某知名學(xué)院對多目標(biāo)決策分析的研討

1、圖圖5-1 5-1 單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系總目標(biāo)總目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)m目標(biāo)目標(biāo)m-1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)1Hv1w2w1v2w4w3viwkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.圖圖5-2 序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系112211( )( )( )( )( )( )( )( )( )iiiipipikisisiw au au aw au auaw auau a最低一層各準(zhǔn)則的效用，經(jīng)過并合得到 第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各目標(biāo)的并合效用值12( ),( ),( )iiliv av av a12( )( )( )( ),(1,2,)iiiiliHH av a

2、v av aim1()max( ) 5-1ii mHH aH a 12( , )W Wu u2212121( ,)11(1)(1) 5-222dW u uuu 21211(,)1(1) 5-3nniiW u uuun設(shè)二維效用函數(shù)公式(5-2)可以推廣到多維情形， 成本和效益的效用并合應(yīng)該按距離規(guī)則進(jìn)行，由公式（5-3）知，并合效用函數(shù) 221(,)1(1)(1)2cEcEW u uuu （二）代換規(guī)則（二）代換規(guī)則 二維效用并合的代換規(guī)則適合如下情況：二效用對決策主體具有同等重要性，只要其中一個目標(biāo)的效用取得最大值，無論其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也達(dá)到最高水平，與二效用均達(dá)到

3、最高水平一樣。 12121212( ,)1 (1)(1) 5-4W u uuuuuu u 代換規(guī)則的二維效用并合公式為 121( ,)1(1) 5-5nniiW u uuu 推廣到多維情形，n維效用并合的代換規(guī)則公式為 121 12212( ,),(1) 5-6W u uuu121( ,) 5-7nniiiW u uuu加法規(guī)則n的維并合效用公式為加法規(guī)則的二維效用并合公式為121212121212121( ,) 5-8( ,) 5-9( ,) 5-10nnniiW u uu uW u uu unW u uuu uuu乘法法則的二維效用并合公式乘法法則效用并合更一般的公式維效用并合乘法法則的計

4、算公式第二節(jié)第二節(jié) 多維效用并合方法多維效用并合方法121122( ,) 5-11ln( ,)ln 5 12inniinniiiW u uuuW u uuu更一般的公式也可以表示為對數(shù)形式-121 1221 1 22( ,) 5-13W u ucuc ucu c u1 122121212121 1221 1 2211(1)(1) 5-141,10,10,1 niiiWcuc uccWuuu uccWcuc uWcu c unnWcu 當(dāng)形式因子且時，公式化為代換規(guī)則形式當(dāng)形式因子且時，公式化為代換規(guī)則形式當(dāng)形式因子公式近似于乘法規(guī)則形式推廣到 維情形，混合規(guī)則的 維效用并合公式1+ 5-15各

5、國各國對比對比u9我國人口總目標(biāo)我國人口總目標(biāo)HV1V2吃用吃用v1實力實力v2用用w2吃吃w1糧食糧食u1魚、肉魚、肉u2空氣空氣u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低總和最低總和生育率生育率u8CNPu7圖圖53 目標(biāo)準(zhǔn)則體系目標(biāo)準(zhǔn)則體系N（人口)o1u112.664.8圖圖54 糧食目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)糧食目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)54ou3N1056.7圖圖55 土地目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)土地目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)1ou4N4.5圖圖56水目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)水目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)1ou5N11.5圖圖57 能源目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)能源目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)1u81o37N圖圖58 目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)目標(biāo)準(zhǔn)則的

6、效用函數(shù)1122345267289 wu uwu u uvu uVu u上述四類目標(biāo)效用并合結(jié)果1211212121 21 2345678 95 31111wwvwwvvVvvHVVuuu u uu uu u 1按照層次結(jié)構(gòu)圖 ，并合吃 、用吃與用可以用線性互相補(bǔ)償，宜用加法規(guī)則吃用 、實力 可以用線性互相補(bǔ)償，宜用加法規(guī)則最后，我國總?cè)丝诜桨傅臐M意度111212122212/nnnnnnwwwwwwwwwwwwAwwwwww寫成矩陣的形式A稱為判斷矩陣。HG11G12G1n-1G1nA1A2An-1An.最高層最高層中間層中間層最低層最低層G21G22G1k-1G1k層次結(jié)構(gòu)圖層次結(jié)構(gòu)圖 1

7、1(1,2, )21/(1,2, )3/,( , ,1,2, )123iiijjiijikjkainaaijnaaai j knA、，、，、滿足條件的矩陣 稱為互反的一致性判斷矩陣。表表5-2 5-2 各級標(biāo)度的含義各級標(biāo)度的含義max. . 5171nC In遞階層次結(jié)構(gòu)模型如圖遞階層次結(jié)構(gòu)模型如圖5-115-11 圖圖5-11 5-11 遞階層次結(jié)構(gòu)模型遞階層次結(jié)構(gòu)模型第三節(jié)第三節(jié) 層次分析方層次分析方法法 11g 12g 11ng 1ng 2ng nnng1c2csc1a2amaG三、遞階層次結(jié)構(gòu)三、遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程權(quán)重解析過程（一）遞階權(quán)重解（一）遞階權(quán)重解析公式析公式AHP方

8、法的目的，方法的目的，在于求出各方案對在于求出各方案對總目標(biāo)總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)的優(yōu)先權(quán)重，求解過程從上重，求解過程從上到下，在相鄰層次到下，在相鄰層次之間逐層進(jìn)行，故之間逐層進(jìn)行，故稱為遞階權(quán)重解析。稱為遞階權(quán)重解析。首先，討論相鄰兩首先，討論相鄰兩層次間的權(quán)重解析。層次間的權(quán)重解析。第第k層子目標(biāo)關(guān)于層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)總目標(biāo)G的組合優(yōu)的組合優(yōu)先權(quán)重向量為先權(quán)重向量為( )( )( )( )12(,)kkkkkTnW1( )( )(1)1,(1,2,)knkkkiijjkjpin( )( )( )12,aaasPPP( )( )( )( )12(,)aaaasPPPP( )( )( )( )12

9、(,)uaaaTmW( )( )( )( )(2)(1) 5-18aacnWPPPP W最后，計算方案層各方案關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重 。這個優(yōu)先權(quán)重記為 于是，AHP方法遞階權(quán)重解析過程的計算公式為1111 5-19 5-20 5-21mjjjjmjjjjmjjjmjjjCICIRIRIC ICICRRIR I4.層次總排序及其一致性檢驗層次總排序及其一致性檢驗 層次總排序是從上到下逐層進(jìn)行的。在實際計算中，一般層次總排序是從上到下逐層進(jìn)行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。按表格形式計算較為簡便。層次總排序檢驗的一致性指標(biāo)，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)和一層次總排序檢驗的一致性指標(biāo)，平均隨機(jī)

10、一致性指標(biāo)和一致性比率指標(biāo)分別是致性比率指標(biāo)分別是11njjjw p表表5-6 計算層次計算層次B的總排序權(quán)重值的總排序權(quán)重值11njjjw p11njjjw p層次A權(quán)重層次B（三）（三）AHP方法應(yīng)用實例方法應(yīng)用實例 例例5-2 某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題經(jīng)過有關(guān)專 家會商研究，制定出三個可行方案： 1.在商場附近修建一座環(huán)形天橋； 2.在商場附近修建地下人行通道； 3.搬遷商場。 改善交通環(huán)境改善交通環(huán)境通車通車能力能力C1方便方便群眾群眾C2天橋天橋a1地道地道a2搬遷搬遷a3基建基建費(fèi)用費(fèi)用C3交通交通安全安全C4市容

11、市容美觀美觀C5圖圖512 層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型解：解：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；）建立層次結(jié)構(gòu)模型；135351 / 313131 / 51 / 311 / 331 / 313131 / 51 / 31 / 31 / 31 11223344maxmaxmaxmax3, 0.455,0.455,0.091, .00.13.005, 0.648,0.230,0.122, .0.0040.13.079, 0.695,0.229,0.075, .0.0680.13.018, 0.169,0.387,0.443, .0TccTccTccTccwC RwC RwC RwC R55max.0160.13

12、.018, 0.169,0.387,0.443, .0.0160.1TccwC R1230.455 0.455 0.0910.648 0.230 0.122(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059) 0.695 0.229 0.0750.169 0.387 0.4430.169 0.387 0.4430.442,0.374,0.185Waaa排序結(jié)果：改善交通環(huán)境改善交通環(huán)境通車通車能力能力C1方便方便群眾群眾C2天橋天橋a1地道地道a2搬遷搬遷a3基建基建費(fèi)用費(fèi)用C3交通交通安全安全C4市容市容美觀美觀C5圖圖512 層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型注意注意:( (投入）投入）（

13、產(chǎn)出）產(chǎn)出）（二）（二）C2R 模型及其基本性質(zhì)模型及其基本性質(zhì)x11 x12 x1nx21 x22 x2nxm1 xm2 xmnv1 1v2 2vm my11 y12 y1ny21 y22 y2nyp1 yp2 xpnu1 1u2 2up p 1 2 n11,1,2,prrjrjmiijiu yhjnv x對每個決策單元，都定義一個效率評價指標(biāo)對每個決策單元，都定義一個效率評價指標(biāo)效率指標(biāo)效率指標(biāo)hj表示第表示第j個決策單元多指標(biāo)投入和多個決策單元多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟(jì)效率，可以適當(dāng)選擇權(quán)指標(biāo)產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟(jì)效率，可以適當(dāng)選擇權(quán)系數(shù)系數(shù)u，v，使得，使得hj1。0010111m

14、ax 5-23. .1, (1)0,0prrjrmiijiprrjrmiijiu yhv xu ys tjnv xvu現(xiàn)建立評價第j0個決策單元相對有效的C2R模型模型（5-23）可以表示為矩陣形式1212(,) ,(,)TTjjjmjjjjpjxxxxyyyy記 000max.1,(1)0,0TTTjTju yhv xu yPstjnv xvu（5-24） 有 令 ，則 化為線性規(guī)劃問題 01/,Ttv xtvtuP00max.0,(1) (5-25)10,0 TpTTjjTVystxyjnx(P) 0101min (5-26) 0,(1)0,0DnjjjnjjjjVxsxysyjnss線性

15、規(guī)劃P的對偶規(guī)劃問題(D) 其中，松弛變量 1212(,) ,(,)TmTmssssssss（三）評價系統(tǒng)的（三）評價系統(tǒng)的DEA有效性有效性00,n定義定義5.1 如果線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解 滿足條件001TpVy則稱決策單元j0為弱DEA有效。001TpVy滿足條件定義定義5.25.2 如果線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解 00, 0j，則稱決策單元 為DEA有效。 并且000,000s定理定理5.15.1 線性規(guī)劃(P)及其對偶規(guī)劃(D)都有可行解，因而都有最優(yōu)解，并且最優(yōu)值1DPVV定理定理5.25.2 關(guān)于對偶規(guī)劃(D)，有：（1）如果(D)的最優(yōu)值VD=1,則決策單元j0為弱DEA有效；反之

16、亦然； 0j（2）如果(D)的最優(yōu)值 ，并且每個最優(yōu)解 都滿足條件 ， ，則決策單元j0為DEA有效；反之亦然。 000000012(,) ,Tnss00s定理定理5.3 決策單元的最優(yōu)效率指標(biāo)VP與投入指標(biāo)值xij及產(chǎn)出指標(biāo)值yij 的量綱選取無關(guān)。（四）評價系統(tǒng)有效性的判定（四）評價系統(tǒng)有效性的判定考慮帶有非阿基米德無窮小量 的 模型 2C R00max. .0,(1)1,TPTTjjTTTTTyVstxyjnxeeP(5-27) 其中， =（1，1，1），是元素均為1的m維向量， =（1，1，1）是元素均為1的p維向量。（ ）的對偶規(guī)劃為 TeTeP0101min(). . 0,(1),

17、0,0TTDnjjjnjjjje se sVstxsxysyjn ssD（5-28） 利用帶有的模型（ D ），容易判斷決策單元DEA的有效性。為此，有以下定理。 定理定理5.45.4 設(shè)為非阿基米德無窮小，線性規(guī)劃( D )的最優(yōu)解為0 ,s0-,s0+，0 ,有，（1）若 l，則決策單元 為弱DEA有效； 00j（2）若 l，并且 0， 0，則決策單元 為DEA有效。 00j0s0s在實際操作中，只要取足夠小就可以了。（五）（五）DEA有效決策單元的構(gòu)造有效決策單元的構(gòu)造定義定義5.35.3 設(shè)0，s0-,s0+,0是線性規(guī)劃問題(D)的最優(yōu)解令 （5-29）00000000,xxsyys

18、稱 為決策單元j0對應(yīng)的(x0 ,y0)在DEA的相對有效面上的“投影”。 00,xy定理定理5.5 設(shè) 為決策單元j0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影。則新決策單元 相對于原來的n個決策單元來說，是DEA有效的。 00,xy00,xy二、二、DEADEA有效性的經(jīng)濟(jì)意義有效性的經(jīng)濟(jì)意義（一）生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集（一）生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集1生產(chǎn)函數(shù)在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)y=f(x)表示理想的生產(chǎn)狀態(tài)，即投入量x所能獲得的最大產(chǎn)出量y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點(diǎn)(x，y)所對應(yīng)的決策單元，從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效狀態(tài)。生產(chǎn)函數(shù)圖形如圖5-16，圖5-16中，點(diǎn)

19、A，C 處于技術(shù)有效狀態(tài)。 圖圖5-16 5-16 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)xy2生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集定義為所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集合，記作Tx,y。由于(xj,yj)是決策單元j的生產(chǎn)活動，于是有 (xj,yj) T,(i,j=1,2,n)在C2R模型中，生產(chǎn)可能集應(yīng)該滿足下面的四條公理。 即是說，如果x1，x2分別以,(1-)加權(quán)和作為投入量，則y1,y2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。 1122( ,),(,)x yTxyT 11221212,1,(1),(1)x yxyxxyyT公理公理5.15.1（凸性）（凸性）對于任意，以及任意 ，均有 0,1公理公理5.25.2（錐性）（錐性） 對于任意（x

20、,y) T ，任意數(shù)0，均有 (x,y)= ( x, y)即是說，如果以x的倍作為投入量，則產(chǎn)出量y是的同樣倍數(shù)。 xx yy Tyx),(即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面的增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。公理公理5.35.3（無效性）對于任意（無效性）對于任意（x,y) )T ， 1,;2,;xxx yTyyx yT若有,則均有若有則均有公理公理5.45.4（最小性）（最小性）生產(chǎn)可能集T是滿足公理14的所有集合的交集。由n個決策單元（ ）的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理14是唯一確定的。這個生產(chǎn)可能集可以表示為 ,jjxy11( , ), 0,1,2,nnjjjjjjjT

21、x yxxyyjn（5-30） （二）（二）DEA有效性的經(jīng)濟(jì)意義有效性的經(jīng)濟(jì)意義用線性規(guī)劃模型（ ）評價決策單元 的DEA有效性，模型 D0jD0101min(). . 0,(1),0,0TTDnjjjnjjjje se sVs txsxysyjnss為了清楚起見，考慮不含松弛變量的線性規(guī)劃模型0101m in. . 0, (1)DnjjjnjjjjVs txxDyyjn （5-31） 由于(x0,y0)T ，即（x0,y0）滿足條件0011,nnjjjjjjxxyy線性規(guī)劃模型(D)表示，在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當(dāng)產(chǎn)出y0保持不變的情況下，盡量將投入量x0按同一比例減少。如果投入量x0不能按同一比

22、例減少，即模型（ D）最優(yōu)值V D= 0=1在單投入和單產(chǎn)出的情況下，決策單元j0同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。如果投入量x0能按同一比例減少，模型（ D）最優(yōu)值V D=01，決策單元j0不是技術(shù)有效和規(guī)模有效。 0j(2)0=1，但至少有某個si0-0,(i1，2，m),或者至少有某個sr0-0,(r1，2，p)。決策單元j0不是DEA有效，其經(jīng)濟(jì)意義是，決策單元j0不是技術(shù)效率有效，也不是規(guī)模有效。設(shè)模型（D）的最優(yōu)解為0，0，s0-,s0+ 。（1）0=1,且s0-=0,s0+ =0,決策單元j0不是DEA有效，其經(jīng)濟(jì)意義是，決策單元j0不是技術(shù)有效和規(guī)模有效。(3)01，決策單元j0不是DEA有效，其經(jīng)濟(jì)意義是，決策單元j0 的生產(chǎn)活動（x0,y0）既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模收益最佳。（2）若 ，則決策單元 規(guī)模收益遞增；00111njj