培優(yōu)輔導(dǎo)：《圓的證明與計(jì)算》專(zhuān)題

1、培優(yōu)輔導(dǎo)：圓的證明與計(jì)算專(zhuān) 題(郭艷超2016/3/14 )一、考點(diǎn)分析：1. 圓中的重要定理：(1) 圓的定義：主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓(2) 垂徑定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等(3) 三者之間的關(guān)系定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等(4) 圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來(lái)證明一一直角、角相等、弧相等 (5) 切線的性質(zhì)定理：主要是用來(lái)證明一一垂直關(guān)系.(6) 切線的判定定理：主要是用來(lái)證明直線是圓的切線(7) 切線長(zhǎng)定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等 2. 圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化：弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化這在圓中的證明

2、和計(jì)算中經(jīng)常用到二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問(wèn)主要是判定切線；第 2問(wèn)主要是與圓有關(guān)的計(jì)算：求線段長(zhǎng)(或面 積)；求線段比；求角度的三角函數(shù)值(實(shí)質(zhì)還是求線段比)。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：(1) 若切點(diǎn)明確，則"連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證 垂直；(2) 若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過(guò)圓上一點(diǎn))；直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之

3、間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線例：2、與圓有關(guān)的計(jì)算：計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式 復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是 要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已 知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：(1) 構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段(已知任意兩條線段 可求其它所有線段長(zhǎng))；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三 角函數(shù).(2

4、) 方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方 程，解決問(wèn)題。(3) 建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通 過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3、典型基本圖型：圖形1 :如圖1： AB是O O的直徑，點(diǎn)E、C是OO上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有:(1)在“ AC平分/ BAE； “ADLCD； “DC是O O的切線”三個(gè)論斷中，知二推一。CEBCEABECB(2)如圖2、3, DE等于弓形BCE的高；DCAE的弦心距 OF(或弓形DDDBCE的半弦 EF）。DEC(1)

5、 如圖，AB是O O的直徑，Bd AB AD/ OC交O O于D點(diǎn)，求證：CD為O O的切線；(2) 如圖，以Rt ABC勺直角邊 AB為直徑作O Q交斜邊AC于 D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE求證:DE是O O的切線.(3)如圖，以等腰厶 ABC勺一腰為直徑作O O,交底邊BC于 D,交另一腰于 F,若DEL AC于 E (或E 為CF中點(diǎn))，求證：DE是O O的切線.(3) 如圖(4):若CKLAB于K則：1 CK=C； BK=DE CK= BE=DC AE+AB=BK=2AD2 "ADE ACB AC=AD?AB(4) 在(1)中的條件、中任選兩個(gè)條件，當(dāng)BGL CD 于E時(shí)(

6、如圖5),則:(4)如圖，AB是OO的直徑，AE平分/ BAF交O O于點(diǎn)E, 點(diǎn)D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作直線EDL AF,交AF的延長(zhǎng)線于BC求證：CD是O O的切線. DE=GB DC=CG AD+BG=AB AD?BG= DG 2 =dC4圖形2:如圖：Rt" ABC中，/ AC昏90°。點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)， 有：BCEABOOC為半徑作O O交AC于點(diǎn)E,基本結(jié)論OEBDGHFAOE(1)(2)在“ BO平分/ CBA ; “BO/ DE ; “ AB是O O的切線” ；“ BD=B”四個(gè)論斷中，知一推三。 G是"BCD的內(nèi)心； Cg=GD；"

7、;Bd CDE BO?DE=CO?cICE;2PRLO 0的半徑0盯E,PQ于 Ro(3)(4)在圖(1 )中的線段 BC CE AE AD中，知二求四。AF 1 若 BC=CJE貝V： =一=tan / ADE BC AC AB=3： 4： 5 ;(在、AD 2BE CD交于點(diǎn) H,貝U BH=2EH如圖(3),推二)設(shè)圖形3：如圖:Rt" ABC中,/ AB(=90° ,以AB為直徑作O O交AC于 D,基本結(jié)論有:C如右圖：(1) DE切O O E是BC的中點(diǎn);(2)若DE切O O則： D O B E四點(diǎn)共圓 CD- CA=4Bfe DEDE=BE=CE / CED2

8、/ ACD BC"BAR圖形特殊化：在(1)的條件下如圖1 : DE/ AB " ABC "CDE是等腰直角三角形；如圖2 :若DE的延長(zhǎng)線交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,若AB=BF則: 21 一 ; Bi 1EF 3R 2中知一圖形6:如圖：直線(1)(2)(3)PQ切O 0于Q BQ交直線CADFPQ=PR ( " PQF是等腰三角形)；在“ PRL OB、“ PQ切O O'、“ PQ=PR 中，知二推一2PR- RE=BR RQ=BE 2R=aB圖形7 :如圖，"ABC內(nèi)接于O O, IABC的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有:(1) 如圖 1， B

9、D=CD=ID DI2= DE- DA1/ AIB=90° +上 / ACB2(2) 如圖 2，若/ BAC60°，則:BD+CE=BC.圖形于E、(1)圖形4：如圖，"ABC中, AB=AC以AB為直徑作O O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,CE FDf / I /8 :已知，AB是OO的直徑，C是中點(diǎn)，F(xiàn)o基本結(jié)論有：CD：丄 BG BE=EF=C;EGF=2DEBG2/:“oiB EDCDL AB于 D1 BG交 CD>11lc/圖2ZD d IEO IAC基本結(jié)論有：(1) DEL AC DE切 O Q(2) 在DEL AC或DE切O O下，有：&qu

10、ot;DFC是等腰三角形; EF=ECD是 BF 勺中點(diǎn)。與 基本圖形1 連AD產(chǎn)生母子三角形。圖形5:以直角梯形ABCD勺直腰為直徑的圓切斜腰于A的結(jié)論重合。O'(反之，由 CD： 一 BG或 BE=EF可得：C是BG點(diǎn) )21 OE=AF, OB/ AC; " OD邑"AGF2BE- BG=BD BA若D是OB的中點(diǎn)，則："CEF是等邊三角形；(2)(3)(4)四、范例講解BC=CG=AGAO'圖1(1)如圖 1: AD+B&CD、及“ CD是O O的切線”EOFJE圖2/ COD/ AEB90 ° ;四個(gè)論斷中，知一推三)C

11、E,基本結(jié)論有：1. ABP中，/ ABP90。，以 AB為直徑作O O交AP于C點(diǎn)，弧CF =CB，過(guò)C作AF的垂線, MC勺延長(zhǎng)線交BP于D.(1)求證：CD為OO的切線；(2)連BF交AP于 E,若BE=6, EF=2，求旦AF的值。垂足為MOD平分/ ADC(或 OC平分/ BCD;(注：在、AD- BC= 一 ABR"4(2) 如圖2,連AE CO則有：CO/ AE, COABZR與基本圖形2重合)2.直角梯形ABCD,/ BCD90°, AB=AD+BCAB為直徑的圓交BC于 E,連OC BD交于F.(3) 如圖3,若EFLAB于F,交AC于G貝卩：EGFG求證

12、：CD為O O的切線若BE 3，求_BF的值A(chǔ)B 5DF6 如圖，AB為O O的直徑，C、D為OO上的兩點(diǎn)，AD=DC，過(guò)D作直線BC的垂線交直線 AB于點(diǎn)E, F為 垂足.(1) 求證：EF為O O的切線；(2) 若 AC=6, BD=5,求 sinE 的值.3.如圖，AB為直徑，PB為切線，點(diǎn) C在O O上, AC/ OP(1)求證：PC為O O的切線。(2)過(guò) D 點(diǎn)作 DEI AB E 為垂足，連 AD 交 BC于 G C(=3, DE=4,求 D2DB的值。7 .如圖，AB為OO的直徑，半徑 OCL AB D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò) D作O O的切線, 交AB于點(diǎn)F.(1)求證：DE=

13、DF(2)連結(jié) AE 若 Of=1, BF=3,求 tan A 的值.E為切點(diǎn)，連結(jié)CED4。如圖，已知 ABC中，以邊BC為直徑的O O與邊AB交于點(diǎn)D, 分線，且AFL EC(1) 求證：AC與O O相切；(2) 若 AC= 6, BC= 8，求 EC的長(zhǎng)點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),ABC的角平8如圖，Rt ABC中, Z C=90°, BD平分/ ABC以AB上一點(diǎn)O為圓心過(guò)B、D兩點(diǎn)作O O, O O交AB于 點(diǎn)一點(diǎn)E, EEL AC于點(diǎn)F.(1) 求證：O O與ACt目切；(2) 若 EF=3, BC=4,求 tan A 的值.5.如圖，RtA ABC以AB為直徑作O O交AC于點(diǎn)D

14、,，過(guò)(1) 求證：DF為OO的切線；-(2) 若Df=3,O O的半徑為5,求tan BAC的值.D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.B9.如圖，等腰 ABC中, AB=AC以AB為直徑作O O交BC于點(diǎn)D, DEL AC于 E.CDBBONFHFOFCEABAOCCFABOoD求證：CF是OO的切線；設(shè)O O的半徑為1,且AGCE ,.3，求AM的長(zhǎng).14、如圖，AB是半O O上的直徑，E是BC的中點(diǎn)，OE交弦BC于點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)C作交AD的平行線交 OE的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)F.且 / ADO/ B.(1)求證：CF為O O的OO切線；(2 )求sin / BAD的值13、(1)(2)若AEEA AO12、如圖

15、，AB是O O的直徑，BCL AB過(guò)點(diǎn)C作O O的切線CE點(diǎn)D是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AD且AD+BC=CD(1) 求證：AD是O O的切線；(2) 設(shè)OE交AC于 F,若OF=3, EF=2，求線段BC的長(zhǎng).15、如圖，"ABC中, AB= AC,以AC為直徑的O O與AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)(1)求證：DF是OO的切線.(2)若AE= 14, BO 12,求BF的長(zhǎng)E CE10.如圖，BD為OO的直徑，A為BC的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E,F為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且FD=FE.(1) 求證：DF為OO的切線；(2) 若 AE=2, DE=4, BDF的面積為 8；3，求 tan EDF 的值.a11、直線(1)(2)EFCNnMA(1) 求證