流體力學(xué)講義 第三章 流體動力學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章 流體動力學(xué)基礎(chǔ)    本章是流體動力學(xué)的基礎(chǔ)。主要闡述了流體運(yùn)動的兩種描述方法,運(yùn)動流體的基本類別與基本概念，用歐拉法解決運(yùn)動流體的連續(xù)性微分方程、歐拉運(yùn)動微分方程及N-S方程。此外，還闡述了無旋流與有旋流的判別，引出了流函數(shù)與勢函數(shù)的概念，并且說明利用流網(wǎng)與勢流疊加原理可解決流體的諸多復(fù)雜問題。第一節(jié)    流體流動的基本概念 1.流線 （1）流線的定義   流線（stream line）是表示某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動趨勢的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。圖3-1為流線譜中顯示的流線形狀。 （2）流線

2、的作法：   在流場中任取一點(diǎn)（如圖3-2），繪出某時(shí)刻通過該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u1，再畫出距1點(diǎn)很近的2點(diǎn)在同一時(shí)刻通過該處的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u2，如此繼續(xù)下去，得一折線1234 ，若各點(diǎn)無限接近，其極限就是某時(shí)刻的流線。   流線是歐拉法分析流動的重要概念。 圖3-1 圖3-2（3）流線的性質(zhì)（圖3-3）  a.同一時(shí)刻的不同流線，不能相交。 圖3-3   因?yàn)楦鶕?jù)流線定義，在交點(diǎn)的液體質(zhì)點(diǎn)的流速向量應(yīng)同時(shí)與這兩條流線相切，即一個質(zhì)點(diǎn)不可能同時(shí)有兩個速度向量。   b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。   因?yàn)榱黧w是連續(xù)

3、介質(zhì)，各運(yùn)動要素是空間的連續(xù)函數(shù)。   c.流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。   因?yàn)閷Σ豢蓧嚎s流體，元流的流速與其過水?dāng)嗝婷娣e成反比。 （4）流線的方程（圖3-4）  根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程： 圖3-4  設(shè)ds為流線上A處的一微元弧長:   u為流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的流速:   因?yàn)榱魉傧蛄颗c流線相切，即沒有垂直于流線的流速分量，u和ds重合。   所以即    展開后得到：流線方程      

4、;    （3-1）（或用它們余弦相等推得) 2.跡線(1)跡線的定義   跡線(path line)某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動軌跡線。 圖3-5中煙火的軌跡為跡線。 (2)跡線的微分方程       （3-2）   式中，ux,uy,uz 均為時(shí)空t,x,y,z的函數(shù)，且t是自變量。 圖3-5  注意：流線和跡線微分方程的異同點(diǎn)。       流線方程  3.色線（colouring line)  又稱脈線，是源于一點(diǎn)的很多

5、流體質(zhì)點(diǎn)在同一瞬時(shí)的連線。 例如：為顯示流動在同一點(diǎn)投放示蹤染色體的線，以及香煙線都是色線。圖3-6   考考你：在恒定流中，流線、跡線與色線重合。          流線、 跡線、 色線的比較： 概念名流線是表示流體流動趨勢的一條曲線，在同一瞬時(shí)線上各質(zhì)點(diǎn)的速度向量都與其相切，它描述了流場中不同質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的運(yùn)動情況。 流線方程為：式中時(shí)間t為參變量。 跡  線     跡線是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻內(nèi)的運(yùn)動軌跡，它描述流場中同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的

6、運(yùn)動情況。 跡線方程為：式中時(shí)間t為自變量。 脈  線     脈線（色線）是指源于一點(diǎn)的很多流體質(zhì)點(diǎn)在同一瞬時(shí)的連線。    例1   如圖3-7，已知流速場為，其中C為常數(shù)，求流線方程。 解：由式得          積分得：   則：      此外，由得：           &#

7、160;    圖3-7  因此，流線為Oxy平面上的一簇通過原點(diǎn)的直線，這種流動稱為平面點(diǎn)源流動（C0時(shí)）或平面點(diǎn)匯流動（C0時(shí)） 例2 已知平面流動     試求：（1）t=0時(shí)，過點(diǎn)M（-1，-1）的流線。（2）求在t=0時(shí)刻位于x=-1，y=-1點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。解：（1）由式 （2）由式     得    得        得：       由t=0時(shí)，x=-1，y=-1得C

8、1=0, C2=0，則有：    將：t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬時(shí)流線       xy=1    最后可得跡線為：    即流線是雙曲線。    例3    已知流動速度場為  試求：（1）在t= t0 瞬間，過A（ x0，y0，z0 ）點(diǎn)的流線方程；      （2）在t= t0 瞬間，位于A（ x0，y0，z0 ）點(diǎn)的跡線方程。 解

9、：（1）流線方程的一般表達(dá)式為     將本題已知條件代入，則有：   積分得：（1+t）lnx = lny + lnC '     當(dāng)t= t0時(shí)，x=x0，y=y0 ，則有   故過A（ x0，y0，z0 ）點(diǎn)的流線方程為   （2）求跡線方程   跡線一般表達(dá)式為   代入本題已知條件有：   由(1)式得：   當(dāng)t= t0時(shí)，x=x0代入上式得     由(2)式得：   當(dāng)t= t0時(shí)，y= y0代入上式得 

10、0;   故跡線方程為   t是自變量，消t后得到的軌跡方程為跡線方程： 二、流體流動的分類  1.層流與紊流   （1）層流的定義   層流（laminar flow）（圖3-8） 圖3-8  亦稱片流，是指流體質(zhì)點(diǎn)不互相混雜，流體質(zhì)點(diǎn)作有條不紊的有序的直線運(yùn)動。   特點(diǎn)：   （1）有序性。 （2）水頭損失與流速的一次方成正比。  （3）在流速較小且雷諾數(shù)Re較小時(shí)發(fā)生。 圖3-9   層流遵循牛頓內(nèi)摩擦定律，粘性抑制或約束質(zhì)點(diǎn)作橫向運(yùn)動。   紊流   紊流（turb

11、ulent flow)（圖3-10）   亦稱湍流，是指隨流速增大，流層逐漸不穩(wěn)定，質(zhì)點(diǎn)相互混摻，流體質(zhì)點(diǎn)沿很不規(guī)則的路徑運(yùn)動。   特點(diǎn)：   （1）無序性、隨機(jī)性、有旋性、混合性。   （2）水頭損失與流速的1.752次方成正比。   （3）在流速較大且雷諾數(shù)較大時(shí)發(fā)生。 圖3-10   紊流是工程實(shí)踐中最常見的一種流動，如圖3-9，紊流微團(tuán)不僅有橫向脈動，而且有相對于流體總運(yùn)動的反向運(yùn)動，紊流中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動要素具有隨機(jī)性，流速的大小方向隨機(jī)變化，沒有兩個流體質(zhì)點(diǎn)可以沿著同樣的、甚至相似的路徑運(yùn)動。紊流就是壓力表指針不斷擺動的原因。

12、想一想：城市污水管網(wǎng)中的出水口（淹沒出流）附近的流體流動屬于 （層流 ，紊流）。 2.恒定流與非恒定流   （1）恒定流定義    恒定流（steady flow）：又稱定常流，是指流場中的流體流動，空間點(diǎn)上各水力運(yùn)動要素均不隨時(shí)間而變化。（圖3-11）   即：       圖3-11  三者都等于0。   （2）注意 嚴(yán)格的恒定流只可能發(fā)生在層流，在紊流中，由于流動的無序，其流速或壓強(qiáng)總有脈動，但若取時(shí)間平均流速（時(shí)均流速），若其不隨時(shí)間變化，則認(rèn)為該紊流為恒定流。 非恒定流  

13、（1）定義    非恒定流（unsteady flow）：又稱非定常流，是指流場中的流體流動空間點(diǎn)上各水力運(yùn)動要素中，只要有任何一個隨時(shí)間的變化而變化的流動。（圖3-12）   即：         三者中至少一個不等于0。 圖3-12   （2）注意   在非恒定流情況下，流線的位置隨時(shí)間而變；流線與跡線不重合。   在恒定流情況下，流線的位置不隨時(shí)間而變，且與跡線重合。  問題：恒定流是：窗體頂端 A、流動隨時(shí)間按一定規(guī)律變化； B、流場中任意空間點(diǎn)的運(yùn)動要素不

14、隨時(shí)間變化； C、各過流斷面的速度分布相同；  D、各過流斷面的壓強(qiáng)相同。  窗體底端問題： 非恒定流是：窗體頂端A、 ；    B、   ； C、 ；    D、 。窗體底端3.均勻流與非均勻流 按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動要素是否隨流程變化分為:   均勻流流線是平行直線的流動， 。（圖3-13）     均勻流中各過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D沿程不變，過水?dāng)嗝媸瞧矫?，沿程各過水?dāng)嗝娴男螤詈痛笮《急３忠粯印＠旱戎睆街惫苤械囊毫骰蛘邤嗝嫘螤詈退?/p>

15、不變的長直渠道中的水流都是均勻流。 圖3-13  非均勻流流線不是平行直線的流動， 。   非均勻流中流場中相應(yīng)點(diǎn)的流速大小或方向或同時(shí)二者沿程改變，即沿流程方向速度分布不均。例：流體在收縮管、擴(kuò)散管或彎管中的流動。（非均勻流又可分為急變流和漸變流） 想一想：何謂均勻流及非均勻流？以上分類與過流斷面上流速分布是否均勻有無關(guān)系？ 答案：均勻流是指流線是平行直線的流動， 。      非均勻流是流線不是平行直線的流動， 。       這個分類與過流斷面上流速分布是否均勻沒有關(guān)系

16、。 4.漸變流與急變流   非均勻流中如流動變化緩慢，流線的曲率很小接近平行，過流斷面上的壓力基本上是靜壓分布者為漸變流(gradually varied flow)，否則為急變流。   漸變流沿程逐漸改變的流動。（圖3-14） 圖3-14  特征：流線之間的夾角很小即流線幾乎是平行的，同時(shí)流線的曲率半徑又很大（即流線幾乎是直線），其極限是均勻流，過水?dāng)嗝婵煽醋魇瞧矫妗u變流的加速度很小，慣性力也很小，可以忽略不計(jì)。   急變流沿程急劇改變的流動。   特征：流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線是曲線，過水?dāng)嗝娌皇且粋€平面。急變流的

17、加速度較大，因而慣性力不可忽略。  想一想：何謂漸變流，漸變流有哪些重要性質(zhì)？ 答案：漸變流是指沿程逐漸改變的流動。漸變流的性質(zhì)：流線之間的夾角很小即流線幾乎是平行的，同時(shí)流線的曲率半徑又很大（即流線幾乎是直線），其極限是均勻流，過水?dāng)嗝婵煽醋魇瞧矫?。漸變流的加速度很小，慣性力也很小，可以忽略不計(jì)。 按液流運(yùn)動要素所含空間坐標(biāo)變量的個數(shù)分： 一元流   一元流(one-dimensional flow):流體在一個方向流動最為顯著，其余兩個方向的流動可忽略不計(jì)，即流動流體的運(yùn)動要素是一個空間坐標(biāo)的函數(shù)。若考慮流道（管道或渠道）中實(shí)際液體運(yùn)動要素的斷面平均值，則運(yùn)動要素只是曲

18、線坐標(biāo)s的函數(shù)，這種流動屬于一元流動。（圖3-15） 圖3-15二元流   二元流(two-dimensional flow):流體主要表現(xiàn)在兩個方向的流動，而第三個方向的流動可忽略不計(jì)，即流動流體的運(yùn)動要素是二個空間坐標(biāo)（不限于直角坐標(biāo)）函數(shù)。（圖3-16） 圖3-16 圖3-17   如實(shí)際液體在圓截面（軸對稱）管道中的流動，如圖3-17，運(yùn)動要素只是柱坐標(biāo)中r, x的函數(shù)而與q角無關(guān)，這是二元流動。又如在x方向很長的滾水壩的溢流流動，可以認(rèn)為沿x軸方向沒有流動，僅在Oyz一系列平行的平面上流動，而且這些平面上各點(diǎn)的流動狀態(tài)相同，其運(yùn)動要素只與兩個位置坐標(biāo)(y,z) 有

19、關(guān)，因而只需研究平行平面中任一個平面上的流動情況。   問題：一元流動是：窗體頂端 A、均勻流；  B、速度分布按直線變化；C、運(yùn)動參數(shù)是一個空間坐標(biāo)和時(shí)間變量的函數(shù)；  D、 限于直線流動。 窗體底端拉格朗日法   拉格朗日方法（lagrangian method）是以流場中每一流體質(zhì)點(diǎn)作為描述對象的方法，它以流體個別質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動為基礎(chǔ)，通過綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)（即質(zhì)點(diǎn)系）運(yùn)動求得整個流動。質(zhì)點(diǎn)系法   空間坐標(biāo)   （a,b,c）為t=t0起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置坐標(biāo)，稱為拉格朗日數(shù)。所以，任何質(zhì)點(diǎn)在空間的位

20、置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和時(shí)間t的函數(shù)  （1）（a,b,c）=const , t為變數(shù)，可以得出某個指定質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻所處的位置。   （2）（a,b,c）為變數(shù),t=const，可以得出某一瞬間不同質(zhì)點(diǎn)在空間的分布情況。   由于位置又是時(shí)間t的函數(shù)，對流速求導(dǎo)可得加速度：   速度 加速度  ；            由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡非常復(fù)雜，而實(shí)用上也無須知道個別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況，所以除了少數(shù)情況（如波浪運(yùn)動）外，在工程流體力學(xué)中很少采用。 歐拉法

21、                      歐拉法（euler method）是以流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)流場中各空間點(diǎn)的運(yùn)動即以流場作為描述對象研究流動的方法。流場法   它不直接追究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程，而是以充滿運(yùn)動液體質(zhì)點(diǎn)的空間流場為對象。研究各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在流場中的變化規(guī)律。將個別流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程置之不理，而固守于流場各空間點(diǎn)。通過觀察在流動空間中的每一個空間點(diǎn)上運(yùn)動要素隨時(shí)間的變化，把足夠多的空間

22、點(diǎn)綜合起來而得出的整個流體的運(yùn)動情況。   流場運(yùn)動要素是時(shí)空（x,y,z,t）的連續(xù)函數(shù)：   速度      （x,y,z,t）歐拉變量  因歐拉法較簡便，是常用的方法。 歐拉加速度             質(zhì)點(diǎn)的加速度（流速對時(shí)間求導(dǎo)）由兩部分組成： （1）時(shí)變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋╨ocal acceleration）流動過程中流體由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度； （2）位變加速度（遷移加速度）（connective

23、 acceleration）流動過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度。   由于位置又是時(shí)間t的函數(shù)，所以流速是t的復(fù)合函數(shù)，對流速求導(dǎo)可得加速度:     代入上式得：                (3-3)   等號右邊第一項(xiàng)是時(shí)變加速度；后三項(xiàng)是位變加速度；   在恒定流中，流場中任意空間點(diǎn)的運(yùn)動要素不隨時(shí)間變化，所以時(shí)變加速度等于零；   在均勻流中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度不隨空間位置變化，所以位變加

24、速度等于零。   1、在水位恒定的情況下：    （1）A®A¢ 不存在時(shí)變加速度和位變加速度。      （2）B®B¢不存在時(shí)變加速度，但存在位變加速度。圖3-19  2、在水位變化的情況下：    （1）A®A¢存在時(shí)變加速度，但不存在位變加速度。      （2）B®B¢既存在時(shí)變加速度，又存在位變加速度。   問題：均勻流是：窗體頂端 A

25、、當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱悖?#160; B、遷移加速度為零；  C、向心加速度為零；  D、合加速度為零。 窗體底端思考題1.什么是流線、跡線、色線？它們有何區(qū)別？     流線（stream line）是表示某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動趨勢的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。跡線（path line）是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動軌跡線。色線又稱脈線，是源于一點(diǎn)的很多流體質(zhì)點(diǎn)在同一瞬時(shí)的連線。  2.流線、跡線各有何性質(zhì)？色線有些什么作用？     流線的性質(zhì)：  a、同一時(shí)刻的不同流線，不能

26、相交。  b、流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。  c、流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。Ｉ€可用來顯示流體的流動軌跡。  3.實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概念的意義何在？     不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的流動，確定流體流動趨勢。  4.“只有當(dāng)過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的實(shí)際流速均相等時(shí)，水流才是均勻流”，該說法是否正確？為什么？     不對。均勻流是指運(yùn)動要素沿程不發(fā)生改變，而不是針對一過水?dāng)嗝妗?#160; 5. 恒定流、均勻流等各有什么特點(diǎn)

27、？ 答案：恒定流是指各運(yùn)動要素不隨時(shí)間變化而變化，  ，恒定流時(shí)流線跡線重合，且時(shí)變加速度等于0。        均勻流是指各運(yùn)動要素不隨空間變化而變化， ，均勻流時(shí)位變加速度等于0。     6.歐拉法、拉格朗日方法各以什么作為其研究對象？對于工程來說，哪種方法是可行的？    歐拉法以流場為研究對象，拉格朗日方法以流體質(zhì)點(diǎn)為研究對象；在工程中，歐拉法是可行的。  第二節(jié) 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動特點(diǎn)和有旋流一、流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動特點(diǎn) 圖3-20(a) 圖3-20(b) 

28、; 剛體的運(yùn)動是由平移和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動兩部分組成，如圖3-20(a)。   流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，一般除了平移、轉(zhuǎn)動外，還要發(fā)生變形（角變形和線變形），如圖3-20(b)。 二、角速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式  流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)用角速度表征，習(xí)慣上是把原來互相垂直的兩鄰邊的角速度平均值定義為該轉(zhuǎn)軸的角速度。   圖3-21中Oxy平面內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)ABCD經(jīng)過Dt時(shí)間后到達(dá)A'B'C'D'，初始位置在Oxy平面上A點(diǎn)的流速為ux，uy 圖3-21逆時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)角   順時(shí)針為負(fù)；逆時(shí)針為正。     角速度(3-4) 三、有旋

29、流和無旋流  根據(jù)流體質(zhì)點(diǎn)是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)，可分為有旋流和無旋流。   1.定義   有旋流（vortex）:亦稱“渦流”。流體質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）在運(yùn)動中不僅發(fā)生平動（或形變），而且繞著自身的瞬時(shí)軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。   如旋風(fēng)即為空氣的渦流。當(dāng)流體速度變化較大，由于流體粘滯阻力、壓強(qiáng)不均勻等因素的影響，就容易形成渦流。     無旋流（potential flow）亦稱“勢流”、“有勢流”。流體在運(yùn)動中，它的微小單元只有平動或變形，但不發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，即流體質(zhì)點(diǎn)不繞其自身任意軸轉(zhuǎn)動。    注意：無旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點(diǎn)

30、本身是否旋轉(zhuǎn)，而與運(yùn)動軌跡無關(guān)。 圖3-222.有旋流和無旋流的特性   （1）若wx=wy=wz=0，即                          (3-5)   則流動為無旋流，否則，為有旋流。   有旋流（渦流）wx、wy、wz中任一個或全部不等于零的流體運(yùn)動，繞自身軸有旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動。（與通常的旋轉(zhuǎn)不同）流場內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)具有繞質(zhì)

31、點(diǎn)自身任意軸的角速度。  例： 已知流體流動的流速場為 ，判斷該流動是無旋流還是有旋流？ 解：    ；   ；   故液體流動是無旋流。 （2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一個矢量，所以可如同用流線描述流動一樣，可用渦線描述流動的旋轉(zhuǎn)變化。        渦線在同一瞬時(shí)線上各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速矢量都與該曲線相切。         無旋流一般存在于無粘性理想流體中。   有旋流一般存在于有粘性實(shí)際流

32、體中，但在粘性流體中的層狀滲流也可看作是無旋流。 想一想：1.粘性流有可能是無旋流嗎？為什么？可能；粘性可忽略的情況。例如水和空氣，靜止時(shí)是無渦的，由于它們的粘滯性很小，當(dāng)它們由靜止過渡到運(yùn)動時(shí)，在短距離內(nèi)可以認(rèn)為是無渦運(yùn)動。又如水從水庫或大小水箱流入容器時(shí)可認(rèn)為是無渦流動。再如在很寬的矩形順坡渠道中，在距渠壁較遠(yuǎn)的縱剖面上，液體質(zhì)點(diǎn)也可以認(rèn)為是無旋流。         2.什么是有旋流、無旋流？它們各有什么特點(diǎn)？ 答案：   有旋流：質(zhì)點(diǎn)具有繞自身任意軸旋轉(zhuǎn)的角速度，wx、wy、wz中至少有一個不等于0。

33、60;         無旋流：質(zhì)點(diǎn)不具有繞自身任意軸旋轉(zhuǎn)的角速度，即wx=wy=wz=0。第三節(jié)  流體動力學(xué)基本方程式一、連續(xù)性微分方程  在流場內(nèi)取一微元六面體（如圖3-23），邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)O流速為（ux,uy,uz）   以x軸方向?yàn)槔? 圖3-23左表面流速   右表面流速   所以  單位時(shí)間內(nèi)x方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：     x方向：   同理可得：    

34、y方向：   z方向： 質(zhì)量守恒定律：單位時(shí)間內(nèi)流出與流入六面體的流體質(zhì)量差之總和應(yīng) 等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量，即：       （3-6）   （1）流體的連續(xù)性微分方程的一般形式     由（3-6）式可得                         

35、 （3-7）   適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體或不可壓縮流體。   （2）可壓縮流體恒定流動的連續(xù)性微分方程   當(dāng)為恒定流時(shí)，有，則（3-7）式為                           (3-8)   適用范圍：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。   （3）不可壓縮流體

36、的連續(xù)性微分方程   當(dāng)為不可壓縮流時(shí)，有，則（3-7）式為                                  （3-9）   物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量），與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。  

37、適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或非恒定流的不可壓縮流體流動。   例：有二種的二元液流，其流速可表示為：   （1）ux= -2y, uy=3x；   （2）ux=0, uy=3xy。   試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？ 解：（1）   符合不可壓縮流的連續(xù)性方程。  所以是不可壓縮流。  （2）   不符合不可壓縮流的連續(xù)性方程。   所以不是不可壓縮流。 算一算：不可壓縮流體對下面的運(yùn)動是否滿足連續(xù)性條件？ （1） （2） （3） (1)不連續(xù)；（2）連續(xù)；（3）連續(xù)二、理想流體運(yùn)動微分方程 

38、 理想流體的動水壓強(qiáng)特性與靜水壓強(qiáng)特性相同：   從理想流體中任取一(x,y,z)為中心的微元六面體為控制體，邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)壓強(qiáng)為p(x,y,z) ，如圖3-24。   受力分析(x方向?yàn)槔?：   1.表面力   因?yàn)槔硐肓黧w，所以t=0   左表面   右表面 圖3-24  2.質(zhì)量力   單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為X,Y,Z，所以x方向的質(zhì)量力為Xrdxdydz   由牛頓第二運(yùn)動定律，x方向有：       &

39、#160;           理想流體的運(yùn)動微分方程（歐拉運(yùn)動微分方程）     （3-10）  適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。   若加速度等于0，則上式就可轉(zhuǎn)化為歐拉平衡微分方程(2-6)式                       

40、60;      考考你：在什么情況下，加速度會等于0，從而使（310）式轉(zhuǎn)化為（26）式？  當(dāng)流體處于靜止或相對平衡狀態(tài)時(shí)三、粘性流體的運(yùn)動微分方程  1.粘性流體的特點(diǎn)   （1）實(shí)際流體的面積力包括：壓應(yīng)力和粘性引起的切應(yīng)力。   切應(yīng)力由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律確定：                      &#

41、160; （2）實(shí)際的流動流體任一點(diǎn)的動壓強(qiáng)，由于粘性切應(yīng)力的存在，各向大小不等，即pxx¹ pyy ¹ pzz。任一點(diǎn)動壓強(qiáng)由式（2-5）為：                                （3-11）2.實(shí)際流體的運(yùn)動微分方程式 圖3-25  同樣取一微元六面體作為控制

42、體，如圖3-25。   x向受力   左右向壓力、 上下向切力、 前后面切力、 質(zhì)量力   x 方向（牛頓第二運(yùn)動定律）        考慮條件： 1）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程（3-9）：             2）切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式（3-11）。   可得不可壓縮粘性流體運(yùn)動微分方程：   納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程     （

43、3-12）   拉普拉斯算符  ， 例：  想一想：N-S方程與歐拉運(yùn)動微分方程有何聯(lián)系？   NS方程是不可壓縮粘性流體的運(yùn)動微分方程，而歐拉運(yùn)動微分方程則是理想流體的運(yùn)動微分方程。當(dāng)流動流體的運(yùn)動粘度等于0，即為理想流體時(shí)，NS方程即為歐拉運(yùn)動微分方程。第四節(jié)  歐拉運(yùn)動微分方程的積分    由于歐拉運(yùn)動微分方程是一個一階非線性偏微分方程組（遷移加速度的三項(xiàng)中包含了未知數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘積），因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分。歐拉運(yùn)動微分方程組(3-10)各式分別乘以dx，dy，dz（流場任意

44、相鄰兩點(diǎn)間距ds的坐標(biāo)分量），然而相加得：            （3-13）      <I>                        <II>      &

45、#160;                   <III>一、在勢流條件下的積分   考慮條件   1.恒定流： ；   2.均勻不可壓縮流體，即r=const，；   3.質(zhì)量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g；     4.有勢流動,滿足式（3-5）：  ；   因此，（3-13）式中各項(xiàng)為： 

46、0;           (考慮 歐拉加速度的表達(dá)式（3-3）                  （引入有勢流動的條件4）          由以上得：   積分得：         

47、60;  理想勢流伯努利方程                          （3-14）  或           （3-15）   物理意義:在同一恒定不可壓縮流體重力勢流中，理想流體各點(diǎn)的總比能相等即在整個勢流場中，伯努利常數(shù)C均相等。 &#

48、160; （應(yīng)用條件：“    ”所示）   符號說明 物理意義 幾何意義 單位重流體的位能（比位能） 位置水頭 單位重流體的壓能（比壓能） 壓強(qiáng)水頭 單位重流體的動能（比動能） 流速水頭 單位重流體總勢能（比勢能） 測壓管水頭 總比能 總水頭 二、沿流線的積分  1.只有重力作用的不可壓縮恒定流，有         2.恒定流中流線與跡線重合：       沿流線（或元流）的能量方程：         &

49、#160;           （3-16）   注意：積分常數(shù)C，在非粘性、不可壓縮恒定流流動中，沿同一流線保持不變。一般不同流線各不相同（有旋流）。     （應(yīng)用條件：“    ”所示，可以是有旋流） 判斷：公式（314）與公式（316）兩式形式完全相同，因此其應(yīng)用條件也相同。 你的回答：錯思 考 題1.實(shí)際流體區(qū)別與理想流體有何不同？理想流體的運(yùn)動微分方程與實(shí)際流體的運(yùn)動微分方程有何聯(lián)系？    實(shí)際流體具有

50、粘性，存在切應(yīng)力；實(shí)際流體的運(yùn)動微分方程中等式的左邊比理想流體運(yùn)動微分方程增加了由于粘性而產(chǎn)生的切應(yīng)力這一項(xiàng)。    2.連續(xù)性微分方程有哪幾種形式？不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程說明了什么問題？    一般形式，恒定流，不可壓縮流；質(zhì)量守恒。    3.歐拉運(yùn)動微分方程組在勢流條件下的積分形式的應(yīng)用與沿流線的積分有何不同？    形式完全相同，但含義不一樣。  勢流條件下積分形式是針對理想流體的恒定有勢流動中的任何質(zhì)點(diǎn)，而不局限于同一流線。  沿流線積分形式是針對理想流體恒定流流動中同一條流線的

51、質(zhì)點(diǎn)。    第五節(jié)  恒定平面勢流一、基本方程組  對于不可壓縮恒定二元勢流，有   1.平面無旋，即 ；   2.恒定流，即；                  3.不可壓縮流體，即r =const。   因此粘性流體的運(yùn)動方程（3-12）可簡化為：          

52、60;       （3-17） 不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程（3-9）為：                               （3-18） 二、流速勢函數(shù)（勢函數(shù)） 觀看錄像>>   存在條件：不可壓縮無旋流，即 或 

53、;   必要條件存在全微分dj  直角坐標(biāo)                            （3-19）   式中：j無旋運(yùn)動的流速勢函數(shù)，簡稱勢函數(shù)。   勢函數(shù)的拉普拉斯方程形式   對于不可壓縮的平面流體流動中，將（3-19）式代入連續(xù)性微分方程（3-18），有：   或 &#

54、160;        （3-20）   適用條件：不可壓縮流體的有勢流動。  問題1：流速勢函數(shù)存在的必要與充分條件是:窗體頂端 A、平面無旋流動；  B、理想流體平面流動；  C、不可壓縮流體平面流動；     D、無旋流動。    窗體底端問題2：設(shè)流速勢函數(shù)j=xyz，則點(diǎn)B（1，2，1）處的速度uB為： 窗體頂端 A、5；     

55、60; B、1；     C、3；        D、2。    窗體底端極坐標(biāo)                          （3-21） 判斷：勢函數(shù)只在不可壓縮流體的有勢、平面流動中存在。你的回答： 錯 三、流函數(shù)

56、60; 1.流函數(shù)   存在條件：不可壓縮流體平面流動。   直角坐標(biāo)   連續(xù)性微分方程：   必要條件存在全微分dy                               （3-22）   式中：y不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)。    適用范圍：無旋

57、流、有旋流、實(shí)際流體、理想流體的不可壓縮流體的平面流動。   流函數(shù)的拉普拉斯方程形式   對平面勢流，有，則     或             （3-23）   適用條件：不可壓縮流體的平面有勢流動。   極坐標(biāo)                  

58、0;         （3-24） 2.流函數(shù)的物理意義   （1）流函數(shù)等值線就是流線。     得平面流線方程（3-1）：，得證。   （2）不可壓縮流體的平面流動中，任意兩條流線的流函數(shù)之差dy等于這兩條流線間所通過的單位寬度流量dq。  圖3-26AB斷面所通過流量：    例1：平面點(diǎn)源（匯）流動，如圖3-27：。（1）問是否為有勢流。（2）若有勢，求流速勢j。（3）是否為不可壓縮流體。（4）求平面流動的流函數(shù)y。 解：（1） 

59、;          所以為有勢流。    （2）   采用極坐標(biāo)：uq=0 圖3-27    另解：         (3)   所以為不可壓縮流。   (4)           另解:   又     所以流線為通過原點(diǎn)的射線。 例2  有下面二個流動(a)ux=1,uy=

60、2； (b) ux=4x,uy=-4y 試求：（1）判別流動(a)中是否存在流函數(shù)？若存在，求流函數(shù)y。      （2）判別流動(b)中是否存在勢函數(shù)？若存在，求勢函數(shù)j。 解：（1）     故滿足連續(xù)性方程，存在流函數(shù)。   方法一：     y=y+C(x)   而  C(x)=-2x+C1   故y=y-2x+C1   方法二：   積分得：y =y-2x+C1     （2）   &#

61、160;       故滿足連續(xù)性方程，存在流函數(shù)。   方法一：     積分：     C(y)=-2y2+C2   故j = 2x2-2y2+C2   方法二：   積分得：j = 2x2-2y2+C2   例3  已知流場的流函數(shù)y=ax2-ay2； （1）證明此流動是無渦流；（2）求出相應(yīng)的速度勢函數(shù)；（3）證明流線與等勢線正交。     解： （1）該流場為二元流，速度分量與流函數(shù)的關(guān)系式如下： 

62、0;     所以此流動為無渦流，存在速度勢函數(shù)。 （2）求速度勢函數(shù)      （1）   現(xiàn)在來確定C(y)；為此將上式對y取偏導(dǎo)數(shù)，得   因而C'(y)=0，即C(y)=C(y為常數(shù))   將上式代入（1）式，即得到流速勢函數(shù)j= -2axy+C （3）等流函數(shù)線就是流線，其方程為   流線上任一點(diǎn)的斜率為   等流速勢線就是等勢線，其方程為：   在同一點(diǎn)上等勢線的斜率為   m1× m2 =-1；   流線與等勢線在該點(diǎn)上相互正交。 想一想：平面流體流動中的固體壁面可以看作