jù) 整除的性質(zhì)（1）可知，由 2000 個(gè) 1 組成的數(shù) 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 有四個(gè)數(shù)：76550, 76551, 76552, 76554。能不能從中找出兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被 12 整除？ 分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把 12 分成兩數(shù)之積：12=12X仁 6X2=3X4。要從已知的四個(gè)數(shù)中找出兩個(gè)，使其積能被12 整除，有以下三種情況：（1） 找出一個(gè)數(shù)能被 12 整除，這個(gè)數(shù)與其它三個(gè)

42、數(shù)中的任何一個(gè)的乘積都能被12 整除；（2）找出一個(gè)數(shù)能被 6 整除，另一個(gè)數(shù)能被 2 整除，那么它們的積就能被 12 整除；（3） 找出一個(gè)數(shù)能被 4 整除，另一個(gè)數(shù)能被 3 整除，那么它們的積能被 12 整除。容易判斷，這四個(gè)數(shù)都不能被 12 整除，所以第（1）種情況不存在。對(duì)于第 （2） 種情況， 四個(gè)數(shù)中能被 6 整除的只有 76554,而 76550, 76552 是偶數(shù)， 所以可以 選 76554和 76550, 76554 和 76552。對(duì)于第（3）種情況，四個(gè)數(shù)中只有 76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以 可以選 76552 和 76

43、551, 76552 和 76554。綜合以上分析， 去掉相同的， 可知兩個(gè)數(shù)的乘積能被 12 整除的有以下三組數(shù)： 76550 和 76554, 76552和 76554, 76551 和 76552。例 4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于 43 且能夠被 11 整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于 43; 能被 11 整除。因?yàn)槟鼙?11 整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43 的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數(shù)由一個(gè) 7 和四個(gè) 9 組成；（2）五位數(shù)由兩個(gè) 8 和三個(gè) 9 組成。上面兩種情況中的五位

44、數(shù)能不能被 11 整除？ 9, 8, 7 如何擺放呢？根據(jù)被 11 整除的數(shù)的特 征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是 27,偶數(shù)位數(shù)字之和是 16,那么差是 11,就能被 11 整除。滿足這 些要求的五位數(shù)是： 97999 , 99979, 98989。例 5 能不能將從 1 到 10 的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3 整除？分析與解：10 個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每?jī)蓚€(gè)數(shù)一組共有 5 組，每組的兩數(shù)之和都 能被3 整除，推知 110 的和也應(yīng)能被 3 整除。實(shí)際上，110 的和等于 55,不能被 3 整除。這

45、 個(gè)矛盾說(shuō)明五年級(jí)奧數(shù)-17 -假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。練習(xí) 51.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍數(shù)，1392 和 7018 是不是 29 的倍數(shù)？（ 1） 提示：.是。7018 和 1392分別是 4205 與 2813 的和與差。2.如果兩個(gè)數(shù)的和是 64，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除 4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？ （ 14）。提示：已知這兩個(gè)數(shù)的積可以整除 4875,說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)都是 4875 的因數(shù)。4875= 3X5X5X5X13,用這些因子湊成兩個(gè)數(shù)，使它們的和是 64,顯然這兩個(gè)數(shù)是 3X13=39 和 5X5=25。它 們的差是39-25=14。3.1

46、73 是個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)中先后填入3 個(gè)數(shù)字，所得到的 3 個(gè)四位數(shù)，依次可以被 9，11, 6 整除。”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的 3 個(gè)數(shù)字之和是多少？ （ 19） 提示：先后填入的三個(gè)數(shù)依次是 7, 8, 4。辰短畐的徹灌梆鯨推刪畝又詼獨(dú)蛾靑鴉細(xì) 4 豔 菇滋執(zhí) 1=|6,進(jìn) 而知 f=4，所求數(shù)為 123654 和 321654。4月卜6汨辭娥M趟1眨其中不同的字母代表16中不同的數(shù)乳要耘能祀整甌|磁初獸蔬懈,斕瓠吋是 6 的倍數(shù).I 觀如有朕納 答案：123654 和 321654。提示：由題意知，b, d, f 是偶數(shù)，e= 5，所以 a, c 只能是 1 和 3。士宅

47、一班有多少名學(xué)生?提示：總分等于平均分乘以學(xué)生人數(shù)，因?yàn)槠骄?0=9X10,所以總產(chǎn)一廠一二：- （人）。6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3 整除？答案：不能。提示：假設(shè)能。因?yàn)榍皟蓚€(gè)數(shù)的和能被 3 整除，第 2、第 3 個(gè)數(shù)的和也能被 3 整除，所以第 1、第 3 兩個(gè)數(shù)除以 3 的余數(shù)相同。類似可知，排在第 1, 3, 5, 7, 9 位的數(shù)除以 3 的余數(shù)都相同。 在 19中，除以 3 的余數(shù)相同的數(shù)只有 3 個(gè)，不可能有 5 個(gè)。這個(gè)矛盾說(shuō)明假設(shè)不成立。五年級(jí)奧數(shù)-18 -第 6 講數(shù)的整除性（二）我們先看一個(gè)特殊的數(shù)一一 1001。因?yàn)?1001=

48、7X11X13，所以凡是 1001 的整數(shù)倍的數(shù)都能 被 7,11 和 13 整除。例1贏疏否初門刑13建站分祈躺：因?yàn)閺?amp;贏XI妣1001是乙11和1?的倍熱所以 贏臥能被兀11和1灌韓能被 7, 11 和 13 整除的數(shù)的特征：如果數(shù) A 的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能 被 7 或11 或 13 整除， 那么數(shù) A 能被 7 或 11 或 13 整除。 否則， 數(shù) A 就不能被 7 或 11 或 13 整除 例 2 判斷 306371能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因?yàn)?371-306=65, 65 是 13 的倍數(shù)，不是 7 的

49、倍數(shù)，所以 306371 能被 13 整除，不能被 7 整除。 例3 已知 10 口 8971 能被 13 整除，求中的數(shù)。解：10 口 8-97 仁 1008-971 + 0=37+口 0。上式的個(gè)位數(shù)是 7,若是 13 的倍數(shù)，則必是 13 的 9 倍， 由13X9-37=80，推知中的數(shù)是 8。他惘嘲頑忌趕汀曲勒怖劇匸要舸阪贏辭機(jī)？川繚 砌撫 W2位數(shù)進(jìn)行因?yàn)?100010001 各數(shù)位上數(shù)字之和是 3,能夠被 3 整除，所以這個(gè) 12 位數(shù)能被 3 整除。根據(jù)能被 7（或 13）整除的數(shù)的特征，100010001 與（100010-仁）100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么

50、都不能被 7 （或 13）整除。同理，100009 與（100-9= ） 91 要么都能被 7 （或 13）整除，要么都不能被 7 （或 13）整除。 因?yàn)?1=7X13,所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知這個(gè) 12 位數(shù)能被 7 和 13 整除。例5孵4刪豎賓腳憐片那么中問(wèn)方務(wù)內(nèi)熾字是幾？分析與解：根據(jù)能被 7 整除的數(shù)的特征，555555 與 999999 都能被 7所肚尹肖滬哋觀瞬.邸18f因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左邊的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被 7 整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè)數(shù)也能被 7 整除，推知 55 99 能被 7 整除。根據(jù)能被 7 整除的數(shù)的特征，口 99-55=

51、44 也應(yīng)能被 7 整除。由口 44 能被 7整除，易知內(nèi)應(yīng)是 6。下面再告訴大家兩個(gè)判斷整除性的小竅門。判斷一個(gè)數(shù)能否被 27 或 37 整除的方法：對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)，從個(gè)位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加， 如果所得的和能被 27（或 37）整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被 27（或 37）整除；否則，這個(gè)數(shù)就不 能被 27（或37）整除。例 6 判斷下列各數(shù)能否被 27 或 37 整除：（1） 2673135;（ 2） 8990615496解：（1） 2673135=2, 673, 135, 2+673+135=810因?yàn)?810 能被 27 整除，不能被 37 整除，

52、所以 2673135 能被 27 整除，不能被 37 整除。（2） 8990615496=8, 990, 615, 496, 8+990+615+496=2 109。2, 109 大于三位數(shù)，可以再對(duì) 2, 109 的各節(jié)求和，2+109=111。因?yàn)?111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，進(jìn)一步 推知8990615496 能被 37 整除，不能被 27 整除。改寫。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的意義，有abbaabbaabba = abbaX 100010001五年級(jí)奧數(shù)-19 -由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對(duì)和的各節(jié)求和

53、判斷一個(gè)數(shù)能否被個(gè)位是 9的數(shù)整除的方法：環(huán)3加丄竺厶刑2竺由此可知，296416 能被 59 整除，37289 不能被 59 整除一般地，每進(jìn)行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時(shí), 即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。練習(xí) 61. 下列各數(shù)哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205, 167128，250894，396500，675696, 796842，805532，75778885。答案能被 7 整除的有 250894, 675696, 805532；能被 13 整除的有 88205, 167128, 805532, 757788852. 六位數(shù)

54、 175 口 62 是 13 的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？答案 1。提示：175-62=113,只要內(nèi)填 1,就有 175-162=133. 胡七莒麗麗是戚飄14丸懺砧醴至初和整舶5.1 Sfifi aabbaakt aabt-5 7 Sfi 3 ?_/ 3提示；138A679 = 701 +Ao4.能鼬 而疵肝1（101因?yàn)閲\哄91能被7和灌除，所以謚初和瑾隊(duì)從而 ababab 能被 7 和 13 整除。5. 能。提示：仿例 5。6.4。提示：仿例 6。7. 九位數(shù) 8765 口 4321 能被 21 整除，求中間中的數(shù)。7.0。解：因?yàn)?8765 口 4321 能被 21 整除，所以能被 7 和

55、 3 整除。由能被 7 整除，推知下列各式也能被 7 整除：8765 口 4-32 仁 876504+口 0-32 仁 876183+口 0, 876-（ 183+口 0）=693+口 0。由（693+口 0）能被 7 整除，可求出口 =0 或 7。再由能被 3 整除的數(shù)的特征，內(nèi)的數(shù)只能是 0。8. 在下列各數(shù)中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126, 131313555, 26611777&解.能被 27 整除的數(shù)有：1884924, 2560437, 131313555, 2661177

56、7&能被 37 整除的數(shù)有：1861026, 2560437, 11159126, 1313135559. 在下列各數(shù)中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？55119, 55537 , 62899 , 71258 ,186637, 872231, 5381717。為了敘述方便， 將個(gè)位是9的數(shù)記為 k9（ =10k+9），其中k為自然數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)后，再加上個(gè)位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進(jìn)行這一變換如果最終所得的結(jié)果等于 k9,那么這個(gè)數(shù)能被 k9整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被 k9整除。例 7（ 1）判斷 18937 能否被 29 整除；（2）判斷 29

57、6416 與 37289 能否被 59 整除 解：（1）上述變換可以表示為：3009“35*4瑞-39033+0X6五年級(jí)奧數(shù)-20 -9.能被 19 整除的數(shù)有：55119, 55537, 186637；能被 79 整除的數(shù)有：55537, 71258, 5381717。五年級(jí)奧數(shù)-21 -第 7 講奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被 2 整除，可以分為兩類：（1）能被 2 整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如 0，2，4，6，8，10，12，14，16，（2）不能被 2 整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)

58、大小相差 1,所以肯定是一奇一 偶。因?yàn)榕紨?shù)能被 2 整除，所以偶數(shù)可以表示為 2n 的形式，其中 n 為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被 2 整除，所以奇數(shù)可以表示為 2n+1 的形式，其中 n 為整數(shù)。每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)， 這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。 反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這 兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)的和（或差） 是偶數(shù)。（3）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇

59、數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么 積就是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果若干個(gè) 數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯 定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被 4 整除；奇數(shù)的平方除以 4 的余數(shù)是 1。因?yàn)椋?n）2=4n2=4Xn2,所以（2n）2能被 4 整除；因?yàn)椋?n+1）2=4n2+4n+1=4X（n2+n） +1,所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相鄰兩

60、個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括 1 和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個(gè)整 數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問(wèn)題。有些問(wèn)題表面看來(lái)似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也 沒(méi)有，例如染色問(wèn)題、覆蓋問(wèn)題、棋類問(wèn)題等，但只要想辦法編上號(hào)碼，成為整數(shù)問(wèn)題，便可利 用整數(shù)的奇偶性加以解決。例 1 下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 1+2+3+4+1997+199&分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來(lái)判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直接分 析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡(jiǎn)潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2）,和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無(wú)關(guān)。11998 中共有 999 個(gè)奇數(shù)，999 是