第一章D極限存在準則ppt課件

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系 及夾逼準那么及夾逼準那么第六節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 極限存在準那么及兩個重要極限 第一章 一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準那函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準那么么1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnAxfnn)(lim為確定起見 , 僅討論的情形.0 xx 有)(nxfxnx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義,

2、)(0nxxn且設,)(lim0Axfxx即,0,0當,00時xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定義 , 且, )(0nxxn對上述 ,Nn 時, 有,00 xxn于是當Nn 時.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反證法證明. (略).)(limAxfnn有證：證：當 xyA,N“ “ 0 x機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且.)(limAxfnn有闡明闡明: 此定理常用于判別函數(shù)極限不存在此定理常用于判別函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個數(shù)列找一個數(shù)列:nx,0 xxn, )(0n

3、xxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個趨于找兩個趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1. 證明證明xx1sinlim0不存在 .證證: 取兩個趨于取兩個趨于 0 的數(shù)列的數(shù)列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準那么函數(shù)極限存在的夾逼準那么定理定理2.,),(0時當xxAxhxgxxxx)(lim)(

4、lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準那么可證 )機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有注 目錄 上頁 下頁 前往 終了 當20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)c

5、os1(lim0 xx注注例例2. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 nnnRcossinlim2Rn例例4. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 知圓內接正知圓內接正 n 邊形面積為邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnn

6、RnAcossin22R闡明闡明: 計算中留意利用計算中留意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2.exxx)1(lim1證證: 當當0 x時, 設, 1nxn那么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 當x, ) 1( tx那么,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1

7、 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1闡明闡明: 此極限也可寫為此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時, 令機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt那么xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1闡明闡明 ：假設利：假設利用用,)1 (lim)()(1)(exxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 那么 原式111)1 (limexxxlimx例例7. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1

8、(2xexx22sin機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 x2sin1的不同數(shù)列內容小結內容小結1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關系的運用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準那么法法1 找一個數(shù)列找一個數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個趨于找兩個趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準那么機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表一樣的表達式代表一樣的表達式機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索與練習思索與練習填空題填空題 ( 14 );_sinlim.