湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)教研室

1、第一節(jié)全排列及逆序數(shù)第一節(jié)全排列及逆序數(shù)第二節(jié)行列式的定義第二節(jié)行列式的定義第三節(jié)對(duì)換第三節(jié)對(duì)換第四節(jié)行列式的性質(zhì)第四節(jié)行列式的性質(zhì)第五節(jié)行列式的計(jì)算第五節(jié)行列式的計(jì)算第六節(jié)克萊姆法則第六節(jié)克萊姆法則第一章第一章 n 階行列式階行列式一、二階與三階行列式22221211212111bxaxabxaxa的線性方程組考慮含有兩個(gè)未知量21,xx1.二階行列式 為求得上述方程組的解，可利用加減消元得到：211112221122211122221121122211)()(ababxaaaaababxaaaa方程組有唯一解211222112111122211222111222211aaaaababxaa

2、aaababx時(shí)，當(dāng)021122211aaaa 上式中的分子、分母都是四個(gè)數(shù)分兩對(duì)相乘再相減而得.為便于記憶，引進(jìn)如下記號(hào)：2112221122211211aaaaaaaa 稱其為二階行列式.1 全排列及逆序數(shù)全排列及逆序數(shù) 定義定義 1 由由1，2，,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)一個(gè)n 級(jí)全排列（簡(jiǎn)稱級(jí)全排列（簡(jiǎn)稱排列排列）。）。 定義定義2 在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)數(shù)（稱為數(shù)對(duì)）的在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)數(shù)（稱為數(shù)對(duì)）的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么稱它們構(gòu)成一個(gè)數(shù)，那么稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序逆序（反序反序）。

3、一個(gè)排列）。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)逆序數(shù)。 一個(gè)排列一個(gè)排列j1, j2,jn的逆序數(shù)，一般記為的逆序數(shù)，一般記為 (j1, j2,jn) 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回返回定義定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列。 排列排列12的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 0。 排列排列215479683的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 排列排列231的的 逆序數(shù)為逆序數(shù)為11。 2。 排列排列135(2n-1)(2n)(2n-2)42的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是 n(n-1) 。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)

4、下一頁(yè)例例1計(jì)算以下各排列的逆序數(shù)，并指出它們的奇偶性計(jì)算以下各排列的逆序數(shù)，并指出它們的奇偶性. (1) 42531，（，（2） 135（2n-1）246(2n). 解解（1） 對(duì)于所給排列，對(duì)于所給排列，4排在首位，逆序個(gè)數(shù)為排在首位，逆序個(gè)數(shù)為0；2的前面有一個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為的前面有一個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為1；5的前面有的前面有0個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為0；3的前面有兩個(gè)比它大的的前面有兩個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為2；1的前面有四個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)的前面有四個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為數(shù)為4.把這些數(shù)加起來(lái)，即把這些數(shù)加起來(lái)，即 0+1+0+2

5、+4=7故排列故排列42531的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為7，即，即(42531)=7，因而是奇排，因而是奇排列列.(2) 同理可得：同理可得： 135(2n-1)246(2n) =0+(n-1)+(n-2)+2+1= . (1)2n n 所給排列當(dāng)所給排列當(dāng)n=4k或或4k+1時(shí)為偶排列，當(dāng)時(shí)為偶排列，當(dāng)n=4k+2或或 4k+3時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列.一、二階與三階行列式22221211212111bxaxabxaxa的線性方程組考慮含有兩個(gè)未知量21,xx1.二階行列式 為求得上述方程組的解，可利用加減消元得到：211112221122211122221121122211)()(ababxaaaa

6、ababxaaaa方程組有唯一解211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx時(shí)，當(dāng)021122211aaaa 上式中的分子、分母都是四個(gè)數(shù)分兩對(duì)相乘再相減而得.為便于記憶，引進(jìn)如下記號(hào)：2112221122211211aaaaaaaa 稱其為二階行列式.2.三階行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 稱為三階行列式. 三元素乘積取“+”號(hào)； 三元素乘積取“-”號(hào).主對(duì)角線法主對(duì)角線法.,稱為它的元素（數(shù)jiaij1

7、,2,3)2 行列式的定義行列式的定義 在不同行、不同列中取在不同行、不同列中取n個(gè)數(shù)作乘積個(gè)數(shù)作乘積 ，并乘，并乘以符號(hào)以符號(hào) （其中（其中j為列標(biāo)排列為列標(biāo)排列j1, j2,jn的逆序數(shù)），記的逆序數(shù)），記為為 ，這樣的乘積有，這樣的乘積有 項(xiàng)。項(xiàng)。nnjjjaaa2121j)1( nnjjjjaaa2121)1( !n返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)定義定義4 n階行列式階行列式 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa nnnjjjjjjaaa211211 它們的和它們的和，稱為，稱為n階行列式階行列式。記記dnnnnnnnaaaaaaaaa212222111211ija

8、為行列式第為行列式第i行第行第j列的元素列的元素 nnnjjjjjjaaa211211 稱為稱為n階行列式的展開(kāi)階行列式的展開(kāi)式或行列式的值。式或行列式的值。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)說(shuō)明：說(shuō)明： 1) 等式右邊的每一項(xiàng)都是等式右邊的每一項(xiàng)都是n個(gè)元素的乘積，個(gè)元素的乘積，這這n個(gè)元素均位于不同的行和不同的列。個(gè)元素均位于不同的行和不同的列。2)各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列有關(guān)，偶排列各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列有關(guān)，偶排列為正，奇排列為負(fù)。為正，奇排列為負(fù)。3)因?yàn)橐驗(yàn)?,2,n的排列有的排列有n!個(gè)，故等式右邊個(gè)，故等式右邊共有共有n!項(xiàng)項(xiàng)。nnnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa

9、d211212122221112111返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例2 計(jì)算計(jì)算4階行列式階行列式4443424133323122211100 00 0 0 aaaaaaaaaad 解：解： 根據(jù)定義，根據(jù)定義，d是是4！24項(xiàng)的代數(shù)和，但每一項(xiàng)的代數(shù)和，但每一項(xiàng)的乘積項(xiàng)的乘積 中只要有一個(gè)元素為中只要有一個(gè)元素為0，乘積，乘積就等于就等于0，所以只需展開(kāi)式中不明顯為，所以只需展開(kāi)式中不明顯為0 的項(xiàng)。的項(xiàng)。njjjjaaaa4321321行列式展開(kāi)式中不為行列式展開(kāi)式中不為0的項(xiàng)只可能是的項(xiàng)只可能是a11a22a33a44，而，而列標(biāo)排列列標(biāo)排列1234的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為0，即此項(xiàng)符

10、號(hào)為正，因，即此項(xiàng)符號(hào)為正，因此行列式此行列式da11a22a33a44。 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)注：可擴(kuò)充到注：可擴(kuò)充到n階的情形。階的情形。例例：n階行列式階行列式dnnnaaa2211nnnaaa2211).2, 1() 1(nnaaa2211dn11,21nnnaaa11,21)1 ,2.1,() 1(nnnnnaaa11,212)1() 1(nnnnnaaa返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)12, 11,212)1(12, 11 , 1112111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa例例3 證明證明 上面的行列式中，未寫出的元素都是上面的行列式中，未寫出的元素都是0。 證

11、證: 因?yàn)樾辛惺降闹禐橐驗(yàn)樾辛惺降闹禐?nnnjjjjjjaaa211211 而排列而排列j1j2jn只能是只能是n(n1)21的排列，的排列， 故逆序數(shù)故逆序數(shù)2112)2() 1(nnnnj返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)所以行列式的值為所以行列式的值為 12, 11,21211nnnnnnaaaa 4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaad 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)主對(duì)角線以上的元素全為零（即主對(duì)角線以上的元素全為零（即ij時(shí)元素時(shí)元素aij0）的行列式稱為的行列式稱為上三角行列式上三角行列式，它等于主對(duì)角線上，它等于主對(duì)角

12、線上各元素的乘積。各元素的乘積。 行列式中，除對(duì)角線上的元素以外，其他元素全為行列式中，除對(duì)角線上的元素以外，其他元素全為零（即零（即ij時(shí)元素時(shí)元素aij0）的行列式稱為）的行列式稱為對(duì)角行列式對(duì)角行列式，它等于對(duì)角線上元素的乘積。它等于對(duì)角線上元素的乘積。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)3 對(duì)對(duì) 換換 定義定義5 排列中，將某兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余的數(shù)不動(dòng)，排列中，將某兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余的數(shù)不動(dòng)， 這種對(duì)排列的變換叫這種對(duì)排列的變換叫對(duì)換對(duì)換，將相鄰兩數(shù)對(duì)，將相鄰兩數(shù)對(duì) 換，叫做換，叫做相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換（鄰換鄰換）。）。 定理定理1 一個(gè)排列中的任意兩數(shù)對(duì)換，排列改一個(gè)排列中的任意兩數(shù)對(duì)換，排列改

13、變變 奇偶性。奇偶性。 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)證證 先證相鄰對(duì)換的情形先證相鄰對(duì)換的情形. 設(shè)排列為設(shè)排列為 ，對(duì)換，對(duì)換 與與 排列變排列變?yōu)闉?，顯然，顯然 這些數(shù)的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變，僅這些數(shù)的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變，僅 與與 兩兩數(shù)的逆序數(shù)改變：當(dāng)數(shù)的逆序數(shù)改變：當(dāng) 時(shí)，經(jīng)對(duì)換后，時(shí)，經(jīng)對(duì)換后， 是逆序，新排列的逆序數(shù)增加是逆序，新排列的逆序數(shù)增加1，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 不是逆序，新排列的逆序數(shù)減少不是逆序，新排列的逆序數(shù)減少1，所以，所以排列排列 與排列與排列 的的逆序數(shù)相差逆序數(shù)相差1，奇偶性改變，奇偶性改變.1112iiiinpp pp ppip1ip1112iiii

14、npp p p pp112iinpp ppip1ip1iipp1iip p1iipp1iipp1112iiiinpp pp pp1112iii inpp p ppp下證一般對(duì)換的情形下證一般對(duì)換的情形. 設(shè)排列為設(shè)排列為 ，對(duì)換，對(duì)換 與與 ,把把 往后連續(xù)作往后連續(xù)作 次相鄰對(duì)換，排列變次相鄰對(duì)換，排列變?yōu)闉?，再把，再把 往前連續(xù)作往前連續(xù)作 次相鄰對(duì)換，排列變?yōu)榇蜗噜弻?duì)換，排列變?yōu)?從而實(shí)現(xiàn)了從而實(shí)現(xiàn)了 與與 的對(duì)換，它是經(jīng)的對(duì)換，它是經(jīng) 次次相鄰對(duì)換而成，排列也就改變了相鄰對(duì)換而成，排列也就改變了 次奇偶性，次奇偶性，所以兩個(gè)排列的奇偶性相反所以兩個(gè)排列的奇偶性相反.11112iiii

15、 m i mi mnpp ppp ppp ip1i mpipm11112iii m ii mi mnpp pp pppp 1imp1m 11112ii mii m i i mnpp ppp ppp ip1imp21m 21m 定理定理2 n階行列式的一般項(xiàng)可以寫成階行列式的一般項(xiàng)可以寫成 nnqpqpqptsaaa22211 其中其中s與與t分別是分別是n級(jí)排列級(jí)排列p1p2pn與與q1q2qn的逆序的逆序數(shù)。數(shù)。證明：證明： 將將 重排，使其行標(biāo)成為自然順序重排，使其行標(biāo)成為自然順序nnqpqpqpaaa2221 ,行標(biāo)，列標(biāo)同時(shí)作了一次對(duì)換，總行標(biāo)，列標(biāo)同時(shí)作了一次對(duì)換，總逆序數(shù)之和不改變

16、奇偶性。逆序數(shù)之和不改變奇偶性。2121nnqqqaaa).().(11) 1(1nnqqppts).().2, 1(1) 1(nqqn).(1) 1(nqqnnnnqpqpqqppaa.) 1(1111).().(nnqnqqqaa.) 1(111).(nppppppnnaaad21).,(21211結(jié)論：返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.三階行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 稱為三階行列式. 三元素乘積取“+”號(hào)； 三元素乘積取“-”號(hào).主對(duì)角線法主對(duì)角

17、線法.,稱為它的元素（數(shù)jiaij1,2,3)4 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) ,212222111211nnnnnnaaaaaaaaad nnnnnnaaaaaaaaad212221212111 記記行列式行列式d稱為行列式稱為行列式d的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 。證：證： 記記 ,212222111211nnnnnnbbbbbbbbbd 即即bijaji (i，j1，2，n) 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)按行列式定義按行列式定義 nnjjjnjjjjbbbd2121211 nnjjjnjjjjdaaa2121211性質(zhì)性質(zhì)2

18、互換行列式的兩行（列），行列式反號(hào)?；Q行列式的兩行（列），行列式反號(hào)。 證證 nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaad12222111111 交換第交換第p、q兩兩列，得行列式列，得行列式 nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaad122221111111 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)對(duì)于對(duì)于d中任一項(xiàng)中任一項(xiàng) niqipiiiinqpaaaaa21211 其中其中i為排列為排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù) nqpiiii1在在d1中必有對(duì)應(yīng)一項(xiàng)中必有對(duì)應(yīng)一項(xiàng) nipiqiiiinpqaaaaa212111 其中其中i1為排列為排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù) npqiiii1與與 只

19、經(jīng)過(guò)一次對(duì)換只經(jīng)過(guò)一次對(duì)換nqpiiii1npqiiii1 相差一個(gè)符號(hào)相差一個(gè)符號(hào)與與111ii niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.三階行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 稱為三階行列式. 三元素乘積取“+”號(hào)； 三元素乘積取“-”號(hào).主對(duì)角線法主對(duì)角線法.,稱為它的元素（數(shù)jiaij1,2,3)所以對(duì)于所以對(duì)于d中任一項(xiàng)，中任一項(xiàng)，d1中必定有一項(xiàng)與它的符號(hào)中必定有一項(xiàng)與它的

20、符號(hào)相反而絕對(duì)值相等，又相反而絕對(duì)值相等，又d與與d1的項(xiàng)數(shù)相同。的項(xiàng)數(shù)相同。 1dd 推論推論 若行列式有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，若行列式有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等， 則行列式為零。則行列式為零。 交換行列式交換行列式i，j兩行記作兩行記作r（i，j），交換行列式），交換行列式i，j兩列，記作兩列，記作c（i，j）。）。證：由條件有證：由條件有 dd故可得故可得 d0返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘以此行列式。乘以此行列式。 )()(,)(kickirki記作乘以數(shù)列行

21、第性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式中若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例， 則此行列式為零。則此行列式為零。 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，例如數(shù)之和，例如 nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaad2122112222111211 則行列式則行列式d等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad2121222211121121212222111211 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)性質(zhì)性

22、質(zhì)6 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)k，加到，加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。 以數(shù)以數(shù)k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行對(duì)應(yīng)元素上記作行對(duì)應(yīng)元素上記作rji（k），有），有jiaaakaakaakaaaaaaaakijraaaaaaaaaaaannnninjnijijiniinnnnnjnjjiniin212211211121121212111211)()()()(返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)總結(jié)：總結(jié)：三種行列式變換三種行列式變換1 互換兩行或兩列互換兩行或兩列 1),(),

23、(ddjirjic2 第第i行或第行或第j列乘上非零數(shù)列乘上非零數(shù)k 1)()(1dkdkirkic3 行列式第行列式第i行或第行或第i列乘上列乘上數(shù)數(shù)k加到第加到第j行或第行或第j列對(duì)應(yīng)列對(duì)應(yīng)元素上元素上 1)()(ddkijrkijc返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例 5 計(jì)算四階行列式計(jì)算四階行列式ababaabbbbd000000 解解ababaabbababaabbbbd2020000000000000 )4(22*00222bababbabb 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例：abbbbabbbbabbbbad.(1).(1).(1).(1).anbbbbanbabbanbb

24、abanbbba1.1.(1) 1.1.bbbabbanbbabbba返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)100.000.0(1) 00.0000.abanbabab(1)(1) ()nanb ab例：例：354524566479131266879546563返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)354524566479131266879511111)51 ( r1323201224137661324511111每一列減去第一列13232012241376600013000015-2r）（513232012240053400013000015-3r）（返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例：例：111a22

25、2cbcacbcbabacab按照性質(zhì)，此行列式可表為按照性質(zhì)，此行列式可表為 個(gè)個(gè)3階行列式的和。階行列式的和。100010001a222cbcacbcbabacabn21222cba分三類：若三列為數(shù)等于分三類：若三列為數(shù)等于 ,若兩列為數(shù)則行列若兩列為數(shù)則行列式為對(duì)角形行列式等于式為對(duì)角形行列式等于 ,若一列為數(shù)若一列為數(shù)則行列式字母列對(duì)應(yīng)成比例等于則行列式字母列對(duì)應(yīng)成比例等于 。01222cba返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例：例：dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba36302320

26、0baabaacbabaadcba30020004a返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)5 行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算 定義定義6 n階行列式階行列式 中，劃去元素中，劃去元素aij所在的行和列中的元素，余下的所在的行和列中的元素，余下的（n-1）2 元素按其原有的順序構(gòu)成一個(gè)元素按其原有的順序構(gòu)成一個(gè)n1階行階行列式叫做列式叫做元素元素aij的余子式的余子式，記為，記為mij 。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)111111jniijinnnjnnaaaaaaaaaaij與行列式中第與行列式中第i行、第行、第j列的元素?zé)o關(guān)。列的元素?zé)o關(guān)。 aij叫做叫做元素元素aij的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式。 ij

27、jiijma ) 1(叫做叫做元素元素aij的余子式的余子式，記為，記為mij 。111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa引理引理 n階行列式階行列式d，如果其中第，如果其中第i行元素除行元素除aij外全部為零，外全部為零，那么這個(gè)行列式等于那么這個(gè)行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即與它的代數(shù)余子式的乘積，即 daijaij證證 先證先證i1，j1的情形的情形 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaad3232323211)1(3212232221

28、111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè) 11111111111111323333222322111aamamaaaaaaaaaaannnnnn nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換d的行與列的位置，的行與列的位置，即可得到結(jié)論。即可得到結(jié)論。 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ), 2 , 1( ), 2 ,

29、1( 22112211njaaaaaadniaaaaaadnjnjjjjjininiiii 或或證證nnnniniinaaaaaaaaad2121112110000000 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiaaaaaa nnnninnaaaaaaa211121100 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 1320010500134002 d解解 由定理由定理3 知知 1 11 41003102101041501231023d 86)156(42 注：運(yùn)用定

30、理注：運(yùn)用定理3 3可適當(dāng)減輕行列式的運(yùn)算。可適當(dāng)減輕行列式的運(yùn)算。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 12960431002003807d解：解：由定理由定理3 3知知1209604031000200308022753d03072 14062141301442返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例9 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 (加邊法加邊法)yyxxd 1111111111111111解解 當(dāng)當(dāng)x0 或或y0時(shí)，顯然時(shí)，顯然d0，現(xiàn)假設(shè)，現(xiàn)假設(shè)x0，且且y00，由引理知，由引理知 yyxxyyxxd 0001000100010001111111111011110111101

31、11101111122000000000000000011111yxyyxx 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)推論推論 行列式一行行列式一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對(duì)應(yīng)元的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即即 )(02211jiaaaaaajninjiji )(02211jiaaaaaanjnijiji 或或證證nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaaaaaaa 1111112211 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)當(dāng)當(dāng)i j,將式中將式中ajk換成換成aik(k=1,2,n),可得可得nnniniininjninjijiaa

32、aaaaaaaaaaaa1111112211 同理可證同理可證02211 njnijijiaaaaaa0返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)代數(shù)余子式的重要性質(zhì): ;, 0,1jijidaankjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;, 0,1jijidaankkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)或或返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例1111 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式(遞推公式法遞推公式法) 12211 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1 axaaaaxxxxdnnnn 解解 由行列式由行列式dn可知可知 111axaxd 將將dn按第按第1列展開(kāi)列展開(kāi) 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè),100

33、.0000010001)1(1000.00100001112321 xxxaaxaaaaxxxxdnnnnnnnnnaxdd 1即即這個(gè)式子對(duì)任何這個(gè)式子對(duì)任何n(n 2) 都成立都成立,故有故有 .)(1221112211122121nnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxadxaxadxaaxdxaxdd 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例 利用遞推公式法計(jì)算利用遞推公式法計(jì)算 解：解：按第一行展開(kāi)按第一行展開(kāi)nnnnndcdcbabad.0.00.0.11112nnnnnnnddcdcbabaad0000000111111112返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè))1(

34、2)1(2nnnnnndcbdda000000) 1(1111111121nnnnnnncdcdcbabab)1(2)(nnnnndcbda)2(21111)(nnnnnnnnndcbdacbda)1(22)(nnnnnndcbdad222221111).()(.dcbdacbdacbdannnnnnnnniiiiicbda1)(返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例10 10 證明范德蒙行列式證明范德蒙行列式112112222121.1.11nnnnnnnxxxxxxxxxdnnijjixx1)(當(dāng)當(dāng)n n2 2時(shí)時(shí)21211xxd 12xx 成立 )(1nnijjixx證明：證明：用數(shù)學(xué)歸納

35、法。用數(shù)學(xué)歸納法。假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)n n1 1階成立，現(xiàn)證對(duì)階成立，現(xiàn)證對(duì)n n階也成立。階也成立。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1212221122112.)(0.)(0.01.11xxxxxxxxxxxxxxxxdnnnnnnnn2232232112.1.11).(nnnnnnxxxxxxxxxx112).(xxxxnnnijjixx2)(故結(jié)論成立。故結(jié)論成立。返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例 利用范德蒙行列式求解利用范德蒙行列式求解1252515641614279131111d解：解：1252551641641279311111d1256427125169154311111) 13)

36、(14)(34)(15)(35)(45(48返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)習(xí)習(xí) 題題1 1 設(shè)排列設(shè)排列 的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為k k，問(wèn)，問(wèn) 的逆的逆序數(shù)為多少？序數(shù)為多少？ nnxxxx121.121. xxxxnn解：解：,m11逆序數(shù)為設(shè)x1m1n則其順序數(shù)為,m22逆序數(shù)為x2m2n則其順序數(shù)為,mnn逆序數(shù)為xnmnn則其順序數(shù)為）（）（）（n21mnn.m2nm1n）（n21.0.2n1nmmmknn2) 1(返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)。與中求34111123111212)(xxxxxxxxf2 2444332211)1234(21xaaaa）（344332

37、112)2134(1xaaaa）（得到。即令常數(shù)項(xiàng))0(, 0:fx 解解：返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)3 3313233343512345555331)325422)2221146523aaaaaa已知求解：解：)(5333231aaa0)(33534 aa)(2333231aaa03534 aa0)20) 1相當(dāng)于求解方程組返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)4 4求此行列式的值。）還多，素如果比（階行列式中等于零的元在一個(gè)n2nnnnnn)(22解：解：不等于的元素個(gè)數(shù)不等于的元素個(gè)數(shù)所以行列式的值為零。所以行列式的值為零。5 5 計(jì)算行列式計(jì)算行列式nnnnnnnnnnxxxxxxxx

38、xxxxd.1.1121222212222121返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)解：解：首先考慮首先考慮n n1 1階范德蒙行列式階范德蒙行列式nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxg1221112112222121.1.1.11)(的系數(shù)為右端看，但從上式的系數(shù)為從上式左端看，多項(xiàng)式112,) 1()(nnxddxgnjiijnxxxxx121)(.）（njiijnnxxxxxxxx111)().()(返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)二者應(yīng)相等，故二者應(yīng)相等，故njiijnxxxxxd121)(.）（xxxxxxxaaaaadnn.0000.000.00.000.0.)

39、11210例例 用化三角形的方法求下面行列式用化三角形的方法求下面行列式xxxaaaanniiniinii.000.0.000.00.210niinax0返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)nnnnnnnbababababababababad.2122212121111.000.0.1000.010.2110nniiiaaabaaniiibaa10例例 用行列式分解的方法求行列式用行列式分解的方法求行列式1.00.0.100.01.)221210nnbbbaaaad 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)解：解：此行列式可表為此行列式可表為 個(gè)個(gè)n n階行列式之和階行列式之和n2022n故同或成比例，個(gè)

40、行列式的必有兩列相時(shí)，這當(dāng)dnn時(shí)當(dāng)1n221221112babababad)(1221bbaa時(shí)當(dāng)2n111bad練習(xí)練習(xí)xaxaxaxaxaxaxaxaxadnnnnnnn.212222111211返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例例 用遞推關(guān)系法求行列式用遞推關(guān)系法求行列式720.000572.000057.000.000.720000.572000.057nd解：解：由引理將行列式降階展開(kāi)由引理將行列式降階展開(kāi)1275 2nnnddd 12 75 20nnnddd 即返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)02*552 21nnnddd）（）（211252 nnnndddd）（211525 n

41、nnndddd）（12225.ddn）（12252.ddn397252 2d而71d45252 1212ddddnnnnndddd2552 11n故32511nnnd返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)練習(xí)練習(xí)21.00012.000.00.21000.12100.012nd返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)6 克萊姆法則克萊姆法則 克萊姆法則克萊姆法則如果線性方程組如果線性方程組 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111.,的系數(shù)行列式不等于零的系數(shù)行列式不等于零,即即 01111 nnnnaaaad那么那么,方程組有唯一解方程組有唯一

42、解 ,2211ddxddxddxnn 其中其中dj(j=1,2,n)是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式d中的第中的第j列元素用列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式階行列式. 返回返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaad1,1,121,221,22111, 111, 111 證明證明 (1) 方程組簡(jiǎn)寫為方程組簡(jiǎn)寫為nibxainjjij,.,2 , 1,1 把方程組的唯一解代入第把方程組的唯一解代入第i個(gè)方程個(gè)方程,左端為左端為 njjijnjiijdaddda11.1 nssjsnjnjjjababababd