第1章 優(yōu)化設計概述

1、第七章多目標優(yōu)化方法第七章多目標優(yōu)化方法第四章第四章 無約束優(yōu)化方法無約束優(yōu)化方法第一章第一章 優(yōu)化設計概述優(yōu)化設計概述 第二章第二章 優(yōu)化設計基礎優(yōu)化設計基礎第三章第三章 一維搜索方法一維搜索方法第五章第五章 線線 性性 規(guī)規(guī) 劃劃 第六章第六章 約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法 第八章第八章 優(yōu)化設計實例優(yōu)化設計實例 第一章 緒 論 1.1 引 言 1.4 優(yōu)化設計分類 1.2 優(yōu)化設計數(shù)學模型 1.3 優(yōu)化設計三大要素 1.5 優(yōu)化設計迭代算法生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材料生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材料9kg9kg、3 3個工時、個工時、4kw4kw電，獲利電，獲利潤潤6060元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材

2、料元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料4kg4kg、1010個工時、個工時、5kw5kw電，可獲利電，可獲利120120元。若每天能供應材料元。若每天能供應材料360kg360kg，有，有300300個工時，個工時，能供能供200kw200kw電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，使每天可能獲電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，使每天可能獲得的得的利潤最大利潤最大？ 1212( ,)60120f x xxx112()94360gXxx分析：分析：每天生產(chǎn)的每天生產(chǎn)的分別為分別為x1 1, , x2 2件件 1.1 1.1 引引 言言（工時約束）（工時約束）（電力約束）（電力約束）（材料約束）（材料約束）( (利潤最

3、大利潤最大) )212()310300gXxx312()45200gXxxmax 1.1 1.1 引引 言言一一. . 優(yōu)化優(yōu)化( (Optimum) )定義：定義：在規(guī)定的范圍內(nèi)（或在規(guī)定的范圍內(nèi)（或條件下），尋找給定函數(shù)取條件下），尋找給定函數(shù)取得的最大值（或最小值）的得的最大值（或最小值）的條件。條件。目的：目的：為了在完成某一任務為了在完成某一任務時所作的努力最少、付出最時所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果小，而使其收益最大、效果最好。最好。 X0X* f(X*)f(X) 傳統(tǒng)設計：傳統(tǒng)設計：可行解可行解 優(yōu)化設計：優(yōu)化設計：最優(yōu)解最優(yōu)解。 1.1 1.1 引引 言言 二二

4、. .傳統(tǒng)設計與優(yōu)化設計的區(qū)別傳統(tǒng)設計與優(yōu)化設計的區(qū)別方案設計方案設計詳細設計詳細設計制造樣機制造樣機測試評估，性能，質(zhì)量測試評估，性能，質(zhì)量可否通過？可否通過？傳傳 統(tǒng)統(tǒng) 設設 計計不通過不通過投投 產(chǎn)產(chǎn)通過通過方案設計方案設計建模評估建模評估詳細設計詳細設計實驗驗證實驗驗證優(yōu)優(yōu) 化化 設設 計計改進改進投產(chǎn)投產(chǎn)三三. . 優(yōu)化設計的發(fā)展優(yōu)化設計的發(fā)展經(jīng)典優(yōu)化設計經(jīng)典優(yōu)化設計: :2020世紀世紀4040年代起，數(shù)學規(guī)劃論和計年代起，數(shù)學規(guī)劃論和計算機技術的發(fā)展使最優(yōu)化設計計算成為可能。算機技術的發(fā)展使最優(yōu)化設計計算成為可能。 優(yōu)化設計從無約束優(yōu)化設計從無約束有約束優(yōu)化問題；連續(xù)變有約束優(yōu)化

5、問題；連續(xù)變量量離散變量；確定型離散變量；確定型隨機型模型；單目標優(yōu)化隨機型模型；單目標優(yōu)化多目標優(yōu)化。多目標優(yōu)化。古典優(yōu)化思想古典優(yōu)化思想: :1717世紀發(fā)明微積分中的極值問題。世紀發(fā)明微積分中的極值問題?，F(xiàn)代優(yōu)化設計：現(xiàn)代優(yōu)化設計：模擬退火算法、遺傳算法、人工神模擬退火算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡算法、蟻群優(yōu)化算法等。經(jīng)網(wǎng)絡算法、蟻群優(yōu)化算法等。 從狹義優(yōu)化設計（零部件參數(shù)）轉向廣義優(yōu)化設從狹義優(yōu)化設計（零部件參數(shù)）轉向廣義優(yōu)化設計（面向產(chǎn)品全系統(tǒng)、設計全過程、全壽命周期）。計（面向產(chǎn)品全系統(tǒng)、設計全過程、全壽命周期）。例如例如, ,針對涉及多領域復雜系統(tǒng)的多學科設計優(yōu)化。針對涉及多領域

6、復雜系統(tǒng)的多學科設計優(yōu)化。 1.1 1.1 引引 言言1.21.2 優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型一一. . 優(yōu)化設計方法解決實際問題的步驟優(yōu)化設計方法解決實際問題的步驟 1. 1. 分析分析實際問題，實際問題，建立建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型；優(yōu)化設計的數(shù)學模型； 分析：分析： 設計的要求（設計的要求（目標、準則目標、準則）；）； 設計的限制（設計的限制（約束約束）條件；）條件； 設計的參數(shù)，確定設計設計的參數(shù)，確定設計變量變量。 建立：優(yōu)化設計方法相應的建立：優(yōu)化設計方法相應的數(shù)學模型數(shù)學模型。 2. 2. 分析數(shù)學模型的類型，選擇求解方法（分析數(shù)學模型的類型，選擇求解方法（優(yōu)化算法優(yōu)化算

7、法）。）。 3. 3. 編程上機求數(shù)學模型的最優(yōu)解，并對計算的結果編程上機求數(shù)學模型的最優(yōu)解，并對計算的結果 進行評價分析進行評價分析, , 最終確定是否選用此次計算的解。最終確定是否選用此次計算的解。1.21.2 優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型例：軸的一端作用載荷例：軸的一端作用載荷 F=10000N，扭矩，扭矩 T=100Nm；軸長；軸長不得小于不得小于8cm；材料的許用彎曲應力；材料的許用彎曲應力 w=120MPa，許，許用扭剪應力用扭剪應力 = 80MPa，許用撓度，許用撓度 f = 0.01cm；密度；密度 = 7.8t /m，彈性模量，彈性模量E=2105MPa。 分析：分析

8、：是軸的質(zhì)量最輕是軸的質(zhì)量最輕:Q min. 要求：要求：設計銷軸，在滿足上述條件的同時，軸的質(zhì)量最輕。設計銷軸，在滿足上述條件的同時，軸的質(zhì)量最輕。 限制：限制：彎曲強度：彎曲強度：max w 扭轉強度：扭轉強度： 剛剛 度：度： f f 結構尺寸：結構尺寸： l 8 d 0lFdT1.21.2 優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型 目標函數(shù)目標函數(shù) Q = (d2 l)/4 min. 約束函數(shù)約束函數(shù) max = Fl / ( 0.1d3 )w = T / ( 0.2d3 ) f = 64 Fl3 / ( 3E d 4 ) f l 8 d 0整理得：整理得： X =x1,x2 T = d

9、,l T min. f(x)= 0. 785 x12x2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 012 ,TnXx xx12()( ,)nf Xf x xx()0 (1,2,)ugXum()0 (1,2,)vh Xpvn優(yōu)化設計數(shù)學模型統(tǒng)一形式優(yōu)化設計數(shù)學模型統(tǒng)一形式：1.21.2 優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型一個完整的規(guī)格化的一個完整的規(guī)格化的包含有包含有設計變量設計變量 X；目標函數(shù)目標函數(shù) ；約束條件約束條件 和和 。它

10、們又被稱為：它們又被稱為：。當涉及問題要當涉及問題要目標函數(shù)時，只要將式中目標函數(shù)時，只要將式中改寫為改寫為 f (X)即可。即可。同樣，當同樣，當不等式約束不等式約束為：為：“” 時，只要將不等式時，只要將不等式兩端同乘以兩端同乘以“1”，即可得到，即可得到 “” 的一般形式。的一般形式。 ( )f X()0 ugX ( )0 vh X 1.21.2 優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型1.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素一一. .設計變量：設計變量： 設計變量設計變量：在優(yōu)化設計過程中是變化的，需要優(yōu)選的量。：在優(yōu)化設計過程中是變化的，需要優(yōu)選的量。 優(yōu)化設計問題有優(yōu)化設計

11、問題有 n 個設計變量，用個設計變量，用 xi表示表示 (i = 1, 2, , n) 。設計向量設計向量：用：用 X =x1, x2 , , xnT 表示，表示， 是定義在是定義在 n 維歐氏空間中的一個向量。維歐氏空間中的一個向量。設計參數(shù)設計參數(shù)：在優(yōu)化設計過程中保持不變或預先確定數(shù)值。：在優(yōu)化設計過程中保持不變或預先確定數(shù)值。1.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素設計點設計點: X(k)（x1(k), x2 (k), , xn(k)）：）： 例：右圖三維空間中例：右圖三維空間中第第1設計點：設計點：X(1) = x1(1), x2(1), x3(1)T第第2設計點：設計點

12、：X(2) = x1(2), x2(2), x3(2)T 代表設計空間中的一個點，也代表第代表設計空間中的一個點，也代表第 k 個設計個設計方案?？赡苁强尚蟹桨浮⒁部赡懿皇强尚蟹桨?。方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。X(1) X(2) X(1) x1x2x30n=2: X=x1, x2T 是二維設計向量；是二維設計向量；n=3: X=x1, x2, x3T 為三維設計向量，設計變量為三維設計向量，設計變量x1, x2, x3 組成一個三維空間；組成一個三維空間；n3: 設計空間是一個想象的超越空間，稱設計空間是一個想象的超越空間，稱 n 維實屬空間。維實屬空間。 1.3 1.3 優(yōu)化設

13、計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素x1(k)x1X(k)x2(k)x20 x1(k)x1X(k)x2(k)x20 x3(k)x3在工程設計中，當有些設計變量的取值要求是離散在工程設計中，當有些設計變量的取值要求是離散型量，則稱型量，則稱離散設計變量離散設計變量，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)。，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)。設計變量的設計變量的個數(shù)個數(shù)，稱為，稱為維數(shù)維數(shù)，它決定了優(yōu)化問題的，它決定了優(yōu)化問題的 大小范圍大小范圍： n110 小型優(yōu)化問題小型優(yōu)化問題 ； n1150 中型優(yōu)化問題；中型優(yōu)化問題； n 50 大型優(yōu)化問題。大型優(yōu)化問題。設計變量設計變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量和和離散變量離散變量。1.

14、3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素1.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素設計約束設計約束：設計變量值：設計變量值(設計點設計點)的選擇不僅要使目標函數(shù)的選擇不僅要使目標函數(shù) 達到最優(yōu)值，同時還會受一定的條件限制，這達到最優(yōu)值，同時還會受一定的條件限制，這 些制約條件稱設計約束。些制約條件稱設計約束。 不等式約束：不等式約束： gu(X) 0 u = 1, 2, , m 等等 式式 約約 束：束：hv(X) = 0 v = 1, 2 , , p (p n )例：有三個不等式約束例：有三個不等式約束 g1(X) = - x1 0 g2(X) = - x2 0 g3(X)

15、 = x12 + x22 - 1 0 再加一個等式約束再加一個等式約束 h(X) = x1- x2 = 0二二. .約束函數(shù)約束函數(shù)h(X) = 0 x1x2g1(X) = 0g2(X) = 0g3(X) = 00不等式約束不等式約束將將設計空間設計空間劃分為劃分為兩部分兩部分： 一部分一部分 ：滿足約束，即滿足約束，即 g j (X)0；另一部分：另一部分：則不滿足約束，即則不滿足約束，即 g j (X)0。故將故將該分界線該分界線或分界面稱為或分界面稱為約束邊界約束邊界。等式約束等式約束本身也是約束邊界，此時只有約束邊界上的點滿本身也是約束邊界，此時只有約束邊界上的點滿足約束，邊界兩邊的所

16、有部分都不滿足約束。足約束，邊界兩邊的所有部分都不滿足約束。1.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素g(X) = 0g(X) 0g(X) 0 x1x20h(X) = 0h(X) 0 x1x20h(X) 01.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素可行設計點可行設計點：可行域內(nèi)任意一點稱為可行設計點，代表：可行域內(nèi)任意一點稱為可行設計點，代表 一個可行方案。一個可行方案。極限設計點：極限設計點：在約束面上的點稱為極限設計點。在約束面上的點稱為極限設計點。 非可行設計點非可行設計點: 在可行域外的點稱為非可行設計點，代表不在可行域外的點稱為非可行設計點，代表不 可采用的設計方

17、案?？刹捎玫脑O計方案。D Dx1x2g1(X) = 0g2(X) = 0g3(X) = 001.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素目標函數(shù)目標函數(shù)：優(yōu)化設計的過程是從可行設計解中，找出一組：優(yōu)化設計的過程是從可行設計解中，找出一組 最優(yōu)解的過程。需要一個最優(yōu)解的過程。需要一個準則準則來評價當前設計來評價當前設計 點（解）的最優(yōu)性。點（解）的最優(yōu)性。 f(X) = f(x1, x2 , , xn )多目標函數(shù)多目標函數(shù)：由于評價準則的：由于評價準則的非唯一性非唯一性，目標函數(shù)為多個，目標函數(shù)為多個 時稱為多目標函數(shù)。時稱為多目標函數(shù)。 f(X) = f1(X), f2(X), ,

18、fq(X)三三. . 目標函數(shù)目標函數(shù)1.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素說明說明： f(X)必須是必須是X的函數(shù)，應隨設計點的變化的函數(shù)，應隨設計點的變化 f(X)的值的值 上升、下降；上升、下降； f(X)應該是實函數(shù)，是可計算的；應該是實函數(shù)，是可計算的； f(X)可以是有物理意義，有單位的，也可以沒有可以是有物理意義，有單位的，也可以沒有 物理意義。物理意義。 例如銷軸的質(zhì)量：例如銷軸的質(zhì)量： Q = f(X) =(d2 l)/4， /4是常數(shù)，是常數(shù)， f(X) = d2 l = x12x2由于每一條曲線上的各點由于每一條曲線上的各點都具有都具有，所以這些曲線稱為所以

19、這些曲線稱為。:就是當就是當依次等于一系列依次等于一系列常數(shù)常數(shù)ci ( i=1, 2, )時，時，設計變量設計變量X 取得一系列值的集合。取得一系列值的集合。1.3 1.3 優(yōu)化設計的三大要素優(yōu)化設計的三大要素x1x20F(X)=x1x2等值線的等值線的“心心” （以二維為例）（以二維為例）一個一個“心心”：是單峰函數(shù)的：是單峰函數(shù)的極（?。┲迭c極（?。┲迭c，是全局極，是全局極（?。┲迭c。沒有（?。┲迭c。沒有“心心”：例，線性函數(shù)的等值線是平：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無行的，無“心心”，認為極值點在無窮遠處。，認為極值點在無窮遠處。多個多個“心心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c只是局

20、：不是單峰函數(shù)，每個極（小）值點只是局部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點的值，才能部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點的值，才能確定極（小）值點。確定極（?。┲迭c。等值線的形狀等值線的形狀： 同心圓族、橢圓族，近似橢圓族、直線等同心圓族、橢圓族，近似橢圓族、直線等等值線的疏密等值線的疏密： 沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快；沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快； 沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。 等值線的疏密定性反應函數(shù)值變化率。等值線的疏密定性反應函數(shù)值變化率。x2優(yōu)化問題的幾何解釋優(yōu)化問題的幾何解釋 X*g3(X) = 0g2(X) = 0g1(X) = 0g

21、4(X) = 0 x10g2(X) = 0g3(X) = 0g1(X) = 00 x1x2X*g1(X) = 0 x1x20 x1x20g1(X) = 0g2(X) = 0 x1x20g1(X) = 0g2(X) = 0g2(X) = 0X*X*X*1.4 1.4 優(yōu)化設計的分類優(yōu)化設計的分類一一. 按模型性質(zhì)分：按模型性質(zhì)分： 1.確定型優(yōu)化問題：靜態(tài)優(yōu)化問題（與時間無關）確定型優(yōu)化問題：靜態(tài)優(yōu)化問題（與時間無關） 動態(tài)優(yōu)化問題（隨時間變化動態(tài)優(yōu)化問題（隨時間變化 ） 2.不確定型優(yōu)化問題（隨機優(yōu)化問題）不確定型優(yōu)化問題（隨機優(yōu)化問題）二二. 按約束情況分按約束情況分1. 按有無約束分：按有

22、無約束分： 無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題 約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題 2. 按約束性質(zhì)分：區(qū)域約束（幾何約束、邊界約束）按約束性質(zhì)分：區(qū)域約束（幾何約束、邊界約束） 性能約束（功能約束、性態(tài)約束）性能約束（功能約束、性態(tài)約束）1.41.4 優(yōu)化設計的分類優(yōu)化設計的分類四四. 按目標函數(shù)和約束函數(shù)的特性分：按目標函數(shù)和約束函數(shù)的特性分： 1.線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題 2.非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題 五五. 按目標函數(shù)的個數(shù)分：按目標函數(shù)的個數(shù)分： 1.單目標優(yōu)化問題單目標優(yōu)化問題 2.多目標優(yōu)化問題多目標優(yōu)化問題六六. 按設計變量性質(zhì)分按設計變量性質(zhì)分1.連續(xù)變量連續(xù)變量2.離散變量離散變量3.隨機變量隨機變量求解：求解：把優(yōu)化對象用數(shù)學模型描述出來后，用把優(yōu)化對象用數(shù)學模型描述出來后，用數(shù)數(shù)學解析法學解析法來求出最優(yōu)解來求出最優(yōu)解 。它是優(yōu)化設計的理論基礎。但。它是優(yōu)化設計的理論基礎。但它僅限于維數(shù)較少且易求導的優(yōu)化問題的求解。它僅限于維數(shù)較少且易求導的優(yōu)化問題的求解。 直接用直接用作圖的方法作圖的方法來求解優(yōu)化問題，通過畫來求解優(yōu)化問題，