概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后答案_北郵版_2

1、習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次， 以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值 .試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:X012310.I113C32 2 28C3|_父一m = 3/ 82 2 20318001111-X - X -=2 2 2 82.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:X0123000C2UC2 _ 3c4 一35C3UC2 _ 2 c43510c3Uc2Jc2 _ 6c4-35C3UC12UC2

2、 _12C；35C3UC2 , c4 - 352P(0黑,2紅,2白尸c2Lc2 / C4 = 35C3LJC2JC2 _ 6c435C2UC2 _ 3c4 3503.設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F % y)二即 9,0，0 - x ,0_y 一22其他.23求二維隨機(jī)變量X, Y）在長(zhǎng)方形域冗 冗冗，一一d0 <x w , <y < :內(nèi)的概率.4 63【解】如圖P0 <X < ,<Y < 公式(3.2)4 63F( 4*F( 3-F(0*F(0,;)sin0-sin 6陽(yáng)冗冗冗冗=sin sin - -sin sin - - sinO

3、lsin -43463jr4題3圖說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。x 0, y 0, 其他.4 .設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的分布密度Ae3x*y), f(X, v) = J0,求：(1) 常數(shù)A;(2)隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)；(3) P0 H1 , 0<Y<2.-.(3x -4v)A【解】(1)由 f f f(x,y)dxdy=f Ae dxdy =1o -o12得 A=12(2)由定義，有 y xy 0,x 0, 其他F (x, y) !./(u,v)dudvl(y (y12e43u44v)dudv = ；(1-e"x)(1-eUy)0,、0, P0 三 X

4、<1,0 <Y :二 2=P0 X <1,0 二Y 三212,八 ，、-=o o 12e® 4y)dxdy = (1-e")(1-e)： 0.9499.5 .設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為f (x, y)>(6-x-y), =J、0,0 x : 2, 2 : y 4, 其他.(1)確定常數(shù)k;(2)求 P Xv 1, Y< 3;(3)求 PX<1.5;(4)求 PX+YW4.【解】(1)由性質(zhì)有 f (x, y)dxdy k(6 - x - y)dydx =8k =1,R8(2) PX ： 1,Y ： 3二13二二f(x，y)dydx

5、1 31 、一 3二0 2gk(6 - x y)dydx 88(3) PX <1.5 = U f (x, y)dxdy如圖 a f f (x, y)dxdyDi2732x .1.51.54 1=0 dx 2 8(6 - x -y)dy =(4) PX +Y M4 = JJ f (x, y)dxdy如圖 b 口 f (x, y)dxdyX Y<4D224 _x 12二 .0dx2 8(6-x-y)dy = 3.y40題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0,0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY (y) = *y 0,其他.求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P

6、Y小.0 : x : 0.2, 其他.題6圖【解】（1）因X在（0, 0.2）上服從均勻分布，所以 X的密度函數(shù)為工fX(x)= 0.2,0,所以5ey, fY(y)=八 , 0,y 0, 其他.f (x,y X Y獨(dú)立 fx x(血 y ()5e3y=0.20,25e 3 y0,0 二 x :二 0.2>y0,其他.(2) P(Y < X) = 口 f (x, y)dxdy如圖 JJ25e)ydxdyy 3D0.2x0.2=o dx o 25e ydy = ° (-5e5)dx二e-1 ： 0.3679.7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為x 0, y Q其他

7、.4xA-4xx-2 yxF (x, y)(1e )(1 -e ),=30,求(X, Y)的聯(lián)合分布密度【解】f (x, y)-2(4x 2y)二 F(x, y)= 8efxfy0,x 0, y 0, 其他.8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為f (x, y)4.8y(2-x), 0 < x <1,0 < y < x, 0 0,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)= J-f (x, y)dy-QUx x2214.8y(2-x)dy 2.4x2(2-x),0 0=3I。，&,0< x<1, 其他.fY(y)= J- f ( x, y) dx,

8、1I ! 4.8y(2 -x)dx = y0,2.4y(3-4y y2), 0< y <1,0,其他.題9圖題8圖Y)的概率密度為9.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,f (x,e，0；x：y, v)=°，其他.求邊緣概率密度.【解】fx(x)= jf (x, y)dy_e'dy ；=X=0,0，-bex 0, 其他.fY(y)= j-f (x, y)dx.y=0e dx_ ye0,0,: y 0, 其他.題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為2cx y,f (x, y)=0,x2 - y -1, 其他.(1)試確定常數(shù)c;(2)求邊緣概率密度【解】(1)L3016

9、 f (x, y)dxdy如圖 口 f(x,y)dxdyD1124=dx 2cx ydy = c = 1.-1x221得_c 口.4J3Q(2) fx(x) i-f(x, y)dy1 21 221 24x ydy x (1-x ), -1< x<1, =x 4=80,0,其他.-bofY(y) = i-f(x, y)dxy 21 27 -=，yzxyd，2y2,。中以0,0, 其他.f求條件概率密度f(wàn)Y x (y 1【解】fx(x)=f (x, y)dyx x1 1 1dy =2x10,fY(y) = J所以fYix(y |x)-1, y <x, 0<x<1,(x

10、，y)=<"10,其他.x) , fx 1 Y ( x | V).y、題11圖0< x<1,其他. 1y 1dx = 1 + y, -1 < y < 0,O| 1f (x, y)dx =J1dx=1 y, 0 < y <1,-y0,其他.I11f(x,y) , |y|<x<1,T2xfx(x)0,其他.11.設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為1 -yfxY(x| y)=f(x, y)fY(y)0,y 二 x ：1,-y < x ： 1, 其他.12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1,2, 3, 4, 5,從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)

11、碼為X,最大的號(hào)碼為Y.(1) 求X與Y的聯(lián)合概率分布；(2) X與Y是否相互獨(dú)立？【解】(1) X與Y的聯(lián)合分布律如下表345PX = x1113 c510223c510333 二C3106102011""T = C51022=C51031030011_2_C510110PY = y110310610(2)因 PX =1PY =3= x = PX =1,Y =3,10 10 100 10故X與丫不獨(dú)立_13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布律為A2580.40.150.300.350.80.050.120.03(1)求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布;(2) X與Y是否相互獨(dú)

12、立？【解】(1) X和Y的邊緣分布如下表 _258P Y=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2PX =X0.20.420.38(2)因 PX =2LPY =0.4 =0.2父0.8 =0.16#0.15 = P(X =2,Y=0.4),故X與丫不獨(dú)立，14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0, 1)上服從均勻分布，Y的概率密度為1 ，/2fY (y) = 22e, y >0,0,其他.(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)含有a的二次方程為a(2)萬(wàn)程a +2Xa +Y =0有實(shí)根的條件是+2Xa+Y=0,試求a有實(shí)根的概率.【解】(1)因

13、fX(x)1, 0：x：1, 10,其他；11e 2fY(y) =20,y 1, 其他.二e_y/2故 f(x,y)X,Y獨(dú)立 fX(x)|_fY(y) =20,0 ：二 x ： 1, y 0, 其他.題14圖故從而方程有實(shí)根的概率為:一 2一 =(2X) -4Y -0X2",PX2 -Y = f (x, y)dxdyx2 _y1 X 1/2=dx - e dy0- 0 2=1 - 三中(1)- 中(0)= 0.1445.15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì)) ，并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服 從同一分布，其概率密度為x 1000, 其他.1000f (x) =x20,求

14、Z=X/Y的概率密度.X【解】如圖,Z的分布函數(shù)FZ(z)= PZ Ez = PXEzY當(dāng) zwo時(shí)，F(xiàn)z(z)=0(2) 當(dāng) 0Vz<1 時(shí)，(這時(shí)當(dāng) x=1000 時(shí),y=)(如圖 a)z106二 yz 106Fz (z) =dxdy = I。3 dy 103dxxx y- x y106Fz(z)= L x x y y-xzy 1062 dxdy = .103 dy 103 再dxW|03 106=(03-2- - -310、y ”3 zy1二1 一一2z11, z -1,2zfz(z)=z20,0 : z ： 1,其他.1 2z2 1 fz(z) =J-, 20,z -1,0 :二

15、 z ：二 1, 其他.16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命 (以小時(shí)計(jì))近似地服從N( 160, 202)分布.隨機(jī)地選取4 只, 求其中沒(méi)有一只壽命小于 180h的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=l,2,3,4),則XiN ( 160, 202),從而Pmin( X1,X2,X3,X4) - 180Xi之間獨(dú)立 PX1 之 180PX2 之 180PX3 _180£PX4 _180二1 -P 依 二 1 8 0仰 X :1 8 0P X 二_1 8P)4X 118 044180 -160=1 -PX1 ：1804 = 1 -：_2044=1-：'(1) =(0.158) =

16、0.00063.17.設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為PX=k=p (k), k=0, 1, 2,，PY=r=q (r), r=0, 1, 2, .證明隨機(jī)變量 Z=X+Y的分布律為PZ=i= Z p(k)q(i -k) , i=0, 1, 2,.k =0【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以Z =i =X Y =i=X =0,Y =i UX =1,Y =i -1IJUX =i,Y =0于是PZ=i=£ PX =k,Y =i kX,Y相互獨(dú)立 工 P X =k|_PY = i -k k z0k=0C p(k)q(i -k) k 018.設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變

17、量，它們都服從參數(shù)為 n, p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n, p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0, 1, 2,，2n.kPX Y =k =" PX =i,Y =k -ii =0八 P(X =i)LPY = k ii衛(wèi)k=zi 0n二p1piqk=zi 0k 2n-kp q2n"<k /方法一：設(shè) 內(nèi)，隆，他；卬用，a均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為 p）,則X=國(guó)+的，Y=崗也'+曲，X+Y=崗+.+pi+口 '也'+而，所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p）的二項(xiàng)分布.19.設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的分布律為>01234500

18、0.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求 PX=2 | Y=2 , PY=3 | X=0;(2) 求V=max (X, Y)的分布律；(3) 求U=min (X, Y)的分布律；(4) 求W=X+Y的分布律.【解】(1) PX =2|Y = 2 = PX =2,y=2PY = 20.050.25PX =2,Y =2-5' PX =i,Y =2i =0PY =3| X =0=PY = 3, X = 0PX =00.010.03PX

19、=0,Y =3 3' PX =0,Y = j j=0(2) PV =i =Pmax( X,Y) =iPX = i ,Y 二 i PX < i,Y = ii 4i=、PX =i,Y =k ' PX =k,Y =i, i =0,1, 2,3,4, k =0k =0所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) PU =i =Pmin( X,Y) =i"PX =i,Y _i PX i,Y =i35i =0, 1, 2 , 3=，PX =i,Y =k % PX =k,Y = i k 4k 4 1于是U=min( X,Y

20、)0123P0.280.300.250.17（4）類似上述過(guò)程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X, Y）在屏幕上服從均勻分布(1)求 PY> 0 | Y>X;(2) 設(shè)M=maxX, Y,求 PM>0.R題20圖【解】因（X, Y）的聯(lián)合概率密度為1f(x,y)= tR2， 0,x2 y2 < R2,其他.(1) PY 0|Y X=PY 0,Y XPY X.f(x,y)d。y 0y xf(x,y)d。y x冗 R 1d 2 rdr、/4 巾 D2 tR557r

21、 R 14 d 2 rdr.4 為 D2 TR3/8 31/2 -4(2) PM 0 =Pmax( X,Y) . 0 = 1 - Pmax( X,Y)工 0，、1= 1 PX < 0,Y 三 0 二 1一 f(x,y)d。=1 x：w4y£021.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0, x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X, Y） 在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X, Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在 x=2處的值為多少？題21圖e2 1【解】區(qū)域D的面積為 S0=1dx = ln1 x1 f(x,y) = 2, 0,（X, Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為 .1所以 fX (2) =

22、1.4e2e =2. （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為其他.1/x 11fX(x)= 0 2dy = 2x0,1MxM e2,其他.y1y2y3P X=Xi= PiX1X21/81/8PY=yj= pj1/6122.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X, Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于 X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處 .2【解】因 PY = yj=耳='、P X = xi ,Y = yj,i 1故 PY = y = PX = Xi,Y = yj PX = x?,Y = yj, .111從而 PX = x1,Y = y16 8 24而 X與丫獨(dú)立，故 PX

23、=為丫 = % =PX =xi,Y = yi,1 一一 1從而 PX = X1 = PX = Xi,Y = y1=. 624.111即：P X = x1/24 6 4又 PX =% =PX =%,丫 = % PX =x1,Y=y2 PX =xY = y3,rr 111即:二右: px = xY = yJ4 24 81從而 PX =x1,Y = y3 12 13同理 PY = y2, PX = x2,Y = y2=283，一 .111又、PY =yj =1,故 PY = y3 =1j 4j6233同理 PX =x2=.4從而，、，、，、111P(X =x2,Y =y。=PY = yj -PX =

24、x'Y 3).3 12 4故y1y2y3PX=X = R1111X2481241313x2,i-8844PY=yj=pj161213123.設(shè)某班車起點(diǎn)立上客人數(shù) X服從參數(shù)為 NQ0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率 為p （0<p<1）,且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求： （1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有 m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X, Y）的概 率分布.【解】 PY = m|X = n =Cmpm(1 - p)n 二0 三 m 三 n, n =0,1,2,111.(2) PX = n, Y = m = P X = nLPY =

25、 m | X = nmmn m=G p (1 - P)-n , n 三 m 三 n,n = 0,1,2，.一、一 一 f12 )24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為 X，而Y的概率留度為f(y),03 0.7 ,求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F (y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知 U=X+Y的分布函數(shù)為G(u)=PX Y <u =0.3PX Y Mu|X =1 0.7PX Y < u |X -2= 0.3PY <u -1| X =1 0.7PY < u - 2| X =2由于X和Y獨(dú)立，可見(jiàn)G(u) =0.3PY < u -1 0

26、.7PY < u -2-0.3F(u -1) 0.7F(u -2).由此，得U的概率密度為g(u)=G (u) =0.3F (u -1) 0.7F (u -2)= 0.3f(u -1) 0.7f(u -2).25.1.解:因?yàn)殡S即變量服從0, 3上的均勻分布，于是有因?yàn)閄,1 f(x)= 3, 0，0< x<3,x : 0,x 3;10 _ y_3,f(y)=3，y，0,y0,y3.丫相互獨(dú)立，所以設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求 PmaxX,Yw1,0<x<3,0<y<3,f (x, y) = 90, x 二 0, y ：

27、 0,x 3,y 3.推得、1Pmax X,Y < 1.26.9T01Ta00.200.1b0.2100.1c設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率分布為其中a,b,c為常數(shù)，且 X的數(shù)學(xué)期望 E(X)= -0.2,PYW0XW0=0.5,記Z=X+Y.求:(1) a,b,c 的值；(2) Z的概率分布；(3) PX=Z.解 (1)由概率分布的性質(zhì)知，即 a+b+c = 0.4.a+b+c +0.6=1由 E(X) =-0.2,可得-a c - -0.1.再由PY <0 X E0=PX £0,Y 三 0P X < 0a b0.1V= 0.5 ,a b0.5得a b =0.

28、3.解以上關(guān)于a, b, c的三個(gè)方程得a =0.2,b =0.1,c =0.1 .(2) Z的可能取值為-2, 1, 0, 1, 2,PZ = _2 =PX =-1,Y =-1 = 0.2 ,PZ = 1 =PX = 1,Y =0 + PX =0,Y = 1 =0.1 ,PZ =0 =PX = 1,Y =1 +PX =0,Y = 0 + PX =1,Y = _1 =0.3 ,PZ =1 =PX =1,Y =0 + PX =0,Y=1 =0.3,PZ =2 = PX =1,Y=1=0.1,即Z的概率分布為Z-21012P0.20.10.30.30.1(3) PX =Z =PY =0 =0.1

29、b 0.2 = 0.1 0.1 0.2 =0.4 .27.設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布，且X的分布函數(shù)為F(x),求Z=maxX,Y的分布函數(shù).解：因?yàn)?X,Y 獨(dú)立同分布，所以Fx (z) =Fy(z),則 Fz (z) =PZ < z=PX < z, Y<z=Px<z PY < z= F (z) 2.28.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,X的概率分布為，、1PX=i , i =7,0,1,31, 0 < y < 1,Y的概率密度為fY (y) = «甘u記Z=X+Y.10,其他.1 一(1)求 PZ E |X =0；2(2)求Z的概率密度f(wàn)Z(z)分析題(1)可用條件概率的公式求解.題(2)可先求Z的分布函數(shù)，再求導(dǎo)得密度函數(shù)解,11 PX=0,ZJPZ | X = 0 =22 P X - 0,1PX =0,丫二萬(wàn)PX = 01二 P” .(2) FZ(z) =PZ <z = PX +Y <z二P X Y £ z X = 1R X Y £ ,z X / P X YM , z X=P Y _