2020年浙江高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)復(fù)習(xí)講義

1、第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-備考方向明確 h h-一方向比勢力更重要-復(fù)習(xí)目標學(xué)法指導(dǎo)1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).1.三角函數(shù)的圖象從形上完全反映了三角函數(shù)(1)周期函數(shù)的概的性質(zhì),求三角函數(shù)的定義域、值域時應(yīng)注意利念；用三角函數(shù)的圖象.正、余弦函數(shù)的圖象既是中正弦函數(shù)、余心對稱圖形，又是軸對稱圖形.正切函數(shù)的圖象弦函數(shù)的周期性只是中心對稱圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇與奇偶性；偶性結(jié)合,體會兩者的統(tǒng)一.正弦函數(shù)、余2.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定弦函數(shù)的遞增區(qū)義、圖象和性質(zhì)是研究三角問題的基礎(chǔ)，三角函間和遞減區(qū)間；數(shù)的定義域是研究其他一切 性質(zhì)的

2、前提，求三正弦函數(shù)、余角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡單的三角不弦函數(shù)的最大、最等式(組).小值.3.三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)是含有三角函數(shù)的3.正切函數(shù)的性復(fù)合函數(shù)的值域問題.質(zhì)和圖象(1)正切函數(shù)的周期性與奇偶性；正切函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間；正切函數(shù)的圖象.會求形如y=Asin（3x+ 申）的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、 最值、周期.- 知識鏈條完善 h h-把散落的知識連起來-（對應(yīng)學(xué)生用書第 6263 頁）網(wǎng)絡(luò)構(gòu)健正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)歯fty=s in xy=cos xy=ta n x圈! L T廠、JwJJ1 sIMA.廠廠 f !1RRx|x 工 +kn,kZ值-1,1-1,1RA

3、調(diào) 性在2kn-n,2kn+n(k Z)上單調(diào)遞增；在2kn+ 亍,2kn+|n(k Z)上單調(diào)遞減在2kn-n,2kn (k Z)上單調(diào)遞增;在2kn,2kn+n(k Z)上單調(diào)遞減在(kn- -,kn+)2(k Z)上單調(diào)遞增Ax=2kn+n(kZ)時,yma=1；x=2kn-n(kZ)時，ymi n=-1x=2kn(kZ)時,yma=1；x=2kn+n(kZ)日寸,ymin=-1無最值倜 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對ft對稱中心(kn,0)(kZ)對稱中心(kn+p0)(k Z)對稱中心(，0)(k Z)對稱軸 l：x=kn+n(kZ)對稱軸 l：x=kn(k Z)fl小正闔期2n2nn丸拓展

4、空 IB1. 圖象理解(1)正、余弦函數(shù)的圖象夾在兩條直線 y= 士 1 之間，畫圖時應(yīng)依據(jù)此限 制條件；正切函數(shù)的圖象也是夾在各直線 x=kn+jk Z 之間，但圖象 與其不相交，畫圖時應(yīng)首先標明這些直線.(2)畫正、余弦曲線時，可先畫出一個周期內(nèi)的圖象，再擴展至定義域 內(nèi).一個周期內(nèi)的圖象可用“五點作圖法”繪制.這些點的類型是“起 占終占頂占交占”八、)八、)V7、八、) 丿 j 八、 2. 性質(zhì)理解(1) 三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間，之間不能用“U”聯(lián)結(jié)，而是“每一 個”.(2) 三角函數(shù)奇偶性的判斷與代數(shù)函數(shù)奇偶性的判斷步驟一致：先看定義域是否關(guān)于原點對稱；如果定義域關(guān)于原點對稱，再看

5、f(-x) 與 f(x)的關(guān)系，另外三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin3x 或y=Atan3x,偶函數(shù)一般可化為 y=Acos3x+b 的形式.正、余弦函數(shù)的對稱軸都經(jīng)過最高點或最低點，而對稱中心的橫坐 標皆為函數(shù)的零點，但正切函數(shù)的對稱中心的橫坐標不僅僅是零點.3.與求三角函數(shù)值域相關(guān)的結(jié)論(1)利用 sin x,cos x 的有界性.形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為 y=Asin(3x+ )+k 的形式，逐步分析3x+ 的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(或最值).(3) 換元法:把 sin x 或 cos x 看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上 的值域(或最值)問題.溫故知新1.下列關(guān)系式

6、中正確的是(C )(A)si n 11cos 10s in 168(B)si n 168si n 11 cos10(C)s in 11sin 168 cos10(D)s in 168 cos 10 sin11解析:sin 168=si n(180-12 )=s in 12cos 10 =sin(90 -10 )=sin 80 .因為 y二sin x 在0 ,90 上是增函數(shù),所以 sin 11 sin 12 0.y=sin x 和 y=cos x 的圖象，如圖所示.在0,2n內(nèi)，滿足 sin x=cos x 的 x 為寸，學(xué)再結(jié)合正弦、余弦函數(shù) 的周期是 2n,所以原函數(shù)的定義域為x|2kn+

7、 x 2kn+,k Z.J10J.f.f答案:x|2kn+ x 2kn+,k Z44解:令 t=sin x,因為|x| n,所以 t - #,#,所以 y=-t2+t+1=-（t-1）2+5,所以當(dāng) t=-時,yma=,24t=-孑時，y =1 _ . 2min - -2所以函數(shù) y=cos2x+sin x（|x| 1,解法錯誤.（衛(wèi)刪怫1._（2017 全國H卷）函數(shù) f（x）=sin2x+3cos x- （x 0,才）的最大 值是_ .解析：由題意得 f(x)二sin2x+3cos x-弓21二-cos x+3cos x+丄4=-(cos x- f)2+1.因為 x 0, 2,所以 cos

8、 x 0,1.所以當(dāng) cos x= f 時,f(x)max=1.答案:12._函數(shù) y=sin x-cosx+sin xcos x,x 0,n的最小值為_解析:設(shè) sin x-cos x=t,t=2sin(x-寸)，因為 x 0,n,所以 x-n-n，%,2所以 t -1,2,sin xcos x= 號,所以 y二t+a=J(t-1)2+1,22當(dāng) t=-1 時,y 的最小值為-1.答案:-1考點二三角函數(shù)的奇偶性【例 2】判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) f(x)=2sin x -1;(2) f(x)=lg(sin x+1 sin2x).解:(1)因為 2sin x-1 0,所以 sin x -

9、,2即 x 2kn+n,2kn+5n(k Z),此區(qū)間不關(guān)于原點對稱.6 6所以 f(x)是非奇非偶函數(shù).由題意知函數(shù) f(x)的定義域為 R.f(-x)=lgsi n(-x)+. 1罰心)=lg(-s in x+. 1 - six)=g.1 sin x sinx=-lg(.1 sin2x+sin x)=-f(x).所以函數(shù) f(x)是奇函數(shù).即 d 判斷三角函數(shù)的奇偶性時，必須先檢查定義域是否是關(guān)于原 點的對稱區(qū)間，如果是，再驗證 f(-x)是否等于-f(x)或 f(x),進而判 斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù).另外，對較 復(fù)雜的解析式，可選擇先化簡再判斷，也可直接用-x

10、 取代 x,再化簡判 斷,還可利用 f(-x) 士 f(x)=0 是否成立來判斷其奇偶性.1. 若函數(shù) f(x)=sin 0,2n)是偶函數(shù)，則等于(C )3(A)n(B)2/(C)7(D)5n3nxT解析：當(dāng);:=3n時,f(x)=sin二二 sin(-x+-)=cos -x 為偶函數(shù).故選23323C.2. 關(guān)于 x 的函數(shù) f(x)=sin(x+)有以下命題:1對任意的,f(x)都是非奇非偶函數(shù).2不存在:：使 f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).3存在使 f(x)是奇函數(shù).4對任意的,f(x)都不是偶函數(shù).其中假命題是_ (填序號).解析：當(dāng)=n+kn,k Z 時,f(x)為偶函數(shù)；2當(dāng)=

11、kn,k Z時,f(x)為奇函數(shù).無論為何值,f(x)都不能恒等于零，故不存在:,使 f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).由此可知是假命題,故填.答案:考點三三角函數(shù)的圖象【例 3】(1)如圖所示，函數(shù) y=cos x|tan x|(0 x3n且 x 工亍)的圖象是()(A)(B)(C)(D)作出函數(shù) y=tan x+|tan x|的圖象，并求其定義域、值域、單調(diào)區(qū) 間及最小正周期.sinx,0 Ex ，2(1) 解析：y=sinx,n：x: %23!sinx,nx V-nI. 2故選 C.(2) 解:y=tan x+|tan x|=2tanx,tanx _0,且 x =knZ,0,tanx：:0

12、,且 x =kn,k Z,i2其圖象如圖所示J111111n11|1 1i丿i -H.-/ 01?慕？由圖象可知,其定義域是(kn-n，kn+n)(k Z)；值域是0,+ 乂)；單調(diào)遞增區(qū)間是kn,kn+匸)(k Z)；2最小正周期 T=n.圧 5 (1)準確掌握三角函數(shù)的圖象特征，包括關(guān)鍵點、特征直線、 對稱性等.(2)含絕對值的函數(shù)要分類討論，對于正切函數(shù)要注意定義域的限制.I 迂移迪蜒1. 如果函數(shù) y=3cos(2x+ )的圖象關(guān)于點(：,0)對稱，那么| |的最小 值為(A )uuuu(A)(B) ； (C)(D)解析:由題意得 3cos(2x4n+ )=3cos(2n+ +2n)=

13、3cos(勺 + )=0,所333以 + =kn+n,k Z,32所以=kn- -n,k 乙取 k=0,得| |的最小值為二6 62. 已知函數(shù) y=2sin x(x5n)的圖象與直線 y=2 圍成一個封閉的平面圖形，那么此封閉的圖形的面積為_.解析:數(shù)形結(jié)合,如圖所示.y=2sin x,x n,5_5的圖象與直線 y=2 圍成的封閉平面圖形面積相 當(dāng)于由 x=n,x=5n,y=0,y=2 圍成的矩形面積,即 S=(|n-亍)X2=4n.答案：4n考點四易錯辨析【例 4】 函數(shù) y=cos(n-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 _.6解析:y=cos(n-x)=cos(x- -),6 6由 2kn-n x

14、-n2kn,kZ 得62kn-5n 0)在區(qū)間0,n上單調(diào)遞增，在區(qū)間3n,n上單調(diào)遞減，則3=.32解析：因為 y=sin3x(30)過原點,所以當(dāng) ow 3x -,即 owx0)在0,n上單調(diào)遞增，在n,n上單調(diào)遞減332知,2n=n,故3=3.答案：32-課堂類題精練- -在練習(xí)中體會學(xué)習(xí)的樂趣i-(對應(yīng)學(xué)生用書第 65 頁)類型一三角函數(shù)的定義域與值域1. 函數(shù) y=tan(x-寸)的定義域是(D )(A) x|x 工n(B) x|x 工-；(C) x|x 工 kn+n,kZ4(D) x|x 工 kn+3n,kZ解析：由 x-亠 kn+n(k Z)得 XMkn+2,k Z.4242.

15、函數(shù) y=tan(sin x) 的值域為(C )(A)-f,刃(B)- #，彳(C)-ta n 1,tan 1 (D) 以上均不對解析：因為-1wsin xw1,y=tan x 在-1,1上單調(diào)遞增，所以 tan(-1)wywtan 1,即 y -tan 1,tan 1.3. 函數(shù) y=g(0 xn)的最小值為_.sin x解析：y=葺詈(0 xn)表示 A(0,2)與動點 B(-sin x,cos x)連線的斜率，又動點 B 在以原點為圓心,1 為半徑的圓上，0 xn,所以點 B 在 y 軸左側(cè)的半圓上，當(dāng)直線 AB 與圓相切時，直線 AB 的斜率最小，即 ymin二3.答案：34. 函數(shù)

16、y=2sin(nx-n)(0 x 9)的最大值與最小值之和63為_ .解析:因為 OWx 9,所以 0Wnx0,所以 2kn-/2x2kn(k Z),解得 kn-nxkn(kZ).故選 C.6. 已知 f(x)二ax+bsin3x+3 且 f(-3)=7,則 f(3)= _.解析:f(-3)=-3a-bsin3+3=7,所以 3a+bsin33=-4,所以 f(3)=3a+bsin33+3=-4+3=-1.答案：-17. 已知函數(shù) f(x)=cos xsin x(x R),給出下列四個命題：1若 f(xi)=-f(x2),則 Xi=-X2；2f(x)的最小正周期是 2n；3f(x)在區(qū)間卜二丄上是增函數(shù)；444f(x)的圖象關(guān)于直線 x=對稱.其中真命題是_(填真命題的序號).解析:f(x)=丄sin 2x, 當(dāng) Xi=0,X2二丄時,f(xi)=-f(x2),但 XiM-X2,故