解一元二次方程-教學(xué)設(shè)計

1、解一元二次方程教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計思想解一元二次方程有四種方法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，這四種方法各有千秋。為保證學(xué)生掌握基本的運(yùn)算技能，教學(xué)中進(jìn)行了一定量的訓(xùn)練，但要避免學(xué)生簡單的模仿。我們在探究一元二次方程解法的過程中，要加強(qiáng)思想方法的滲透， 發(fā)展學(xué)生的思維能力。在解一元二次方程的幾種方法中，均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。如配方法需要將方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式，公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，所有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。 在教學(xué)時老師引導(dǎo)學(xué)生在主動進(jìn)行觀察、思考核探究的基礎(chǔ)上，體會數(shù)學(xué)思想方法在其中的作用，充分發(fā)展學(xué)生的思維能力。教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1 會用配

2、方法、公式法、因式分解法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2能夠根據(jù)一元二次方程的特點，靈活選用解方程的方法，體會解決問題策略的多樣 性。過程與方法：1 參與對一元二次方程解法的探索，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，對結(jié)果比較、驗證、歸納、理清幾種解法之間的關(guān)系，并能根據(jù)方程的特點靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭? 在探究一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價值觀：在解一元二次方程的實踐中，交流、總結(jié)經(jīng)驗和規(guī)律，體驗數(shù)學(xué)活動樂趣。教學(xué)重難點重點：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟，并熟練運(yùn)用上述方法解題。難點：根據(jù)方程的特點靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭＝虒W(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)

3、，講練結(jié)合教學(xué)媒體多媒體課時安排4課時教學(xué)過程設(shè)計第一課時、復(fù)習(xí)引入:1一元二次方程的一般形式是什么？其中a應(yīng)具備什么條件？22. x -4=0是一元二次方程嗎？其中二次項的系數(shù)，一次項的系數(shù)，常數(shù)項各是什么？(是。二次項系數(shù)是 1，一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是4)3. 解下列方程：2 2(1) x =4(2) (x+3) =9學(xué)生依次回答上述問題。師總結(jié)強(qiáng)調(diào)：(1)象這種通過直接開平方求得 x的值的方法，實際上就是求x2=a(a> 0) 這種特殊形式的一元二次方程的解方法。2(2) 對于形如“(x+a) =b (b >0) ”型的方程，只要把 x+a看作一個整體，就可以轉(zhuǎn)化2 為x

4、=b (b > 0)型的方法去解決，這里滲透了“換元”的方法。2(3) 在對方程(x+3) =9兩邊同時開平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個一次方程。要向?qū)W生指出，這種變形實質(zhì)上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學(xué)方法二、試著做做1. 如果(x+2) 2=9,那么 x=。2. 如果(x-3 ) 2=7，那么 x=。3. 完全平方公式是什么？4. 如果 x +2x+1= 4, 那么 x=。學(xué)生獨立求解5. 對于x2+2x-3=0這樣的方程，該怎樣求解呢？能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將方程轉(zhuǎn)化為(x+m) 2=n (m n是常數(shù)，n > 0)的形式，然后應(yīng)用直接開平法求解呢？你能總結(jié)出你解這個方程的

5、步驟嗎？學(xué)生活動：小組討論，利用完全平方公式及上述提示尋求解法，將x2+2x-3=0變形為x2+2x+1=4，即(x+1) 2=4。并總結(jié)出解方程 x2+2x-3=0的一種方法：3=p|砂 牡十1卩=4|開平方店二-制三、做一做把下列方程化為(x+ m) 2=n (m, n是常數(shù)，n0)的形式，并求出它們的解。(1) x2+2x=48; (2) x2-4x=12 ;225(3) x -6x+6=0 ; (4) X X 0。4的步驟。學(xué)生活動：初步體驗用配方法解一元二次方程例1解方程x -10x-1仁0該例題師生共同完成，學(xué)生通過此題明白每步變形的依據(jù)和目的。然后師生一起總結(jié)：然后利用開平方的方

6、法通過配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù),求出一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。四、練習(xí)：1. 配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立:2(1) x +12x+=(x+6)2(2) x 12x+=(x _)2(3) x +8x+2=(x+)2. 解方程：課本 P34練習(xí)五、小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么?六、作業(yè)課本 P34 1 , 2, 3七、板書設(shè)計例1練習(xí)解一元二次方程配方法 x2=a (a > 0)試著做做做一做直接開平方法x2+bx+c=0配方法第二課時一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的什么方法?解下列方程：2 2(1) x -6x+4= 0

7、(2) x +4x-16= 0今天我們一起來學(xué)習(xí)方程的二次項系數(shù)不是1的一元二次方程。二、做一做2解方程 3x -32x-48= 0師：引導(dǎo)學(xué)生觀察，此方程和上節(jié)課方程進(jìn)行比較有什么不同，能否轉(zhuǎn)化成二次項系數(shù)為1的形式。學(xué)生獨立思考，積極探究，解答題目。解：略。見課本 P35師：請同學(xué)們總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？學(xué)生小組討論，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步驟為：A. 先把方程整理為一般形式B. 用二次項系數(shù)去除方程兩邊，把二次項系數(shù)化為1C. 把常數(shù)項移到方程的右邊（移項）D. 方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程化為（ x m）2二n的形式（配

8、方）E利用直接開方法求得方程的解（當(dāng)右邊是負(fù)數(shù)時，方程無解）三、練一練解下列方程2 2（1） x -4x=12 ;（2） 3x+2x-5=0 ;2 2（3） 2y+y-6=0 ;（4） 2x +5x+1=0四、實際應(yīng)用例3有一張長方形桌子，它的長為2m寬為1m。有一塊長方形臺布，它的面積是桌面面積的2倍，將臺布鋪在桌面上時，各邊垂下的長相等。求這塊臺布的長和寬（均精確到 0.01m）。小組討論：（1）題目中有哪些等量關(guān)系？ （2）如何設(shè)未知數(shù)？根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù)列出一元二次方程，并解答。（3）算出的x值都可取么？為什么老師引導(dǎo)學(xué)生注意驗證方程的解的合理性，并對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予及時的點撥和引

9、導(dǎo)。通過此題我們發(fā)現(xiàn)在解決實際問題時，設(shè)未知數(shù)要靈活選擇，同時注意檢驗方程的解是否符合題意，從而確定實際問題的答案。五、小結(jié)1. 配方法的基本步驟。2. 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中,在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時，還將經(jīng)常用到。3在解決實際問題時，要注意檢驗方程的解是否符合題意。六、作業(yè)課本P37 1 , 2五、板書設(shè)計配方法（2）配方法的一般步驟例2例3練習(xí)第三課時、導(dǎo)入新課:1.配方法的步驟是什么?學(xué)生回答：（1 ）將方程二次項系數(shù)化成 1 ; （2）移項；（3）配方；（4）化為（x+m 2=n （m, n是常數(shù)，n0）的形式；（5）

10、用直接開平方法求得方程的解。2.用配方法解方程:22x +7x=4解：系數(shù)化成1,得:x2+?x = 22配方，得:x27x249 =24916 16(x+?81-16開平方，得:x2 = -41x-i2學(xué)生活動：用配方法解一元二次方程。師：直接開平方法解一元二次方程有一定的局限性，必須符合直接開平方的條件才能利用直接開平方法；配方法雖然對任意一個一元一次方程都適用，但每做一題都要配方一次， 顯得比較麻煩，所以我們就產(chǎn)生了推導(dǎo)一個公式來求一元二次方程的解的想法。起探究用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a = 0）學(xué)生活動：自主探究，按照配方法的步驟逐步求解。解：系數(shù)化成1,（兩邊同除以a）

11、得：x移項（把常數(shù)項移到方程右邊），得:x2配方（兩邊同時加上（衛(wèi)）2）2a，得:x2-xa4a2化為（x+m） 2=n （m n是常數(shù),n > 0）的形式，得:(x+£)242-4ac師：接著讓學(xué)生討論：此時可以用開平方法求解嗎?讓學(xué)生充分發(fā)表意見后，教師指出：因為a = 0，所以4a2 0，當(dāng) b2 - 4ac _ 0 時,可以用開平方法得x 衛(wèi)=_2ab2 -4ac4a2再讓學(xué)生討論ac 嗎?V 4a22a土”，所以無論a -0還是a 0，最終結(jié)果總是2a所以b 丄 lb2 4acx2a2a-4ac-bb2 -4ac2a2a2a（學(xué)生討論，教師講解：Jb2 -4acJb2

12、 -4ac± 4a2_ 士2a|'但因為式了前面已有符號這樣我們就得到了一元二次方程ax2 bx c = 0( a = 0)的求根公式:b 士 Jb2 4ac 心 2、cx（b - 4ac - 0）2aa、b、c的數(shù)值，然后求代數(shù)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。說明：（1）用公式法解一元二次方程，實際上就是給出式:b 二b2 -4ac2a進(jìn)行求值的運(yùn)算。由于這樣的計算較復(fù)雜，所以要提醒學(xué)生計算時 注意a、b、c的符號，講究計算的正確性。(2)在運(yùn)用求根公式求解時，應(yīng)先計算b2 -4ac的值；當(dāng)b2 -4ac > 0時，可以用公式2 求出兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)

13、b - 4ac <o時，方程沒有實數(shù)根。三、知識應(yīng)用例解方程4x2+x-3=0解：這里 a=4 , b=1, c=-3/ b 2-4ac=1 2-4 X 4X( -3 ) =49>0,Jb2 4ac -1±7二 x =2a2783即 = ,x2 = -1.4說明：師生共同完成，教師規(guī)范格式并強(qiáng)調(diào)注意事項。注意:(1)如果方程不是一般形式，要化為一般形式后，再確定a, b, c的值(2) 對a, b, c的值，要注意其正負(fù)符號，如此題中c=-3 .四、課堂訓(xùn)練：P38 練習(xí)題(1) -(4)。找四名同學(xué)上黑板做。五、小結(jié)1.本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2+bx+c=0

14、(a豐0)的求根公式，即-b ±晶"亠4恥 0、x (ba -4ac0),求根公式的推導(dǎo)，實際上是“配方”與“開平方”的綜合運(yùn)用，對于a = 0 , b2 - 4ac>0，以及由a = 0，知4a2 0等條件在推導(dǎo)過程中的應(yīng)用，亦要弄懂其道理。2.應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫成一般形式，并寫成a、b、c的數(shù)值以及計算b2 -4ac的值，當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡化求解過程。六、作業(yè)：課本習(xí)題P38 1 , 2七、板書設(shè)計解一元二次方程一一公式法練習(xí)：推導(dǎo)公式：例練習(xí)第四課時一、復(fù)習(xí)引入1一元二次方程的解法，已經(jīng)學(xué)過了哪幾種？（直接開平方法，配方法，求根

15、公式法）2.對于方程x2-9=0 ,上述三種解法是不是都可用？哪一種解法比較簡便？（直接開平方法）從上面的例子可見，同一個題目可以用多種方法來解，我們應(yīng)該“因題而宜”，選取一種較好的解法，方法越多，我們選取的可能性就越大今天我們再學(xué)一種方法，叫做一元二次方程的因式分解法.二、一起探究我們以方程x2-9=0為例，這個方程的右邊是 0,左邊可以分解成兩個一次因式的乘積即（x+3）（x-3）=0我們知道a b=0= a=0或b=0。語言表述：如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因 式至少有一個等于零.反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零.提問：1 .什么叫方程的根？（使方程左右兩邊相等的

16、未知數(shù)的值）2.觀察什么數(shù)是方程的根？即什么數(shù)使方程的左邊乘積為零？（使x+3等于0或使x-3等于0）.注意用或字，意思是兩個因式中有一個等于0就可使乘積為0,不必要兩個因式同時為0.因此我們可以得到 x=-3或x=3，即Xi=-3 , X2=-3像這樣，把一元二次方程的一邊劃為0，另一邊分解成兩個一次因式的乘積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個一元一次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程：2 2 1(1) x 7x=0;(2) x x;22 2(3) 4x -9 =0;(4) x-2x 1 =0.學(xué)生獨立運(yùn)用因式分解法完成求解過程，老師對學(xué)生困難的學(xué)生給與幫助。例

17、 用因式分解法解下列方程：2 2(1) 3(x-1)=2(x-1); (2) (x+5)=49.分析：這兩個方程有什么特點？(可以把 x-1和x+5分別看作整體)解：(1)原方程可化為3(x-1) 2-2(x-1)=0(x-1) ( 3x-5)=0得 x-仁0，或 3x-5=05所以 X<| = 1,X2 :3(2) 原方程可化為2 2(x+5) -7 =0(x+12)(x-2)=0.得 x+12=0,或 x-2=0所以x1 = -12, x2 = 2四、大家談?wù)?.因式分解適當(dāng)解什么樣的一元二次方程？2解一元二次方程的方法有哪幾種？根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會，談?wù)勍ǔＤ闶侨绾芜x擇解法 的。學(xué)生小

18、組交流。結(jié)論：(1)對于一元二次方程的一般形式，當(dāng)方程左邊無常數(shù)項、一次項系數(shù)為0或是完全平方式時，方程均可使用因式分解法求解。(2) 在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法因式分解法對解某些一元二次方程是最簡單的方法.在解一元二次方程時，應(yīng)據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?(3) 直接開平方法與因式分解法中都蘊(yùn)含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法.由 高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解高次方程的思想方法.請你用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x+2) 2=2x+4;(3x+1)2-4=0;2 2(3) 3x-2=9x-4; 4x -12x+5=0.五、練習(xí)：課本P40六、小結(jié)1 因式分解法的 條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等