2014年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2014 年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分）1（5 分）滿足=i（i 為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù) z=（）A + iB  i C + i D  i2（5 分）對(duì)一個(gè)容量為 N 的總體抽取容量為 n 的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為&#

2、160;P ，P ，P ，則（）123AP =P P123BP =P P2 3 1CP =P P1 32DP =P =P1 233（5 分）已知 f（x），g（x）分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 f（x）g（x）=x3+x2+1，則 f（1）+g（1）=（）A3 B1 C1D34（5 分）（ x2y）5 的展開式中 x

3、2y3 的系數(shù)是（）A20B5 C5D205（5 分）已知命題 p：若 xy，則xy；命題 q：若 xy，則 x2y2，在命題pq；pq；p（q）；（p）q 中，真命題是（）ABCD6（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 t2，2，則輸出的 S 屬于（）第 1 頁(yè)（共 25 頁(yè)）A6，2 B5，1 C4，5D3，67（5 分）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成

4、球，則能得到的最大球的半徑等于（）A1B2C3D48（5 分）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長(zhǎng)率為 p，第二年的增長(zhǎng)率為 q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為（）ABCpqD19（5 分）已知函數(shù) f（x）=sin（x），且f（x）dx=0，則函數(shù) f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸是（）Ax=Bx=Cx=Dx=10（5 分）若函數(shù) f（x）=x2+ex （x0）與 g（x）=x2+ln（x+a）圖象上存第 2 頁(yè)（共 25 頁(yè)）在關(guān)于 y

5、 軸對(duì)稱的點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（）A（）  B（        ）   C（        ）  D（        ）二、填空題（共 3 小題，每小題 5 分，滿分 10 分）（一）選做題（請(qǐng)考

6、生在第11,12,13 三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）（11 5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線 l 與曲線 C：，（ 為參數(shù)）交于 A，B 兩點(diǎn)，且|AB|=2，以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線 l 的極坐標(biāo)方程是12（5 分）如圖所示，已知 AB，BC 是O 的兩條弦，AOBC，AB=則O 的半徑等于，BC=2  ，13若關(guān)于&#

7、160;x 的不等式|ax2|3 的解集為x| x ，則 a=（二）必做題（14-16 題）14（5 分）若變量 x，y 滿足約束條件，且 z=2x+y 的最小值為6，則k=15（5 分）如圖所示，正方形 ABCD 與正方形 DEFG 的邊長(zhǎng)分別為 a，b（ab），原點(diǎn) O 為 AD 的中點(diǎn)，拋物線 y2=2px（p0）經(jīng)過(guò) C，F(xiàn) 兩點(diǎn)，則 =第

8、 3 頁(yè)（共 25 頁(yè)）16（5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點(diǎn)，A（1，0），B（0，），C（3，0），動(dòng)點(diǎn) D 滿足|=1，則|  +  +  |的最大值是       三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分17（12 分）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和 現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 

9、;A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立（）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（）若新產(chǎn)品 A 研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 120 萬(wàn)元；若新產(chǎn)品 B 研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 100 萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望18（12 分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，AD=1，CD=2，AC=（）求 cosCAD 的值；（）若 cosBAD=，sinCBA=，求 BC 的長(zhǎng)19（12 分）如圖，

10、四棱柱 ABCDA B C D 的所有棱長(zhǎng)都相等，ACBD=O，A C 111111B D =O ，四邊形 ACC A 和四邊形 BDD B 均為矩形1111111（）證明：O O底面 ABCD；1（）若CBA=60°，求二面角 C OB D 的余弦值1120（13 分）已知數(shù)列a 滿足 a =1，|a a 

11、|=pn，nN*n1n+1n第 4 頁(yè)（共 25 頁(yè)）（）若a 是遞增數(shù)列，且 a ，2a ，3a 成等差數(shù)列，求 p 的值；n123（）若 p= ，且a2n1是遞增數(shù)列，a 是遞減數(shù)列，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式2n n21（13 分）如圖，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓 C ：+=1（ab0）的左、右焦1點(diǎn)分別為 F ，F(xiàn) ，離心率為 e ；雙曲線 

12、C ：1212  =1 的左、右焦點(diǎn)分別為 F ，3F ，離心率為 e ，已知 e e =4212，且|F F |=2 41（）求 C 、C 的方程；12（）過(guò) F 作 C 的不垂直于 y 軸的弦 AB，M 為 AB 的中點(diǎn)，當(dāng)直線 OM 與 C 交于112P，Q 兩點(diǎn)

13、時(shí)，求四邊形 APBQ 面積的最小值22（13 分）已知常數(shù) a0，函數(shù) f（x）=ln（1+ax）（）討論 f（x）在區(qū)間（0，+）上的單調(diào)性；（）若 f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn) x ，x ，且 f（x ）+f（x ）0，求 a 的取值范1212圍第 5 頁(yè)（共 25 頁(yè)）2014 年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共 10 小題，每小題 5&#

14、160;分，滿分 50 分）1（5 分）滿足=i（i 為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù) z=（）A + iB  i C + i D  i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論【解答】解：=i，z+i=zi，即 z=  i，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，比較基礎(chǔ)2（5 分）對(duì)一個(gè)容量為 N 的總體抽取容量為 n 的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取

15、樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為 P ，P ，P ，則（）123AP =P P123BP =P P2 3 1CP =P P1 32DP =P =P1 23【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義即可得到結(jié)論【解答】解：根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義可知，無(wú)論哪種抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率都是相等的，即 P =P =P 123故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系

16、統(tǒng)抽樣和分層抽樣的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)3（5 分）已知 f（x），g（x）分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 f（x）g（x）=x3+x2+1，則 f（1）+g（1）=（）A3 B1 C1D3第 6 頁(yè)（共 25 頁(yè)）【分析】將原代數(shù)式中的 x 替換成x，再結(jié)合著 f（x）和 g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令 x=1 即可【解答】解：由 f（x）g（x）=x3+x2+1，將所有 x&#

17、160;替換成x，得f（x）g（x）=x3+x2+1，根據(jù) f（x）=f（x），g（x）=g（x），得f（x）+g（x）=x3+x2+1，再令 x=1，計(jì)算得，f（1）+g（1）=1故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題屬于容易題，是對(duì)函數(shù)奇偶性的考查，在高考中，函數(shù)奇偶性的考查一般相對(duì)比較基礎(chǔ)，學(xué)生在掌握好基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，做題應(yīng)該沒有什么障礙本題中也可以將原代數(shù)式中的 x 直接令其等于1 也可以得到計(jì)算結(jié)果4（5 分）（ x2y）5 的展開式中 x2y3 的系數(shù)是（）A20B5 C5D20【分析】利

18、用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，求解所求項(xiàng)的系數(shù)即可【解答】解：由二項(xiàng)式定理可知：T =r+1要求解（ x2y）5 的展開式中 x2y3 的系數(shù)，所以 r=3，所求系數(shù)為：=20故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查5（5 分）已知命題 p：若 xy，則xy；命題 q：若 xy，則 x2y2，在命題pq；pq；p（q）；（p）q 中，真命題是（）ABCD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分別判定命題 p，q 的真假，利用復(fù)合命題

19、之間的關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，若若 xy，則xy 成立，即 p 為真第 7 頁(yè)（共 25 頁(yè)）命題，當(dāng) x=1，y=1 時(shí)，滿足 xy，但 x2y2 不成立，即命題 q 為假命題，則pq 為假命題；pq 為真命題；p（q）為真命題；（p）q為假命題，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合命題之間的關(guān)系，根據(jù)不等式的性質(zhì)分別判定命題 p，q 的真假是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)6（5 

20、;分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 t2，2，則輸出的 S 屬于（）A6，2 B5，1 C4，5D3，6【分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合條件，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：若 0t2，則不滿足條件輸出 S=t33，1，若2t0，則滿足條件，此時(shí)t=2t2+1（1，9，此時(shí)不滿足條件，輸出S=t3（2，6，綜上：S=t33，6，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)第 8 頁(yè)（共 25 頁(yè)）7（5 分）一塊石材表示

21、的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）A1B2C3D4【分析】由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r【解答】解：由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r，則8r+6r=r=2故選：B，【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖，考查幾何體的內(nèi)切圓，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題8（5 分）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長(zhǎng)率為 p，第二年的增長(zhǎng)率為 q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為（）ABCpqD1（【分析】設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值

22、的年平均增長(zhǎng)率為 x，可得（1+p） 1+q）=（1+x）第 9 頁(yè)（共 25 頁(yè)）2，解出即可【解答】解：設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為 x，則（1+p）（1+q）=（1+x）2，解得 x=1，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題9（5 分）已知函數(shù) f（x）=sin（x），且的圖象的一條對(duì)稱軸是（）Ax=Bx=Cx=Dx=f（x）dx=0，則函數(shù) f（x）【分析】由f（x）dx=0 求得  co

23、s（+）=0，故有 +  =k+  ，kz可取 =，則 f（x）=sin（x）令 x=k+，求得 x 的值，可得函數(shù) f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸方程【解答】解：函數(shù) f（x）=sin（x），f（x）dx=cos（x）=cos（   ）cos（）= cossin=cos（+）=0，+=k+，kz，即 =k+，kz，故可取 =  ，f（x）=sin（x令 x）=k+  ，

24、求得 x=k+   ，kZ，則函數(shù) f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為 x=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查定積分，函數(shù) y=Asin（x+）的圖象的對(duì)稱性，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題第 10 頁(yè)（共 25 頁(yè)）10（5 分）若函數(shù) f（x）=x2+ex （x0）與 g（x）=x2+ln（x+a）圖象上存在關(guān)于 y 軸對(duì)稱的點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（）A（）B（）C（）D（）【分析】由題意可得 

25、ex0 ln（x +a）=0 有負(fù)根，函數(shù) h（x）=ex ln0（x+a）為增函數(shù)，由此能求出 a 的取值范圍【解答】解：由題意可得：存在 x （，0），滿足 x 2+ex0 =（x ）2+ln（x +a），0000即 ex0 ln（x +a）=0 有負(fù)根，0當(dāng) x 趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，ex0 ln（x +a）也趨近于負(fù)無(wú)窮大，0且函數(shù) h（x）=ex ln

26、（x+a）為增函數(shù)，h（0）=e0 lna0，lnalna，a 的取值范圍是（，），故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的極限，是函數(shù)圖象和性質(zhì)較為綜合的應(yīng)用二、填空題（共 3 小題，每小題 5 分，滿分 10 分）（一）選做題（請(qǐng)考生在第11,12,13 三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）（11 5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線 l 與曲線 C：，（ 為參數(shù)）交于 

27、;A，B 兩點(diǎn)，且|AB|=2，以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線 l 的極坐標(biāo)方程是（cossin）=1【分析】由題意可得直線 l 的方程為 y=x+b，曲線方程化為直角坐標(biāo)，表示一個(gè)圓，由于弦長(zhǎng)正好等于直徑，可得圓心（2，1）在直線 l 上，由此求得 b 的值，第 11 頁(yè)（共 25 頁(yè)）可得直線的方程【解答】解：設(shè)傾斜角為的直線 l 的方程為 y=x+b，曲線&#

28、160;C：（ 為參數(shù)），即 （x2）2+（y1）2=1，表示以（2，1）為圓心、半徑等于 1 的圓由于弦長(zhǎng)|AB|=2，正好等于直徑，故圓心（2，1）在直線 l 上，故有 1=2+b，解得 b=1，故直線 l 的方程為 y=x1，即 xy1=0再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得 cossin1=0，即 （cossin）=1故答案為：（cossin）=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題12（5 分）

29、如圖所示，已知 AB，BC 是O 的兩條弦，AOBC，AB=則O 的半徑等于1.5，BC=2  ，【分析】設(shè)垂足為 D，O 的半徑等于 R，先計(jì)算 AD，再計(jì)算 R 即可【解答】解：設(shè)垂足為 D，O 的半徑等于 R，則AB，BC 是O 的兩條弦，AOBC，AB=，BC=2  ，AD=1，R2=2+（R1）2，R=1.5故答案為：1.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題第 

30、;12 頁(yè)（共 25 頁(yè)）13若關(guān)于 x 的不等式|ax2|3 的解集為x| x ，則 a=3【分析】由題意可得 和 是|ax2|=3 的兩個(gè)根，故有，由此求得 a 的值【解答】解：關(guān)于 x 的不等式|ax2|3 的解集為x| x ， 和 是|ax2|=3 的兩個(gè)根，a=3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題（二）必做題（1

31、4-16 題）14（5 分）若變量 x，y 滿足約束條件，且 z=2x+y 的最小值為6，則k=2【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即先確定z 的最優(yōu)解，然后確定 k 的值即可【解答】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，（陰影部分）由 z=2x+y，得 y=2x+z，平移直線 y=2x+z，由圖象可知當(dāng)直線 y=2x+z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，直線 y=2x+z的截距最小，此時(shí) z 最小目標(biāo)

32、函數(shù)為 2x+y=6，由，解得，即 A（2，2），點(diǎn) A 也在直線 y=k 上，k=2，第 13 頁(yè)（共 25 頁(yè)）故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法15（5 分）如圖所示，正方形 ABCD 與正方形 DEFG 的邊長(zhǎng)分別為 a，b（ab），原點(diǎn) O 為 AD 的中點(diǎn)，拋物線 y2=2px（p0）經(jīng)過(guò) C，F(xiàn) 兩點(diǎn)

33、，則 =【分析】可先由圖中的點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，寫出 C，F(xiàn) 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入拋物線方程中，消去參數(shù) p 后，得到 a，b 的關(guān)系式，再尋求 的值【解答】解：由題意可得，將 C，F(xiàn) 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線方程 y2=2px 中，得a0，b0，p0，兩式相比消去 p 得，化簡(jiǎn)整理得 a2+2abb2=0，此 式 可 看 作 是 關(guān) 于a的 一 元&

34、#160;二 次 方 程 ， 由 求 根 公 式 得第 14 頁(yè)（共 25 頁(yè)），取，從而，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是弄清兩個(gè)正方形與拋物線的位置關(guān)系，這樣才能順利寫出 C，F(xiàn) 的坐標(biāo)，接下來(lái)是消參，得到了一個(gè)關(guān)于 a，b 的齊次式，應(yīng)注意根的取舍與細(xì)心的計(jì)算16（5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點(diǎn)，A（1，0），B（0，），C（3，0），動(dòng)點(diǎn) D 滿足|=1，則|+|的

35、最大值是+1【分析】由題意可得，點(diǎn) D 在以 C（3，0）為圓心的單位圓上，設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（3+cos，sin），求得|+  +  |  +  +  |+|  |，可得|  +  +  |的最大值【解答】解：由題意可得，點(diǎn) D 在以 C（3，0）為圓心的單位圓上，設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（3+cos，sin），則|+|&

36、#160; +  +  |+|  |=  +1|+|的最大值是+1，故答案為：+1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查參數(shù)方程的應(yīng)用，求向量的模，屬于中檔題三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分17（12 分）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和 現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立（）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（）若新產(chǎn)品 A 研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可

37、獲利潤(rùn) 120 萬(wàn)元；若新產(chǎn)品 B 研發(fā)成功，第 15 頁(yè)（共 25 頁(yè)）預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 100 萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望【分析】（）利用對(duì)立事件的概率公式，計(jì)算即可，（）求出企業(yè)利潤(rùn)的分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可【解答】解：（）設(shè)至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的事件為事件 A 且事件 B 為事件 A 的對(duì)立事件，則事件 B 為一種新產(chǎn)品都沒有成功，因?yàn)榧滓已邪l(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為 和&

38、#160;則 P（B）=，再根據(jù)對(duì)立事件的概率之間的公式可得 P（A）=1P（B）=，故至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為（）由題可得設(shè)企業(yè)可獲得利潤(rùn)為 X，則 X 的取值有 0，120，100，220，由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得，所以 X 的分布列如下：X0   120  100 220P（x）則數(shù)學(xué)期望 E（X）=140【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)立事件的概率，分布列和數(shù)學(xué)期望，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，也是近幾年高考題目的常考的題型18（12

39、0;分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，AD=1，CD=2，AC=（）求 cosCAD 的值；（）若 cosBAD=，sinCBA=，求 BC 的長(zhǎng)第 16 頁(yè)（共 25 頁(yè)）【分析】（）利用余弦定理，利用已知條件求得 cosCAD 的值（）根據(jù) cosCAD，cosBAD 的值分別，求得 sinBAD 和 sinCAD，進(jìn)而利用兩角和公式求得 sinBAC 的值，最后利用正弦定理求得 

40、;BC【解答】解：（）cosCAD=         =    （）cosBAD=，sinBAD=，cosCAD=sinCAD=，=sinBAC=sin（BADCAD）=sinBADcosCADcosBADsinCAD=×+×=，由正弦定理知=，BC=sinBAC=×=3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用19（12 分）如圖，四棱柱 ABCDA&#

41、160;B C D 的所有棱長(zhǎng)都相等，ACBD=O，A C 111111B D =O ，四邊形 ACC A 和四邊形 BDD B 均為矩形1111111（）證明：O O底面 ABCD；1（）若CBA=60°，求二面角 C OB D 的余弦值11第 17 頁(yè)（共 25 頁(yè)）【分析】（）由已知中，四棱柱 ABCDA B C

42、 D 的所有棱長(zhǎng)都相等，ACBD=O，1111A C B D =O ，四邊形 ACC A 和四邊形 BDD B 均為矩形可得 O OCC BB 且 CC1111111111111AC，BB BD，進(jìn)而 OO AC，OO BD，再由線面垂直的判定定理得到 O O底1111面 ABCD；（）設(shè)四棱柱 ABCDA B C&#

43、160;D 的所有棱長(zhǎng)均為 2a，設(shè) AB 為 2，若CBA=60°，1111OA=OC=1，OB=OD=，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OB，OC，OO 為 x，y，z 軸正方1向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 BDD B 和平面 OB C 的法向量，代入向量夾角1111公式，求出二面角的余弦值【解答】證明：（）四棱柱 ABCDA B C D 的所有棱長(zhǎng)都相等，1111

44、四邊形 ABCD 為菱形，又ACBD=O，故 O 為 BD 的中點(diǎn)，同理 O 也是 B D 的中點(diǎn)，111又四邊形 ACC A 和四邊形 BDD B 均為矩形，1111O OCC BB 且 CC AC，BB BD，11111OO AC，OO BD，11又ACBD=O，AC，BD 平面 ABCD，O O底面 A

45、BCD；1解：（）設(shè)四棱柱 ABCDA B C D 的所有棱長(zhǎng)均相等，所以四邊形 ABCD 是菱形，1111ACBD，又O O底面 ABCD，1OB，OC，OO 兩兩垂直，1第 18 頁(yè)（共 25 頁(yè)）如圖，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立直角1坐標(biāo)系 Oxyz設(shè) AB=2，CBA=60°，OA=OC=1，OB

46、=OD=，則 O（0，0，0），B （1），C （0，1，2）1易知，=（0，1，0）是平面 BDD B 的一個(gè)法向量，1 1設(shè)=（x，y，z）是平面 OB C 的一個(gè)法向量，則1 1，即取 z=，則 x=2，y=2  ，所以  =（2，2  ，）設(shè)二面角 C OB D 的大小為 ，易知  是銳角，于是：11cos=|cos，|=|=&#

47、160;    ，故二面角 C OB D 的余弦值為11【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵20（13 分）已知數(shù)列a 滿足 a =1，|a a |=pn，nN*n1n+1n（）若a 是遞增數(shù)列，且 a ，2a ，3a 成等差數(shù)列，求 p 的值；n123（）若 p= ，且a2n1是遞增數(shù)列，a

48、60;是遞減數(shù)列，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式2n n【分析】（）根據(jù)條件去掉式子的絕對(duì)值，分別令 n=1，2 代入求出 a 和 a ，23第 19 頁(yè)（共 25 頁(yè)）再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于 p 的方程求解，利用“a 是遞增數(shù)列”對(duì)求出的np 的值取舍；（）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和式子“|a  a |=pn”、不等式的可加性，求出n+1n和 a2n+1a =   &#

49、160;，再對(duì)數(shù)列a 的項(xiàng)數(shù)分類討論，利用累加法2n n和等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，求出數(shù)列a 的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，再n用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)【解答】解：（）數(shù)列a 是遞增數(shù)列，a a 0，nn+1n則|a a |=pn 化為：a a =pn，n+1nn+1n分別令 n=1，2 可得，a a =p，21，即 a =1+p，2a ，2a ，3a 成等差數(shù)列，4a&#

50、160;=a +3a ，123213即 4（1+p）=1+3（p2+p+1），化簡(jiǎn)得 3p2p=0，解得或 0，當(dāng) p=0 時(shí)，數(shù)列 a 為常數(shù)數(shù)列，不符合數(shù)列a 是遞增數(shù)列，nn；（2）由題意可得，|a a |=n+1n，則|a a2n2n1|=     ，|a2n+2a2n+1|=，數(shù)列a2n1是遞增數(shù)列，且a 是遞減數(shù)列，2na2n+1a2n10，且 a2n+2a 0，2n則（a2

51、n+2a ）0，兩不等式相加得2naa2n+12n1（a2n+2a ）0，即 a2n 2n+1a2n+2a2n1a ，2n又|a a2n2n1|=|a2n+2a2n+1|=，a a2n2n10，即，同理可得：a2n+3a2n+2a2n+1a ，即|a2n2n+3a2n+2|a2n+1a |，2n則 a2n+1a =2n當(dāng)數(shù)列a 的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，令 n=2m（mN*），n第 20 頁(yè)（共 25 頁(yè)），這 2m1

52、0;個(gè)等式相加可得，=          ，則；當(dāng)數(shù)列a 的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，令 n=2m+1（mN*）n，         ，這 2m 個(gè)等式相加可得，=，則，且當(dāng) m=0 時(shí) a =1 符合，1故，       +綜上得，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的

53、通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)等，同時(shí)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力本題設(shè)計(jì)巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大21（13 分）如圖，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓 C ：+=1（ab0）的左、右焦1點(diǎn)分別為 F ，F(xiàn) ，離心率為 e ；雙曲線 C ：1212F ，離心率為 e ，已知 e e 

54、;=，且|F F |=421224  =1 的左、右焦點(diǎn)分別為 F ，31第 21 頁(yè)（共 25 頁(yè)）（）求 C 、C 的方程；12（）過(guò) F 作 C 的不垂直于 y 軸的弦 AB，M 為 AB 的中點(diǎn)，當(dāng)直線 OM 與 C 交于112P，Q 兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形 APBQ 面積的最小值【分析

55、】（）由斜率公式寫出 e ，e ，把雙曲線的焦點(diǎn)用含有 a，b 的代數(shù)式表12示，結(jié)合已知條件列關(guān)于 a，b 的方程組求解 a，b 的值，則圓錐曲線方程可求；（）設(shè)出 AB 所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于 y 的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到 AB 中點(diǎn) M 的坐標(biāo)，并由橢圓的焦點(diǎn)弦公式求出 AB 的長(zhǎng)度，寫出 PQ 的方程，和雙曲線聯(lián)立后解出 P，Q 的

56、坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式分別求出 P，Q 到 AB 的距離，然后代入代入三角形面積公式得四邊形 APBQ 的面積，再由關(guān)于 n 的函數(shù)的單調(diào)性求得最值（【解答】解： ）由題意可知，且                e e =12，且|F F |=  12 4，且 &#

57、160;                   解得：橢圓 C 的方程為1，雙曲線 C 的方程為        ；2（）由（）可得 F （1，0）1直線 AB 不垂直于 y 軸，設(shè) AB 的方程為 x=ny1，聯(lián)立，得（n2+2）y22ny1=0第 22 頁(yè)（共 25 頁(yè)）設(shè) A（x ，y ），B（x ，y ），M（x ，y ），112200則則=，