線性代數(shù)2PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)12返回第1頁/共159頁3 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,(matrix)(矩陣矩陣簡稱為簡稱為的矩陣的矩陣是是型型稱為維稱為維nmnm ., 2, 1, 2, 1. ),(,)(njjmiijiaaAAaAijijnmnmij 稱為列標(biāo)稱為列標(biāo)，稱為行標(biāo)稱為行標(biāo)列元素列元素行第行第為矩陣的第為矩陣的第其中其中或或記為記為列數(shù)表列數(shù)表行行構(gòu)成的構(gòu)成的個數(shù)個數(shù)由由nmanmij 注 矩陣一般用大寫字母A、B， 表示.定義2.1.1第2頁/共159頁4由定義知，確定一個矩陣的兩個要素是維數(shù)mn及元素,.m表示行數(shù)，n表示列數(shù).,jiaAij254其元素其元素矩

2、陣矩陣試寫出試寫出3542,0212, 1112451211 aaa由已知所給條件得由已知所給條件得.34567123451012332101: 答案答案解第3頁/共159頁5 腰圍（英寸） 數(shù)量（條）28 330 1132 634 3庫存的其他牌號可按照牛仔褲的型號從小到大排列如下：牌子 數(shù)量（條）L 5， 5，3，4CF 1， 7，0，0BO 6， 2，2，2BA 3 ，0，0，3試通過矩陣將上面的信息表示出來.W L CF BO BA28 30 32 34第4頁/共159頁61a2a1b2b3b.32121如圖所示如圖所示的交通連接情況的交通連接情況城市城市省三個省三個和和省兩個城市省兩

3、個城市bbbBaaA, 每條線上的數(shù)字表示連接該兩城市的不同通路總每條線上的數(shù)字表示連接該兩城市的不同通路總數(shù)數(shù).該圖提供的通路信息該圖提供的通路信息,試用矩陣形式表示試用矩陣形式表示(稱之為通稱之為通路矩陣路矩陣).41322220314C1a2a1b2b3b.,通路數(shù)通路數(shù)間的間的與與表示表示省的城市省的城市列表示列表示省的城市省的城市的行表示的行表示這里通路矩陣這里通路矩陣jiijbacbaC第5頁/共159頁7.011101110:答案石頭剪子布石頭剪子布甲方乙方011 1011 10第6頁/共159頁8第7頁/共159頁9定義定義 所有非主對角線元素全等于零的所有非主對角線元素全等于

4、零的n階矩陣稱為階矩陣稱為 對角矩陣對角矩陣.3000050000900001是一個四階對角矩陣是一個四階對角矩陣. nnaaa0000002211記作記作),nnaaa2211diag(或或當(dāng)對角線元素都相等時有：當(dāng)對角線元素都相等時有：第8頁/共159頁10定義 如果n階對角矩陣所有主對角線元素都相等， 則稱此矩陣為n階數(shù)量矩陣,或標(biāo)量矩陣.例如例如.000000aEaaa簡記簡記記作記作 E22000020000200002第9頁/共159頁11定義 如果n階對角矩陣所有主對角線元素都是1， 則稱此矩陣為n階單位矩陣.單位矩陣在方陣運(yùn)算中起到數(shù)字“1”的作用.)(100010001nEE

5、或記作或記作記作記作 當(dāng)當(dāng)a=0時時,.000000000階零陣階零陣稱為稱為記作記作nO n階零陣在方陣運(yùn)算中起到數(shù)字“0”的作用.第10頁/共159頁12定義 如果n階矩陣主對角線下方的元素都等于零， 則稱此矩陣為上三角矩陣.如果n階矩陣主對角線上方的元素都等于零，則稱此矩陣為下三角矩陣. nnnnnnnnbbbbbbBaooaaoaaaA2122211122211211000A為n階上三角矩陣；B為n階下三角矩陣.第11頁/共159頁13在下列矩陣中在下列矩陣中,指出三角陣、對角陣、指出三角陣、對角陣、數(shù)量陣、單位陣：數(shù)量陣、單位陣：.,3000300031000100011400320

6、014025DCBA練習(xí)第12頁/共159頁14.cossinsincostytxytytxxt角的旋轉(zhuǎn)變換為：角的旋轉(zhuǎn)變換為：以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn) .cossinsincostttt的矩陣為：的矩陣為：那么這個線性變換對應(yīng)那么這個線性變換對應(yīng)稱此矩陣為上述線性變換的系數(shù)矩陣.第13頁/共159頁15 nnnnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayyyynxxxn221122221212121211112121,之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式個變量個變量與與個變量個變量.,2121為常數(shù)為常數(shù)其中其中的線性變換的線性變換到變量到變量表示一個從變量表示一個從變量ijnn

7、ayyyxxx,構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣系數(shù)系數(shù)ija 稱此矩陣為線性變換的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣.線性變換與矩陣之間線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系存在著一一對應(yīng)關(guān)系. .212222111211 nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA第14頁/共159頁16對角變換 對應(yīng)一個n階對角矩陣 nnyxyxyx2211 100010001nEnnnydxydxydx222111 nnnddd0000001第15頁/共159頁17第16頁/共159頁18定義定義 設(shè)有兩個設(shè)有兩個mn矩陣矩陣 mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211

8、), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaijij若則稱矩陣A和B相等. 記作A=B矩陣相等必須滿足:行列對應(yīng)相等且元素對應(yīng)相等.第17頁/共159頁19 mnmnmmmmnnnnbababababababababaC221122222221211112121111矩陣矩陣稱為矩陣A與B的和. 記作.nmijijbaBAC定義定義 設(shè)有兩個mn矩陣注：只有同型的兩個矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算. mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211第18頁/共159頁20 mnmmnnnmijnmijaaaaaaaaaaAaA212222

9、111211,設(shè)設(shè)稱為A的負(fù)矩陣負(fù)矩陣.矩陣的減法為矩陣的減法為 .0000000000零矩陣零矩陣稱為稱為nmOnmnm mnmnmmmmnnnnbababababababababaBABA221122222221211112121111)(.)(221122222221211112121111OaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAmnmnmmmmnnnn 第19頁/共159頁21(i) A+B=B+A(ii) (A+B)+C=A+(B+C)(iii) A+O=O+A=A(iv) A- -A=A+(- -A)=O其中其中A、B、C和零矩陣和零矩陣O是同型矩陣是同型矩陣.5122112

10、13102BA,設(shè)設(shè) .,BABA21求求 5122112131021BA.3211115211)2(32110)1(2 .7053135122112131025122112131022BA第20頁/共159頁22(i) k(A+B)=kA+kB(ii) (k+h)A=kA+hA(iii) k(h A)=(k h)A(iv) 1A=A其中其中A、B為為mn 矩陣；矩陣；k、h為數(shù)為數(shù). ,212222111211 mnmmnnnmijkakakakakakakakakakakA第21頁/共159頁23512211213102BA,設(shè)設(shè) .32,21BABA求 51221122123212022

11、221BA 1729735153663321310253132323131321310232BA134013512211426204第22頁/共159頁24，滿足滿足如果矩陣如果矩陣XBAXX 2BAXXBAX2120220212112X.222201102112.,XBA求求，其中其中02202112第23頁/共159頁25 某服裝商店一天的銷售量如下表：且知某服裝商店一天的銷售量如下表：且知每條每條W牌、牌、L牌、牌、CF牌、牌、BO牌、牌、BA牌牛仔褲的牌牛仔褲的利潤分別為利潤分別為15元、元、17.5元、元、20元、元、12.5元、元、20元元.W L CF BO BA28 30 32

12、 34利潤矩陣205 .12205 .1715B第24頁/共159頁264321 A這里問題問題 1. 在這一周之內(nèi)在這一周之內(nèi).，最小號牛仔褲的，最小號牛仔褲的 銷售利潤總和是多少？銷售利潤總和是多少？問題問題 2. 30號牛仔褲的利潤總和是多少？號牛仔褲的利潤總和是多少？W L CF BO BA28 30 32 34問題問題 3. 所有牛仔褲的銷售利潤總和是多少？所有牛仔褲的銷售利潤總和是多少？利潤矩陣205 .12205 .1715B設(shè)為A5.102210312025.1212005.173151.1205.12205.17151B 538721685202512120651781552

13、2051220517152.B .（元）（元）總利潤總利潤58625975257538712059752575387120205122051715301100653221685210313AB總利潤:862.5元第25頁/共159頁27.,nsijsmijbBaA設(shè)矩陣設(shè)矩陣矩陣矩陣A與與B的的乘積乘積是一個是一個mn矩陣矩陣,nmijcC其中其中njmibabababacskkjiksjisjijiij,;,212112211記作C =AB.第26頁/共159頁28sjisjijisjjjisiibabababbbaaa22112121即即skijkjikcba1第27頁/共159頁29.A

14、BBA的乘積的乘積與與求矩陣求矩陣4311023110142012130143110231101420121301ABC421031023200111212201142411330013103101111231041.1199129解第28頁/共159頁30。與與的乘積的乘積與與求矩陣求矩陣BAABBA63422142;168321663422142AB注注 一般地，矩陣的乘法不滿足一般地，矩陣的乘法不滿足 交換律，即交換律，即ABABBA,BA,而且兩個非零矩陣的乘積可能是而且兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。零矩陣。.000021426342BA解第29頁/共159頁31431541532A

15、531531531B.OAB000000000531531531431541532計(jì)算AO，AB.第30頁/共159頁32(i) (AB)C=A(BC);(ii) A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA;(iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中其中k為數(shù)為數(shù)).矩陣的乘法不滿足交換律，即.BAAB 當(dāng)當(dāng) AB = BA 時時, 稱稱 A, B可交換可交換.第31頁/共159頁33,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA設(shè)設(shè)328021382201T.212221212111 mnnnmmTaaaaaaaaaA則則,42314321T例如例如.

16、931931T第32頁/共159頁34(i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT 證明證明 (iv),nsijsmijbBaA記記,nmijcCAB由矩陣的乘法定義，由矩陣的乘法定義， (AB)T的的 一般項(xiàng)為一般項(xiàng)為,1skkijkjibac(iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT 設(shè)設(shè)第33頁/共159頁35而而BT的第的第i行為行為,siibb1AT的第的第j列為列為,1jsjaaskskkijkjkkiijbaabd11,因此因此所以所以,;,mjnicdjiij2121即即D=CT，亦即亦即BTAT=(AB)T.對于多個矩陣相乘，有對于多個矩陣

17、相乘，有TTTtTtAAAAAA1221.mnijTTdDAB設(shè)設(shè)第34頁/共159頁36.,TABBA求求已知已知102324171231102,1013173140102324171231102AB1031314170213012131027241TTTABAB.1031314170TAB例例1111注 這里ATBT不是可乘矩陣，一般地ATBT （ABT）.第35頁/共159頁37返回第36頁/共159頁38稱為n階方陣.記作 A=(aij ), i，j=1，2，n 或 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnA第37頁/共159頁39以上3階方陣的跡為1+0+9=10

18、n階方陣的跡為1+0+1=n. nnaaa2211)(Atr987802141nn 1111011100110001例例1第38頁/共159頁40返回第39頁/共159頁41.;42314321874321014321864243212242221014321T第40頁/共159頁42定義 如果n階矩陣A滿足A=AT，則稱A為對稱矩陣. nnnnnnaaaaaaaaa212221211211形如形如對稱矩陣A=（aij）中的元素滿足aij=aji，i，j=1，2，n即A中元素關(guān)于主對角線為對稱.性質(zhì)（i）對稱矩陣A與B的和也是對稱矩陣; （ii）數(shù)乘對稱矩陣仍為對稱矩陣.65425331432

19、02101B例：例：下面證明(ii)第41頁/共159頁43滿足滿足由定義知，對稱矩陣由定義知，對稱矩陣nnijaAnjiaaijji,21如如152561213A是一個三階對稱矩陣是一個三階對稱矩陣.它的元素關(guān)于它的元素關(guān)于A的主對角線對稱的主對角線對稱注1,2110,2331BA證證(ii) 因?yàn)橐驗(yàn)?AT=A,所以所以 (kA)T=kAT=kA, 即即kA是對稱矩陣是對稱矩陣.兩個同階對稱矩陣的乘積未必是對稱矩陣.7273AB對稱陣對稱陣非對稱陣注2第42頁/共159頁44 00021212112nnnnaaaaaa形如形如對稱矩陣A=（aij）中的元素滿足aij=-aji，i，j=1，

20、2，,n，A中主對角線元素為零.0542503143002100B例：例：第43頁/共159頁45 得得是反對稱陣，由定義可是反對稱陣，由定義可如果如果nnijaA.,njiaajiij21.是一個反對稱矩陣是一個反對稱矩陣0110A不是反對稱陣不是反對稱陣而而例如例如200202200110ABBA,注2第44頁/共159頁46).()(.)()(.TTTTAAAAAAAAAA21212212131證明證明是反對稱矩陣；是反對稱矩陣；是對稱矩陣；是對稱矩陣；證明證明階方陣，階方陣，是是已知已知).()()(TTTTTTTTAAAAAAAA21212121）（證證2.顯然顯然.是對稱陣；是對稱

21、陣；由定義知由定義知)(TAA21TTTTAAAA)()(2121另由另由，）（)()(TTTTTAAAAAA212121.)(是反對稱矩陣是反對稱矩陣由定義知由定義知TAA21證證 1.第45頁/共159頁47.322103121矩陣之和矩陣之和表成對稱矩陣與反對稱表成對稱矩陣與反對稱試將矩陣試將矩陣ATTTAAAAAAA2121311202231322103121，矩陣矩陣.021212102121210323232302523251解解第46頁/共159頁48.一個反對稱矩陣之和一個反對稱矩陣之和表示成一個對稱矩陣和表示成一個對稱矩陣和將將4321A.011021855221432121

22、2142314321TTTAAAAAAA，矩陣矩陣答案答案練習(xí)1第47頁/共159頁49.,.,),(EHHHXXEHnEXXxxxXTTTTn且且是對稱陣是對稱陣證明證明階單位陣階單位陣為為設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣2121證證,)(HXXEXXEHTTTTT22.為對稱陣為對稱陣即即H222)(TTXXEHHHTTTTTTXXXXXXEXXXXXXE)()(4444.EXXXXETT44練習(xí)2第48頁/共159頁50定義定義 設(shè)設(shè)A是一個是一個n階方陣，階方陣，k為正整數(shù)為正整數(shù), 個kkAAAA 稱為稱為A的的k次冪次冪.A k 就是k個A連乘.顯然只有方陣的冪才有意義.規(guī)定:A0=E.(i) A

23、 k Al=A k+1 (ii) (A k)l=A k l其中k、l為正整數(shù).(2)運(yùn)算律.000000001111111133632AA例如第49頁/共159頁51因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對于兩個因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對于兩個 n 階方陣階方陣A與與B，(AB)k 一般不等于一般不等于A k B k.即即 個個個kkkBBBAAAABABAB如果如果Ak=O，不一定有不一定有A=O. 例如取例如取01111A0000111111112A.,321101AAA求求設(shè)設(shè),1201110111012A.1301110112011101110123A解推斷An =?由數(shù)學(xué)歸納法

24、證明 .第50頁/共159頁52.,432100110011AAAA求求設(shè)設(shè)1002101211001100111001100112A10031033110011001110021012123AAA10041064110011001110031033134AAA第51頁/共159頁53ACABCBACBA)(:,.試檢驗(yàn)試檢驗(yàn)若若1213401213421.(,.)101232為正整數(shù)為正整數(shù)求求設(shè)設(shè)kAAAhAk222222?3BABABABABABABA)()(,.等式能成立等式能成立試問在什么條件下以下試問在什么條件下以下是兩個同階方陣是兩個同階方陣設(shè)設(shè).101:khAk答案.BAAB

25、:答案答案第52頁/共159頁540111axaxaxaxfmmmm)(EaAaAaAaAfmmmm0111)().(,)(AfAxxxf求求已知已知3012352解解90543012301230122AA,300310013301259054352EAAAf)(第53頁/共159頁55 001001A).3( nAn求，為數(shù)量陣，為數(shù)量陣，為三階單位陣，為三階單位陣，其中其中000100010BEEBEA ,nnnnnnBBnnBnEBEA22121 !)(）（第54頁/共159頁56，0000001002B)(3433nOBBBBn，.!)(!)(nnnnnnnnnnnnnnnBnnBnE

26、BEA 0002121121221）（，000100010B第55頁/共159頁57注 矩陣與行列式是兩個不同的概念，n階矩陣是n2個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而 n 階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個數(shù).nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212222111211矩陣A行列式|A|第56頁/共159頁58AkkAiiAAinT)()(BAABiii)(4321A2423124321TAA,.)(AA2224231282486422例1012849612146812146835024321ABAB,.)(,12626350224321B

27、ABA第57頁/共159頁59.BAABBAAB.2121ttAAAAAA.126) 2(, 63502, 24321BABA.12)2(6ABBAAB例11第58頁/共159頁60,221BA.223ABAT及及求求 2272127333AA.1412822232ABABTT第59頁/共159頁61返回第60頁/共159頁62證證 (2)設(shè)設(shè)B、C都是都是A的逆矩陣，則有的逆矩陣，則有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.惟一性得證惟一性得證.注注 (1) 這時矩陣這時矩陣B亦可逆亦可逆,B的逆陣為的逆陣為A.即即B-1=A. (3)可逆矩陣也稱為非退化陣可逆矩陣也稱為非退化陣,也常

28、被稱為非奇異陣也常被稱為非奇異陣; 不可逆矩陣稱為退化陣不可逆矩陣稱為退化陣,也常被稱為奇異陣也常被稱為奇異陣. (2)如果方陣如果方陣A可逆，則可逆，則A的逆矩陣是惟一的的逆矩陣是惟一的.1001cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincostttttttttttttttt例1ttttttttcossinsincoscossinsincos1第61頁/共159頁63dcbaA，則有設(shè)wzyxB1001dwcydzcxbwaybzaxwzyxdcba，解之得10,01dwcybwaydzcxbzaxbcadawbcadbybcadczbcadd

29、xbcad,0；時第62頁/共159頁64acbdbcadbcadabcadcbcadbbcaddwzyxB14321,1021BA10211021111A2123121324211B解11,AacbdbcadwzyxBEBA可得由同理第63頁/共159頁65性質(zhì)1 若A可逆，則A-1也可逆，且(A-1)-1=A. 證證性質(zhì)2 若A可逆，數(shù)k不為零，則kA可逆， 且 (kA)-1=k-1A-1. 證證 由由AA-1=E,得得A-1也可逆，且也可逆，且(A-1)-1=A. 由由AA-1=E，得得(kA)(k-1A-1)=k k-1AA-1=E， 即即 kA可逆，且可逆，且 (kA)-1=k-1A

30、-1.第64頁/共159頁66 證證性質(zhì)4 若A可逆，則AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.證證性質(zhì)3 A、B為同階方陣且均可逆，則AB也可逆，且 (AB)-1=B-1A-1.EAAAEAABBAABAB111111.EEAAAATTTT11.111ABAB.TTAA11第65頁/共159頁67.ABABBABABA1111證明證明均為可逆矩陣，均為可逆矩陣，和和，已知已知111111BABAABEABA)()(111111)()(BABABABABA均為可逆矩陣，均為可逆矩陣，和和，已知已知.)()(ABABAABB111111證證ABABBA1111)()(可逆，且其逆陣為可逆，且其

31、逆陣為故故第66頁/共159頁68.*212221212111*EAAAAAaAAAAAAAAAAAAAnAijijnnnnnn 試證試證的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式的元素的元素為為其中其中的伴隨陣，的伴隨陣，為為階方陣，稱矩陣階方陣，稱矩陣為為設(shè)設(shè)例5證明過程中應(yīng)用公式.)( , 0)( ,)( , 0)( ,22112211tjtjDAaAaAasisiDAaAaAantnjtjtjsninsisi或公式：第67頁/共159頁69nnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA2122221212111212222111211*.,000000*EAAAEAAAA 即即一個很有用

32、的結(jié)果.*EAAA第68頁/共159頁70 推論推論 若若A、B均為均為n階方陣，且階方陣，且AB=E（或或BA=E）, 則則 B=A-1. 證證 ,0, 1AEBAAB 即即A-1存在，有存在，有B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1由此可知,定義中AB=BA=E可簡化為AB=E（或BA=E）.同理同理 A=B-1證明或求解逆陣問題時常常用到此式！第69頁/共159頁71返回第70頁/共159頁72.11AAA.0A并且當(dāng)A可逆時，有證證A可逆，即有可逆，即有A-1，使使AA-1=E., 111EAAAA.0A所以所以(充分性充分性) .0A設(shè)設(shè).AAB1記記,111EE

33、AAAAAAAAAB同理可得同理可得BA=E. .AAA11并且并且(必要性必要性)所以所以A可逆，可逆，第71頁/共159頁73.|)(;|)(*113201AAAAAA求求）求）求（逆陣存在；逆陣存在；時時并判斷當(dāng)并判斷當(dāng)先求先求.)( ,的逆陣的逆陣求矩陣求矩陣0bcaddcbaA可逆，知由解AbcaddcbaA, 0.1|1*1acbdbcadAAAaAcAbAdAdacabaaa2212211122211211,*acbdA例6第72頁/共159頁74.3431223211AA，求已知解解 , 02 AA-1存在存在.A11= 2, A21= 6, A31=-4,A12=-3, A2

34、2=-6, A32= 5,A13= 2, A23= 2, A33=-2,得得,222563462A所以所以.1112532323111AAA第73頁/共159頁75.011012111AA的逆陣：求矩陣.|存在存在101AA,*101210110A例8101111011100101312111AAA,.|*101210110111AAAA解解 112110111111112202111011100102332313322212AAAAAA,第74頁/共159頁763.若若 n 階矩陣階矩陣 A 可逆可逆,試證試證 A 的伴隨陣也可逆的伴隨陣也可逆, 并寫出其逆陣的公式并寫出其逆陣的公式.,.,

35、.11471223000200011AAAA求求求求.|.|.,.*AAAAAAAA132714112310002100011111答案練習(xí)第75頁/共159頁77,1302313512343122321CBA設(shè)設(shè) 若若A-1，B-1存在，則由存在，則由A-1左乘上式，左乘上式，B-1右乘右乘 上式，有上式，有 A-1AXBB-1=A-1CB-1, （A-1A）X（BB-1 ） =A-1CB-1, 即即 X = A-1CB-1.由由,00BA所以所以A、B都可逆都可逆. 且求得且求得第76頁/共159頁78,25131302311112532323111CBAX,251311125323231

36、11BA.410410122513202011第77頁/共159頁79.,1000100011000100032000100232004101233235131237654321PPPPPPPA.為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形僅應(yīng)用初等行變換化僅應(yīng)用初等行變換化323513123A解第78頁/共159頁80EAPPPPPPP1234567程，即：程，即：用初等矩陣表示上述過用初等矩陣表示上述過.第79頁/共159頁81.EPPPPPPPAEAAAPPPPPPPAEAPPPPPPPA12345671111234567112345671兩邊兩邊存在存在，已知，已知由由的逆矩陣的逆矩陣求求323513123A結(jié)論

37、： 只需將單位陣E經(jīng)過同樣的行初等變換，即可得A-1從而給出一種新的求逆陣方法初等變換法.2102121123326712345671EPPPPPPPA第80頁/共159頁82第81頁/共159頁83962334242321321321xxxxxxxxx）（）（）（396224213342321321321xxxxxxxxx解所用同解變換有1.交換方程次序；2.一個方程加上另一個方程的k倍.）（）（）（）（）（）（）（6555554423332113213xxxxx)()(21交換交換第82頁/共159頁84）（）（）（）（）（）（）（）（）（9008174265555544233216551

38、533321xxxxxxxxx）（）（）（）（）（900811030232187xxx.,這是方程組的全部解這是方程組的全部解，設(shè)設(shè)1233212xRCCxCxRCCx所用同解變換有1.交換方程次序；2.一個方程加上另一個方程的k倍.3.以常數(shù)k乘以某一個方程.第83頁/共159頁85思考：上述過程中各個未知量是否參與計(jì)算？第84頁/共159頁86(ii)以非零數(shù)k乘某行的所有元素；(iii)把某一行的所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去.)(jirr 記作記作)(kri記作記作)(jikrr 記作記作 初等行變換(i)對調(diào)兩行；說明：1.初等變換均可逆，)()(jijirrrr逆變換為逆變

39、換為krkrii1逆變換為逆變換為)(.)(jijirkrkrr逆變換為逆變換為第85頁/共159頁87)(jicc 記作記作)(kci記作記作)(jikcc 記作記作注 初等行（列）變換統(tǒng)稱初等變換.重點(diǎn) 討論初等行變換.(iii)把某一列的所有元素的k倍 加到另一列對應(yīng)的元素上去將上述定義中的“行”改為“列”即為如下初等列變換的定義.第86頁/共159頁8832154060060054032131rrA600108032160054032122rA6005400216005403213121rrA)()(jirr )(kri)(jikrr 第87頁/共159頁89 如果矩陣A經(jīng)有限次初等變

40、換變成矩陣B，稱矩陣A、B等價.注 等價是一種關(guān)系，這里給出的是等價矩陣概念， 兩個同解線性方程組也稱為等價線性方程組.第88頁/共159頁905500334241219621412133422132rrrrbA)( 由對應(yīng)的增廣陣由對應(yīng)的增廣陣962423342321321321xxxxxxxxx程組程組利用初等變換解線性方利用初等變換解線性方0000110030215500550041215151122122312rrrrrrr)()(001302321xxx還原為還原為.,這是方程組的全部解這是方程組的全部解，設(shè)設(shè)1233212xRccxcxRccx第89頁/共159頁91）（40000

41、0310000111041211B)(000003100030110401015B)(F00000001000001000001nmrOOOEF經(jīng)初等列變換經(jīng)初等列變換一般地一般地繼續(xù)初等行變換繼續(xù)初等行變換稱為行階梯形矩陣稱為行階梯形矩陣特點(diǎn)：特點(diǎn)：橫線下方全是橫線下方全是0；每階只有一行，階數(shù)即非零行行數(shù)；每階只有一行，階數(shù)即非零行行數(shù)；豎線后面第一個元素為非零元豎線后面第一個元素為非零元.也稱為行最簡形矩陣特點(diǎn)：各階第一個非零元都是1，所在列其余元素均為0.稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣特點(diǎn)：左上角是一個單位矩陣，其余元素均為0.一般矩陣A經(jīng)過初等變換總可以化為這種標(biāo)準(zhǔn)形；該標(biāo)準(zhǔn)形由 m、n、r 完全確

42、定.第90頁/共159頁92123234122310A 13211123223103412123234122310rrrrA)(.0000231034124620231034121)2(23Arr12121) 1(1000023105702000023103412rrrA200002310252701A行階梯形行最簡形第91頁/共159頁93取矩陣中元素a110為主元，如果a11為零，通過換法變換將第一列上元素不為零的某行換到第一行；用主元a11將第一列中a11以下的其他元素消為零；對除去第一行以外的行重復(fù)以上作法，則將矩陣化為行階梯形,如上例中AA1化簡過程；將最后一個非零行中的首個非零元，

43、通過倍法變換化為1,并將其所在列該非零元上面的元素都消為零，依此，由下向上遞推，將A化為行最簡形.如上例中A1 A2化簡過程.第92頁/共159頁94431341331A1312)1()1(431341331rrrrA332113100010331rrrr)()(100010001第93頁/共159頁95 21142311624342 113123232143214321具體形式；具體形式；寫出寫出設(shè)設(shè)寫成矩陣形式寫成矩陣形式將將BAXxXbBaAxxxxxxxxxxxjjij,.;.231322212113132121113212111140423624311121:bxaxaxabxaxa

44、xaxxx答案答案第94頁/共159頁96?,.1edecbdba)1yx4.();)( 4121311211111111113yxfBABABA求求設(shè)設(shè).222. 4.1711116142040. 3:22feydxcybxyax答案第95頁/共159頁97三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣，以三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣，以3 3階單位陣為例予以說明階單位陣為例予以說明. . (i)互換互換E的的i、j兩行（或兩行（或i、j兩列兩列),記記E（i, j ）01010000132,E)(jirr 1000001001000001,jiE)(32rr 例如例如第96頁/共159頁98(ii)E的

45、第的第i行（或第行（或第i列）乘以不等于零的數(shù)列）乘以不等于零的數(shù)k，得得1111kkiE)(irk ( (iii) )把把E的第的第j行的行的k倍加到第倍加到第i行上（或第行上（或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列上），列上）， 得得1111kkijE)(jikrr 100030001)3(2E100010031)3(12E例如例如例如例如第97頁/共159頁99性質(zhì)性質(zhì)初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等矩陣初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等矩陣. .矩陣的初等變換與初等矩陣有著非常密切的關(guān)系矩陣的初等變換與初等矩陣有著非常密切的關(guān)系. .有了初等矩陣則可以用等式來描述矩陣化簡的過有了初等矩陣則可以用等式來

46、描述矩陣化簡的過程程. . 初等矩陣性質(zhì)和有關(guān)定理例如0101000010101000013,2TTE100013001100010031)3(12TTE初等矩陣初等矩陣第98頁/共159頁10098718151232198765432110003000132AE)(？檢驗(yàn)檢驗(yàn)AEAE)()(312312例如例如9247615436110003000198765432132)(AE第99頁/共159頁101.為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形僅應(yīng)用初等行變換化僅應(yīng)用初等行變換化323513123A1000100011000100032000100232004101233235131237654321PPPPPP

47、PA,EAPPPPPPP1234567程，即：程，即：用初等矩陣表示上述過用初等矩陣表示上述過解第100頁/共159頁1021)(AEEA初等行變換即即第101頁/共159頁1031003430101220013212EAnn矩陣矩陣構(gòu)造構(gòu)造 103620012520001321100343010122001321131232rrrrEA解解 1111005630202310011111000125200112013231232152rrrrrrrr.的逆矩陣的逆矩陣求求343122321A第102頁/共159頁10411110023323010231001111100563020231001

48、12132rr111253232311A1AEEA初等行變換初等行變換)(第103頁/共159頁105 )()()()(rnrmrrmrnrrtstsnmijOOOEQQAQPPPQQQnPPPmaA21212121使得使得，階初等矩陣階初等矩陣和和，階初等矩陣階初等矩陣，則存在，則存在設(shè)矩陣設(shè)矩陣.價價時一定與同階標(biāo)準(zhǔn)形等時一定與同階標(biāo)準(zhǔn)形等當(dāng)當(dāng)階矩陣階矩陣0AAn.|,06100010001323513123AA這里這里第104頁/共159頁106充分性充分性 由學(xué)生完成由學(xué)生完成sPPPBA,21，則存在初等矩陣，則存在初等矩陣若若,tQQQ21和和BQQAQPPPts2112使得使得B

49、PAQQQQQPPPPts2112，令令推論推論 對于任意對于任意m mn n 矩陣矩陣A都存在都存在m m階可逆矩陣階可逆矩陣P及及n n 階可逆陣階可逆陣 Q，使使PAQ= =N. .其中其中N是矩陣是矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形. .第105頁/共159頁107sPPPA,21可逆，則存在初等矩陣可逆，則存在初等矩陣若若,21tQQQ和EQQAQPPPts2112使得使得1112111211QQQPPPAts因初等矩陣均可逆，故因初等矩陣均可逆，故 若若A A可以表示成一些初等矩陣的乘積，則由可以表示成一些初等矩陣的乘積，則由初等矩陣都可逆，所以初等矩陣都可逆，所以A A也可逆也可逆. . 必

50、要性必要性充分性充分性第106頁/共159頁10811123123EAAAPPPPEAPPPPmmEPPPPAEAAm12311BPPPPBAEBPPPPBAmm12311231)()(1XEBAEBA初等行變換即即第107頁/共159頁109.,341352343122321 BABAX其中其中解矩陣方程解矩陣方程.BABEABABAXA11就變?yōu)榫妥優(yōu)闀r，時，變?yōu)樽優(yōu)槌醯刃凶儞Q，當(dāng)把初等行變換，當(dāng)把）施以）施以對矩陣（對矩陣（可逆，則可逆，則若若換：換：）并對之施以初等行變）并對之施以初等行變矩陣（矩陣（構(gòu)造構(gòu)造BA5312262091520523213434313122523212313

51、23rrrrBA3191411005202012123rrrr例15第108頁/共159頁1103191411005202012123rrrr316423100020001313225rrrr3132231000100012123)()(rr第109頁/共159頁1113132231000100012123)()(rr.313223為該矩陣方程的解即X.313223X第110頁/共159頁112.,3210113242 AXAAX其中其中解矩陣方程解矩陣方程.AXEAXAAX）（可得可得由矩陣方程由矩陣方程22 .2,211EAAEAX先求.12101132210001000123210113

52、242EA解第111頁/共159頁1131000100011210113222263EEAEEA換：換：）并對之施以初等行變）并對之施以初等行變矩陣（矩陣（構(gòu)造構(gòu)造461110120100110101110021010110340011.1212105198421AEAX所以4613513411000100014613513411A第112頁/共159頁1141210113221000100012321011324222 EAAXEAXAAX）（可得可得由矩陣方程由矩陣方程3210113241210113222263AEAAEA換：換：）并對之施以初等行變）并對之施以初等行變矩陣（矩陣（構(gòu)造構(gòu)

53、造第113頁/共159頁115.121210519841BAX所以所以121210519841000100013303020111103400113210113241210113222AEA第114頁/共159頁116.11CAYCYABAXBAX，則，則若若，則，則若若.,YCAYCAECACA換也可以求出換也可以求出或轉(zhuǎn)置后進(jìn)行初等行變或轉(zhuǎn)置后進(jìn)行初等行變作初等列變換，使作初等列變換，使可以對矩陣可以對矩陣列變換列變換11初等變換與初等矩陣關(guān)系：對A進(jìn)行初等變換相當(dāng)于A乘以初等矩陣；左乘行變，右乘列變.第115頁/共159頁117利用初等變換. 11AEEA初等行變換初等行變換. BAEB

54、A12初等行變換初等行變換. 13BAEBA初等列變換初等列變換.第116頁/共159頁118.?301423512. 11AA若可逆則求出是否可逆判斷.114231124342. 2321321321xxxxxxxxx用逆矩陣解方程組.101311022141:. 3X解矩陣方程練習(xí)第117頁/共159頁119.,.*AAAA111223115143611.,.TX1132.041113X答案第118頁/共159頁120第119頁/共159頁121返回第120頁/共159頁12232442321112343ijaA例如例如 ;,為一階子陣為一階子陣其中其中13;,為二階子陣為二階子陣3113

55、4421.,為三階子陣為三階子陣344221123244321123第121頁/共159頁123(2)矩陣的k 階子式 矩陣A 的 k 階子陣的行列式叫做矩陣的 k 階子式.32442321112343ijaA例如例如思考思考:m n矩陣矩陣A的的k階子式階子式共有多少個？共有多少個？;,為一階子式為一階子式其中其中13;,為二階子式為二階子式31134421.,為三階子式為三階子式344221123244321123第122頁/共159頁124(1)定義 矩陣A中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做矩陣A的秩，記作r（A）= r.,min,)(;,)()(為滿秩陣為滿秩陣亦稱亦稱若若為降秩陣為降秩陣

56、為滿秩陣，為滿秩陣，稱稱若若；）（規(guī)定零陣的秩規(guī)定零陣的秩AnmraAAnrAnraAORnmijnnij320130401000010000143)(,AraAij所以所以的值均為的值均為其中一個不為零，其余其中一個不為零，其余個個其中三階子式共有其中三階子式共有例如例如?)(,?)(,CrCBrB200000121000010112. 2)(, 022011. 2)(, 021012CrBr觀察二階子式觀察二階子式第123頁/共159頁125.的秩的秩求求32440000112343ijaA332400011234400012332400011324400012304r例如例如個，其值均為

57、個，其值均為矩陣中三階子式共有矩陣中三階子式共有,解.)(,2044423rAR再觀察二階子式再觀察二階子式定理2. 4.1 一個mn矩陣A的秩為r的充分必要條件是A有一個r階子式不為零，而一切r+1階子式（如果有的話）都等于零. 第124頁/共159頁126.秩秩的的求求 32442321112343ijaA30344221123032423211224432112304r，例如例如個其值均為個其值均為其中三階子式共有其中三階子式共有,.)(,2044421rAR再觀察二階子式再觀察二階子式自行觀察解第125頁/共159頁127.秩秩的的求求 63334222211143ijaA306334

58、22211033322211104r，例如例如個其值均為個其值均為其中三階子式共有其中三階子式共有,204221r,再觀察二階子式再觀察二階子式.)(.|1101rARr，再觀察一階子式再觀察一階子式解第126頁/共159頁128證明從略參看教材.即若AB，則r（A）=r（B）證明思路：1.證明矩陣A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽時 r（A）= r （B）；2.證明矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變?yōu)锽時 r （A）= r （B）；3.對列亦然；4.推出結(jié)論.該定理提供了用初等變換求矩陣該定理提供了用初等變換求矩陣的秩的方法：將矩陣用初等行變的秩的方法：將矩陣用初等行變換化為行階梯形，行階梯形矩陣換化為行

59、階梯形，行階梯形矩陣中非零行的個數(shù)即為矩陣的秩中非零行的個數(shù)即為矩陣的秩. 包括(i)互換兩行（列），其秩不變； (ii)非零數(shù)k乘以i行（j 列），其秩不變； (iii)非零數(shù)k乘以i行（j 列）加到j(luò)行（i 列），其秩 不變.第127頁/共159頁129求秩方法: (i)由秩的定義進(jìn)行考察；(ii)將A化為多零矩陣再由定義判定；(iii)將A化為行階梯形矩陣，非零的行數(shù)即為 r.000035004121350035004121 2312132rrrrrrA.）（，求秩，求秩ARaAij76215342412143.)(2rAR陣的非零行數(shù)陣的非零行數(shù)由最后化成的行階梯矩由最后化成的行階梯矩

60、例例4解第128頁/共159頁130.）（，求秩，求秩ARaAij34312232133.100010001100020001100520201100520321620520321A.)(3rAr陣的非零行數(shù)陣的非零行數(shù)由最后化成的行階梯矩由最后化成的行階梯矩滿秩陣解第129頁/共159頁131.得到以下等價命題得到以下等價命題由由10001000134312232133ijaAnEAAAAnArA必能化為單位陣必能化為單位陣為非奇異陣；為非奇異陣；必存在；必存在；必有必有滿秩滿秩若若10)(第130頁/共159頁132).(,BArArBaAij）和）和（求秩求秩，4321606332420