《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》沈恒范著-期末復(fù)習(xí)重點

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程期末復(fù)習(xí)提要第一章隨機事件與概率1 事件的關(guān)系A(chǔ) B A B AB A B A AB2運算規(guī)則(1 )ABBA AB BA(2) (AB) CA (B C)(AB)CA(BC)(3) (AB)C (AC) (BC)(AB)C(AC)(B C)(4) ABA BAB A B3概率P( A)滿足的三條公理及性質(zhì)：( 1) 0 P(A) 1 ( 2) P( ) 1nn( 3)對互不相容的事件A1 ,A2 , , An，有P( Ak)P(Ak) ( n 可以取)k1k1(4) P( )0( 5)P(A) 1 P(A)(6) P(AB)P(A)P(AB)， 若 A B， 則 P(BA

2、)P(B) P(A) ，P(A)P(B)(7) P(AB)P(A)P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率( 1 )定義：若P(B ) 0 ，則P( A | B ) P(AB)P(B)( 2) 乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若 B1 , B2 , Bn 為完備事件組，P(Bi ) 0，則有n( 3) 全概率公式：P(A)P(Bi)P(A| Bi )i1( 4) Bayes公式：P(Bk |A)nP(Bk)P(A|Bk)P(Bi)P(A|Bi) i17事件的

3、獨立性：A, B 獨立 P(AB) P(A)P(B) (注意獨立性的應(yīng)用)1 離散隨機變量：取有限或可列個值，P(X xi )pi 滿足(1) pi 0 ， ( 2)pi =1( 3)對任意D R， P(X D)pii:xi D2 連續(xù)隨機變量：具有概率密度函數(shù)f (x) ，滿足(1) f (x) 0, f (x)dx 1 ；-b( 2) P(a X b) f (x)dx； ( 3)對任意a R， P(X a) 03 幾個常用隨機變量名稱與記號分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點分布B(1, p)P(X 1) p， P(X 0) q 1 pppq二項式分布B(n, p)P(X k) Cnkpkqn k

4、,k 0,1,2, n，npnpqPoisson 分布P( )kP(X k) e,k 0,1,2,k!幾何分布G( p)P(X k) qk 1p,k 1,2,1pq2 p均勻分布U (a,b)1f (x), a x b ，baab2(b a)2 12指數(shù)分布E( )f (x) e ( 6) 對連續(xù)隨機變量，F(xiàn) (x) f (t)dt為連續(xù)函數(shù)，且在 f(x) 連續(xù)點上，F(xiàn) '(x) f (x)5 正態(tài)分布的概率計算以 (x) 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 的分布函數(shù)，則有2x( 1)(0) 0.5；( 2)( x) 1(x)；( 3) 若 X N( , 2)， 則 F(x) (x )；

5、, x 0112正態(tài)分布N ( , 2 )1(x )2f(x)e 2 2224 分布函數(shù)F(x) P(X x)，具有以下性質(zhì)( 1) F () 0, F( ) 1； ( 2)單調(diào)非降；( 3)右連續(xù)；( 4) P(a X b) F(b) F(a)，特別 P(X a) 1 F(a)；( 5)對離散隨機變量，F(xiàn) (x) pi ；i: xi x4)以u 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1) 的上側(cè)分位數(shù)，則P(X u )1 (u )6 隨機變量的函數(shù)Y g(X )( 1 )離散時，求Y 的值，將相同的概率相加；( 2) X 連 續(xù) ， g(x) 在 X 的 取 值 范 圍 內(nèi) 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 且 有 一

6、 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 則fY(y)fX (g 2 exp 1 2 (x 21)2(y) | (g 1(y)' |，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第三章 隨機向量1 二 維離 散隨 機 向 量 ，聯(lián) 合 分 布列 P(X xi ,Yyj )pij， 邊 緣 分 布 列P(Xxi ) pi， P(Yyj) p j 有( 1) pij 0； ( 2)pij1； ( 3) pipij ， pj pijijji2 二維連續(xù)隨機向量，聯(lián)合密度f (x, y)，邊緣密度fX (x), fY(y)，有1) f(x,y) 0； ( 2)f(x,y) 1； ( 3) P(X,Y) G) G f(x,

7、y)dxdy；4) fX(x) f (x,y)dy， fY(y)f(x,y)dx, ( x, y) G3 二維均勻分布f(x, y) m(G)，其中m(G)為 G 的面積0, 其它22f (x, y)(x 1)(y2)26)對二維連續(xù)隨機向量，4 二維正態(tài)分布(X,Y) N( 1, 2, 1 1 2 12(1)1且 X N ( 1 ,12 ), Y N ( 2 ,22 ) ；5 二維隨機向量的分布函數(shù)F(x,y) P(X x,Y y) 有( 1 )關(guān)于x, y 單調(diào)非降；( 2)關(guān)于x, y右連續(xù)；( 3) F(x, ) F( ,y) F( ,) 0；4) F( ,) 1， F(x, ) FX

8、(x)， F( , y) FY(y)；5) P(x1 X x2,y1 Y y2) F(x2,y2) F(x1,y2) F(x2,y1) F(x1,y1)；2 F (x, y)f ( x, y)xy, 22, ) ，其密度函數(shù)(牢記五個參數(shù)的含義)6隨機變量的獨立性X,Y獨立 F(x,y) FX (x)FY(y)( 1 )離散時X,Y 獨立pij pi p j( 2) 連續(xù)時X,Y獨立f(x,y) fX(x)fY(y)22( 3) 二維正態(tài)分布X,Y 獨立0，且 X Y N( 12, 1222)7隨機變量的函數(shù)分布( 1 )和的分布Z X Y的密度 fZ (z) f (z y, y)dy f (

9、x, z x)dx( 2)最大最小分布第四章 隨機變量的數(shù)字特征1 期望(1) 離散時 E(X)xi pi ， E(g(X)g(xi ) pi ；(2) 連續(xù)時 E(X) xf(x)dx， E(g(X) g(x)f(x)dx；(3) 二維時 E(g(X,Y)g(xi,yj)pij ， E(g(X,Y)g(x, y)f (x,y)dxdyi,j(4) E(C) C ； ( 5) E(CX) CE(X)；( 6) E(X Y) E(X) E(Y) ；( 7) X,Y 獨立時，E(XY) E( X)E(Y)2方差( 1)方差 D(X) E(X E(X)2 E(X2) (EX)2，標(biāo)準(zhǔn)差(X) D(X

10、) ；( 2) D(C) 0, D(X C) D(X)；2( 3) D(CX) C2D(X)；( 4) X,Y 獨立時，D(X Y) D(X) D(Y)3協(xié)方差1) Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)；2) Cov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)；3) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)；4) Cov(X,Y) 0時，稱 X,Y 不相關(guān)，獨立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時等價；5) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)45相關(guān)系數(shù)XY Cov(X,Y) ； 有 |

11、XY | 1， | XY | 1 a,b, P(Y aX b) 1(X) (Y)kkk 階原點矩k E(X k) ， k 階中心矩k E(X E(X)k第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1Chebyshev 不等式P| X E( X ) |2或 P| X E(X) | 1D(X)2大數(shù)定律3中心極限定理1）設(shè) 隨 機 變 量 X1,X2, ,Xn 獨 立 同 分布 E(Xi), D(Xi)2ni1Xi21n2N(n ,n )， 或Xi N( ,)近似n i 1 近似nnXi ni 1 N (0,1)，n 近似2）設(shè) m是 n次 獨 立 重 復(fù) 試 驗 中 A發(fā) 生 的 次 數(shù) ，P（A） p ，

12、則 對 任 意 x ，X 近似 N(np,npq)lim Pm np x ( x)或理解為若X B(n, p) ，則n npq第六章 樣本及抽樣分布1 總體、樣本（ 1 ）簡單隨機樣本：即獨立同分布于總體的分布（注意樣本分布的求法）（ 2）樣本數(shù)字特征：1n1n222樣 本 方 差S2(Xi X)2 ( E(S2)2 ) 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn)n 1i1樣本均值XXi ( E(X) ， D(X) ) ；ni1n1n1(Xi X)i1nn1k1k樣本 k 階原點矩kXik ，樣本k階中心矩k (Xi X)kni1ni12統(tǒng)計量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個常用分布（注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點定

13、義）（ 1）2分布 2 X12 X22Xn2 2（n）， 其中 X1 , X2 , , Xn 獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1) ，若 X 2(n1), Y 2 (n2) 且獨立，則X Y 2(n1n2) ；X22) t分布 tt(n)，其中X N(0,1), Y 2 (n)且獨立；Y/n2 F(n1,n2) ，其中 X 2(n1),Y 2（n2 ） 且獨立，有下面的X / n13) F 分布 FY/n21性質(zhì) F (n2 , n1 ),1F1 (n1 ,n2)F (n2,n1)4正態(tài)總體的抽樣分布（ 1） X N（ , 2/n）；1222)2 (X i ) (n) ；i13）(n 1)S22 2（n 1） 且與 X 獨立；X4) t t(n 1)；S/ n5）(X Y) ( 12 )n1n2tSn1 n2 t(n1 n2 2)，S2S22 (n1 1)S12 (n2 1)S22n1 n22S2/ 26）FS12/ 12 F(n1 1,n2 1)S22 / 22第七章 參數(shù)估計1 矩估計：（ 1 ）根據(jù)參數(shù)個數(shù)求總體的矩；（ 2）令總體的矩等于樣本的矩；（ 3）解方程求出矩估計2極大似然估計：（ 1 ）寫出極大似然函數(shù)；（ 2）求對數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（