（整理版）例析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

1、例析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，求參數(shù)的范圍，前面幾種類型的綜合及與解析幾何等綜合題.這些類型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn),是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一,預(yù)計也是“新課標(biāo)下高考的重點(diǎn).一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 例1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。分析：求出導(dǎo)數(shù)y,令y>0或y<0，解出x的取值范圍，便可求出單調(diào)區(qū)間。 解：y，由定義域知x>0，y>0，y<0,故所求單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：1確定的定義域；2求導(dǎo)數(shù)f(x)；3在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f

2、(x)>0和f(x)<0；4確定的單調(diào)區(qū)間.假設(shè)在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論.二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 例2求函數(shù)的極值解：的定義域?yàn)閞. f(x).令y=0，解得x=1或x=1.當(dāng)x變化時，y、y的變化情況如下：x(, 1)1(1, 1)1(1,+)y0+0y極小值3極大值1當(dāng)x=1時，y有極小值3，當(dāng)x=1時，y有極大值1.方法總結(jié)：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：1求導(dǎo)數(shù)f(x)；2求f(x)= 0的所有實(shí)數(shù)根；3對每個實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個根如x0的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號如何變化，如果f(x)的符號由正變負(fù)，那么f(x0)是極大值；如果f(x)的符號由負(fù)變正，那么f

3、(x0)是極小值. 注意：如果f(x)= 0的根x = x0的左右側(cè)符號不變，那么f(x0)不是極值.三.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例3求函數(shù)f(x)在0，2上的最大值和最小值.解：f(x)令，化簡為，解得x1=2(舍去)，x2x<1時, f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x2時, f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.所以, f(1)=為函數(shù)f(x)的極大值.又因f(0)=0,>0, f(1)> f(2),f(0)=0為函數(shù)f(x)在0，2上的最小值，f(1)=為函數(shù)f(x)在0，2上的最大值.方法總結(jié)：求f(x)在a，b內(nèi)的最大值和最小值的步驟：1求f(x)在a

4、，b內(nèi)的極值；2求f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值f(a)與f(b)；3將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)、f(b)比擬，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.四.證明不等式r，exx+1.分析：應(yīng)首先構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性.證明：令f(x)= exx1，f(x) =ex1.x,ex10恒成立，即f(x)0. (,0)時，f(x) =ex1<0，f(x)為增減數(shù).又f(0)=0,當(dāng)xr時，f(x)f(0)，即exx10，exx+1.五求參數(shù)的值或范圍：這種類型往往是函數(shù)的單調(diào)性，通過逆向思維，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，再求參數(shù)的值或范圍.例5向量在區(qū)間1，1上是增函數(shù)，求t的取值范圍.解法1：依定義開口向上的拋物線，故要使在區(qū)間1，1上恒成立.解法2：依定義的圖象是開口向下的拋物線，六.綜合型，點(diǎn)p，0是函數(shù)的圖象的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)p處有相同的切線.用表示a，b，c；假設(shè)函數(shù)在1，3上單調(diào)遞減，求的取值范圍.解：i因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象都過點(diǎn)，0，所以， 即.因?yàn)樗?又因?yàn)?，在點(diǎn)，0處有相同的切線，所以而將代入上式得 因此故，ii解法一：.當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.由，假設(shè)；假設(shè)由題意，函數(shù)在1，3上單調(diào)