高代題庫試題與答案匯編

1、學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)(下)試題(11)更多精品文檔一 填空題(每小題三分共15分)2 A為n階矩陣,1A =-，貝U (3A) /1 A,B為n階可逆矩陣，C= O O i，則CA =F3設(shè)f是一個n元負(fù)定的二次型，則二次型f的秩等于.4 設(shè)0( i,O(2,.Gn線性無關(guān)，W=L (ot-Sign)，則W的維數(shù)為。5 數(shù)量矩陣A=aE的特征根為。二單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)1設(shè)A是m n矩陣，B是n m矩陣，則()(A)當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式 AB 0(B)當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式 ab =0(C)當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式|AB|式0(D )當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式

2、ab =02設(shè)A，B，C均為n階矩陣，且秩A=秩B，貝U()(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超過C的秩。3設(shè)向量空間V中含有r個向量，則下列結(jié)論成立的是()A)r=1;(B) r=2;(C) r=m (有限數(shù))；(D)r=1 或：4 數(shù)域F上n維向量空間V有( )個基(A) 1;(B)n；(C)n! ;(D)無窮多.5 設(shè)向量空間W= (a,2a,3a)a ER,則W的基為：()(A)( 1,2, 3,);(B)(a, a ,a ;(C)( a , 2a 3a);(D)(1 ,0, 0), (

3、0, 2 ,0),(0 ,0, 3)(15 分)學(xué)習(xí)-好資料(22 3、(7 1-10 |X=-1r1 2 1 丿求X四（15分）把二此型f (,X 2 冷)=X1X2 + Xi,X3+ X2X3通過非退化線性替換化成平方和 五（15分）求由向量:i生成的子空間與由向量'-i生成的子空間 交的基和維數(shù)1)： i =(121,0)，: 2 =(1,W)2) 0 1=(2,一1,0,1)，筠十1,-1,3,7)六（10分）求矩陣r5-1 1 'A=60 2的特征值與特征向量<_3-1 1七證明題（15分）1設(shè)A為n階矩陣，A3=2E,證明B=A2-2A+2E可逆，并求 B2

4、設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。證明:3設(shè)U是n維向量空間V的非平凡子空間, 存在不止一個V的更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)(下)試題(9)一 填空題(每小題三分共15分)1 若 A=a,貝U AA/ =.q23 4 )2 A= 12 4 5，則秩 A=。1 10 1 23 t 滿足時(shí)二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x1x3+6x2x3為正定二次型。4 形如A= 0 a的矩陣(a F)作為M2 (F)的子空間，u 丿其維數(shù)為。5設(shè)n階矩陣A滿足A2=A，則A的特征根只有.二單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)的1 A,B為n階矩陣，則下列式子成立的是

5、()(A) A + B = A + B(B) (A+B)=A +B -1(C) AB=BA(d )若 AB=B+E，貝U有 BA=B+E2 A,B，C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則 A2+B2+C2=()(A) 3E (B) 2E (C) E( D) O 矩陣3設(shè)12,S與-1, -2,./Lm均為向量空間V中向量，L (12,.；n)=L (営沖2,.耳)，則下列結(jié)論成立的是()(A) S=m;(B) :：七:飛可由r ：2,. *線性表出；(C) 1,2,. 是 L( iT,.、)的一個基(D) m,.S線性相關(guān)時(shí)，必有-1, -2,. -m也相關(guān)+4設(shè)W1，W2都是V的子空間

6、，則下列結(jié)論成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+ (W1 W2) = W1更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(D ) Wi+(Wi W2) = W25設(shè)A= 1 5，則A的特征根為（A）1 （二二重）7（B）5 （二重）（C）-4,6(D) 1, 5三 （15分）q 22、已知A=2 1-2，求A J及（A*）,2 -21J四 （15分）把二此型2 2 2f( x 1 ,x2 ,x3)= x 1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量:i（ 1=1,2,

7、3,4）生成的子空間的基與維數(shù)更多精品文檔：i=（2,0，1,2）：3=（0，2，1, 8）六（10分）求矩陣:2=(-1, 1, 0，3)：4=(5, -1, 2, 1)的特征值與特征向量1-1-83 4fl i I-A七 證明題（15分）1 A,B 為 n 階方陣，ABA=B '證明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2 證明：若A為正定階矩陣，則 A，也為正定階矩陣。3設(shè)V1與7 2是V的互不相同的非平凡子空間，且 V= V1+V2，證明：存在V的非平凡子空間 W二Vj ,1=1,2,使得V= W. W2。咼等代數(shù)(下)試題(8)一 填空題(每小題三分共15分)0 2 12 11

8、130-A1B為秩等于2三階矩陣，則秩AB=ai a22ai 2a?2 A= b b2 J B=gb2,|A=2，則 12A + B|=_；符號差為2 2 23 實(shí)二次型 f( x 1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2 x2 -x3 的秩為4 口是向量空設(shè)間V中的一個向量，貝U的負(fù)向量由 唯一確疋5齊次線性方程組(九E - A) x=0的 R是A的 征向量二單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)1 A ,B, C都是n階矩陣，且ABC=I，則()成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I2 A,B為n階對稱矩陣，下列命題不正確的為(A) A+B

9、對稱；(B) AB 對稱；(C) Am+Bm對稱；(D) AB+BA 對稱。3 設(shè)向量空間V中含有r個向量，則下列結(jié)論成立的是(A)r=1;(B) r=2;(C) r=m (有限數(shù))；(D)r=1 或：4 數(shù)域F上n維向量空間V有( )個基(A) 1;(B) n；(C) n! ;(D)無窮多1 55設(shè)A= 5 1，則A的特征根為()(A) 1 (二重);(B) 5 (二重)(C)-4, 6；(D) 1, 5三 (15分)解矩陣方程XA=B+2X，其中*5-10、-231(340 'A八2-16 丿b=1°-12 丿四( 15 分)把二此型學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)(下)試題f( x

10、 1 ,x2 ,x3)=x1 x2 +4x 1x3-62x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量山生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù)% =(3,121)«2 =(0,1,0,2)E =(1,0,1,3) P 2 = (2,-3,1,6)六(10分)求矩陣(-4-100、130A= 361的特征值與特征向量七證明題(15分)1設(shè)A為n階矩陣，A=0,且人"=0, B為n階可逆矩陣，證明 當(dāng)AX=XB時(shí)，必有 B=02設(shè)A實(shí)對稱矩陣，證明：當(dāng)t充分大后，t E +A是正定矩陣。3 證明：如果 V=V 1 V2，V1=V11 V12，則 V= V V12

11、 V2.更多精品文檔ai a22ai 2a2 I1 人=血 b2j B=Wb2,A=2，則 2A + B=。勺20 )3 122 A= <0 1 1丿,B為秩等于2的三階矩陣，則秩AB=。23 二次型 f(x 1 ,x2, x3)= x1 +2x1x2 +2 x2x3 則 f 的秩為。正慣性指標(biāo)為。2 2 24 t 滿足時(shí)二次型 2 x1 + x2+5x3+2t x1x2 -2 x1 x3+4x2 x3 為正定二次型。'1aa.a xa1a.a 5 Anelaaa.J 特征值為。單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)的2 2 21 A,B，C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，貝U

12、 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(D) O 矩陣2設(shè)A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則一定有()11(A)(A*)a= IAA(B) A J= IAA*(C)*iAA = A A ='l(D) (A*)' =1IA (A，)*3設(shè)W1，W2都是V的子空間，則不一定 V的子空間的是()(A) W1 W2(B) W1 W2 ( C) W1+W2(D) W1+V4設(shè)-0式0是矩陣A的 特征根，并且有1A 式 0，J 則是的特征根()(A)-A(B)A/*(C) A(D) A5設(shè)向量空間W= (a,2a,3a)a=R,則W的基為: ()(A)(1,2,

13、3,);(B)(a, a ,a(C)(a , 2a 3a);(D)(1 ,0, 0),(0, 2 ,0),(0 ,0, 3)（15 分）1a12aa1A=an 1四（ 15 分）把二此型2 2f（ x1 ,x2 ,x3 ）= x1 -3 x2 -2 x1 x2 +2 x1 x3 -6x2 x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量山生成的子空間與由向量 生成的子空間 交的基和維數(shù)% =(2,5,1,5)«2 =(1,2,2,3)A =(1,2,-1,-2)P 2 =(3,1,-1,1) 氏=(-1,01,-1)?J六(10分)求矩陣z2 -1 0 '-1 2 -1

14、0 _1 2 A= I7的特征值與特征向量七 證明題(15分)22A B1 設(shè)A,B為n階矩陣，A =B =1且A + B =0，證明 (A+B )不可逆。2為m n階實(shí)矩陣，B= ' E+ AA ,證明：當(dāng)0時(shí)，B為正定階矩陣/人03 A為n階實(shí)反對稱矩陣，即A = - A，證明：若是矩陣A的特征根，0則-也是矩陣A的特征根學(xué)習(xí)-好資料咼等代數(shù)(下)試題(6)一 填空題(每小題三分共15分)1 A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，貝U AA*=。(123 4、1-2452 人=J 1012丿，則秩A=。2 2 23 實(shí)二次型 f( x1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2

15、x2 -x3 的秩為;符號差為。4 數(shù)域F上任意n維向量空間V都可表為 一維子空間的直和25 設(shè)n階矩陣A滿足A =A，則A的特征根只有。二單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)1設(shè)A是3矩陣，則2A等于()(A) -2 A (B) 2 A (C)-8 A (D) 8 A2 A ,B，C都是n階矩陣，且ABC=I，則()成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I3 設(shè)宀，2，心與%：2，：m均為向量空間V中向量，L (宀匸2,)=L (力：2，：S )， 則下列結(jié)論成立的是()(A) S=m; (B) '1,2,.；s可由 5 -2,*線性表出；(C)

16、 九2，是l(，：2，：m)的一個基(D) 冷，2，線性相關(guān)時(shí)，必有一1，-2，*也相關(guān)a右R4設(shè)向量空間 W= (a,2a,3a) a R,則W的基為：()(A)(C)1,2, 3,)a , 2a 3a)(B)(a, a ,a ;A=0 0 132 2 0 01OOO則A的特征根是()(D) (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0,0, 3)(A) 1 (四重) ;(B) 1 (二重),2 (二重)(C) 2 (二重)，3 (二重);(D) 1 (二重),2, 3三(15分)設(shè)A*是A的伴隨矩陣，X滿足A*X= A+2X，求矩陣X，其中A=(1-1111-1-111四(15分)把二

17、此型f (,x 2 ,x3)= 2x1 x2 +2x 1,x3-6 x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量：i( 1=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數(shù)8 =(2,1,3,1)«2 =(1,2,0,1)a 3=(-H3,0)j =(1,1,1,1)六(15分)求矩陣122、3-11A= 221的特征值與特征向量七證明題(15分)1設(shè)A為n階反對稱矩陣，(即AT = -A)，E-A，E+A皆可逆, 2如果A1A “是n階正定矩陣，k1 -km是正數(shù),證明：k1 A1+ km Am也是正定矩陣。3證明：每一個n維向量空間V都可表為n個一維子空間的直和更多

18、精品文檔（A）當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式=0（B）當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式AB=0（C）當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式AB=0（D）當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式AB=0高等代數(shù)（下）試題（5）一 填空題（每小題三分共15分）En O1 A=lEn En丿，En為n階單位矩陣，則A，=。22 A為n階矩陣，A=，則（3A）-A =o3正定二次型的特征根都是o4設(shè)鼻1,</2,.亠線性無關(guān)，W=L （僅12,.n ）,則W的維數(shù)為5 齊次線性方程組（丸E - A）x=o的 $是a的特征向量。二單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）1設(shè)A是m n矩陣，B是n m矩陣，則ABy3),A-B =A,

19、B 為 3 階矩陣，A=( 一，2 2, 3 3)B=( 1=2,，2，3三維列向量，A=18,設(shè)向量空間V中含有r個向量，則下列結(jié)論成立的是 A）r=1;（B） r=2;（C） r=m（有限數(shù)）；（D）r=1 或：4設(shè)'1,：'aB B B2S與 1, 2,m均為向量空間V 中向量，L C' 1<'2,.；n )=L (：1廠2，S ）， 則下列結(jié)論成立的是( )(A)S=m;，、ol丄 P”Pc(B)1, 2,S可由 1, 2,.'m線性表出；(C)：'1<'2,aB BB- s是l( 1, 2,m)的一個基(D)：

20、9;1/'2,心線性相關(guān)時(shí)，必有'1, n一m也相關(guān)5設(shè)向量空間W= （a,2a,3a） a=R,則W的基為:（A）（ 1,2, 3,）；（C）（ a , 2a 3a）；三 （15分）解矩陣方程XA=B+2X，其中<5 -1 0、-2 3 1（3A=l2 -1 & 丿B= V0四（15分）把二此型(B)(a, a ,a ；(D)(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0,0, 3)0 214 -2 2 2f（ x 1,x2 ,x3）= x1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3 通過非退化線性替換化成平方和。：1=（2, 0，1, 2）3= (

21、0, 2, 1, 8)-2=(-1, 1, 0, 3)：'4=(5, -1, 2, 1)五（15分） 在P4中，求由向量：i （ I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數(shù)的特征值與特征向量七證明題（15分）1設(shè)A為n階反對稱矩陣，（即AT = -A）, E-A , E+A皆可逆,2 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3 設(shè)U是n維向量空間V的非平凡子空間， 證明：存在不止一個 V的子空間W，使得V=U二W。學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)(下)試題(4)一 填空題(每小題三分共15分)1 若 A = A*,則 | A=.2設(shè)A為n階矩陣，秩A=n-1,B非零，n階矩陣，AB=0

22、,則秩B=。2 2 23 t 滿足時(shí)二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x 1x3 +6x2x3為正定二次型。(0 a 4 形如A= ra 0丿的矩陣(a*)作為M2(F)的子空間，其維數(shù)為 <5 數(shù)量矩陣 A=aE 的 特征根 為 。二單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)的1 A,B為n階矩陣，則下列式子成立的是()/匚、A + BA B(E) =+(F) (A+B)=A +B(G) AB=BA(h) 若 AB=B+E，貝U有 BA=B+E2 2 22 A,B，C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(

23、D) O 矩陣3設(shè)U '2,與:1, 2,F均為向量空間 V中向量，L (1,2,n )=L (兀卩2,Ps )，則下列結(jié)論成立的是()(A) S=m;(B)"廠2,.-飛可由5 PF線性表出；(C) r廠2,飛是l( 11 '2,- ' m)的一個基(D) r2,線性相關(guān)時(shí)，必有 f：2，：m也相關(guān)+4設(shè)W1，W2都是V的子空間，則下列結(jié)論成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+(W1 W2) = W1(D ) W1+(W1 W2) = W2更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(B) 5 (二重

24、)(D) 1, 5a2 aA=an 1an°求A1 55設(shè)A= 5 1，則A的特征根為(A) 1 (二重)(C)-4, 6三( 15 分)四（ 15 分）把二此型2 2f（ x 1 ,x2 ,x3）= x1 -3 x 2-2 x1x2 +2 x1x3-6x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五（15分）求由向量山生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù)門 =(1,2,1,0)，«2 =(-1,W)2)3 l(2,-1,0,1)，P2=(1,-137)六（10分）求矩陣-122 '3-11A=<22-1丿的特征值與特征向量七 證明題（15分）32-1設(shè)A為

25、n階矩陣，A =2E,證明B=A -2A+2E可逆，并求 B2設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，證明：當(dāng)t充分大后，t E +A是正定矩陣3設(shè)V1與V2是V的互不相同的非平凡子空間，且 V= V1+V2，證明：存在V的非平凡子空間 Wi Vi，1=1,2,使得V= W1二W2更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)(下)試題(3)一 填空題(每小題三分共15分)12 21設(shè)A為n階矩陣，A=2(B+E),且A =A,則B =。ai a22ai 2a?2 A=曲 b2 J B=gb2,|A=2，則 2A + B|=。2 23 二次型 f( x1 ,x2,x3)= x1 -2 x1x2 + x2+3 x1x3的矩陣是。4

26、 口是向量空設(shè)間V中的一個向量，貝U a的負(fù)向量由 唯一確定。5 設(shè)是F4的兩個線性變換,-=(x1, x2 , x3 , X4),0仲)=(0, x1 , X2 , x3 )則0 2。)=。二單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)2 2 21 A,B , C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，則 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(D) O 矩陣2 A,B為n階對稱矩陣，下列命題不正確的為()(A) A+B 對稱；(B) AB 對稱；mm r 一r 一(C) A +B 對稱；(D) AB+BA 對稱。3 復(fù)數(shù)域C對于數(shù)的乘法與加法可以構(gòu)成()上的向量空間。(A) 復(fù)數(shù)

27、域C;(B)實(shí)數(shù)域C;(C)有理數(shù)域Q;( D)任意數(shù)域F4 數(shù)域F上n維向量空間V有( )個基(A)1;(B) n；(C)n! ;(D)無窮多5 數(shù)域F上n維向量空間 的維數(shù)為r, '1,'2,.；n v,且任意V中向量可由12,.幾 線性表出，則下列結(jié)論成立的是()(D) r >n(A)r=n；(B) r-n ;(C)r <n；(15 分)(22a '(71-1-1<-121丿V “丿四(15分)更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料把二此型f( x 1,x2 ,x3)= x1 x2 + x 1x3 +x2 x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量

28、二生成的子空間與由向量 生成的子空間 交的基和維數(shù)8 =(3,121) «2 =(0,1,0,2)£ =(1,0,1,3) P 2 = (2,3,1,6)六(10分)求矩陣；2 -1 -0、-1 2 -1_0 _1 2A=，7的特征值與特征向量七證明題(15分)1設(shè)A為n階矩陣，A =0,且人"=0, B為n階可逆矩陣，證明 當(dāng)AX=XB時(shí)，必有 B=02 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A 也是正定矩陣。3證明：每一個n維向量空間V都可表為n個一維子空間的直和更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料更多精品文檔一 填空題（每小題三分共15分）12 21 設(shè) A 為 n 階矩陣，

29、A= 2 （B+I）,且 A =A，貝U B =。12 0）3 122 A= 1° 1 1丿,B為秩等于2的三階矩陣，則秩AB=。23 二次型 f（x 1 ,x2, x3）= x1 +2x1x2 +2 x2x3 則 f 的秩為。正慣性指標(biāo)為。Q 0 -1、1 t 34 A= 2 4丿的一個特征值為2,貝U t=。'1aa.a 'a1a.a 5 An=laaa.1丿特征值為二單項(xiàng)選擇題（每小題三分共15分）的1設(shè)A, B分別是m n, n p矩陣，則BA，是（）（A）m p矩陣（B） p m矩陣（C） n n矩陣（D） n m矩陣2設(shè)A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則

30、一定有(A)(C)* AAA = A A = I1(A *) 4 = A A1(D) (A*) 4= lA A3 W1, W2都是線性空間V的子空間，則下列關(guān)系式不一定成立的是（）（A） W1 W 2 W1 , W1W2W2(B)WW1+W2 ,W2-W1+W2(C)W1+W W1<JW2,(D) W1 - W2W1+W2X4設(shè)0 是矩陣A的特征根，并且有A 乂，則° 4是（)特征根(A)-A( B)A/* 1(C)A( D)A -5B為m n矩陣，則方程組BX=0只有零解是B B=O為正定矩陣的()(A)充分條件(B )必要條件(C)充分必要條件(D非充分條件也非必要條件三(

31、15分)設(shè)A*是A的伴隨矩陣,X滿足A*X= A+2X，求矩陣X，其中A=5-11-111-11四( 15 分)把二此型f( x 1 ,x2 ,x3)=x1 x2 +4x 1x3-62x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量二生成的子空間與由向量生成的子空間 交的基和維數(shù)% =(2,5,1,5)«2 =(1,2,2,3)E =(1,2,-1,-2)P 2 =(3,1,-1,1) 九=(-1,01,-1)?J六(10分)求矩陣_4-100、130A= 361的特征值與特征向量七 證明題(15分)1設(shè)A,B為n階矩陣，A2=B2=I,且A+ B =0,證明(A+B)不可逆。

32、2 設(shè)A為m n階實(shí)矩陣，B= ' E+ AA ,證明： 當(dāng)0時(shí)，B為 正定矩陣。扎03 A為n階實(shí)反對稱矩陣，即A/= - A，證明：若 是矩陣A的特征根,0則-也是矩陣A的特征根學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)(下)試題(1)一 填空題(每小題三分共15分)1設(shè)A是一個n階方陣，且Am=0,則(E-A) (E+A+A心)=2設(shè)A為n階矩陣，且秩A=r, P,Q為n階可逆矩陣，則秩(AQ) =秩(APQ) =3 二次型 f(x 1 ,x2, x3)=-6 x1 x2 的矩陣是4設(shè) W1, W2是有限維線性空間V的子空間，W1, W2 ,W1 W2W1 + W2之間的維數(shù)公式為。5設(shè) 是矩陣A的一

33、個特征根，且式0，則九0是 的一個特征根二 單項(xiàng)選擇題(每小題三分共15分)1設(shè)A，B，C均為n階矩陣，則下列論斷正確的有()若AB=BA ，則(A) 若 AB=AC，貝U B=C(B) A (B+C) = (B+C) Am nm旳(C) A A =A2 2(D) (A+B) (A-B ) =A -B2 設(shè)A，B，C均為n階矩陣，且秩A=秩B，貝U()(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超過C的秩。3設(shè)W1，W2都是V的子空間，則不一定 V的子空間的是()(A) W1 W2(B) W1 W2 (

34、C) W1+W2(D) W1+V 4 設(shè) W1="a°0)aEF W2 = q0，b,c)b,cE F ，、W3j(a,b,0)a, F ，則下列結(jié)論不成立的是(A) dimW1+W2=F3(B) W2 +W3是直和3(C) W1+W2 + W3= F( D) W1 +W2是直和4設(shè)二是向量空間V的一個線性變換，則下列結(jié)論成立的是(A) 二一定有特征根，從而有特征向量。(B) 二有特征根，但無有特征向量。(C) 若二有特征根，則一定有特征向量。學(xué)習(xí)-好資料(D) 二不一定有特征根，但一定有特征向量。三 (15分)q22、2 1 -22 21i* i已知A= F1丿，求A及(

35、A )四( 15 分)把二次型f (x 1 ,x 2 ,x3 )=2 x1 x2 +2 x1 ,x3 -6 x2 x3通過非退化線性替換化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量：i (I=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數(shù)% =(2,1,3,1) a 2 =(1,2,0,1)a 3=(1,1,3,0)a4 =(1,1,1,1)六(15分)求矩陣'5-11"602<_3-11 J的特征值與特征向量A=七證明題(15分)1設(shè)A,B為n階矩陣，且ABA=B ，證明 秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2如果A1A m是n階正定矩陣，k1 -km是正數(shù)，證明：k1 A1+

36、km Am也是正定矩陣。3 證明：如果 V=V 1 V2，V1=V11 V12，則 V= V11 V12V2.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料-30高等代數(shù)（下）答案4, dimW 1 + dimW 2 =dim（W 嚴(yán) W 2 ）+dim（W 1 W2）5 A1, C 2, A 3, A 4, B5, C（15 分）廣12已知A= 21<2 -2122100、122100、21-2010T0-3-6-210<2-21000-92-2-2，求A及（A*）1解：（AE） rA四（ 15 分）把二次型29-221-2-2 ，A=27（A ）12721-22-21丿f（X 1,x 2 ,X 3

37、）= 2x1X2+2 X 1 ,x 3-6X 2 X 3通過非退化線性替換化成平方和。解：二次型f （X 1,x 2 ,x 3 ）的矩陣A=01110-31-301000102：1-211<01-20-3-30001001更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料更多精品文檔00010e02-22100、200、-20-200T00-6111-101-101<001丿2 2 2f(X 1，X 2 ,X3 )=2w 1 -2w 2 -6w 3r X1=W1w2-W3X21=W1-2X3W3五（10分）在P4中，求由向量i （|=1,2,3,4 ）生成的子空間的基與維數(shù)。：3 = (_，11 -3,0)

38、，:-4）的一組基>1=(2,131)，：(1,2,0,1)1-11 )廣21-11 '12210000T30-3130-310111丿<-1020廣010 0、000 0T003 1C102 °解:：4 =(1,1,1,1)是 L( >1>2' 3維數(shù)為3六（15分）51A=60L31丸51-1-6人_2=31丸一1求矩陣121解:3('一2) =0的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量 = 2= ' 3=2|3Xr X2 _ X3 = 0解方程組6捲+2x2 2x3 =03分3Xi x2 X3 = 0'-A 的特征

39、向量為 ki (1,3, 0 ) + k 2(0, 1, 1 )七 證明題(15分)1設(shè)A,B為n階矩陣，且ABA=B亠，證明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n證明：因?yàn)?ABA=B，所以ABAB=E（E-AB）（ E+AB）=0秩(E-AB)+ 秩(E+AB) _=n2分秩(E-AB)+ 秩(E+AB) _ 秩(E-AB+ E+AB)=n2分所以，秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n1分2如果A1 -A m是n階正定矩陣，k.k m是正數(shù)，證明：k1 A 1 + k m A m也是正定矩陣。證明：A1 -A m是n階正定矩陣，所以XA 1X - 0XA mX 02分X(k 1 A1+ + k

40、m Am)X 02分所以，k 1 A 1 + k m A m也是正定矩陣。1分3 證明：如果 V=V 1 V2，V1=V 11 V12，則 V= V 11 V 12 V2 . 證明：顯然有 V= V 11 V12 +V2 . 設(shè) 112 +2=0因?yàn)?1112)+2=0 , V=V 1 V 2所以11 12=0，:- 2 =0有因?yàn)椋琕V V12，所以-：“V 12 =0從而，V= V 11 V12 V2 .高等代數(shù)（下）答案 （2）一 I2 , 2 3,3 2 4, 6二 1 B, 2, A 3, C 4, D 5,三（15分）設(shè)A*是A的伴隨矩陣，X滿足1-1、-111A=-11丿1 01

41、、11 10解：A.A =2<0 1bZ101、1110*A=21bX=A *(AA-2E)1q 10 y0 1X= 4J 01丿5,' 1=1- (n-1) a, 2=.= n =i-aCA X= A J+2X，求矩陣X，其中4分3分3分5分四（ 15 分）把二此型f（ x 1,x 2 ,x 3）=x 1 x 2 +4x 1 x 3-6 2 x3通過非退化線性替換化成平方和。解A=012210<0120-30102-30001學(xué)習(xí)-好資料0f1014011212000246-41110P=l12120-41丿，X=PY ,更多精品文檔1 22 ； % 2f( x 1 ,x

42、 2 ,x3)=y 1 - 4+24y 3五（15分）求由向量生成的子空間與由向量r生成的子空間 交的基和維數(shù)% =(2,5,1,5)«2 =(1,2,2,3)氏=(1,2,-1,-2)駡=(3,1,1,1)氏=(-1,01,-1),解：=x 1 1 +x2 2= -y 1 _1-y 2 '2-y 3 '34 分解方組組的秩為46分所以 dim(W 1 W2)=1，2 分(53，119，-19，-134)是 W1 W2 的一組基。3 分六（10分）求矩陣-10i-41的特征值與特征向量A= <3解: ： : 410-1 -3-6矩陣的特征值與特征向量/-12=1

43、/'3=-2學(xué)習(xí)-好資料解方程組5% +10x2 =0-%2x2 二 03捲 - 6x2= 02% +10x2 =0一 _5x2 =03捲6x2 3x3 =0更多精品文檔TT得 A 的征向量為 k1(-2, 1,0 ) +k2(0, 0, 1 )2 分七 證明題（15分）設(shè)A,B為n階矩陣,2 2A =B =1 且+ B =0，證明（A+B ）不可逆。證明:AE+EB = ABB + AAB = A B A + B(lA+B)2=0 所以 IA B=-1, |A + B= -A + B所以（A+B）=0，（ A+B ）不可逆。2設(shè)A為m n階實(shí)矩陣,I./B= ' E+ A A

44、 ,證明：當(dāng)0時(shí)，B為正定矩陣證明:a/XBX=X ( ' E+ A A)XX EX _ 0 X A /AX - 0XBX=X ( E+ A /A)X ' 0所以，當(dāng)'0時(shí)，B為正定矩陣/ ' 0 ' 03 A為n階實(shí)反對稱矩陣，即A = - A，證明：若是矩陣A的特征根，則- 也是矩陣A的特征根 證明:(-1)-0 ' 0若 是矩陣A的特征根，則- 也是矩陣A的特征根1分學(xué)習(xí)-好資料高等代數(shù)（下）答案 更多精品文檔1 , E 2,123,-132-13)5,(0, 0, X1 , X2 )二 1,B, 2,A 3,A,4,B,5,A(2237、

45、1-10-1-1214IX=< J求X223100、1-10010-121001:（AE）>J(15 分)10010解-2-3-3-1-3-2-3z-3-1-3-32-3-1<324)7re013AX= A-1.4丿=（15 分）把二此型f（ X 1 ,X 2 ,X 3）=X 1X 2 + X 1X 3+x 2X 3通過非退化線性替換化成平方和。X1 二 y1 yX3 = y3f( X 1 ,x 2 ,x 3)=( y1 y3) 2 -y 2 -y學(xué)習(xí)-好資料2 2 2f( x 1 ,x 2 ,x 3)= z 1 -z 2 -z34 分非退化線性替換為|x 1 =乙一 z2

46、'z3 Xi 二乙 Z2 Z3X3 二Z3'i生成的子空間 交的基和維數(shù)五（15分）求由向量'i生成的子空間與由向量8 =(3,1,2,1)a 2 =(0,102)A =(1,0,1,3) 駡=(2,-3,1,6)4分4分2分3分2分解：=X 1 ： 1 +X 2 2= -y 1 1 -y 2 '2解方組組的秩為3所以 dim(W 1 W2 )=1，_1+ '2 = J -22 w1 W2，：1+ ：2 是W1 W2的一組基。六(10 分)求矩陣2-10、-12-1A=3-12的特征值與特征向量k -2101k-21解:01九-2=(扎2）（丸一2 - V2）（丸一2 + V2） =05分nnfnf-矩陣的特征值 、=2，2=2+ 2， ' 3 =2- 2，解方程組得特征向量為嘰（1，0，-1），° 2=（ 1,-血,1） " 3=（ 1，逅，1）dlCiCLA的特征向量為k 1 +k2 ' 2+k 3 ' 3 七證明題（15分）m1設(shè)A為n階矩陣，