傳熱學導熱問題數(shù)學描述課件

1、2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述1導熱部分 Heat Conduction第二章第二章 導熱問題的數(shù)學描述導熱問題的數(shù)學描述第三章第三章 穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱第四章第四章 非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱第五章第五章 導熱問題的數(shù)值解法導熱問題的數(shù)值解法2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述2第二章第二章 導熱問題的數(shù)學描述導熱問題的數(shù)學描述1 1、基本概念及傅里葉定律、基本概念及傅里葉定律2 2、導熱系數(shù)、導熱系數(shù)3 3、導熱微分方程式及其定解條件、導熱微分方程式及其定解條件2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述3 導熱問題的求解目標與思路導熱問題的求解目標與思路 解決工程問題的數(shù)學方法一

2、般有下列幾個步驟：解決工程問題的數(shù)學方法一般有下列幾個步驟： 問題分析問題分析建立物理模型建立物理模型 根據(jù)問題的相關(guān)根據(jù)問題的相關(guān)屬性建立數(shù)學模型屬性建立數(shù)學模型求解求解 傳熱學的主要任務是求解傳熱學的主要任務是求解熱量傳遞速率熱量傳遞速率和和溫度變化速溫度變化速率率，對應于導熱問題就是求解物體內(nèi)部的溫度場和熱，對應于導熱問題就是求解物體內(nèi)部的溫度場和熱流場。這就需要在深刻理解導熱規(guī)律前提下尋求各種流場。這就需要在深刻理解導熱規(guī)律前提下尋求各種具體問題的數(shù)學求解方法。具體問題的數(shù)學求解方法。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述41、基本概念及傅里葉定律、基本概念及傅里葉定律溫度場溫度場

3、物體中各點溫度的集合，物體中各點溫度的集合，在直角坐標系下的形式在直角坐標系下的形式分類：分類：與時間關(guān)系分為穩(wěn)態(tài)溫度場和非穩(wěn)態(tài)溫度場與時間關(guān)系分為穩(wěn)態(tài)溫度場和非穩(wěn)態(tài)溫度場與空間關(guān)系分為一維、二維、三維溫度場。與空間關(guān)系分為一維、二維、三維溫度場。),(zyxft 2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述52）等溫面：）等溫面：溫度場中同一瞬間溫度相同的點連成的面。溫度場中同一瞬間溫度相同的點連成的面。其疏密程度可反映溫度場在空間中的變化情況。其疏密程度可反映溫度場在空間中的變化情況。等溫線等溫線:任意截面與等溫面的交線。任意截面與等溫面的交線。特點：特點： 不能相交；不能相交； 物體內(nèi)部內(nèi)

4、部連續(xù)；物體內(nèi)部內(nèi)部連續(xù)； 沿等溫線（面）無熱量傳遞；沿等溫線（面）無熱量傳遞； 等溫線的疏密可直觀反映出不同區(qū)域溫度梯度（即等溫線的疏密可直觀反映出不同區(qū)域溫度梯度（即熱流密度）的相對大小。熱流密度）的相對大小。 tt-tt-tt+tt2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述63）方向?qū)?shù)與溫度梯度）方向?qū)?shù)與溫度梯度方向?qū)?shù)方向?qū)?shù): 函數(shù)在某點沿某一方向?qū)嚯x函數(shù)在某點沿某一方向?qū)嚯x的變化率的變化率 .OOMMMMMMtMtltOO)()(lim 溫度場中某一點的最大方向?qū)?shù)為該點的溫度場中某一點的最大方向?qū)?shù)為該點的溫度梯度溫度梯度，記為，記為grad t。 kztjytixtnn

5、tntLimn0 tgrad梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)：1方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影；方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影；2每點梯度都垂直于該點等溫面，并指向溫度增大的方向每點梯度都垂直于該點等溫面，并指向溫度增大的方向（法線方向）。（法線方向）。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述74）傅）傅里里葉定律葉定律 一般形式：一般形式：傅里葉定律的文字表述為傅里葉定律的文字表述為:在導熱現(xiàn)象中在導熱現(xiàn)象中,單位時間單位時間內(nèi)通過給定截面的熱流量內(nèi)通過給定截面的熱流量,正比于該截面法線方向正比于該截面法線方向的溫度變化率和截面面積的溫度變化率和截面面積,熱量傳遞的方向與溫度熱量傳遞的方向與溫度

6、升高的方向相反升高的方向相反.注：傅里葉定律是實驗定律，普遍適用于各向同注：傅里葉定律是實驗定律，普遍適用于各向同性材料（導熱系數(shù)在各個方向是相同的）性材料（導熱系數(shù)在各個方向是相同的）.nntA2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述82、導熱系數(shù)、導熱系數(shù)（ Thermal conductivity ）傅里葉定律給出了導熱系數(shù)的定義傅里葉定律給出了導熱系數(shù)的定義 :)W/(mKnntq導熱系數(shù)導熱系數(shù)在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下的單位溫度梯度作用下的熱流密度。熱流密度。 是物性參是物性參數(shù)，與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)數(shù)，與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切相關(guān)，如溫度、密切相關(guān)，如溫度、 濕度、壓力

7、、密度等，濕度、壓力、密度等，而與幾何形狀無關(guān)。而與幾何形狀無關(guān)。反反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。熱量的特性。 不同物質(zhì)的導熱性能不同：不同物質(zhì)的導熱性能不同：非金屬金屬氣體液體固體)/(398CmW純銅)/(7.2CmW大理石0C時：時：)/(22. 2CmW 冰)/(551. 0CmW 水)/(0183. 0CmW 蒸汽2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述9同一種物質(zhì)的導熱系數(shù)因其狀同一種物質(zhì)的導熱系數(shù)因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變。態(tài)參數(shù)的不同而改變。一般把一般把導熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，導熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用而且在一定溫度范圍還

8、可以用一種線性關(guān)系來描述一種線性關(guān)系來描述 )1 (0bT一般將溫度不高于一般將溫度不高于350oC時，時，不大于不大于0.12 W/(m)的材料稱為的材料稱為保溫材料保溫材料。高效能的保溫材料。高效能的保溫材料多為蜂窩狀多孔結(jié)構(gòu)。多為蜂窩狀多孔結(jié)構(gòu)。 2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述10疏松物質(zhì)的折合密度疏松物質(zhì)的折合密度: :疏松物質(zhì)內(nèi)含不流動的氣體疏松物質(zhì)內(nèi)含不流動的氣體物質(zhì)，由于氣體物質(zhì)的低導熱性，疏松物質(zhì)物質(zhì)，由于氣體物質(zhì)的低導熱性，疏松物質(zhì)常用于隔熱保溫。若過于密實，空隙中的氣常用于隔熱保溫。若過于密實，空隙中的氣體被趕跑，導熱系數(shù)會加大；若過于蓬松，體被趕跑，導熱系數(shù)會

9、加大；若過于蓬松，空隙中氣體的對流作用增強，也會使導熱系空隙中氣體的對流作用增強，也會使導熱系數(shù)加大，所以，為了得到較小的導熱系數(shù)，數(shù)加大，所以，為了得到較小的導熱系數(shù)，疏松物質(zhì)應有一個適中的折合密度。疏松物質(zhì)應有一個適中的折合密度。多孔材料的含水率多孔材料的含水率: :水取代了孔中空氣而使導熱系水取代了孔中空氣而使導熱系數(shù)加大，所以保溫材料要防水，衣服要保持數(shù)加大，所以保溫材料要防水，衣服要保持干燥。干燥。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述11住新房和舊房的感覺一樣么住新房和舊房的感覺一樣么？答：因為水的導熱系數(shù)遠答：因為水的導熱系數(shù)遠大于空氣的導熱系數(shù)，新大于空氣的導熱系數(shù)，新房的

10、墻壁含水較多，所以房的墻壁含水較多，所以新房比較冷。新房比較冷。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述12 簡述影響導熱系數(shù)的因素。簡述影響導熱系數(shù)的因素。答：導熱系數(shù)不僅與答：導熱系數(shù)不僅與物質(zhì)的種類物質(zhì)的種類有關(guān)，還與物質(zhì)的有關(guān)，還與物質(zhì)的物理結(jié)物理結(jié)構(gòu)和狀態(tài)構(gòu)和狀態(tài)有關(guān)。有關(guān)。溫度溫度、多孔材料的含水率多孔材料的含水率、疏松物質(zhì)的疏松物質(zhì)的折合密度折合密度等都影響材料的導熱系數(shù)。等都影響材料的導熱系數(shù)。 同樣是同樣是 -6-6的氣溫，在南京比在北京感覺冷一些的氣溫，在南京比在北京感覺冷一些答：冬季南京的空氣濕度比北京的大，濕空氣由于含有水答：冬季南京的空氣濕度比北京的大，濕空氣由于含

11、有水蒸汽而比干空氣的換熱能力強蒸汽而比干空氣的換熱能力強; ;加之衣物也因吸收空氣加之衣物也因吸收空氣中水分使保溫效果下降。中水分使保溫效果下降。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述133、導熱微分方程式及其定解條件、導熱微分方程式及其定解條件理論基礎(chǔ)：傅里葉定律理論基礎(chǔ)：傅里葉定律 + 能量守恒方程能量守恒方程1）導熱微分方程的推導）導熱微分方程的推導方法：方法：微元體平衡微元體平衡假設：假設：(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)； (2) 熱導率、比熱容和密度均為常數(shù)；熱導率、比熱容和密度均為常數(shù)； (3) 物體內(nèi)具有均勻內(nèi)熱源。物體內(nèi)具有均勻內(nèi)

12、熱源。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述14導入微元體的凈熱量導入微元體的凈熱量x方向?qū)胛⒃w的熱量：方向?qū)胛⒃w的熱量：dydzxtxx方向?qū)С鑫⒃w的熱量：方向?qū)С鑫⒃w的熱量： dydzdxxttxdxxx方向?qū)胛⒃w的凈熱量：方向?qū)胛⒃w的凈熱量： dxdydzxtdxxx22根據(jù)根據(jù)能量守恒定律能量守恒定律，單位時間凈導入微元體的熱量，單位時間凈導入微元體的熱量 加上加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量微元體內(nèi)熱源生成的熱量 應等于微元體內(nèi)能的增加量應等于微元體內(nèi)能的增加量 。則則erddre2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述15同理同理y方向和方向和z方向方向凈熱量凈

13、熱量： tdxdydzdxdydzztytxtd2222222dxdydzytdyyy22dxdydzztdzzz22導入微元體的總凈熱量（以上三式之和）：導入微元體的總凈熱量（以上三式之和）：微元微元體內(nèi)體內(nèi)熱源生成熱熱源生成熱: : dxdydzr 式中：為單位體積內(nèi)熱源單位體積內(nèi)熱源.微元體內(nèi)能增量（顯熱）微元體內(nèi)能增量（顯熱）：dxdydztce2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述16整理得整理得常物性常物性、非穩(wěn)態(tài)非穩(wěn)態(tài)有有內(nèi)熱源內(nèi)熱源的導熱微分方程：的導熱微分方程：ctat2（非穩(wěn)態(tài)項（非穩(wěn)態(tài)項=擴散項擴散項+源項）源項）式中：拉普拉斯算子式中：拉普拉斯算子2222222zt

14、ytxtt由能量守恒定律由能量守恒定律tcterd22021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述17常見材料熱擴散率：常見材料熱擴散率：木材：木材：a=1.5 10-7;鋼：鋼：a=1.25 10-5；銀：；銀：a=2 10-4。木材比鋼。木材比鋼材的導溫系數(shù)小材的導溫系數(shù)小100倍，所以木材一端著火而另一端不燙手。倍，所以木材一端著火而另一端不燙手。 熱擴散率（導溫系數(shù)）熱擴散率（導溫系數(shù)）:物性參數(shù)物性參數(shù).分子代表導熱能力，分母代表容熱能力，其值代分子代表導熱能力，分母代表容熱能力，其值代表溫度波動在物體中的表溫度波動在物體中的擴散速度擴散速度。比如：比如：a值大，即值大，即 值大或值大或

15、 c 值小，說明物體的某一部分值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散。一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散。熱擴散率熱擴散率a 只對非穩(wěn)態(tài)過程才有意義只對非穩(wěn)態(tài)過程才有意義, 因為穩(wěn)態(tài)過程溫度不因為穩(wěn)態(tài)過程溫度不隨時間變化，熱容大小對導熱過程沒有影響。隨時間變化，熱容大小對導熱過程沒有影響。ca2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述18常物性導熱微分方程式形式：常物性導熱微分方程式形式： 非穩(wěn)態(tài)： 無內(nèi)熱源： 穩(wěn)態(tài)： 穩(wěn)態(tài)： ctat202ttat202 t 非穩(wěn)態(tài)：有內(nèi)熱源：提示：提示：導熱微分方程還有柱坐標、球坐標、變物導熱微分方程還有柱坐標、球坐標、

16、變物性、一維、二維等形式。性、一維、二維等形式。2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述192）定解條件）定解條件導熱微分方程是描寫物體的溫度隨時間和空間變導熱微分方程是描寫物體的溫度隨時間和空間變化的一般關(guān)系，沒有涉及具體、特定的導熱過程，化的一般關(guān)系，沒有涉及具體、特定的導熱過程，是通用表達式。是通用表達式。定解條件：定解條件：確定唯一解的附加條件確定唯一解的附加條件. n時間條件時間條件：某一時刻導熱物體的溫度分布，對起：某一時刻導熱物體的溫度分布，對起始時刻始時刻又稱初始條件。（對于穩(wěn)態(tài)導熱，時間條又稱初始條件。（對于穩(wěn)態(tài)導熱，時間條件沒有意義件沒有意義.） n邊界條件邊界條件:表明

17、物體邊界處的溫度或換熱情況表明物體邊界處的溫度或換熱情況 .2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述20常見的三類邊界條件常見的三類邊界條件: wstt wstt wstt a.第一類邊界條件第一類邊界條件:已知物體邊界上任何時刻的溫度已知物體邊界上任何時刻的溫度分布，分布， 最簡單的形式：最簡單的形式：恒壁溫，恒壁溫，wstt consttwb.第二類邊界條件第二類邊界條件:已知物體邊界上任何時刻的熱流已知物體邊界上任何時刻的熱流密度或溫度變化率，密度或溫度變化率，最簡單的形式：最簡單的形式：恒熱流，恒熱流，恒熱流的特例是絕熱邊界條件：恒熱流的特例是絕熱邊界條件：wswsqntqq或constqw0snt2021-12-18傳熱學導熱問題數(shù)學描述21fwtth,當:轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件00, 0wwqnth （絕熱）轉(zhuǎn)化為第（絕熱）轉(zhuǎn)化為第二類邊界條件二類邊界條件當:導熱微分方程定解條件導熱微分方程定解條件 求解溫度場熱流場求解溫度場熱流場由由Newton定