用平移坐標(biāo)法探究平行四邊形的存在問題

1、用平務(wù)坐標(biāo)袪探究平iiHia形的存在問題存在性問題是ifi年來各地中考的熱點，其圖形復(fù)雜，不確定因素較多，對學(xué)生的知識運用分 折能力要求較高，有一定的難IL為此借用簡單的平務(wù)坐標(biāo)法來探究平形的存在性冋題解 平It Eli!形的存在性間題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準，第二步il圖，第三步計算.如果已知三個定點，探尋平fiElia形的第El個1貞點，符合條件的有3個點：以已知三個定點 為三角形的頂點，il毎個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交臥血果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照ill或?qū)蔷€分為兩種悄況.更為通用的方 法是靈活運用向量和中心對稱的性顧,可以使得解題簡便.假定

2、-個點為頂點,然后在按照已知 的三直來確定。平移坐標(biāo)法的思路：先由體目條件探索三自的坐標(biāo)（若只有兩個定點，可設(shè)一個動自的坐 標(biāo)）.再畫岀以三點為貞點的平行四邊形，根據(jù)坐標(biāo)平務(wù)的性質(zhì)寫岀第E1個換自的坐標(biāo).最后根 據(jù)題目的要求（動點在什么曲線上），判斷平liEli!形的存在性.1、平楊坐標(biāo)法的探究如圖1,點A、B、C是坐標(biāo)平面不在同一貞線上的三自.（1）畫出以A、B、c三自為頃點的平行四邊形.（2）若A、B、C三貞的坐標(biāo)分別為（幾X）、（勺,）、（兀，乃），寫岀第四個頃點D的坐標(biāo). 解：（1）如圖3, UA、B、C分別作BC、AC、AB的平行線，則以A、B、C三點為頂點的平fiElffl形有三個

3、:以BC為對角線,有口 CABD1；以AC為對角線，有口 ABCD2；以AB為對角線, 有 EJACBD3.（2）在DCABD1中，線g AC平移到BD1,因A-B橫坐標(biāo)增加（花_西）、縱坐標(biāo)增加（力一兒）, 根據(jù)坐標(biāo)平稼的性質(zhì)得D1 （兀+兀一為，兒+兒一X ）.同理得 D2（£+X|X2,比+ 才一'2）、°3（吃+冊一冷，y2 + y 廠）'3）.結(jié)論：以不在同一貞線上的三點為頃點的平行四邊形有三個.由已知的三點坐標(biāo)可根揚圖形 平楊的坐標(biāo)II質(zhì)，直接寫岀第El個取點的坐標(biāo)稱之為平楊坐標(biāo)法.2.平楊坐標(biāo)法的運用2.1.三個定點，一彳、動點，探究平行呱邊形

4、的存在性.例1如圖4,拋物線y = +bx-3與X軸交于A B兩點，與y軸交干C自，冃經(jīng)過點（2, 一3。）,対稱軸是直"1,頂點是M.可修編.(1) 求樞物線對應(yīng)的函數(shù)表達武；(2) 經(jīng)ijC,M兩點作貞線與兀軸交于點W,在樞物線上是否存在送樣的點P,使以點P、A、ff： (1 ) tIO的函數(shù)表這式為y = x2-2x-3.(2 )由已知條件易探究得4 C、4/三點坐標(biāo)為力(一1,0)、 C(0, - 3)、N (-3,0).下面探討以三點4G"為頃慮的平fiElill形的第El個頃慮坐標(biāo).如圖5,由平務(wù)的性質(zhì)直 接寫出第E1個1貞點的坐標(biāo)：以為對角線，第E1個頃點坐標(biāo)

5、為人(一2,3)； WAC為對角線，第四個 頂點坐標(biāo)為£(2,3);以AN ft對角線，第Elf頃自坐標(biāo)為£(7,3).將其分別代人«物線 y = x2-2x-3巾檢驗，其中只有£(2,3)在拋物線上.點坪：本題已知三個定自坐標(biāo)的具休數(shù)值，可以根搖坐標(biāo)平楊的性質(zhì)直接寫出第四個頃自的 坐標(biāo).值得注克的是，若沒有約定由三點溝成的三條線段中酈條為ill或?qū)蔷€，則三種悄況都必 須考慮.例2( 2009 )已a«IOy = x2-2A- + 6/ ( "<0 )與)，軸相交于點A,頃點為M.直線y = Lx-uy相交干c直，與直線AM相

6、交于點、N .2 (1) «空：試用含d的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標(biāo)，則M(),N()；(2) 如圖6,在樞物線y = x2-2x + a ( a<0 )上是否存在一點P，使得以P, A, C, N為頂點的 四邊形是平fi Elffl形？(41 ch al3 3：(1 ) M(l, "-1), N(2)由已知條件易探究fl A C、三點坐標(biāo)為力(0,町、久0,“)、片卜一扛若以AC為對角線,第四個頂點為a5,代人解橋貳得"二一瓦，即(55若以AN為對角線,第呱個頂點為15，代人解析式得"一£>0,不合題恿，無解.所以在拋物線上存在

7、點(5 512 8R ，一 fil 、，使得以只A G N為頂點的Elill形是平下面探討以4 C、4/三點為頃點的平行四辿形的第B1個頃點的坐標(biāo)，如圖7.若以為對用線，第E1個頂點為T,即估);"軌V",代入解析式借行四遡形.點評：有些解法通ii分橋圖形認為WAN為對角線顯然不可能，其實對于學(xué)生來說這個“顯 然”并不顯然.2.2兩個定點、兩個動點，探究平行皿邊形的存在性。« 3( 2009 )已知：如圖8,關(guān)于兀的拋物線y = ax2+x+c(aO)與x軸交于點A(2,0)、點3(6,0),與y軸交于點C.(1 )求岀此拋物線的解折式，并寫岀頃點坐標(biāo)；(2) 在

8、拋物線上有-點D，使皿邊形ABDC為等腰悌形，寫岀點D的坐標(biāo)，并求岀貞線AD 的解折式；(3) 在(2)巾的直AD交拋物線的對稱軸于點M,樞物線上有一動點P,兀軸上有一動 &Q.是否存在以A、M、P、Q為頃點的平行呱辺形？解：(1 )拋物線解析式為y = ：+ + / + 3,頃點坐標(biāo)是(2, 4).4(3) 直線)，=斗兀+ 1與拋物線對稱軸兀=2的交點坐標(biāo)為M12, 2).厶0H殳X軸上動點0的坐標(biāo)為(加,0).下面探過以4 M 0三點為換點的平iiElia形的第El個頂點坐標(biāo)(圖9).若tt MQ為對角線，第El個融坐標(biāo)為旳+ 4,2)，代人嚴一卜5 + 3馴=一2±2

9、妊若以AM為對角線，第四個取點坐標(biāo)為鬥(一"2),代入y = -lx2+x + 3得加=2±2血.若以AQ為對角線，第四個頃點坐標(biāo)為農(nóng)(?一4,一2),代人y = -Lx2+x+3得加=6±2石.存在滿足條件的點有El個：0(22-2,0) ,QN-2近_2, 0) ,(6 2品0),ft (6+26,0)先假設(shè)一個動點的坐標(biāo)，將其看成一個定慮，按照平務(wù)的性質(zhì)，寫出第四個換自的坐 標(biāo).再由另一動點應(yīng)滿足的條件，求岀相應(yīng)的坐標(biāo).上述側(cè)題中總有兩個自在同一坐標(biāo)軸上，尚可通過平務(wù)和旋轉(zhuǎn)來探究平fj0iU形的存在冋 題.如果題目中沒有兩點在同一坐標(biāo)軸上，難么，難以通11分

10、折圖形的相互位置關(guān)系來探究平行 四邊形的存在間題.然而平移坐標(biāo)法將是解決這一間題的一個法寶(見附件)倒4( 2009 )如圖12,已知施物線：yi=-x2+2x2(1) 求拋物線兒的頂農(nóng)坐標(biāo).(2) 將兒向右平務(wù)2個單位，再向上平務(wù)個單位，得到拋物線兒，求兒的解折式(3) 憶物線兒的頂慮為P，久軸上有一動點在兒、兒這兩條拋物線上是否存在慮M使0、p、M、點構(gòu)成以為一邊的平行EliJi形？解：(1 )兒的頂慮坐標(biāo)是(2, 2)(2 ) ”二-1x2+4x-5 2(3)假設(shè)x軸上動點坐標(biāo)為(加,0).有已知條件易得P(4,3)卞面探究以0、P、三點為換自(OP為邊)的平行四ill形第四個頂點N的坐

11、標(biāo).如圖13,因為P為樞物線兒、兒的最高點，若U PM為對舟線，有PN/OM.不可能在拋物線兒或兒上，於不可能存在滿足條件的慮；若U 0M為湘軸線，用平務(wù)坐標(biāo)法看岀點坐 標(biāo)為(加一4, 一3).若點在拋物線兒上，可得：加一 4 = 2-J亍6或加一 4 = 2 + >/幣；若點在穗物線力上，可得：加4 = 4 2弟或加 4 = 4 + 2巧.存在滿足條件的點有El個：他(2 + 価,一3)、他(2-皿一3)、他(4 + 2苗,一3)、他(4 2更,一3).點弊：本題中點可以在拋物線”上，也可以在樞物線兒上，運動的圍較大，學(xué)生難以探 索，用平楊坐標(biāo)法不必分折復(fù)雜的圖形，降低了分橋的難lt.

12、lt現(xiàn)了平務(wù)坐標(biāo)法強大的解題功效 本題中因確定了以為一邊，所以只有兩種悄況需要探究.例5、已知捷物y = -ax2+2ax+b與X軸的一個交自為A(-1,0),與y軸的正半初交于點C.(1)直接寫岀樞物線的對稱軸，及拋物線與*軸的另一個交點B的坐標(biāo);(2)當(dāng)點C在以AB為直徑的0P±時，求拋物線的解橋式;B、C為換點的四邊形是平(3)坐標(biāo)平面是否存在點M,使得以點M和中H物線上的三慮A、 liElill形？若存在，請求岀點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.解：(1)對稱軸是直線：x = l,點B的坐標(biāo)是(3,0).2分如圖,連接PC, .點A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B(3,0)

13、,.-.AB = 4. ./C=2AB=2X4 = 1在 RtAPOC 中，.0P二PA OA = 2 1 =1,.OC=<PC-PO2 = V22-l: =. b = h. .3 分 性當(dāng) x = -, y = 0 時，-“-2& + 75 = 0, 3 4 分5分(3)存在.6分理由：如圖，連接AC、BC.設(shè)點M的坐標(biāo)為M(x,y).當(dāng)以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CMAB,且CM = AB. 由知,AB = 4, /.|x| = 4, y = OC = j3.-.x = ±4.的坐標(biāo)為 M(4,Q)或(_4,J5) .9 分(2)當(dāng)以AB為對角線時，

14、點M在X軸下方.UM 作 MN丄AB 干 N, KUMNB= ZAOC = 90°.vfflifi形AMBC是平行四邊形，.AC = MB,且ACMB.-.ZCAO=乙MBN. /. AAOCABNM. /.BN = AO = 1, MN = CO =. OB = 3, /.ON = 3-1 = 2.點M的坐標(biāo)為"(2,苗)12分妹上所ii,坐標(biāo)平面存在點M,使得以點A、B、C、M為頂自的四邊形是平行呱邊形.其坐 標(biāo)為 M,(4, V3),A/2M,>/3),M3(2,-V3)例6、如圖,Ji物y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，貞線丨與拋物線交于

15、A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.求A、B兩點的坐標(biāo)及直SAC的函數(shù)表這式;(2)P是線段AC上的一個動點，11 P貞作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大a；(3)點G拋物線上的動自，在x軸上是否存在點F,使A、C、F、G這樣的El f點為換點的E1邊形是平llElia形？血果存在，求岀所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.(1) y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)/. A(-1,0),B(3,0)把 x=2 代人戶(x+1)(x-3)中，得 y=-3,.C(2-3)設(shè)直SAC的函數(shù)表這武為y=kx+b,將A, C兩點坐標(biāo)帶入得r.-k+b=0,2k+b=-3,解

16、得 k=-1,b=-1 A AC 的函數(shù)表達式為 y=-x-1由題意設(shè) P(x-x-1),E (x,x2-2x-3),:.PE=-(x-1)- (x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-0.5)2+9/4當(dāng)x=1/2 W,線段PE長H的最大值為9/4(3)存在4個這樣的點F,分月|是耳°)月(7°)，琢4+匝°)止梓一0°)9i 7： (2007義烏)如圖10, fthSy = -2x-3與x軸交A、B兩點(力點在0點左儼)，SS/與拋物線 交T A C兩點，其中6點的橫坐標(biāo)力2.(1)求力、兩點的坐標(biāo)及頁線力6的因數(shù)表達直；(2) j5 G是擅物線上的動點，在x軸上是否存在點尸，使A C.