4-1-2-定軸轉(zhuǎn)動-力矩解析

1、第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版1 -1 -1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體是力學(xué)中又一理想模型剛體是力學(xué)中又一理想模型 剛體模型是在研究物體轉(zhuǎn)動時為剛體模型是在研究物體轉(zhuǎn)動時為簡化問題引進的簡化問題引進的說明：說明：1. 1. 定義：定義：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (任意兩質(zhì)點間距離保持任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組不變的特殊質(zhì)點組) ) 一、剛體：一、剛體：何種條件下可以將物體視為剛體何種條件下可以將物體視為剛體？第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理

2、學(xué)第五版第五版2 只要物體受到的外力較小，物體只要物體受到的外力較小，物體的轉(zhuǎn)速又不太大，一般的轉(zhuǎn)速又不太大，一般固體材料固體材料的的物體都可當(dāng)作剛體。物體都可當(dāng)作剛體。剛體模型主要用于研究剛體模型主要用于研究物體的轉(zhuǎn)動情況。物體的轉(zhuǎn)動情況。第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版3（1 1）平動：平動：剛體中所剛體中所有點的運動軌跡都保持有點的運動軌跡都保持完全相同完全相同 特點：特點：各點運動狀各點運動狀態(tài)一樣，如：態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、v2. 2. 剛體的運動形式：剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動平動、轉(zhuǎn)動 當(dāng)剛體平動時我們可以選取剛體上的任一點來當(dāng)剛體平動時我們

3、可以選取剛體上的任一點來 代表其運動代表其運動. . 剛體平動剛體平動 質(zhì)點運動質(zhì)點運動第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版4(2)轉(zhuǎn)動： 指在剛體運動中，剛體上所有的點都繞同一直線作圓周運動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版5 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動和和非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動剛體的剛體的平面運動平面運動 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版6zo2o1 BA AB (1) 定軸轉(zhuǎn)動及其特點定軸轉(zhuǎn)動及其特點軸上軸上所有所有各點都保持不動；各點都保持不動；軸外軸

4、外所有所有各點在各自的轉(zhuǎn)動平面各點在各自的轉(zhuǎn)動平面 內(nèi)，內(nèi)，繞固定軸作圓周運動繞固定軸作圓周運動.定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點都具有相同定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點都具有相同 的角位移、角速度和角加速度的角位移、角速度和角加速度. 但位移、速度和加速度一般不相等但位移、速度和加速度一般不相等.3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述: :本章只研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動本章只研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動下面介紹描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量：下面介紹描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量：第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版7(2) 剛體轉(zhuǎn)動的角速度剛體轉(zhuǎn)動的角速度zo. rxd P(t)P(t+dt).)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)

5、 角速度角速度沿沿逆時針逆時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動沿沿順時針順時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動0 0 剛體轉(zhuǎn)動的運動方程剛體轉(zhuǎn)動的運動方程ddt 角速度方向角速度方向: : 右手螺旋方向右手螺旋方向 0 0 顯然剛體定軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的顯然剛體定軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的 正、負來表示正、負來表示. .規(guī)規(guī)定定第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版8tdd 0 12 ，22ddt 0 12 ， 當(dāng)角速度當(dāng)角速度 在轉(zhuǎn)軸上確定后，則剛體上任一在轉(zhuǎn)軸上確定后，則剛體上任一 點的線速度滿足點的線速度滿足 r v r v(3) 剛體轉(zhuǎn)動的角加速度剛體轉(zhuǎn)動的角加速度第四章第四章

6、剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版9二二. 剛體繞定軸的勻變速轉(zhuǎn)動公式剛體繞定軸的勻變速轉(zhuǎn)動公式 剛體剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點質(zhì)點勻變速直線運動勻變速直線運動ta 0vv20012xxtatv)(2020 xxa2 vvt 0)(20202 20021tt 若剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度若剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度 = = 常量常量，則剛體，則剛體做做勻變速轉(zhuǎn)動。勻變速轉(zhuǎn)動。( (此時各點在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)做此時各點在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)做勻變速圓周運動勻變速圓周運動) )第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版10三三. .剛體轉(zhuǎn)動中角量與線量的關(guān)系剛體

7、轉(zhuǎn)動中角量與線量的關(guān)系tervte2ntraran2tereraddttt22ddddavrtana練習(xí)練習(xí)第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版11 例例1.1.在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動機里，有一在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動機里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開始起動時，角速度為零起動轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開始起動時，角速度為零起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為：后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為： /2540(1)et求求：( (1 1) )t= =6s時電動機轉(zhuǎn)動的角速度時電動機轉(zhuǎn)動的角速度 ( (2 2) )起動后，起動后，電動機在電動機在t= =6

8、s時間內(nèi)轉(zhuǎn)過時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)的圈數(shù) ( (3 3) )角加速度隨時間變化的規(guī)律角加速度隨時間變化的規(guī)律第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版12( (2) ) 電動機在電動機在6s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：解解 ( (1) ) 將 t=6 s 代入代入6513tr/s/2540(1)et/2d540(1 e)dtt由于電動機為由于電動機為變速轉(zhuǎn)動變速轉(zhuǎn)動，先考慮在，先考慮在6S6S時間內(nèi)時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度6200d540 1dtet由由分離變量，取積分分離變量，取積分/2d540(1 e)d ,tt第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版13(

9、(3 3) )電動機電動機轉(zhuǎn)動的角加速度為轉(zhuǎn)動的角加速度為ddt3298 10 rad= .6/20540(1 e)dtt/2/22540e540erad/s2tt60d t2n=6/205402ett 6/2540 62e2 3221 10 r= ./2540(1 e)t6200d540 1dtet2=n第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版14Pz*OFrdsinMrFFrFd : 力臂力臂dFrM作用在與作用在與z軸垂直平面內(nèi)的力軸垂直平面內(nèi)的力 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸z 的力矩的力矩: : F 一力矩一力矩 M用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用 - -2 2

10、 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量力矩方向力矩方向:(如圖如圖) 四指由矢徑四指由矢徑r 經(jīng)由小于經(jīng)由小于1800角轉(zhuǎn)向角轉(zhuǎn)向F 時時,大拇指所指方向大拇指所指方向.力矩大小：力矩大?。?為力的作用線到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。為力的作用線到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。d第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版15Pz*OFrdM0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF 提醒提醒: 一對平衡力的合力為一對平衡力的合力為零零,合力矩也為零合力矩也為零. 一對等大反向力的合一對等大反向力的合力為零力為零,合力矩不為零合力矩不為零. 討論討論 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)

11、物理學(xué)第五版第五版16zOkr討論討論FFFzMrFsin rFMzFFF （1 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則把力分解為不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則把力分解為平行和垂直于平行和垂直于Z 軸方向的兩個分量軸方向的兩個分量 F 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故 對轉(zhuǎn)對轉(zhuǎn)軸的力矩應(yīng)為：軸的力矩應(yīng)為：FF大?。捍笮。?第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版17O（2 2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3 3）剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM討

12、論討論第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版18（4 4）只有）只有轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力影響剛體轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力影響剛體的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動狀態(tài)；狀態(tài)；z zOF rz zOF r（5 5）定軸轉(zhuǎn)動中可用力矩的正負反映其方向性）定軸轉(zhuǎn)動中可用力矩的正負反映其方向性; ; 練習(xí)練習(xí) 討論討論第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版19mAB)53(jiF例題1：一根質(zhì)量為m、長度為l的均勻細棒AB和一質(zhì)量為m的小球牢固連結(jié)在一起，細棒可繞通過其A端的水平軸在豎直平面內(nèi)自由擺動，現(xiàn)將棒由水平位置靜止釋放。求：細棒由水平位置轉(zhuǎn)到圖示位置時系統(tǒng)所受外力相對于A端的力矩。 Fd

13、FrMsin解：根據(jù) MMM棒球coscos2lmgmgl3cos2lmgmgmg細棒所受合力矩：第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版20 例題例題2:一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。求圓盤所受到的力矩.(設(shè)摩擦系數(shù)為）Or解：解：圓盤轉(zhuǎn)動時，各點所受到的摩擦力矩與到軸心距離有關(guān)，rmgrFMdddmsdddrR在距軸心距離為r處取一圓環(huán)形面積元ds,其寬為dr，質(zhì)量為dm,且dsdm分別為2srrdd該面元所受到的力矩為 摩擦力作用點距軸心越遠，該摩擦力矩就越大。2222mmr rrrRRdd第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版

14、21Or2202RmgrrMMRdddrRrmgrFMddd則整個圓盤所受到的力矩為23mgR2202RmgrrRd第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版22Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFsinMrFttFmamr（）M （1 1）單個質(zhì)點單個質(zhì)點 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接m2mrM 其所受力其所受力F 對對Z 軸的力矩軸的力矩給出了給出了質(zhì)點質(zhì)點及及剛體剛體所所受的力矩與其轉(zhuǎn)動狀態(tài)的關(guān)系受的力矩與其轉(zhuǎn)動狀態(tài)的關(guān)系2trFmr質(zhì)點所受的力矩：質(zhì)點所受的力矩：第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版23討論討論JM（2）tJJMdd（3）（1）

15、若）若 ，則=0, 不變不變0M 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版242iejjjjrmMM（2 2）剛體剛體其所受其所受外外力力 ，內(nèi)力，內(nèi)力jFejFi外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0ijjiijjMMM ，在剛體上取質(zhì)量元在剛體上取質(zhì)量元mj（視為質(zhì)點）考慮（視為質(zhì)點）考慮對整個剛體則有對整個剛體則有: :所受合力矩所受合力矩: :2mrM （內(nèi)內(nèi)力矩之和力矩之和為零）為零）第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版25)rmMjjjj2e(2jjjrmJOzjmjrjFejFim

16、rJd2定義為定義為轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動慣量，以以J J表示表示對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，其對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量ejjMJ所以所以, ,有有2iejjjjjjrmMM第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版26JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合合外力矩外力矩成正比，與剛體的成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比. .剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律或?qū)懽骰驅(qū)懽?M、 瞬時對應(yīng)瞬時對應(yīng)；JM 角加速度角加速度 ；且；且 . .ddMJt 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版27 J 的的意義：意義：物體

17、轉(zhuǎn)動慣性的量度，單位物體轉(zhuǎn)動慣性的量度，單位 kgm2 ；三、轉(zhuǎn)動慣量的物理意義、計算方法三、轉(zhuǎn)動慣量的物理意義、計算方法2()i iJm r FmaMJ 影響影響J 的的因素：因素：剛體的總質(zhì)量剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布質(zhì)量分布以及以及 轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置；22222112iiiirmrmrmrmJ 2dJrm J 的的計算計算方法方法: : dddlSV 第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版28竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么大飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？都分布于外輪緣？第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版29一般來說，只有一般來說，只有 幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)