確定帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法

1、確定帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法總結(jié)一、對稱法  帶電粒子如果從勻強(qiáng)磁場的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)線段的中垂線對稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場，則其射出磁場時(shí)速度延長線必過圓心（如圖2）。利用這兩個(gè)結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。  例1如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少

2、？  解析：正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4），由對稱性知：射入、射出點(diǎn)和圓心恰好組成正三角形。所以兩個(gè)射出點(diǎn)相距s=2r=，由圖還看出經(jīng)歷時(shí)間相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對稱。 例2如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場區(qū)，并由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為圓心。當(dāng)MON120°時(shí)，求：帶電粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。  解析：分別過M、N點(diǎn)作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點(diǎn)O'即為帶電粒子作

3、圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)圓弧軌道的圓心，如圖6所示。 由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對的軌道圓心角為60°，O、O'的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=r/tan30°= 又帶電粒子的軌道半徑可表示為：     故帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期： 帶電粒子在磁場區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 二、旋轉(zhuǎn)圓法 在磁場中向垂直于磁場的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。  例3如

4、圖8所示，S為電子源，它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為v0，質(zhì)量為m，電量為q的電子（q<0），MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為mv0/qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？  解析：由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓，且動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖9所示，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN的相切時(shí)的交點(diǎn)P，最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相割，且SQ為直徑時(shí)Q為最低點(diǎn)，帶電粒子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，由 

5、60;   得： SQ為直徑，則：SQ=2L，SO=L ，由幾何關(guān)系得： P為切點(diǎn)，所以O(shè)PL ，所以粒子能擊中的范圍為。 例4（2010全國新課程卷）如圖10所示，在0xA0y范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場的

6、粒子從粒子源射出時(shí)的： （1）速度大??；（2）速度方向與y軸正方向夾角正弦。  解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：，解得：。 從O點(diǎn)以半徑R（Ra）作“動(dòng)態(tài)圓”，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，所以O(shè)CA。 設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系得： ，再加上， 解得：， 三、縮放圓法 帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂

7、直射入勻強(qiáng)磁場中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問題得到解決。  例5如圖13所示，勻強(qiáng)磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場射入，入射方向與邊界的夾角為，已知電子的質(zhì)量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。  解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界射出，設(shè)此時(shí)的速率為v

8、0，帶電粒子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得：r+rcos=d         電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：，所以：       聯(lián)立解得：，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于。 例6（2010全國II卷）如圖15所示，左邊有一對平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)

9、強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域。不計(jì)重力。 （1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量； （2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為3a/4，求離子乙的質(zhì)量； （3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？  解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則

10、有：qvB0=qU/d，解得離子的速度為：v=U/B0d（為一定數(shù)值）。 雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量m改變，結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖16中的動(dòng)態(tài)圓。 （1）由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖17中的半圓，半圓與EG邊相切于A點(diǎn)，與EF邊垂直相交于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑：R甲=acos30°tan15°=（）a， 從而求得離子甲的質(zhì)量m甲=。 （2）離子乙的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖18所示，在EIO2中，由余弦定理得： ，解得R乙=a/4， 

11、從而求得乙離子的質(zhì)量m乙=。  （3）由半徑公式R=mv/qB可知Rm，結(jié)合（1）（2）問分析可得： 若離子的質(zhì)量滿足m甲/2mm甲，則所有離子都垂直EH邊離開磁場，離開磁場的位置到H的距離介于R甲到2R甲之間，即； 若離子的質(zhì)量滿足m甲<mm乙，則所有離子都從EG邊離開磁場，離開磁場的位置介于A到I之間，其中AE的距離AE=，IE距離IE=。 四、臨界法 以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，借助半徑r和速度v以及磁場B之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解

12、極值，畫出臨界點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵。 例7長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，如圖19所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L，兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m電量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以水平速度v射入磁場，欲使粒子打到極板上，求初速度的范圍。  解析：由左手定則判定受力向下，所以向下偏轉(zhuǎn)，恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個(gè)臨界狀態(tài)，分別作出兩個(gè)狀態(tài)的軌跡圖，如圖20、圖21所示，打到右邊界時(shí)，在直角三角形OAB中，由幾何關(guān)系得：   解得軌道半徑 電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力 

13、60; 因此 打在左側(cè)邊界時(shí)，如圖21所示，由幾何關(guān)系得軌跡半徑 電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力，    所以 所以打在板上時(shí)速度的范圍為v 例8如圖22，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊中點(diǎn)O射出與Od邊夾角為30°，大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m,電量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力忽略不計(jì)。求： （1）試求粒子能從ab邊上射出磁場的v0的大小范圍；  （2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和在這種情況下粒子從磁場中射出所在邊上位置的范圍。 解析：（1）畫出從O點(diǎn)射入磁場的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)圓，能夠從ab邊射出的粒子的臨界軌跡如圖23所示，軌跡與dc邊相切時(shí)，射到ab邊上的A點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為O1，則軌道半徑r1=L，由得最大速度。 軌跡與ab邊相切時(shí)，射到ab邊上的B點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為O2，則軌道半徑r2=L/3，由得最