2015年考研數(shù)學(xué)真題答案(數(shù)一-)

1、2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上. 1、設(shè)函數(shù)f(x)在(-笛,+m)連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)f “(x)的圖形如下圖所示，則曲線 y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【考點(diǎn)】拐點(diǎn)的定義【難易度】【詳解】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0,或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號，因此，由f"(x)的圖形可知，曲線 y = f (x)存在兩個(gè)拐點(diǎn)

2、，故選(C).1 Cv12、設(shè)y =e + | x- Ie是二階常系數(shù)非齊次線性效分方程y +ay'+by = ce的一個(gè)特解，2.3則()(A) a =-3,b =-1,c =-1.(B) a = 3,b = 2,c =-1.(C) a = -3,b =2,c = 1.(D) a=3,b=2,c=1.【答案】(A)【考點(diǎn)】常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法【難易度】1 "1 V0【詳解】e2x,-ex為齊次方程的解，所以2、1為特征方程 九2+a九+b=0的根，從而2 3a=(1+2)=3,b=12=2,再將/I解 y=xex代入方程 y3y' + 2y = cex得：

3、c = 1.3、若級數(shù) an條件收斂，則x=邪與x=3依次為哥級數(shù)£nan(x-1)n的： n 1n(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】(B)【考點(diǎn)】級數(shù)的斂散性【難易度】qQqQ【詳解】因?yàn)閍n條件收斂，故x = 2為哥級數(shù)2 an(x-1 f的條件收斂點(diǎn)，進(jìn)而得 n 1n z1oOZ an(x-1 )的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(0,2 ),又由于哥級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故n 1QOQ0Z nan (x1 n的收斂區(qū)間仍為(0,2 ),因而x = J3與x=3依次為哥級數(shù) 工nan(x1)n的收斂n 1n 1點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn).4、

4、設(shè)D是第一象限中曲線 2xy =1,4xy =1與直線y = x, y = J3x圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f (x, y)在D上連續(xù)，則 口 f (x, y)dxdy =D二1 .(A).2dLsin尸 f (rcos?, rsini)rdr42sin 21二1 .(C)3d所產(chǎn) f (rcosrsin )dr42sin 2 1二 1(B)2d；： i'si；271 f(rcos1,rsin)rdr412sin21二 1(D 優(yōu)dgjsn29 f (rcos9,rsin9)dr4J2sin2117【答案】(D)【考點(diǎn)】二重積分的極坐標(biāo)變換【難易度】/ny不 冗【詳解】由y=x得，8=；由y

5、=J3x得，8 = 由 2xy =1 得，2r2 cossin =1, r = 士1,2sin 2，sin 21二1所以 f(x, y)dxdy- 3di si；2。f (r cosu,r sini)rdr2sin2 口1 15、設(shè)矩陣A = 1 2（ 4解的充分必要條件為1a ，2a1、b = d ,若集合 建=1,2,則線性方程組Ax = b有無窮多個(gè)(A)a 1, d ''' 1(D)a , d 11【答案】（D）【考點(diǎn)】非齊次線性方程組的解法【難易度】111【詳解】IA,b】=12aJ4a211 1d310 1 2 !d - p 011a 1d 1a-1 a -

6、2 d -1 d -2Ax =b有無窮多解 u R(A) =R(A,b) <3u a =1 或 a =2且 d =1 或 d = 26、設(shè)二次型 ”為心死）在正交變換x = Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y；+y2 -y2,其中P =(e e, 63),若Q =(e ,-備,牝)，則f (Xi,X2, x3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為(A)2y2y；+y；(B) 2y；+y2-y3(C) 2ylmy(D) 2y；+y2+y；【答案】(A)【考點(diǎn)】二次型【難易度】2 00【詳解】由 x = Py ,故 f = xT Ax = yT (PT AP)y = 2y12 + y2 - y；且：PTAP=

7、0 100 0 T _1 0 02 0 0Q=P 001 =PC,QTAQ =CT(PTAP)C = 0-10：010_A 0 1 1T AT T222所以 f =x Ax uy (Q AA)y =2y1 - y2 y3,故選(A)7、若A, B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則(A) P(AB) <P(A)P(B)(B) P(AB)之 P(A)P(B)(O P(AB)VP(A)”B)(D)p(ab”P(A)；P【答案】(C)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】P(A) 一 P(AB),P(B) _ P(AB).P(A) P(B)_2P(AB)PAB .： P(A) P(B兀一 P(AB)三 2故選(C)8、

8、設(shè)隨機(jī)變量 X,Y不相關(guān)，且EX =2,EY=1,DX =3,則E-X (X+丫 2 )=(A) -3(B) 3(C) -5(D) 5【答案】(D)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】E -X (X +Y -2 )=E -X2 +XY -2X 卜E(X2 )+E(XY )-2E(X ) =DX E2 X E X E Y -2E X =5二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙,指定位置上.cIn cosx9、lim 7=x 0 x2-1【答案】-2【考點(diǎn)】極限的計(jì)算【難易度】【詳解】limx Qln cosxln(1 cosx - 1)二 lim -zx 0x2cosx -12x

9、1 2-x二 lim 2x p x210、5 sin x2(-7 1 cosx十 |x )dx =【考點(diǎn)】積分的計(jì)算【難易度】 Qin y 【詳解】2( sinx21 cosxTE +|x|)dx=2J02xdx = 411、若函數(shù) z = z(x, y)由方程 ez+xyz+x+cosx = 2 確定，貝U dz (0,1)二【答案】【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo)【難易度】【詳解】令 F (x, y, z) =ez+xyz+x+cosx-2 , 貝U Fx'= yz +1 -sin x , Fy = xz , F；= xy ,czFczFy又當(dāng) x=0,y=1 時(shí)，z=0,所以一= -1,= 0

10、,因而 dz(01) = dx(U,I)次(0,1) Fzy (0,1)Fz12、設(shè)c是由平面x + y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則hi (x 2y 3z)dxdydz _Q=1【答案】14【考點(diǎn)】三重積分的計(jì)算【難易度】【詳解】由輪換對稱性，得10 (x+2y + 3z)dxdydz=6 q zdx dydz = 6 0zdz gdxdyWWDz211213©z>2(1-z) dz=3 6(z2z2 +z)dz=：其中Dz為平面z = z截空間區(qū)域 W所得的截面，其面積為 1(1- z).所以O(shè) (X+2y+ 3z)dxdydz = 6 o zdxdydz =

11、6WW20Hl 0 2-1 2 HI 0 2013、n階行列式0III0 III2-1【答案】2n1 -2【考點(diǎn)】行列式的計(jì)算【難易度】【詳解】按第一行展開得2002-1202&= 002200-12= 2(2%= 2n+1- 2= a+(-!)" 1 =2ZJft+2nJ /HJ+ 2) + 2= 22D?i_2 +21+2-2h-f2,"+ 214、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從正態(tài)分布 N(1,0,1,1,0),則P(XYY<0) =【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】；(X,Y) N(1,0,1,1,0),，X N(1,1)Y N(0,1),且 X,Y 獨(dú)立 二

12、X -1 N(0,1) P1XY-Y <0= P1(X -1)Y <011111= P1X -1 二0,丫 0.' P1X -10, Y ： 0J =2 2 2 2 2三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙,指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.15、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) f (x) =x+aln(1+x)+bx sin x , g(x) = kx3,若 f (x)與 g (x)在 xt 0 是等價(jià)無窮小,求a , b , k值。【考點(diǎn)】等價(jià)無窮小量，極限的計(jì)算【難易度】【詳解】 f (x) =x aln(1 x) bx sin x23x

13、 x 3:xa x -二 x23a .2 a 33b x x lx,23f(x)與g(x) =kx3是等價(jià)無窮小1+a = 0a = -1a1b = 0=' b =22a =kk =.3.16、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)在f(x)定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的x0w I ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0, f (x0)處的切線與直線x =x0及x軸所圍成的區(qū)域的面積為 4,且f(0) =2,求f(x)的表達(dá)式 .【考點(diǎn)】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：x = X0處的切線方程為 l： y= f'(X0)(xX0)+ f(X0)l 與 X 軸的交點(diǎn)為：y = 0 時(shí)，x =X0

14、- 丁0),則 AB = f(X0)= x X0, f (X0)f'(X0)因此，S=-|AB f (X0)=上竺！ f (x0)=4 .即滿足微分方程：22=，解得：2' " 2 f (x0) ' "y8又因 y(0) =2 ,所以 c=1,故 y =8. 4 -x 17、(本題滿分10分) 已知函數(shù)f (x, y) = x + y + xy ,曲線C ： x2 + y2 + xy = 3 ,求f (x, y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù). 【考點(diǎn)】方向?qū)?shù)，條件極值 【難易度】 【詳解】根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系可知，方向?qū)?shù)沿著梯度方向可取到最大值且

15、為梯度的模故 81 1一 = 一 一 x c.y 8=2(1 +x)+2Ax 十八y = 0&令(£=2(1 +y) +2九y 十八x = 0可彳導(dǎo)(1,1),(-1,-1) ,(2,-2),(-1,2)出F 22=x +y + xy -3=0I cZ其中 z(1,1) =4,z(1,1) =0,z(2,1) = 9 = z(1,2)綜上根據(jù)題意可知 f(x,y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù)為 3.18、(本題滿分10分)(I)設(shè)函數(shù)u(x),v(x)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明u(x)v(x)'= u'(x)v(x) u(x)v(x)'(n)設(shè)函數(shù) u1(x)

16、, u2(x).un(x)可導(dǎo)，f (x) = u1(x)u2(x).un(x)，寫出 f (x)的求導(dǎo)公式【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義【難易度】【詳解】,.u x x v x _x -u x v(x)u x v x =螞爪|u x Lx)-u(x) v x l xu xv(xx) -v(x) 1x 0|_x''=u x v(x) u x v (x)(n)'f (x) - 1u(x) 0(x)1 |un(x)卜=5 (x) (x) |l|un(x) 1 u1(x) Ju2(x)|"un(x) 1= u；(x) 5(x) |l|un(x) - u1(x) 一(x) &

17、;(xHUux) 1?Ill二 u；(x) u2(x) IHun(x) u1(x) u2 (x)川un(x) 1“ u1(x) u2(x)|l| un'(x)19、（本題滿分10分）已知曲線L的方程為Jz = 72-x2-y2，起點(diǎn)為a(0,J2,0),終點(diǎn)為B(0,_J2,0),計(jì)算曲線積 z 二 X,分 I : Jy z)dx (z2 -x2 y)dy (x2 y2)dz【考點(diǎn)】曲線積分的計(jì)算【難易度】X 二cosi,【詳解】曲線L的參數(shù)方程為y = J2sine,日從三到-三22z =cosi,I 二 Jy z)dx (z2 - x2 y)dy (x2 y2)dz=2 ( .2s

18、in【 cos?)sin ? 2 sin 1 2 cos 二-(cos2 3 2sin2 i)sin i d?2 一1= 2 I ： 2sin 二 sin2 1- sin ? - sin 二 d 二2.2M 2. .M 2 . .1 ：-；2-、2 sin-d - 2 2 sin d - 2 2=二w02 2220、(本題滿分11分)設(shè) 向量組%, 口2a3是3維向量空間3的一個(gè)基，P1 =2% +2。3 ,P2 ="2 ,息=% +(k + 1)%。(I)證明向量組P1,P2,久是3的一個(gè)基;(n)當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量 二在基%,%43與基因，葭久下的坐標(biāo)相同，并求出所有 的

19、上【考點(diǎn)】線性無關(guān)，基下的坐標(biāo)【難易度】,201 ”【詳解】(I)出,久,%)=(%,%,%) 020區(qū)k 0 k+120因?yàn)?22k 02 =22k= 4#0,所以P1,P2,E線性無關(guān),%久是口3的一個(gè)基。(n)設(shè) p = 0郃0120, P為從基口匕必到基1,22,3的過渡矩陣，又設(shè)0 k + 1,口2, 網(wǎng)下的坐標(biāo)為x =(X1,X2,X3)T ,則自在基1,尾，3下的坐標(biāo)為P,x,由X二P即(P -E)x =0-12k2k k并解得X = c,c為任意常數(shù)。從而 =-c： 1 c： 3, c為任意常數(shù)。21、(本題滿分11分)-3-2設(shè)矩陣A =-111-2相似于矩陣B = 010(

20、I)求a,b的值.1 .(n)求可逆矩陣P，使得P AP為對角陣.02-3"1 -2 0'A =-13-3相似于B =0 b 0<1-2a；<031；【考點(diǎn)】相似矩陣，相似對角化【難易度】【詳解】由0 +3 +a =1 +b +1-3-2-3解得 a =4,b =5fA( )m e -ai=-3=( -1)2( - 一5) =0-1 -4當(dāng) 1 = '2 =1,('E'A)特征向量1 =一3.，-210當(dāng) 3 =5,( ' E - A)=1J-23；<00；-3則特征向量3-1所以P =( 1,：2,3)=-1，得 P,AP22、(本題滿分設(shè)隨機(jī)變量Xf(x)=I1 J11分)的概率密度為2-xln2 x 0XM0對X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直到第(I)求Y的概率分布；(n)求【考點(diǎn)】【難易度】EY.2l