第二節(jié) 多元函數(shù)的偏導數(shù)

1、.一、一、 偏導數(shù)概念及其計算偏導數(shù)概念及其計算二二 、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù) 第二節(jié) 偏 導 數(shù) .定義定義1.),(yxfz 在點在點), (), (lim000yfyfx存在存在, ,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數(shù)，記為的偏導數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi);),(00yxxf0 xx0 x則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)極限極限設函數(shù)設函數(shù)x; ),(00yxfx;),(00yxxz. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim0000000d( ,)dx xf xxy00(,)xfxy注意注意:一、一、 偏導數(shù)定義及其計算法偏

2、導數(shù)定義及其計算法.00d(, )dy yf xyy同樣可定義對同樣可定義對 y 的偏導數(shù)的偏導數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù)若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域在域 D 內(nèi)每一點內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對處對 x,xzxfxz則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù)則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù), 也簡稱為也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為記為0yy0y或或 y 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 ,yzyfyz.),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點在點 (x , y

3、, z) 處對處對 x 的的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx( , , )?yfx y z ( , , )?zfx y z x偏導數(shù)定義為偏導數(shù)定義為.二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線是曲線0),(xxyxfzyTM0在點在點 M0 處的切線處的切線對對 x 軸的斜率軸的斜率.在點在點M0 處的切線處的切線斜率斜率.是曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M對對 y 軸

4、的軸的.例例1 . 求求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點在點(1 , 2) 處的偏導數(shù)處的偏導數(shù). .) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz.例例2. 設設，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求求222zyxr的偏導數(shù)的偏導數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry.偏導數(shù)記號是一個偏導數(shù)記號是一個例例4. 已知理

5、想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程求證求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數(shù)為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作不能看作分子與分母的商分子與分母的商 !此例表明此例表明,整體記號整體記號,.例例5 . 求求3zxy在點在點(0,0) 處的偏導數(shù)處的偏導數(shù). .例例6. 求求22zxy在點在點(0,0) 處的偏導數(shù)處的偏導數(shù). .242,()(0,0)( , )0,()(0,0)x yx yzf x yxyx y，例例7. 求求在點在點(0,0) 處的偏導數(shù)處的偏導數(shù). .函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在函數(shù)在

6、某點各偏導數(shù)都存在, ,顯然例如例如0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續(xù)但在該點不一定連續(xù). .二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)設設 z = f (x , y)在域在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是則稱它們是z = f ( x , y ) 的的二階偏導數(shù)二階偏導數(shù) . 按求導順序不同按求導順

7、序不同, 有下列四個二階偏導有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù)數(shù):.類似可以定義更高階的偏導數(shù)類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導數(shù)為的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導數(shù)階偏導數(shù) , 再關(guān)于再關(guān)于 y 的一階的一階) (yyxznn1偏導數(shù)為偏導數(shù)為11nnxz.yxe22例例8. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處

8、此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不但這一結(jié)論并不總總成立成立. .yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導數(shù)及的二階偏導數(shù)及 .0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例例9),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx.,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yf

9、x,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序數(shù)可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù)因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù) ,當三階混合偏導數(shù)在點在點 (x , y

10、 , z) 連續(xù)時連續(xù)時, 有有而初等而初等(證明略證明略) .證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx定理定理.令.),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()

11、(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點)(00yx ，連續(xù),得0y.例例10. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論偏導數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義定義; 記號記號; 幾何意義幾何意義 函數(shù)在一點函數(shù)在一點偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在函數(shù)在此點函