2015年考研數學真題答案(數一-)

1、2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. 1、設函數f(x)在(-笛,+m)連續(xù)，其2階導函數f “(x)的圖形如下圖所示，則曲線 y=f(x)的拐點個數為()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【考點】拐點的定義【難易度】【詳解】拐點出現在二階導數等于0,或二階導數不存在的點上，并且在這點的左右兩側二階導數異號，因此，由f"(x)的圖形可知，曲線 y = f (x)存在兩個拐點

2、，故選(C).1 Cv12、設y =e + | x- Ie是二階常系數非齊次線性效分方程y +ay'+by = ce的一個特解，2.3則()(A) a =-3,b =-1,c =-1.(B) a = 3,b = 2,c =-1.(C) a = -3,b =2,c = 1.(D) a=3,b=2,c=1.【答案】(A)【考點】常系數非齊次線性微分方程的解法【難易度】1 "1 V0【詳解】e2x,-ex為齊次方程的解，所以2、1為特征方程 九2+a九+b=0的根，從而2 3a=(1+2)=3,b=12=2,再將/I解 y=xex代入方程 y3y' + 2y = cex得：

3、c = 1.3、若級數 an條件收斂，則x=邪與x=3依次為哥級數£nan(x-1)n的： n 1n(A)收斂點，收斂點(B)收斂點，發(fā)散點(C)發(fā)散點，收斂點(D)發(fā)散點，發(fā)散點【答案】(B)【考點】級數的斂散性【難易度】qQqQ【詳解】因為an條件收斂，故x = 2為哥級數2 an(x-1 f的條件收斂點，進而得 n 1n z1oOZ an(x-1 )的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(0,2 ),又由于哥級數逐項求導不改變收斂區(qū)間，故n 1QOQ0Z nan (x1 n的收斂區(qū)間仍為(0,2 ),因而x = J3與x=3依次為哥級數 工nan(x1)n的收斂n 1n 1點、發(fā)散點.4、

4、設D是第一象限中曲線 2xy =1,4xy =1與直線y = x, y = J3x圍成的平面區(qū)域，函數f (x, y)在D上連續(xù)，則 口 f (x, y)dxdy =D二1 .(A).2dLsin尸 f (rcos?, rsini)rdr42sin 21二1 .(C)3d所產 f (rcosrsin )dr42sin 2 1二 1(B)2d；： i'si；271 f(rcos1,rsin)rdr412sin21二 1(D 優(yōu)dgjsn29 f (rcos9,rsin9)dr4J2sin2117【答案】(D)【考點】二重積分的極坐標變換【難易度】/ny不 冗【詳解】由y=x得，8=；由y

5、=J3x得，8 = 由 2xy =1 得，2r2 cossin =1, r = 士1,2sin 2，sin 21二1所以 f(x, y)dxdy- 3di si；2。f (r cosu,r sini)rdr2sin2 口1 15、設矩陣A = 1 2（ 4解的充分必要條件為1a ，2a1、b = d ,若集合 建=1,2,則線性方程組Ax = b有無窮多個(A)a 1, d ''' 1(D)a , d 11【答案】（D）【考點】非齊次線性方程組的解法【難易度】111【詳解】IA,b】=12aJ4a211 1d310 1 2 !d - p 011a 1d 1a-1 a -

6、2 d -1 d -2Ax =b有無窮多解 u R(A) =R(A,b) <3u a =1 或 a =2且 d =1 或 d = 26、設二次型 ”為心死）在正交變換x = Py下的標準形為2y；+y2 -y2,其中P =(e e, 63),若Q =(e ,-備,牝)，則f (Xi,X2, x3)在正交變換x=Qy下的標準形為(A)2y2y；+y；(B) 2y；+y2-y3(C) 2ylmy(D) 2y；+y2+y；【答案】(A)【考點】二次型【難易度】2 00【詳解】由 x = Py ,故 f = xT Ax = yT (PT AP)y = 2y12 + y2 - y；且：PTAP=

7、0 100 0 T _1 0 02 0 0Q=P 001 =PC,QTAQ =CT(PTAP)C = 0-10：010_A 0 1 1T AT T222所以 f =x Ax uy (Q AA)y =2y1 - y2 y3,故選(A)7、若A, B為任意兩個隨機事件，則(A) P(AB) <P(A)P(B)(B) P(AB)之 P(A)P(B)(O P(AB)VP(A)”B)(D)p(ab”P(A)；P【答案】(C)【考點】【難易度】【詳解】P(A) 一 P(AB),P(B) _ P(AB).P(A) P(B)_2P(AB)PAB .： P(A) P(B兀一 P(AB)三 2故選(C)8、

8、設隨機變量 X,Y不相關，且EX =2,EY=1,DX =3,則E-X (X+丫 2 )=(A) -3(B) 3(C) -5(D) 5【答案】(D)【考點】【難易度】【詳解】E -X (X +Y -2 )=E -X2 +XY -2X 卜E(X2 )+E(XY )-2E(X ) =DX E2 X E X E Y -2E X =5二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙,指定位置上.cIn cosx9、lim 7=x 0 x2-1【答案】-2【考點】極限的計算【難易度】【詳解】limx Qln cosxln(1 cosx - 1)二 lim -zx 0x2cosx -12x

9、1 2-x二 lim 2x p x210、5 sin x2(-7 1 cosx十 |x )dx =【考點】積分的計算【難易度】 Qin y 【詳解】2( sinx21 cosxTE +|x|)dx=2J02xdx = 411、若函數 z = z(x, y)由方程 ez+xyz+x+cosx = 2 確定，貝U dz (0,1)二【答案】【考點】隱函數求導【難易度】【詳解】令 F (x, y, z) =ez+xyz+x+cosx-2 , 貝U Fx'= yz +1 -sin x , Fy = xz , F；= xy ,czFczFy又當 x=0,y=1 時，z=0,所以一= -1,= 0

10、,因而 dz(01) = dx(U,I)次(0,1) Fzy (0,1)Fz12、設c是由平面x + y+z=1與三個坐標平面所圍成的空間區(qū)域，則hi (x 2y 3z)dxdydz _Q=1【答案】14【考點】三重積分的計算【難易度】【詳解】由輪換對稱性，得10 (x+2y + 3z)dxdydz=6 q zdx dydz = 6 0zdz gdxdyWWDz211213©z>2(1-z) dz=3 6(z2z2 +z)dz=：其中Dz為平面z = z截空間區(qū)域 W所得的截面，其面積為 1(1- z).所以O (X+2y+ 3z)dxdydz = 6 o zdxdydz =

11、6WW20Hl 0 2-1 2 HI 0 2013、n階行列式0III0 III2-1【答案】2n1 -2【考點】行列式的計算【難易度】【詳解】按第一行展開得2002-1202&= 002200-12= 2(2%= 2n+1- 2= a+(-!)" 1 =2ZJft+2nJ /HJ+ 2) + 2= 22D?i_2 +21+2-2h-f2,"+ 214、設二維隨機變量(X,Y)服從正態(tài)分布 N(1,0,1,1,0),則P(XYY<0) =【考點】【難易度】【詳解】；(X,Y) N(1,0,1,1,0),，X N(1,1)Y N(0,1),且 X,Y 獨立 二

12、X -1 N(0,1) P1XY-Y <0= P1(X -1)Y <011111= P1X -1 二0,丫 0.' P1X -10, Y ： 0J =2 2 2 2 2三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙,指定位置上.解答應寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.15、(本題滿分10分)設函數 f (x) =x+aln(1+x)+bx sin x , g(x) = kx3,若 f (x)與 g (x)在 xt 0 是等價無窮小,求a , b , k值?！究键c】等價無窮小量，極限的計算【難易度】【詳解】 f (x) =x aln(1 x) bx sin x23x

13、 x 3:xa x -二 x23a .2 a 33b x x lx,23f(x)與g(x) =kx3是等價無窮小1+a = 0a = -1a1b = 0=' b =22a =kk =.3.16、(本題滿分10分)設函數在f(x)定義域I上的導數大于零，若對任意的x0w I ,曲線y=f(x)在點(x0, f (x0)處的切線與直線x =x0及x軸所圍成的區(qū)域的面積為 4,且f(0) =2,求f(x)的表達式 .【考點】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：x = X0處的切線方程為 l： y= f'(X0)(xX0)+ f(X0)l 與 X 軸的交點為：y = 0 時，x =X0

14、- 丁0),則 AB = f(X0)= x X0, f (X0)f'(X0)因此，S=-|AB f (X0)=上竺！ f (x0)=4 .即滿足微分方程：22=，解得：2' " 2 f (x0) ' "y8又因 y(0) =2 ,所以 c=1,故 y =8. 4 -x 17、(本題滿分10分) 已知函數f (x, y) = x + y + xy ,曲線C ： x2 + y2 + xy = 3 ,求f (x, y)在曲線C上的最大方向導數. 【考點】方向導數，條件極值 【難易度】 【詳解】根據方向導數與梯度的關系可知，方向導數沿著梯度方向可取到最大值且

15、為梯度的模故 81 1一 = 一 一 x c.y 8=2(1 +x)+2Ax 十八y = 0&令(£=2(1 +y) +2九y 十八x = 0可彳導(1,1),(-1,-1) ,(2,-2),(-1,2)出F 22=x +y + xy -3=0I cZ其中 z(1,1) =4,z(1,1) =0,z(2,1) = 9 = z(1,2)綜上根據題意可知 f(x,y)在曲線C上的最大方向導數為 3.18、(本題滿分10分)(I)設函數u(x),v(x)可導，利用導數定義證明u(x)v(x)'= u'(x)v(x) u(x)v(x)'(n)設函數 u1(x)

16、, u2(x).un(x)可導，f (x) = u1(x)u2(x).un(x)，寫出 f (x)的求導公式【考點】導數定義【難易度】【詳解】,.u x x v x _x -u x v(x)u x v x =螞爪|u x Lx)-u(x) v x l xu xv(xx) -v(x) 1x 0|_x''=u x v(x) u x v (x)(n)'f (x) - 1u(x) 0(x)1 |un(x)卜=5 (x) (x) |l|un(x) 1 u1(x) Ju2(x)|"un(x) 1= u；(x) 5(x) |l|un(x) - u1(x) 一(x) &

17、;(xHUux) 1?Ill二 u；(x) u2(x) IHun(x) u1(x) u2 (x)川un(x) 1“ u1(x) u2(x)|l| un'(x)19、（本題滿分10分）已知曲線L的方程為Jz = 72-x2-y2，起點為a(0,J2,0),終點為B(0,_J2,0),計算曲線積 z 二 X,分 I : Jy z)dx (z2 -x2 y)dy (x2 y2)dz【考點】曲線積分的計算【難易度】X 二cosi,【詳解】曲線L的參數方程為y = J2sine,日從三到-三22z =cosi,I 二 Jy z)dx (z2 - x2 y)dy (x2 y2)dz=2 ( .2s

18、in【 cos?)sin ? 2 sin 1 2 cos 二-(cos2 3 2sin2 i)sin i d?2 一1= 2 I ： 2sin 二 sin2 1- sin ? - sin 二 d 二2.2M 2. .M 2 . .1 ：-；2-、2 sin-d - 2 2 sin d - 2 2=二w02 2220、(本題滿分11分)設 向量組%, 口2a3是3維向量空間3的一個基，P1 =2% +2。3 ,P2 ="2 ,息=% +(k + 1)%。(I)證明向量組P1,P2,久是3的一個基;(n)當k為何值時，存在非零向量 二在基%,%43與基因，葭久下的坐標相同，并求出所有 的

19、上【考點】線性無關，基下的坐標【難易度】,201 ”【詳解】(I)出,久,%)=(%,%,%) 020區(qū)k 0 k+120因為022k 02 =22k= 4#0,所以P1,P2,E線性無關,%久是口3的一個基。(n)設 p = 0郃0120, P為從基口匕必到基1,22,3的過渡矩陣，又設0 k + 1,口2, 網下的坐標為x =(X1,X2,X3)T ,則自在基1,尾，3下的坐標為P,x,由X二P即(P -E)x =0-12k2k k并解得X = c,c為任意常數。從而 =-c： 1 c： 3, c為任意常數。21、(本題滿分11分)-3-2設矩陣A =-111-2相似于矩陣B = 010(

20、I)求a,b的值.1 .(n)求可逆矩陣P，使得P AP為對角陣.02-3"1 -2 0'A =-13-3相似于B =0 b 0<1-2a；<031；【考點】相似矩陣，相似對角化【難易度】【詳解】由0 +3 +a =1 +b +1-3-2-3解得 a =4,b =5fA( )m e -ai=-3=( -1)2( - 一5) =0-1 -4當 1 = '2 =1,('E'A)特征向量1 =一3.，-210當 3 =5,( ' E - A)=1J-23；<00；-3則特征向量3-1所以P =( 1,：2,3)=-1，得 P,AP22、(本題滿分設隨機變量Xf(x)=I1 J11分)的概率密度為2-xln2 x 0XM0對X進行獨立重復的觀測，直到第(I)求Y的概率分布；(n)求【考點】【難易度】EY.2l