《數(shù)值計算方法》試題集及標(biāo)準答案資料

1、數(shù)值計算方法試題集及答案 資料作者:日期:#數(shù)值計算方法復(fù)習(xí)試題7、填空題:A1、4 ，則A的LU分解為1A 1 4答案：0410115 414 15 156153、f1，f（2）2，f（3） 1 ,則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為拉格朗日插值多項式為答案：-1,11L2(X)2(x 2)(X 3) 2(X 1)(X 3) 2(x 1)(X2)4、近似值x* 0.231關(guān)于真值x 0.229有（2 ）位有效數(shù)字;5、設(shè)f（X）可微，求方程X f（X）的牛頓迭代格式是（）；Xn 1答案Xn f(Xn )1 f(Xn)6、對 f(X)X3X 1,差商 f0,1,2,3(1), f0,1,2

2、,3,4(0)；7、計算方法主要研究（ 截斷）誤差和（ 舍入 ）誤差;8、用二分法求非線性方程f （x）=0在區(qū)間（a,b）內(nèi)的根時，二分 n次后的誤差限為b a(2n 1）；10、已知 f(1) = 2, f(2) = 3,f(4)=5.9,則二次 Newton 插值多項式中X2系數(shù)為（0.15 ）;11、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為（A的各階順序主子式均不為零）。1012、為了使計算4(X 1)26（x 1）3的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表y 10達式改寫為_(3 (46t)t)t,t1x 1,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式52001 v 1999 改寫為、須1 V1

3、999313、用二分法求方程f（X） x x 1 0在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進行一步后根的所在區(qū)間為0.5, 1，進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5, 0.7514、3x1 5x2 1求解方程組0.2x1 4x20斯高斯塞德爾迭代格式為(kXi(kX21)1)(1 5x2k)/3(k 1)x1/20 一該迭1代格式的迭代矩陣的譜半徑（M）=12 015、設(shè) f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,則 k(x)li(x)x(x2)f（x）的二次牛頓插值多項式為 N2(x) 16x 7x(x 1) o16、求積公式a(x)dxnAkf（Xk）k 0的代數(shù)精度以（高斯型）求積公式為最高,有（2n

4、 1）次代數(shù)精度。21、次。如果用二分法求方程0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（1022、a=(23、nS(x)已知3),1o(x),1i(x),3x12(xb=(1)3a(x21) b(x1) c 13是三次樣條函數(shù)，則lk(x)k 024、(1 ),ln(x)是以整數(shù)點nxklj(xk)k 0(Xj )c=(x0,x1，1）。, xn為節(jié)點的nLagrange插值基函數(shù)，貝U(X4 X23)lk(x)0(25、區(qū)間26、a,b上的三次樣條插值函數(shù)變函數(shù)f（x） v，x 11S(x)在 a,bx ( x上具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。1 ）的形式，使計算結(jié)果27、若用二分法求方程f x 0

5、在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第 3位小數(shù)，則需要對分1028寫出求解方程組x1 1.6x210.4x1x22 的 Gauss-Seidel 迭代公式k 1x1k 1乂21 1.6x0.4xikt 1 ,k 0,1,迭代矩陣為1.60.64,此迭代法是否收斂收斂。31、設(shè)，則A32、設(shè)矩陣33、若 f（x）4213x434、線性方程組101136、設(shè)矩陣二、單項選擇題:2x2110的A LU ,則U ,則差商 f2,4,8,16,321523的最小二乘解為1、2、4、A.C.5、A.2612分解為A LU ,則UJacobi迭代法解方程組Ax b的必要條件是A. A的各階順序主子式不為零C.A

6、.aii0,i1,2,nB.求解線性方程組對稱陣任意陣舍入誤差是只取有限位數(shù)B.D.(A)則為(C ).C. 7D.110W21 萬Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是（B ）。D .各階順序主子式均不為零A ）產(chǎn)生的誤差。B .模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C.觀察與測量D.數(shù)學(xué)模型準確值與實際值6、3.141580是冗的有(B )位有效數(shù)字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 77、用i+x近似表示e所產(chǎn)生的誤差是( C )誤差。A.模型 B.觀測C.截斷D.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A )。A.控制舍入誤差B.減小方法誤差C.防止計算時溢出D.簡化計

7、算x9、用1 + 3近似表示3n所產(chǎn)生的誤差是(D )誤差。A.舍入 B.觀測 C.模型 D.截斷10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效數(shù)字。A. 5B. 6 C. 7D. 811、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4，則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A )。A.-0. 5 B. 0. 5 C. 2 D. -212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C )。A. 3 B. 4 C. 5 D. 213、( D )的3位有效數(shù)字是 0.236X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418 (D)

8、 235.54X 10- 114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根,把方程f(x)=0表示成x= (x),則f(x)=0的根是(B )。(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo)15、用列主元消去法解線性方程組3x1X4x1(B) y=x與y= (x)交點的橫坐標(biāo)(D) y=x與y= (x)的交點x2 4x3 12x2 9x303x2 x3I第1次消元，選擇主元為(A) -4(B) 316、拉格朗日插值多項式的余項是(C) 4(D)-9(B )，牛頓插值多項式的余項是(C )。23 x11(A) f(x,x0,x1,x2,xnx®(x x2)(x x

9、n 1)(x xn),x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.2523、有下列數(shù)表所確定的插值多項式的次數(shù)是()。(3)四次;(4)五次Rn(x) f(x)(B)f(n 1)()Pn(x)(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f (x)(D),xn)x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(xxn),f (n 1) ()Pn(x) n1(x)(n 1)!18、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,定收斂到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f (x) 0(

10、C) f(x0)f (x)0(D)f(x0)f(x) 019、為求方程 x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根,把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。2x(A)1,，迭代公式:xk1x 1x(B),迭代公式：xk1 x1-2xk3(C)xx2,迭代公式：xk 1(12、1/3 xk)3x(D)，迭代公式：xk 12xkxk21、解方程組(1)(A)Ax1b的簡單迭代格式1,(k 1)(k)x Bx(A)g收斂的充要條件是1,(4)(B) 1(1)二次;25、取J3 1.732計算x (J3 1)4 ,下列方法中哪種最好？(16(C) (4 2圾2 ；)_

11、16_(D)(& 1)4。X11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.527、由下列數(shù)表進行 Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是()(D) 2。(B)4;(C)Newton(A)5；(A) 28 16出；(B) (4 2石)2；)3;29、計算迭代格式為(xkxk(A) xk xk ； (B)Xk1232xk；(C)xkxk 22xk ； (D)xk 1xk 3330、用二分法求方程 x 次數(shù)至少為（）（A）10;（B）12;4x2 10 0在區(qū)間1,2內(nèi)的實根，要求誤差限為(C)8；(D)9。32、設(shè) li(x)是以 xk k(k0,1,L，9

12、）為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則kli(k)k 0(A) x ；(B)(D) 1。,、一 335、已知萬程x 2x2附近有根，下列迭代格式中在X010 * 3,則對分2不收斂的是（Xk 15.2x33x2X01234f(x)1243-5(B)確定的唯一插值多項式的次數(shù)為(A) 4；(B)2；(D)3。xk(D)()(C)1；253Xk - (C) xk 1xk xk(A) Xk 13 2xk5;36、由下列數(shù)據(jù)三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打，否則打）1、已知觀察值（Xi，yi）（i 。，1，2， m），用最小二乘法求n次擬合多項式Pn（x）時,Pn（x）的次數(shù)n可以任意取。2、

13、用1- 2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。3、5、矩陣A=1、用高斯-塞德爾方法解方程組求按五位有效數(shù)字計算）。4x1Xi 2x12x24x2X2X32x35X3111822，取x(0)（0,0,0）T ,迭代四次（要(x Xo)(X X2)答案：迭代格式Xi(k 1)-(112x2k)x3k)(k i)X24-(18 xi(k1) 2x3k)41 (22 2x1(k 1)x2k 1)5kx1(k)x2k)x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知xi134

14、5f(xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))。(x3)(x4)(x 5)(x1)(x 4)(x5)L3( x) 2 6答案：(13)(14)(1 5)(31)(3 4)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.55、已知xi-2-1012f(xi)42

15、135求f(X)的二次擬合曲線P2(X),并求f (0)的近似值。答案：解:正規(guī)方程組為P2(X)103一 一 x7105a010a21510al310a°34 a241a0107,a13,a210/、3P2(x)1011一 x7f (0)P2(0)-311 2一 X141114ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi小0-244-816-8161-121-11-22201100r 0r 001313111334254816102001510034341216、已知sinx區(qū)間0.4, 0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.56

16、4640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最??？并求該 近似值。答案：解： 應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差M3|R2(x)|-| 3(x)|3!盡量小，即應(yīng)使| 3(x)|盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點05060.乃最好，實際計算結(jié)果sin0.63891 0.596274,sin 0.63891 0.5962741 ,(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3!1-40.55032 10(Xn)，n0，1，2，討論其收斂x7、構(gòu)造求解方程e 10x 2 0的根的迭代格式xn 1性，并

17、將根求出來，|Xn1 Xn|10 402 0,f (1) 10 e 0X答案：解：令 f (x) e 10X 2, f (0)且f (x) ex 10 0對x (,)，故f(x) 0在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程 f(x)0變形為x (2 ex)10則當(dāng)x (0,1)時1010(X).(2 ex)| (x)|10 , 故迭代格式收斂。取x0 0.5Xn 14(2 eXn)n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008計算結(jié)果

18、列表如下:6且滿足 | x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090 525 0088、利用矩陣的LU分解法解方程組x12x23x3142x15x22x3183x1x25x320A LU答案：解：3424令 Ly b得 y (14, 10, 72)T , Ux y 得 x (1,2,3)T3x1 2x2 10X3 1510X1 4x2x3 59、對方程組2x1 10x2 4x3 8(1)試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由;(2)取初值x(0)(O,O,0)T ,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k 1) x(k)|103。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)

19、矩陣嚴格對角占優(yōu)10x1 4x2 x3 52x1 10x2 4x3 83x1 2x2 10x3 15故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為x(k 1) 110(4x2k)x3k) 5)x2k1) -1( 2x(k 1)4x3k) 8)10x3k 1)( 3x(k 1) 2x2k 1)15)取x(0) (0Q0)T,經(jīng)7步迭代可得：x* x (0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)解：當(dāng) 0<x<1 時，f

20、 (x) ex,則要求近似值有5位有效數(shù)字,Rin)(f)(b a)312n2即可，解得11、解:f (x) e只須誤差(),只要Rin)(e1口 eXdx且0R1(n)(f)有一位整數(shù).210 4所以 n 68,因此至少需將用列主元素消元法求解方程組41211112、e212n2e212n210102 67.308770,1 68 等份。2X1X2X3124114121112 一152r3 -r151 r213回代得取節(jié)點x054312543121282313179005555551317912800555555543120,X1B(x)，并估計誤差。13515 _5 13x30.5, x2

21、1795_5131,X26, X1，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式解:0 (x 0.5)(x 1)0.5 (x 0)(x 1)e e (0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)(x 0)( x 0.5)(1 0)(1 0.5)_0 5_1一2(x 0.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)f(x) ex，f(x) ex，M3 xmiax11f (x)| 1故截斷誤差|R2(x)| |e x1P2(x)1 3!|x(x 0.5)(x 1)115、用牛頓(切線)法求M3的近似值。取x0=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。解：J3是f(x) x2 3 0

22、的正根,f (x) 2x，牛頓迭代公式為x2 3xn 1 xn-xn3xn 1(n 0,1,2,)2 2xnn123xn1.732351.732051.732052xn ,即取x0=1.7,列表如下:16、已知f (-1)=2, f (1)=3, f(2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)Sf (1, 5)的近似值, 取五位小數(shù)。2 (x1)(x 2)3 (x1)(x2)4 (x1)(x1)L2 (xj 234解：(11)( 1 2)(11)(12)(21)(21)系數(shù)矩陣120、解:ATX(k x1i)3(x3k)5)(k x2i)1( x"x3k)i)x3ki)1( x<

23、;k 1-x2k 1)8)ky(k) x1x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T,列表計算如下：x19253038小19.032.349.073.32span1, x (8分)用最小二乘法求形如y a bx2的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):1192解方程組111252312 382AT AC AT yyT19.0 32.3 49.0 73.3其中T 4ATA33913391 3529603ATy173.6179980.7C 解得：0.925557

24、70.0501025 所以0.9255577,b 0.0501025322、(15分)方程xx 1 0在x 1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式對應(yīng)迭彳t格式xn 1111* J1 x對應(yīng)迭代格式xxn ; (3)x x3 1對應(yīng)3迭代格式xn 1 xn精確到小數(shù)點后第三位。判斷迭代格式在x0 1.5的收斂性，選一種收斂格式計算 x 1.5附近的根,足(x)解：(1)13(x1)(1.5)0.18 1 ,故收斂;(2)(3)(x)(x)12x2 ：1 1%、彳2x 1x, | (1到 0.17 1,故收斂;3x2"(16 二f''' x -x 2 1.

25、52 1,故發(fā)散。823選擇(1) ： x01.5 x1 1.3572 x21.3309 x3 1.3259 x41.3249x5 1.32476 x6 1.3247223、(8分)已知方程組 AX f ,其中4324A 341 f 301424(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。(k1)1(24 3x2k)解：Jacobi迭代法:(k2(x1(30 3x1(k) x3k)401( 24 x2k)4k 01,2,3,x1(k1)-(24 3x2k)4x2k1)1(30 3x1(k 1) x3k)4Gauss-Sei

26、del 迭代法:Bj D 1(L U)k Q1,2,3,(Bj)0.79056931、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算115的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：100100.0476190121110.0434783-0.00009411361441211510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f'''115 100 115 121115 1443135-100 2 15 6 29 0.001636833、（10分）用Gauss列主

27、元消去法解方程組:x1 4x2 2x3243x1 X2 5X3342x1 6x2 x3273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875x 2.0000,3.0000,5.0000 T34、（8分）求方程組Xix2521 的最小二乘解。3 6 XiAT Ax ATb6 14 x2若用Householder變換，則：81.3333x202.0000A,b1.73205003.46410 4.618800.366031.520731.366032.520731.732053.464104.6188001.414212.82843000.81650最小二乘解：(-1.33333 , 2.00000) T.A 1 11 b 237、