2018北師大版高中數(shù)學必修一學案：第三章3指數(shù)函數(shù)(一)

1、我的頁眉小初高學習K12教育學習頁腳內(nèi)容指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(一)【學習目標】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性 .2.掌握指數(shù)函數(shù)圖像的 性質.3.會應用指數(shù)函數(shù)的性質求復合函數(shù)的定義域、值域.IT問題導學知識點一指數(shù)函數(shù)思考 細胞分裂時，第一次由 1個分裂成2個，第2次由2個分裂成4個，第3次由4個分 裂成8個，如此下去，如果第 x次分裂得到y(tǒng)個細胞，那么細胞個數(shù) y與次數(shù)x的函數(shù)關系 式是什么？這個函數(shù)式與 y=x2有什么不同？梳理 一般地，叫作指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是.特別提醒：(1)規(guī)定y= ax中a>0,且awl的理由：當a<

2、0時，ax可能無意義；當a>0時，x可以取任何實數(shù)； 當a=1時，ax=1(xCR), 無研究價值.因此規(guī)定 y= ax中a>0,且awl.(2)要注意指數(shù)函數(shù)的解析式：底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上； ax的系數(shù)必須為1;指數(shù)函數(shù)等號右邊不會是多項式，如y= 2x+1不是指數(shù)函數(shù).知識點二指數(shù)函數(shù)的圖像和性質思考 函數(shù)的性質包括哪些？如何探索指數(shù)函數(shù)的性質？梳理 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且aw 1)的圖像和性質:a>10<a<1圖像一尸1 y=a0yJ性質(1)定義域：R(2)值域：(0, 十8)(3)過點, 即 x=

3、時, y=(4)當 x>0 時，;x<0 時，(4)當 x>0 時，;x<0 時,(5)是R上的(5)是R上的題型探究類型一求指數(shù)函數(shù)的解析式例1已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖像過點(3, nt)求函數(shù)f(x)的解析式.反思與感悟(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，a是一個常數(shù)，ax的系數(shù)為1,且a>0, aw 1.指數(shù)位置是X,其系數(shù)也為1,凡是不符合這個要求的都不是指數(shù)函數(shù).(2)要求指數(shù)函數(shù)f(x) = ax(a>0,且aw 1)的解析式，只需要求出 a的值，要求a的值，只需一 個已知條件即可.跟蹤訓練1已知指數(shù)函數(shù)y= (2b 3)ax經(jīng)過點(1,2),求a, b的

4、值.類型二求指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復合所得函數(shù)的定義域、值域命題角度1 f(ax / |例2求下列函數(shù)的定義域、值域.(1)y=1I_3x; (2)y=4x-2x+1.1十3反思與感悟解此類題的要點是設 ax=t,利用指數(shù)函數(shù)的性質求出t的范圍，從而把問題轉化為y= f(t)的問題.跟蹤訓練2 求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)y=小-)；ax-1(2)y= ax(a>0,且 aw 1).例3求函數(shù)y= 寸32'-1 1的定義域、值域.再利用y反思與感悟y= af(x)的定義域即f(x)的定義域，求丫=小”的值域可先求f(x)的值域,=at的單調(diào)性結合t=f(x)的范圍求y= at的范

5、圍.跟蹤訓練3求下列函數(shù)的定義域、值域. 1(1) y =0.3己(2) y =3 小類型三指數(shù)函數(shù)圖像的應用命題角度1指數(shù)函數(shù)整體圖像例4在如圖所示的圖像中，二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c與函數(shù)y= !b x的圖像可能是反思與感悟函數(shù)y= ax的圖像主要取決于0<a<1還是a>1.但前提是a>0且awl.跟蹤訓練4 已知函數(shù)f(x)=4+ax+1的圖像經(jīng)過定點P,則點P的坐標是()A. (-1,5)B (T,4)C (0,4)|命題角度2指數(shù)函數(shù)局部圖像D . (4,0)例5若直線y= 2a與函數(shù)y= |2x1|的圖像有兩個公共點，求實數(shù) a的取值范圍.反思與感

6、悟 指數(shù)函數(shù)是一種基本函數(shù)，與其他函數(shù)一道可以衍生出很多函數(shù)，本例就體現(xiàn) 了指數(shù)函數(shù)圖像的 “原料”作用.跟蹤訓練5函數(shù)y=a|x|(a>1)的圖像是(當堂訓練A.F列各函數(shù)中,y=(-3)x是指數(shù)函數(shù)的是()B.xy= 一 3C.x 1y= 3D.1 x y=R2.若函數(shù)y= (2a1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是()A.a>0，且 aw 1B.a>0,且 aw 1C.a>；且 a.D.3.函數(shù)y=372的值域是()A.(0, +°° )B.(一OO , 0C.(0,1D.-1,0)4.函數(shù)f(x)=ax-b的圖像如圖所示，其中 a

7、, b均為常數(shù)，則下列結論正確的是(B. a>1, b>0D. 0<a<1, b<0)A. a>1, b<0C. 0<a<1, b>05.函數(shù)f(x)=5一2x +的定義域為( x 5+3A. (-3,0B (-3,1C.(巴3)U( 3,0D. ( 8, 3)U( 3,1規(guī)律與方法1 .判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，關鍵是看解析式是否符合y= ax(a>0,且aw 1)這一結構形式，即ax的系數(shù)是1,指數(shù)是x且系數(shù)為1.2 .指數(shù)函數(shù)y= ax(a>0,且aw 1)的性質分底數(shù)a> 1,0v av 1兩種情況，但不論

8、哪種情況,指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)的.3 .由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且aw 1)的定義域為 R,即xCR,所以函數(shù)y=af(x)(a> 0,且aw 1) 與函數(shù)f(x)的定義域相同.4 .求函數(shù)y=af(x)(a>0,且aw 1)的值域的方法如下：(1)換元，令t=f(x),并求出函數(shù)t=f(x)的定義域；求t= f(x)的值域tC M；(3)利用y= at的單調(diào)性求y= at在tC M上的值域.答案精析問題導學知識點一思考y=2x.它的底為常數(shù)，自變量為指數(shù)，而y= x2恰好反過來.梳理 函數(shù)y=ax（a>0,且aw 1） R知識點二思考 函數(shù)的性質通常包括定義域、值域

9、、特殊點、單調(diào)性、最值、奇偶性.可以通過描點作圖，先研究具體的指數(shù)函數(shù)性質，再推廣至一般.梳理（0,1） 0 1 y>1 0<y<10<y<1 y>1 增函數(shù) 減函數(shù)題型探究例1解 設f（x）=ax,將點（3, nt代入，得到"3）=兀，1x即a3= tz,解得a=兀3,于是f（x）= t?.跟蹤訓練1 解 由指數(shù)函數(shù)定義可知2b3=1,即b= 2.將點（1,2）代入y=ax,得a=2.例2 解（1）函數(shù)的定義域為 R（.對一切xCR,3xw 1）.十3）1 1_JL片1 + 3、=1-1+3、'又 3x>0,1+3x>1 ,-

10、0<x<1 , ''' 一 1<一 x<0 ,1 + 31 + 30<1-1<1,，值域為（0,1）.1 + 3（2）定義域為 R, y=（2x）2-2x+1小 1 2 3=（2-2）十72x>0,2x=2,即x= 1時，y取最小值3,同時y可以取一切大于4的實數(shù)，3值域為：,+ 8）.跟蹤訓練2解(1) . 1-(2)>0, g/W1,解得 x>0,二原函數(shù)的定義域為0, +8).令 t=1- 2 J (x>0),則 0Wt<1,0V 近1,原函數(shù)的值域為0,1).(2)原函數(shù)的定義域為R.方法一設ax

11、=t,則在(0, + 8).t一 1t+ 1 - 22y t+1 t+1t+1-t>0 ,t+ 1>1,0<<1 , 2<<0 ,t+1t+1一 1<1 一 <1. t+1即原函數(shù)的值域為（一1,1）.、一ax1方法二 由 y=(a>0 ,且 aw1),a +1得 ax=-y+ 1y-1ax>0, .>0, 1<y<1.y-1原函數(shù)的值域是（一1,1）.例3解要使函數(shù)有意義,則x應滿足32x 1-9>0, 即 32x 1>3 2.y=3x在R上是增函數(shù)，-12x-1> -2,解得 x> -2.

12、i 1)故所求函數(shù)的定義域為2, + 00 /當x-2, 十國)寸,32x-1 e 1，+ 00 .932x 1-1 0, +oo).9原函數(shù)的值域為0, +8).跟蹤訓練3解(1)由x 1W0,得xwl,所以函數(shù)定義域為x|xw 1.1 一由 豐。，仔yw 1,x 1所以函數(shù)值域為y|y>0且 產(chǎn)1.(2)由 5x-1>0,得 x>1,51所以函數(shù)定義域為x|x> 1.5由45x1 >0,得戶 1,所以函數(shù)值域為y|yR1.例4 A 根據(jù)圖中二次函數(shù)圖像可知c= 0,，二次函數(shù) y=ax2+bx,a>0 ,，二次函數(shù)的對稱軸為x=-2a<0, 排除B、D.,， b對于A, C,都有0<:<1,1 b-, 一2<2a<0，c不符合 故選A.跟蹤訓練4 A 當x+1=0,即x=1時，ax1=a0=1,為常數(shù),此時 f(x)=4+1=5.即點