多元統(tǒng)計(jì)分析模擬考題及答案

1、（對(duì)）1X=（X-X 一,X丿的協(xié)差陣一定是對(duì)稱(chēng)的半正定陣（對(duì)）2標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)向量的協(xié)差陣與原變量的相關(guān)系數(shù)陣相同。（ 對(duì)）3典型相關(guān)分析是識(shí)別并量化兩組變量間的關(guān)系，將兩組變量的相關(guān)關(guān)系 的研究轉(zhuǎn)化為一組變量的線性組合與另一組變量的線性組合間的相關(guān)關(guān)系的研究。（對(duì)）4多維標(biāo)度法是以空間分布的形式在低維空間中再現(xiàn)研究對(duì)彖間關(guān)系的數(shù)據(jù) 分析方法。（ 錯(cuò)）5X = （X”X一,X丿竹（“），ES分別是樣本均值和樣本離_ £差陣，則乂,一分別是“上的無(wú)偏估計(jì)。n（ 對(duì)）6%=（/,兀,X丿竹（“門(mén)），文作為樣本均值“的估計(jì)，是 無(wú)偏的、有效的、一致的。（ 錯(cuò)）7因子載荷經(jīng)正交旋轉(zhuǎn)后，各變量的

2、共性方差和各因子的貢獻(xiàn)都 發(fā)生了變化（ 對(duì)）8因子載荷陣4 = （6/,）中的知表示第i個(gè)變量在第j個(gè)公因子上的相對(duì)重要性。（對(duì) ）9判別分析中，若兩個(gè)總體的協(xié)差陣相等，則Fisher判別與距離判別等價(jià)。（對(duì)）10距離判別法要求兩總體分布的協(xié)差陣相等，F(xiàn)isher判別法對(duì)總體的分布無(wú)特定的要求。填空1、多元統(tǒng)計(jì)中常用的統(tǒng)計(jì)量有：樣本均值向量、樣本協(xié)差陣、樣本離差陣、樣本相關(guān)系數(shù)矩陣.2、設(shè)工是總體X=（X“、X鳥(niǎo)的協(xié)方差陣，工的特征根&心=1,丿?）與相應(yīng)的單位正交化特征向量a,則第一主成分的表達(dá)式是yl=liXl + al2X2+-+almXm ,方差為右。3設(shè)是總體X =（X”X2

3、，X3，XJ的協(xié)方差陣，為的特征根和標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量分別為：人=2920 4 = (01485,-05735廠05577,0.5814)人=1.024 U； = (0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)厶=0.049 U； = (0.2516.0.7733,-0.5589,-0.1624) 人= 0.007/= (0.0612,0.2519,0.5513,0.7930),則其第二個(gè)主成分的表達(dá)式是兒=0.9544/ - 0.0984X, + 0.2695X3 + 0.0824X4,方差為 1.0244. 若XgN”(“,E), (a = l,2,/ )且相互獨(dú)立，則樣本均值向

4、量片服 從的分布是7V/A-).n5. 設(shè)X,Np(“,DJ = l,2,16,戸和4分別是正態(tài)總體的樣本均值和樣本離差陣，則T2 =154(X-/)M-14(X-/)服從_T2(15,p)或典-尸(卩/ 卩) 16- p106 設(shè) X,.N、(“,= 12 ,1 o,則 W =工(乙一 )(X, -2 服從淹(10, L)i=L4-43、7. 設(shè)隨機(jī)向量X = (X1,X2,X3y ,且協(xié)差陣藝=_492，則其相關(guān)矩陣< 3-2 16,R二 / A362 1I 86 丿Jl p8. 設(shè) X=(X“XJ ,其中 p = b :,則p 1 丿Cov(X1 + X2,X1-X2) = 0_9

5、設(shè)X,Y是來(lái)自均值向量為“，協(xié)差陣為工的總體G的兩個(gè)樣品，則X, Y間的馬氏平方距離 d“X,Y)=(X-丫)'廠(X-丫)10設(shè)X,Y是來(lái)自均值向量為“，協(xié)差陣為工的總體G的兩個(gè)樣品，則X與總體G的馬氏平方距離d (X G)二(X - )工t(X - )11設(shè)隨機(jī)向量x =(xrx2,x3 y的相關(guān)系數(shù)矩陣通過(guò)因子分析分解為_(kāi)1_32< 313100.9340 、'0.934-0.4170.835、P.128、-0.4170.8940.8940.447；+0.027、0.8350.447 丿、0.103,則乙的共性方差/?；= 0. 9340. 872,其統(tǒng)計(jì)意義是：描

6、述了全部公因子對(duì)變量XI的總方差所作的貢獻(xiàn)，稱(chēng)為變量XI的共同度，反映了公共因子對(duì)變量XI的影響程度。 標(biāo)準(zhǔn)化變量XI的方差為1,公因子fl對(duì)X的貢獻(xiàn)g； = 0. 934'+0.417+0. 835二1. 74312.對(duì)應(yīng)分析是將Q型因子分析和R型因子分析結(jié)合起來(lái)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析方法13典型相關(guān)分析是研究?jī)山M變量間相關(guān)關(guān)系 的一種多元統(tǒng)計(jì)方法14.聚類(lèi)分析中，Q型聚類(lèi)是指對(duì) 樣本進(jìn)行聚類(lèi),R型聚類(lèi)是指對(duì)指標(biāo)進(jìn)行聚類(lèi)。15 Spss for windows 中主成 分分析 由 Data Reduction->Factor Analysis 過(guò)程實(shí)現(xiàn)。16設(shè)Uk9Vk是第k對(duì)典型變量

7、則D（匕）= 1, D（vk） = l伙= 1,2,"）Cov（ut，匕）=0, Cov（Vt，匕）=0 （/ 豐 j）2工0 （f=j,z = l,2,.= < 0（心 J）0（J > r）17.在多維標(biāo)度分析中，當(dāng)D是歐幾里得距離陣時(shí),X是D的一個(gè)構(gòu)圖三、簡(jiǎn)答題（答案見(jiàn)平時(shí)習(xí)題）1簡(jiǎn)述多元統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容與方法（10分）可對(duì)比一元統(tǒng)計(jì)列出多元統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容與方法（從隨機(jī)變量及其分布、數(shù)字特征、四大分布（正態(tài)分布密度（1分）、r（n） 與威沙特分布（1分）、t分布與HotelingT2分布（1分）、F分布 與威爾克斯分布M1Wi2） （1分）、抽樣分布定理、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)

8、檢驗(yàn)、 統(tǒng)計(jì)方法（2分）2.請(qǐng)闡述距離判別法、貝葉斯判別法和費(fèi)希爾判別法的基本思想和方法，比較其異同3請(qǐng)闡述系統(tǒng)聚類(lèi)法、K均值聚類(lèi)法、有序樣品聚類(lèi)法的基本思想和方法，比較其異同4請(qǐng)闡述主成分分析和因子分析的基本思想、方法步驟和應(yīng)用，比較其異同5請(qǐng)闡述相應(yīng)分析、多維標(biāo)度法、典型相關(guān)分析和多變量的可視化分析的基本思想和應(yīng) 用四、計(jì)算題1 設(shè)三維隨機(jī)向量X他（“,2/J(T/= 0(1人=0【000.51-0.5-100.50.5 丿,d =求Y = AX+ d的分布+1丿 /lbDY = D(,AX +d) = ADXA! =】-20-11解：正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)，故只需求E(Y) = E(

9、AX +d) = AEX + d =所以 YN,(Ea),D(Y)另解: f (0.5X.-X. + 0.5X. + 1 Y=AX+d= 1-3(-0.5X1-0.5X3 + 2 )E(0.5X X2+0.5禺+ 1) = 2E(-0.5X -O.5X3 + 2) = 1故丫M(E(Y),D(Y)P(0.5X1-X2 + 0.5X3 + l) = 3D(0.5X_ 0.5禺+ 2) = 1COV(0.5Xi-X2+ O% +1? 0.5X - 0.5X3 + 2) = 12.設(shè)三維隨機(jī)向量X他（門(mén)），< 2、"111、己知“=-3,2=1 3 2,求1丿/J 2 2丿Y = 3

10、Xl-2X2 + X5 的分布 解：正態(tài)分布的任意線性組合仍正態(tài)，故Y的分布是一維正態(tài)分布，只需求E(Y) = 3E(X J - 2E(X2) + E(X J = 13D(Y) = 32E(Xl) + 22E(X2)+E(Xz)-2Cov(3Xr2X2)+2Cov(3Xl,Xi)-2Cov(Xi,2X2) = 9故 Y 2(13,9)3設(shè)有兩個(gè)二元總體Gi和G2 ,從中分別抽取樣本計(jì)算得到18 15.Z / I=SP16Z7.假設(shè)Z' =Z2,試用距離判別法建立判別函數(shù)和判別規(guī)則。樣品X二（6, 0）'應(yīng)屬于哪個(gè)總體？解：也刃M：）,心浙）=（為，諾學(xué)二（爲(wèi)Wp = (x -

11、p) = (x - p)*"- M2)(x.p)=(6,0)-(4A5) = (2A5)-i_1 ( 7.6_21、=3967k-15.8 丿1/76WP = (2A5)(_2-1-2.1p24.45 8 丿(3丿= 39.67- X EG即樣品x屬于總體G設(shè)已知有兩個(gè)正態(tài)總體且“=<4>t丿，皿=z(1 1)=Z =工=U 9丿而其先驗(yàn)概率分別為ql = q2= 0.5,誤判的代價(jià)L(2 |1)=八厶(l|2) = e,試用貝葉斯判別法確定樣本x=:屬于哪個(gè)總體?解：由g判別知，叫)=鶴沁(一叱(/)"3、其中W(x) = W81-1X(-24(3故乂 = 屬

12、于G2總體5表1是根據(jù)某超市對(duì)不同品牌同類(lèi)產(chǎn)品按暢銷(xiāo)(1)、平銷(xiāo)(2)和滯銷(xiāo)(3)的數(shù)據(jù), 利用SPSS得到的Bayes判別函數(shù)系數(shù)表，請(qǐng)據(jù)此建立貝葉斯判別函數(shù)，并說(shuō)明如何判 斷新樣品(xl,x2, x3)屬于哪類(lèi)?Classification Function Coefficientsgroup123X1-11.689-10. 707-2. 194x212. 29713. 3614. 960x316. 76117. 0866. 447(Constant)-81. 843-94.536-17. 449Fisher's linear discriminant functions表1Bay

13、es判別函數(shù)系數(shù)解：根據(jù)判別分析的結(jié)呆建立Bayes判別函數(shù)：Bayes判別函數(shù)的系數(shù)見(jiàn)表4. 1。表中每一列表示樣本判入相應(yīng)類(lèi)的Bayes判別函數(shù)系 數(shù)。由此可建立判別函數(shù)如下：Group 1： = 81.84311.689X1 + 12.297X2+16.761X3Group2：Y2 = 94.53610.707X1+13.361X2 + 17.086X3Group3：Y3 = 17.4492.194X1 + 4.960X2 + 6.447X3將新樣品的自變量值代入上述三個(gè)Bayes判別函數(shù)，得到三個(gè)函數(shù)值。比較這三個(gè)函 數(shù)值，哪個(gè)函數(shù)值比較人就可以判斷該樣品判入哪一類(lèi)。6.對(duì)某數(shù)據(jù)資料進(jìn)

14、行因子分析，因子分析是從相關(guān)系數(shù)陣出發(fā)進(jìn)行的，前兩個(gè)特征根 和 對(duì) 應(yīng) 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 特 征 向 量 為 人=2.920 U； = (0.1485,0.5735,0.5577,0.5814),A = 2.920 (/； = (0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)(1) 取公因子個(gè)數(shù)為2,求因子載荷陣(2) 用F1F2表示選取的公因子，勺，為特殊因子，寫(xiě)出因子模型，說(shuō)明因子載荷 陣中元素®的統(tǒng)計(jì)意義7在一項(xiàng)對(duì)楊樹(shù)的形狀研究中，測(cè)定了 20株楊樹(shù)樹(shù)葉，每個(gè)葉片測(cè)定了四個(gè)變量X15X2,X3,X4分別代表葉長(zhǎng)，葉子2/3處寬，1/3處寬，1/2處寬，這四個(gè)變量的相

15、 關(guān)系數(shù)矩陣的特征根和標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量分別為：人=2.920 U'、= (0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)入=1.024 U； =(0.9544,0.0984,0.2695、0.0824)血=0.049 U； = (0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)人=0.007 U'4 = (0.0612,0.2519,0.5513,0.7930)若按一般性原則選取主成分個(gè)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出主成分表達(dá)式，并計(jì)算每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率解：選取主成分的一般原則是特征值人于1或累枳貢獻(xiàn)率達(dá)到80%以上。據(jù)題選取兩個(gè) 主成分，其表達(dá)式和貢獻(xiàn)率分別是：y1 = 0

16、.1485X1-0.5735X2-0.5577X3-0.5814X4,貢獻(xiàn)率為人=2.920兒=0.9544X】0.0984X2 +0.2695禺 + 0.0824/,貢獻(xiàn)率為人=1.0248卜表是進(jìn)行因子分析的結(jié)呆，試根據(jù)表中信息寫(xiě)出每個(gè)原始變量的因子表達(dá)式，并分析是否需要對(duì)因子載荷旋轉(zhuǎn)。Component MatrixComp on ent123X1.969-1.084E-02.205X29X.321-.102X3.847-.120.323X4.941.281-2.693E-02X5.899.215-1.963E-02X6-.313.839.305X7-.6666.280E-02.679X8.575-.580.367Extract! on Method: Principal Comp on ent Analysis, a 3 components extracted.解：由表F1F2F3