自動(dòng)控制原理(11J-17)

1、1例例1 1 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性 )1()()1()(2 TjjjKjG )2()()( jeKjKjGG(0) = ，(0) = - 起點(diǎn)起點(diǎn):解：系統(tǒng)為解：系統(tǒng)為“2型型”，n-m = 31= 2試簡(jiǎn)略畫(huà)出該系統(tǒng)的試簡(jiǎn)略畫(huà)出該系統(tǒng)的 Nyquist 圖。圖。起點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸無(wú)限遠(yuǎn)處！起點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸無(wú)限遠(yuǎn)處！2終點(diǎn)終點(diǎn): : G()=0 ， ()= - 1800問(wèn)題問(wèn)題: 特性曲線是在負(fù)實(shí)軸之上特性曲線是在負(fù)實(shí)軸之上? 之下之下? 相交相交?特性曲線形狀？特性曲線形狀？3)(180)(180)( Tarctgarctg當(dāng)當(dāng) T 時(shí)時(shí): ()T 時(shí)時(shí): ()0曲線在負(fù)實(shí)軸之下曲

2、線在負(fù)實(shí)軸之下考慮相位關(guān)系考慮相位關(guān)系:4驗(yàn)證驗(yàn)證: :設(shè)設(shè): : K=1, =5 ,T=1 num=0,0,5,1; num=0,0,5,1; den=1,1,0,0; den=1,1,0,0; v=-5000,5000,-5000,5000;axis(v) v=-5000,5000,-5000,5000;axis(v) nyquist(num,den) nyquist(num,den)5=5 ,T=1完整圖形？完整圖形？6設(shè)設(shè): K=1, =1 ,T=3 num=0,0,1,1; den=3,1,0,0; nyquist(num,den) v=-5000,5000,-500,500;axi

3、s(v)7=1 ,T=3完整圖形？完整圖形？8 用用MATLAB 作作 Nyquist圖圖 例例 1 已知單位反饋系統(tǒng)已知單位反饋系統(tǒng)18 . 0)(1)(2 jjjG num=0 0 1; den=1 0.8 1; nyquist(num,den) grid title(Nyquist Plot of G(s)=1/(s2+0.8s+1)（0型系統(tǒng)）型系統(tǒng)）910例例 2 已知單位反饋系統(tǒng)已知單位反饋系統(tǒng)（0型系統(tǒng)）型系統(tǒng)）18 . 1)(8 . 1)(1)(23 jjjjG num=0 0 0 1; den=1 1.8 1.8 1; nyquist(num,den) axis(-2 2 -

4、2 2); grid title(Nyquis plot of G(s)=1/(s3+1.8s2+1.8s+1)1112例例 3 已知單位反饋系統(tǒng)，已知單位反饋系統(tǒng)， 畫(huà)該系統(tǒng)的畫(huà)該系統(tǒng)的nyquist圖圖 ) 1(2)(sssG1分析：分析：nyquistnyquist圖圖? ?) 1(1)(jjjG) 1(11122j起點(diǎn)：起點(diǎn)：j, 11型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，n-m=213 num=0 0 1; den=1 1 0; nyquist(num,den) grid title(Nyquist plot of G(s)=1/s(s+1)1(2)(sssG1此程序沒(méi)有對(duì)此程序沒(méi)有對(duì)nyquist圖的坐

5、標(biāo)提任何要求！圖的坐標(biāo)提任何要求！運(yùn)行結(jié)果如下圖：運(yùn)行結(jié)果如下圖：1415 num=0 0 1; den=1 1 0; nyquist(num,den) axis(-3 3 -10 10) grid title(Nyquist plot of G(s)=1/s(s+1)此程序?qū)Υ顺绦驅(qū)yquist圖的坐標(biāo)提出了具體要求！圖的坐標(biāo)提出了具體要求！運(yùn)行結(jié)果如下圖：運(yùn)行結(jié)果如下圖：16完整圖形？完整圖形？175.6 5.6 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用 頻域中的穩(wěn)定性判據(jù)頻域中的穩(wěn)定性判據(jù)引言：引言： 時(shí)域穩(wěn)定性分析法；時(shí)域穩(wěn)定性分析法； S S域穩(wěn)定性分析法；域穩(wěn)定性分析法；

6、 頻域穩(wěn)定性分析法頻域穩(wěn)定性分析法 基于基于NyquistNyquist圖的穩(wěn)定判據(jù)圖的穩(wěn)定判據(jù) 基于基于BodeBode圖的穩(wěn)定判據(jù)圖的穩(wěn)定判據(jù)185.6-1 Nyquist5.6-1 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本原理穩(wěn)定判據(jù)的基本原理 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)是穩(wěn)定判據(jù)是 利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性 （NyquistNyquist圖）來(lái)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性圖）來(lái)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 基于頻率特性，應(yīng)用復(fù)變函基于頻率特性，應(yīng)用復(fù)變函 數(shù)理論中的保角數(shù)理論中的保角映射定理，將上述映射定理，將上述充分必要條件充分必要條件

7、轉(zhuǎn)換為頻域判據(jù)。轉(zhuǎn)換為頻域判據(jù)。 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)的原始依據(jù)穩(wěn)定判據(jù)的原始依據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的 極點(diǎn)全部在左半極點(diǎn)全部在左半S S平面（特征方程根全部在左半平面（特征方程根全部在左半S S 平面）平面）19為了應(yīng)用映射定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，引入輔助函數(shù)為了應(yīng)用映射定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，引入輔助函數(shù) F(s) ：)()()()(1)()()()()(1)()(1)(sDsDsNsDsNsFsDsNsWsWsHsGsFkk ）（則：則：設(shè)：設(shè)：（即：特征多項(xiàng)式函數(shù)）（即：特征多項(xiàng)式函數(shù)）).()()().()()

8、()(:321321nnpspspspszszszszsKsF進(jìn)一步請(qǐng)考慮：請(qǐng)考慮：F(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、閉環(huán)極點(diǎn)關(guān)系。的零點(diǎn)、極點(diǎn)和系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、閉環(huán)極點(diǎn)關(guān)系。20F(s)的極點(diǎn)數(shù)目用的極點(diǎn)數(shù)目用 P 表示表示 , F(s)的零點(diǎn)數(shù)目用的零點(diǎn)數(shù)目用 Z 表示表示.輔助函數(shù)輔助函數(shù) F(s) 的特征的特征 F(s)的的 F(s)的的 F(s)的的系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件轉(zhuǎn)化為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件轉(zhuǎn)化為：F(s)的的Z個(gè)零點(diǎn)必須在個(gè)零點(diǎn)必須在 s左半平面。左半平面。設(shè)：設(shè)：則：則：215.65.62 2 映射定理映射定理 設(shè)：原平面為 S 平面，在 S 平面上: s = + j 映射平面

9、為 F (s) 平面，在F (s)平面上: F (s)= u+j v S平面到 F (s)平面的映射點(diǎn)映射曲線映射SF (s)22 如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn) S S1 1在在S S平面上平面上沿封閉曲線沿封閉曲線C Cs s按順時(shí)針?lè)较虬错槙r(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化一周，那么復(fù)變函連續(xù)變化一周，那么復(fù)變函數(shù)在數(shù)在F(s)F(s)平面上的映射也是平面上的映射也是一條封閉曲線一條封閉曲線C CF F ，但其變化方向可能是順時(shí)針的，也可能是逆，但其變化方向可能是順時(shí)針的，也可能是逆時(shí)針的；可能包圍原點(diǎn)，也可能不包圍原點(diǎn)；可能環(huán)繞原點(diǎn)一時(shí)針的；可能包圍原點(diǎn)，也可能不包圍原點(diǎn)；可能環(huán)繞原點(diǎn)一周，也可能環(huán)繞多周周，也可能環(huán)

10、繞多周 這取決于這取決于S S平面上平面上C Cs s 包圍包圍 F(s)F(s)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)Z Z和極點(diǎn)個(gè)數(shù)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)P P 。 曲線映射23映射定理：映射定理： 設(shè)設(shè)C Cs s為為S S平面上不經(jīng)過(guò)平面上不經(jīng)過(guò)F(s)F(s)的任何零點(diǎn)、極點(diǎn)的封的任何零點(diǎn)、極點(diǎn)的封閉曲線，閉曲線，C Cs s中包含了中包含了F(s)F(s)的的P P個(gè)極點(diǎn)和個(gè)極點(diǎn)和Z Z個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)s s順時(shí)針在順時(shí)針在C Cs s上圍繞一周時(shí)上圍繞一周時(shí), , 映射到映射到F(s)F(s)平面上的平面上的閉曲線閉曲線C CF F將將逆時(shí)針逆時(shí)針環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn) N N 次。次。 并

11、且滿足并且滿足: N = P-ZN = P-Z若若 N為正值，表示映射曲線為正值，表示映射曲線CF 逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞原點(diǎn)方向環(huán)繞原點(diǎn)N圈。圈。若若N為負(fù)值，表示為負(fù)值，表示映射映射曲線曲線CF 順時(shí)針順時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞原點(diǎn)方向環(huán)繞原點(diǎn) 圈。圈。若若N等于零，表示等于零，表示映射映射曲線曲線CF 沒(méi)有環(huán)繞原點(diǎn)。沒(méi)有環(huán)繞原點(diǎn)。N24用保角映射關(guān)系用保角映射關(guān)系證明映射定理：證明映射定理：設(shè)：設(shè)：C Cs s 包圍包圍 F(s)F(s)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為Z Z、極點(diǎn)個(gè)數(shù)為、極點(diǎn)個(gè)數(shù)為P P。 當(dāng)當(dāng)s s1 1 沿閉合曲線沿閉合曲線 Cs 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，兩平面上封閉曲順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，兩平面

12、上封閉曲線的相角增量相同線的相角增量相同, , CF 的相角增量的相角增量可由圖可由圖(a)(a)關(guān)系確定關(guān)系確定25用保角映射關(guān)系用保角映射關(guān)系證明映射定理：證明映射定理： 當(dāng)當(dāng)s s1 1 沿閉合曲線沿閉合曲線 Cs 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，兩平面上封閉曲線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，兩平面上封閉曲線的相角增量相同的相角增量相同, , CF 的相角增量的相角增量可由圖可由圖(a)(a)關(guān)系確定：關(guān)系確定： nPjjPjjnZiiZiipspszszs1111)()()()()(2)2()2(PZPZnjiniipszssF11)()()(說(shuō)明：說(shuō)明：F(s)F(s)平面上對(duì)應(yīng)的映射曲線將按平面上對(duì)應(yīng)的映射

13、曲線將按逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo)包圍坐標(biāo) 原點(diǎn)原點(diǎn) N N 圈，并滿足：圈，并滿足： N =N =（P-ZP-Z）NZPPZsF 2)(22)(）（即即：26例例1 1 映射關(guān)系映射關(guān)系CsCF N = P-Z = 1-0 =1 N = P-Z = 1-0 =1CsCF( (說(shuō)明映射曲線逆時(shí)針包圍原點(diǎn)說(shuō)明映射曲線逆時(shí)針包圍原點(diǎn)1 1圈圈) )27例例2 2N=P-Z=1-3= -2CsCFCs (說(shuō)明映射曲線順時(shí)針包圍原點(diǎn)說(shuō)明映射曲線順時(shí)針包圍原點(diǎn)2圈圈)28映射定理：映射定理： 設(shè)設(shè)C Cs s為為S S平面上不經(jīng)過(guò)平面上不經(jīng)過(guò)F(s)F(s)的任何零點(diǎn)、極點(diǎn)的封閉曲線，的任何零點(diǎn)、極點(diǎn)

14、的封閉曲線，C Cs s中包含了中包含了F(s)F(s)的的P P個(gè)極點(diǎn)和個(gè)極點(diǎn)和Z Z個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)s s順時(shí)針在順時(shí)針在C Cs s上上圍繞一周時(shí)圍繞一周時(shí), , 映射到映射到F(s)F(s)平面上的閉曲線平面上的閉曲線C CF F將將逆時(shí)針逆時(shí)針環(huán)繞坐標(biāo)環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn) N N 次。次。 并且滿足并且滿足: : N = P-ZN = P-Z 映射定理給出了映射曲線映射定理給出了映射曲線CF逆時(shí)針環(huán)繞原點(diǎn)的圈數(shù)逆時(shí)針環(huán)繞原點(diǎn)的圈數(shù)N與原與原平面封閉曲線平面封閉曲線Cs內(nèi)包含的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目?jī)?nèi)包含的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目P、閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)目、閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)目Z之之間的約束關(guān)系。間的約束關(guān)系。2

15、95.63 映射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用映射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 為了用映射定理作穩(wěn)為了用映射定理作穩(wěn)定性分析定性分析, ,首先在首先在S S平面上平面上構(gòu)造特殊的封閉曲線構(gòu)造特殊的封閉曲線 NyquistNyquist路徑路徑。注意：注意： 解析性要求；解析性要求； Nyquist路徑覆蓋整個(gè)路徑覆蓋整個(gè)右半右半S平面；平面；Nyquist 路徑包含路徑包含F(xiàn)(s)的的P個(gè)極點(diǎn)、個(gè)極點(diǎn)、Z個(gè)零點(diǎn)。個(gè)零點(diǎn)。NyquistNyquist路徑路徑一、一、NyquistNyquist路徑及其映射路徑及其映射30 映射關(guān)系：映射關(guān)系： (1) S(1

16、) S平面虛軸：平面虛軸：s=js=j，在，在F F 平面上的映射曲線是：平面上的映射曲線是： F F(j(j)=1+)=1+G G(j(j) )H H(j(j) () (：-+)+) （這是這是 F F 平面的封閉平面的封閉曲線曲線） (2) S(2) S平面半徑為平面半徑為的右半圓：的右半圓： 映射到映射到F F 平面上為平面上為: : F () = 1+ G ()H () 1 這是這是F F 平面上的一個(gè)定點(diǎn)（平面上的一個(gè)定點(diǎn)（1,j01,j0） 這說(shuō)明這說(shuō)明s平面上半徑為平面上半徑為的右半圓，它對(duì)映射曲線是否的右半圓，它對(duì)映射曲線是否 包圍原點(diǎn)無(wú)影響。包圍原點(diǎn)無(wú)影響。s F 平面映射曲

17、線平面映射曲線 1G(j)H(j)是封閉曲線是封閉曲線，它環(huán)繞原點(diǎn)情它環(huán)繞原點(diǎn)情 況（轉(zhuǎn)向和圈數(shù)）服從映射定理。況（轉(zhuǎn)向和圈數(shù)）服從映射定理。31進(jìn)一步考慮，由于：進(jìn)一步考慮，由于： F(j)1G(j)H(j) (-1, j0)00GHF1 可以在可以在GHGH平面檢查被分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)平面檢查被分析系統(tǒng)的開(kāi)環(huán) 頻率特性頻率特性G(jG(j)H(j)H(j) )（即（即NyquistNyquist曲線）曲線） 是否包圍（是否包圍（1 1，j0j0）來(lái)判斷系統(tǒng)閉環(huán)右極）來(lái)判斷系統(tǒng)閉環(huán)右極 點(diǎn)個(gè)數(shù)，滿足映射定理：點(diǎn)個(gè)數(shù)，滿足映射定理：N = P-Z .N = P-Z . FF平面、平面、GHGH平面

18、是平移關(guān)系平面是平移關(guān)系, , F(jF(j) )包圍坐標(biāo)原點(diǎn)就等價(jià)于包圍坐標(biāo)原點(diǎn)就等價(jià)于 G(jG(j)H(j)H(j) )包圍（包圍（1 1，j j0 0）；）；于是：于是：32二、二、 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)G(s)H(s)在在S S平面的虛軸上無(wú)奇點(diǎn)平面的虛軸上無(wú)奇點(diǎn)（極點(diǎn)或零點(diǎn)）時(shí)，奈氏穩(wěn)定判據(jù)可表示為：（極點(diǎn)或零點(diǎn)）時(shí)，奈氏穩(wěn)定判據(jù)可表示為： 當(dāng)當(dāng)在在 -+ + 變化時(shí)，變化時(shí)，G(j)H(j)平面上平面上Nyquist曲線曲線逆時(shí)針環(huán)繞逆時(shí)針環(huán)繞(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為點(diǎn)的圈數(shù)為N， 并且滿足：并且

19、滿足：N = P - Z Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)給出了給出了GH平面平面Nyquist曲線逆時(shí)針環(huán)繞曲線逆時(shí)針環(huán)繞 (-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)點(diǎn)的圈數(shù)N與與S面開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)目面開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)目P 、閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)目、閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)目 Z 之間的之間的約束關(guān)系。約束關(guān)系。注意：注意： P是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)，是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)，P0 ； Z是系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)，是系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)，Z0 ； N0 表示逆時(shí)針環(huán)繞，表示逆時(shí)針環(huán)繞，N0P0）, ,其閉環(huán)穩(wěn)定的其閉環(huán)穩(wěn)定的 充分必要條件是充分必要條件是: GH: GH平面的奈氏曲線逆時(shí)針包圍平面的奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)

20、點(diǎn) P P 圈。圈。 即：即： N N P PZ = P (Z=0) Z = P (Z=0) 34 檢驗(yàn)穩(wěn)定判據(jù)檢驗(yàn)穩(wěn)定判據(jù)I I的條件是否成立的條件是否成立 檢驗(yàn)映射的解析性：檢驗(yàn)映射的解析性： 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)G(s)H(s)在在S S平面的虛軸上無(wú)極點(diǎn)和零點(diǎn)。平面的虛軸上無(wú)極點(diǎn)和零點(diǎn)。4. 4. 確定閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)：確定閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)： Z=P-N Z=P-N （即（即 N=P-Z N=P-Z ）3. 3. 畫(huà)畫(huà)NyquistNyquist曲線曲線G(j)H(j) G(j)H(j) （從從0 0+,-0+,-0） 確定其逆時(shí)針包圍（確定其逆時(shí)針包圍（1, j01, j

21、0）的圈數(shù)：）的圈數(shù)： N N？2. 2. 確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)G(s)H(s)的右極點(diǎn)數(shù)：的右極點(diǎn)數(shù)：P P？用用NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)分析閉環(huán)穩(wěn)定性的一般步驟穩(wěn)定判據(jù)分析閉環(huán)穩(wěn)定性的一般步驟: :意義：從開(kāi)環(huán)頻率特性意義：從開(kāi)環(huán)頻率特性 NyquistNyquist圖圖 上直接判斷系統(tǒng)的閉上直接判斷系統(tǒng)的閉 環(huán)穩(wěn)定性。環(huán)穩(wěn)定性。35例例1 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： 試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。)0, 0()1)(1()()(2121 KTTsTsTKsHsG)1)(1()()(21 jTj

22、TKjHjG開(kāi)環(huán)頻率特性：開(kāi)環(huán)頻率特性： 畫(huà)畫(huà) 從從-+ 時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線 分析開(kāi)環(huán)穩(wěn)定性：分析開(kāi)環(huán)穩(wěn)定性： 開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù) P P0 0畫(huà)奈氏曲線：畫(huà)奈氏曲線：0型、型、n-m=2解析性：解析性：G(s)H(s)在在 S 平面虛軸上無(wú)極點(diǎn)。平面虛軸上無(wú)極點(diǎn)。解：解：3610K0eRmIGH例例1 1 奈氏曲線奈氏曲線由圖看出，奈氏曲線不包圍由圖看出，奈氏曲線不包圍 點(diǎn)（即：點(diǎn)（即：N=0），），據(jù)：據(jù)： Z = PN = 0 ( 閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為0 ), 1( j 結(jié)論：該系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的。結(jié)論：該系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的。 而且不論而且不論K K值取多大，閉環(huán)

23、系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。值取多大，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。37)0(1KP2)0(PK K21T11TjS0K 例1 根軌跡圖 上述結(jié)論可從此系統(tǒng)的根軌圖得到證明。無(wú)論上述結(jié)論可從此系統(tǒng)的根軌圖得到證明。無(wú)論K K為何值，為何值，根軌跡都在根軌跡都在S S平面左半部，系統(tǒng)閉環(huán)總是穩(wěn)定的。平面左半部，系統(tǒng)閉環(huán)總是穩(wěn)定的。38例例2 2 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： 試用試用NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界穩(wěn)定判據(jù)，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K K值。值。1)( sKsG系統(tǒng)頻率特性為：系統(tǒng)頻率特性為： 1)( jKjG起點(diǎn)：起點(diǎn)：0 0終點(diǎn)：終點(diǎn)： KG

24、)0( arctgG )(, 0)(（3） 畫(huà)畫(huà)Nyquist曲線曲線G(j)H(j)（2） 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有有1個(gè)右極點(diǎn)，個(gè)右極點(diǎn)，P1（1） G(s)H(s)在在 S 平面虛軸上無(wú)極點(diǎn)。平面虛軸上無(wú)極點(diǎn)。解：解：39交點(diǎn)：交點(diǎn)：K40 開(kāi)環(huán)頻率特性Nyquist圖例例3 3 已知單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)均在已知單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)均在s s平面的左半平平面的左半平面，開(kāi)環(huán)頻率特性面，開(kāi)環(huán)頻率特性NyquistNyquist圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。解解 此系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即此系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P = P = 0 0，從圖中

25、看到，從圖中看到由由- -+變化時(shí)，變化時(shí)，G G(j(j) )H H(j(j) )曲線不包圍曲線不包圍(-1(-1，j j0)0)點(diǎn)，即點(diǎn)，即 N = N = 0 0，Z = P-N = Z = P-N = 0 0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。41練習(xí)題練習(xí)題: : 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)NyquistNyquist圖圖, , 試分析閉環(huán)穩(wěn)定性試分析閉環(huán)穩(wěn)定性. .該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。則由圖看出：, 2:2PNPZN42 三、三、特殊情況下的特殊情況下的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) G(s)H(s)在在j軸上有極點(diǎn)軸上有極點(diǎn)(或零點(diǎn)或零點(diǎn)) 當(dāng)

26、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(jG(s)H(js s) )在在s s平面的虛軸上有極點(diǎn)（或平面的虛軸上有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，前面定義的零點(diǎn)）時(shí)，前面定義的NyquistNyquist路徑上有奇點(diǎn)，映射定理出現(xiàn)問(wèn)路徑上有奇點(diǎn)，映射定理出現(xiàn)問(wèn)題。此時(shí)需要對(duì)題。此時(shí)需要對(duì)S S平面的平面的NyquistNyquist路徑加以改變路徑加以改變, ,使其從極小半圓使其從極小半圓上繞過(guò)虛軸上的極點(diǎn)上繞過(guò)虛軸上的極點(diǎn), , 以證以證NyquistNyquist路徑上沒(méi)有奇點(diǎn)，使映射定路徑上沒(méi)有奇點(diǎn)，使映射定理以及理以及NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)成立。穩(wěn)定判據(jù)成立。43處理方法說(shuō)明處理

27、方法說(shuō)明44新問(wèn)題：作特殊處理之后，映射關(guān)系及映射曲線如何確定？新問(wèn)題：作特殊處理之后，映射關(guān)系及映射曲線如何確定？ （一）（一） “ “1”1”型系統(tǒng)映射關(guān)系及穩(wěn)定性判斷型系統(tǒng)映射關(guān)系及穩(wěn)定性判斷 設(shè)設(shè):系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s) = 試分析映射關(guān)系、畫(huà)映射曲線、判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。試分析映射關(guān)系、畫(huà)映射曲線、判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。1. 開(kāi)環(huán)特性開(kāi)環(huán)特性 系統(tǒng)在系統(tǒng)在S平面原點(diǎn)處有單極點(diǎn)平面原點(diǎn)處有單極點(diǎn)(含一個(gè)積分環(huán)節(jié)含一個(gè)積分環(huán)節(jié)), 且且 P=0 2. 映射關(guān)系映射關(guān)系 將將S平面原點(diǎn)處的單極點(diǎn)挖去平面原點(diǎn)處的單極點(diǎn)挖去,用半徑足夠小用半徑足夠小(為為 )的半

28、圓所的半圓所取代取代,重新構(gòu)成無(wú)限大半圓的封閉曲線重新構(gòu)成無(wú)限大半圓的封閉曲線 CS Nyquist軌跡。軌跡。 )1( TssK45對(duì)封閉曲線對(duì)封閉曲線Cs 分三部分分別討論映射關(guān)系：分三部分分別討論映射關(guān)系：46 S GHA: G(j0- ) H(j0- ) = = j B: G(0 ) H(0 ) = C: G(j0+ ) H(j0+ ) = = -j A: sA = j= j0- B: sB = C: sC = j= j0+ 22 結(jié)論結(jié)論: : 小半圓小半圓 (A(AB BC)C)映射到映射到GHGH平面為平面為: : 無(wú)限大半圓無(wú)限大半圓( (順時(shí)針沿：順時(shí)針沿：A BB C)C)

29、(1) 小半圓部分映射關(guān)系小半圓部分映射關(guān)系: jjjjjeKeKeHeGsHsGes )()()()(設(shè)設(shè)：(2) 無(wú)限大半圓部分映射關(guān)系無(wú)限大半圓部分映射關(guān)系: S GH 22lim) 1(lim)()(limjrjjrresrerKTrereKsHsGjD: G(j ) H(j ) = 0 E: G( 0 ) H( 0 ) = 0 F: G(-j ) H(-j ) = 0 D: sD = jE: sE = F: sF = -j0結(jié)論結(jié)論: S平面無(wú)限大半圓映射為平面無(wú)限大半圓映射為GH平面的原點(diǎn)。平面的原點(diǎn)。48(3) j軸段的映射軸段的映射 )1()()()()( TjjKjHjGsH

30、sGjs )1()(;1)(22 TKYTKTX )(00)()()2()0()0( jHjGjKTjHjG它是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性它是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jG(j)H(j)H(j) )。 )()()1()()()()( jYXTjjKjHjGsHsGjs 畫(huà)畫(huà)Niquist Niquist 圖：圖：49結(jié)論：結(jié)論： S S平面挖去原點(diǎn)處奇點(diǎn)的平面挖去原點(diǎn)處奇點(diǎn)的NyquistNyquist軌跡的映射關(guān)系分三部分：軌跡的映射關(guān)系分三部分： 虛軸映射為虛軸映射為GHGH平面的頻率特性平面的頻率特性G(jG(j )H(j)H(j ) ) NyquistNyquist 曲線；曲線；2. S2. S平

31、面無(wú)限小半圓映射為平面無(wú)限小半圓映射為GHGH平面的無(wú)限大半圓；平面的無(wú)限大半圓； （注意起點(diǎn)、方向、保角關(guān)系）（注意起點(diǎn)、方向、保角關(guān)系）3. S3. S平面無(wú)限大半園映射為平面無(wú)限大半園映射為GHGH平面的原點(diǎn)。平面的原點(diǎn)。 映射曲線是否包圍映射曲線是否包圍(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)點(diǎn), , 只取決于只取決于j j軸段的映射軸段的映射結(jié)果（結(jié)果（ 即系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性即系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jG(j)H(j)H(j) )NiquistNiquist圖圖 ）系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。對(duì)本例：)1()()(TssKsHsG51傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)例題例題)12(10

32、)( sssG要求要求: : 用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性. .解解: : 此系統(tǒng)為此系統(tǒng)為1 1型系統(tǒng)型系統(tǒng), ,在原點(diǎn)處有在原點(diǎn)處有1 1個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn), ,無(wú)右極無(wú)右極 點(diǎn)點(diǎn),P=0 .,P=0 .起點(diǎn)：起點(diǎn)：終點(diǎn)：終點(diǎn)： )(,0)(G畫(huà)畫(huà)Nyquist圖圖: 0 2)0(,)0( G52用MATLAB作圖 num=0 0 10; den=2 1 0; nyquist(num,den) axis(-30 2 -500 500) title(Nyquist Plot of G(s)=10/s(2s+1) 問(wèn)題：無(wú)限大半圓如何補(bǔ)上？問(wèn)題：無(wú)限大半圓

33、如何補(bǔ)上？53 穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷 由圖看出由圖看出: 不論不論K大小大小, 頻率特性曲線都不會(huì)包圍頻率特性曲線都不會(huì)包圍(-1,j0)點(diǎn)點(diǎn), 則則: N=0 ，P=0, Z=P-N = 0 結(jié)論：系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的結(jié)論：系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的.54（二）（二） “ “2”2”型系統(tǒng)映射關(guān)系及穩(wěn)定性分析型系統(tǒng)映射關(guān)系及穩(wěn)定性分析 設(shè)設(shè): : 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性. )0, 0() 1()()(2TKTssKsHsG (2) 映射關(guān)系分析、畫(huà)映射關(guān)系分析、畫(huà)GH平面映射曲線平面映射曲線 - Nyquist 圖。圖。(1) 系統(tǒng)為系統(tǒng)為”2”型型, P=0 . 解解:55（a）小半圓曲線段，）小半圓曲線段，小半圓上的動(dòng)點(diǎn)滿足方程：小半圓上的動(dòng)點(diǎn)滿足方程： jes )9090( ,222) 1()()(jeseseKTssKsHsGjj 2lim220 jeK)1802180( ,結(jié)論結(jié)論: : 小半圓映射到小半圓映射