概率論與數理統計課后習題答案

1、概率論，數理統計習題詳解習題1.1解答1.將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A,B, C分別表示“第一次出現正面”，“兩次A(正，正)，(正，反)；B(正，正)，(反，反)C(正，正)，(正，反)，(反，正)2. 在擲兩顆骰子的試驗中，事件A, B, C, D分別表示“點數之和為偶數”，“點數之和小于 5”，“點數相等”，“至少有一顆骰子的點數為3”。試寫出樣本空間及事件AB, A B, AC,BC , A B C D中的樣本點。解：(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2),(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)

2、;A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2), (6,4),(6,6),(1,2),(2,1);AC ; BC(1,1),(2,2);A B C D(1,5), (2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3. 以A,B,C分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用A,B,C表示以下事件:(6) ABC ;(7)ABC ABC ABC ABC或AB AC BC(8)ABC；(9)ABC4.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件A1,A2,A3分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,A

3、1A2A2A3A1A3.解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有 一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有 兩人擊中。5. 設事件A,B,C滿足ABC,試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：A B C, AB C , B AC.試寫出樣本空間及事件AB,C中的樣本點。解:(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)(1)只訂閱日報;(3)只訂一種報;(2)只訂日報和晚報;(4)正好訂兩種報；(5)至少訂閱一種報；(7)至多訂閱一種報；(9)三種報紙不全訂閱(6)不訂閱任何報；(8)三種報紙都訂閱;解:(4)(1) ABC ;ABC

4、 ABC(2)ABC;(3) ABC(5) ABC;ABC ABC;2解：如圖:ABCABC ABCABC ABCABC ABC ABC;AB CABC C;B ACABC ABCABCBA ABCBC ABC6.若事件A,B,C滿足AC B C,試問A B是否成立？舉例說明解：不-定成立。例如：A 3,4,5 , B3 , C 4,5 ,那么，A C B C，但A B。7.對于事件A,B,C， 試問A (B C) (A B) C是否成立？舉例說明 解： 不一定成立。 例如：A 3,4,5 ,B 4,5,6 , C 6,7 ,那么A (B C) 3 ,但是(A B) C 3,6,7。8 .設P

5、(A)3，P(B)1專，試就以下三種情況分別求P( BA)(1)AB(2 )A B,(3 )P(AB) 8.解:(1) P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)1_ ；2(2)P(BA)P(BA)P(B)1P(A)天;6113(3)P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)- 2 8 839.已知P(A) P(B) P(C) 4, P(AC) P(BC)命，P(AB) 0求事件A, B,C全不發(fā)生的概率。解:P(ABC)P A B C 1P(A B C)1P(A) P(B)P(C) P(AB)P(AC) P( BC) P(ABC)111c 11 c31004 4 416 16810. 每個路口有

6、紅、 綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車 經 過 三 個 路 口 ， 試 求 下 列 事 件 的 概 率 ：A“ 三 個 都 是 紅 燈 ” = “ 全 紅 ” ；B“全綠”；C“全黃”；D“無紅”；E“無綠”；F“三次顏色相 同”；G“ 顏 色全不相同”；H“顏色不全相同”。解:P(A)P(B) P(C)1 111P(D)P(E)22 283 33 27 33 327P(F)1127 2712719；P(G)R33!3329；P(H)1 P(F)11 89 9.11 .設一批產品共100件，其中 98件正品，2 件次品，從中任意抽取3 件(分三種情況：一次拿 3 件；每

7、次拿 1件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次)，試求：(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率；(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件:P斜：2.0588；(2) PC2C98C2C980.0594；Cwn100每次拿一件，取后放回，拿3次：=100(1) P9!- 3 0.0576；1003D d983(2) P 1310030.0588 ；每次拿一件，取后不放回，拿3次：2 98 97 (1)P2 98 973100 99 980.0588；98 97 96(2) P 1-0.0594100 99 9812.從0,1,2,9中任意選出 3 個不同的數

8、字，試求下列事件的概率:A三個數字中不含0與5 ,A2三個數字中不含0或5o4(1)6 人中至少有 1人生日在 10月份;(2)6 人中恰有 4 人生日在 10月份;15.從一副撲克牌(52 張)任取 3 張(不重復)，計算取出的 3 張牌中至少有 2張花色相同的概率。解：1 3 1 2 1一340.602或P 1C532解:P(A1)P(A2)箜勇2C3CO715；勺14或PW1烏.15Ci3o141513 .從0,1,2,9中任意選出 4個不同的數字，計算它們能組成一個4 位偶數的概率。解：P5P934P；41P109014.一個宿舍中住有6 位同學，計算下列事件的概率:(3)解：6 人中

9、恰有4人生日在同一月份;(1) P0.41；(3) P126CC；1120.0073(2) PC：1121260.00061 ;126-3-1114 13 13 130.602C525而由題設P(B| A) P(B| A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)習題1.2解答1. 假設一批產品中一、二、三等品各占 是三等品，求取到的是一等品的概率。解：60% , 30%、10%,從中任取一件，結果不令A“取到的是i等品”，i 1,2,3時，系統 I 和 II有效的概率分別 0.92 和 0.93，在系統 I失靈的條件下，系統 II仍有效 的概率為 0.85,求(1)兩種報警系統 I和 II都有效的

10、概率；(2)系統 II失靈而系統 I有效的概率；(3)在系統 II失靈的條件下，系統 I仍有效的概率。解：令A“系統(I )有效” ，B系統(n)有效” 則P(A) 0.92, P(B) 0.93, P(B | A) 0.85(1)P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B) P(A)P(B | A) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862(2)P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.92 0.862 0.058(3)P(A|B)四 冬0.8286P(B) 1 0.934.設0 P(A)1 ,證明事件A與B獨立的充要條件是P(B| A) P(B | A)證：:A 與B獨立，A

11、與B也獨立。P(B|A)P(B|A) 0P(A)P(B), P(B|A) P(B)P(B|A) _10 P(A) 1又P(B| A)P(AB)- P(AB),P(B| A) P(A)P(A)即1 P(A)P(AB) P(A)P(B) P(AB)P(AB) P(A)P(B)，故A與B獨立。P(AiA3)P(A四P(A)p(A1)P(A3)0.6 209 32.設 10件產品中有 4件不合格品，從中任取2 件，已知所取 2 件產品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A“兩件中至少有一件不合格”，BC：2P(BC101 p(A) rc?1c2c10在礦內同時裝有兩種報警系統P(B

12、|A)冬P(A)3.為了防止意外“兩件都不合格”15I和 II O 兩種報警系統單獨使用65. 設事件A與B相互獨立，兩個事件只有A發(fā)生的概率與只有B發(fā)生的概率都是1，求P(A)和P(B).4 一一1.解：P(AB) P(AB),又A與B獨立41P(AB) P(A)P(B) 1 P(A)P(B)-41P(AB) P(A)P(B) P(A)1 P(B)4P(A) P(B),P(A) P2(A)141即P(A) P(B) - o26. 證明若P(A)0,P(B)0,則有(1)當A與B獨立時，A與B相容；(2)當A與B不相容時，A與B不獨立。證明：P(A) 0,P(B) 0(1)因為A與B獨立，所以

13、P(AB) P(A)P(B) 0 ,A與B相容。(2)因為P(AB) 0，而P(A)P(B) 0 ,P(AB) P(A)P(B),A與B不獨立。7. 已知事件A, B, C相互獨立，求證A B與C也獨立。證明：因為A、B、C相互獨立，P( A B) C P(AC BC)P(AC) P(BC) P(ABC)P(A)P(C) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A) P(B) P(AB)P(C) P(A B)P(C)A B與C獨立。8. 甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為 0.7, 0.8和 0.9,求在這段時間內，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。

14、解：令A,A2,A3分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，那么P(A1) 0.7,P(A2) 0.8,P(A3) 0.9令B表示最多有一臺機床需要工人照顧，7那么P(B) P(A1A2A3瓦A2A3AA2A3A1A2A3)P(AAA3)P(AAA3)PSA2A3) PSA2A3)0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.1 0.9029.如果構成系統的每個元件能正常工作的概率為p(0 p 1),(稱為元件的可 靠性)，假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統的可靠性。P(Ai) P,A1,A2, A2n相互獨立。那么P(A) PS1

15、A2An) (An 1An 2A?n)(1f 2Cn)2nP(A)i 1n)2)(AnA2n)P(A)P(Ai)注：利用第 7題的方法可以證P)n明(AiAn i)與(AjAn j)i j時獨立。10.10張獎券中含有 4 張中獎的獎券，每人購買1張，求(1)前三人中恰有一人中獎的概率；(2)第二人中獎的概率。解：令Ai“第i個人中獎”，i 1,2,3 P(A1A2A3A1A2A3AA2A3)系統 IP (A1A2An)Pn2nP(A) P(A)i 1i n12PnP2nPn(2 PP(B) P(A1An1)(A2An nP(A An i)i 1 nP(A) P(An i)i 1n2P P2

16、Pn(2i 1系統 II解：令A“系統(1)正常工作”B“系統(n)正常工作A“第i個元件正常工作”，i 1,2, ,2n8P(AA2A3) P(A2A3) P(A2A3)P(A)P(21 A)P(A3|AIA)P(瓦)P(A2|A)P(A3|AA2)P(A)P(A2|瓦)P(A3|瓦A2)46 565 464 51109 8109 8109 82或P12C4C61C3C102(2)P(A2)P(AI)P(A2I A1)P(AI)P(A2I角)436 42109 109511 .在肝癌診斷中,有種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實患者，但也有可能將 10%的人誤診。根據以往的記錄，每

17、 10 000人中有 4 人患有肝癌,試求:(1)某人經此檢驗法診斷患有肝癌的概率；(2)已知某人經此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。解：令B被檢驗者患有肝癌”，A“用該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌”那么，P(A| B) 0.95,P(A|B) 0.10, P(B) 0.0004P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.00040.950.99960.10.10034P(B)P(A|B)-0.00380.0004 0.95 0.9996 0.112 . 一大批產品的優(yōu)質品率為 30%，每次任取 1 件，連續(xù)抽取 5 次，計算下列事 件的概率：(1)取到的 5 件產

18、品中恰有 2 件是優(yōu)質品;(2)在取到的 5 件產品中已發(fā)現有 1 件是優(yōu)質品，這 5 件中恰有 2 件是優(yōu)質品解：令Bi“5件中有i件優(yōu)質品”，i 0,1,2,3,4,5(1) P(B2) C；(0.3)2(0.7)35_ P(B2I Bi)P(B2|BO)(2)P(B|A)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 0.950.3087P(BP(BO)91i 10.3087-50.3711 (0.7)P(B2)1P(BO)1013 .每箱產品有 10件，其次品數從 0 到 2 是等可能的。開箱檢驗時，從中任取件，如果檢驗是次品，則認為該箱產品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，

19、1 件正品被誤檢是次品的概率是 2% ,1 件次品被誤判是正品的概率是5% ,試計算：(1)抽取的 1 件產品為正品的概率；(2)該箱產品通過驗收的概率。解：令A“抽取一件產品為正品”Ai“箱中有i件次品”，i 0,1,2B3號箱產品通過驗收”2(1)P(A) P(A)P(A|A)110.9i 0i 03 _10(2)P(B) P(A)P(B| A) P(A)P(B | A)0.9 0.98 0.1 0.05 0.88714.假設一廠家生產的儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率 0.30 需進一步調試，經調試后以概率 0.80可以出廠，并以概率0.20定為不合格品不能出廠?，F該廠新生產了n

20、(n 2)臺儀器(假設各臺儀器的生產過程相互獨立)，求：(1)全部能出廠的概率;(2)其中恰有 2 件不能出廠的概率;(3)其中至少有 2 件不能出廠的概率。解：令A“儀器需進一步調試”A“儀器能直接出廠”顯然B A AB,那么P(A) 0.3, P(B | A) 0.8P(AB) PA)P(B | A) 0.3所以P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令Bi“ n件中恰有i件儀器能出廠”，i 0,1, n的概率:(1)直到第 r 次才成功；(2)第r次成功之前恰失敗k次；(3)在n次中取得r(1 r n)次成功;B“儀器能出廠”；AB“儀器經調試后能出廠”0.8 0.24

21、(1)(2)(3)P(Bn) (0.94)nP(Bn2) C：2(0.94)n 2(0.06)2n2nP(Bk) 1 P(Bm) P(Bn)15 .進行一系咧獨立試驗，每次試驗成功的概率均為Cn2(0.94)n 2(0.06)21_ n1 _ n1 Cn 0.06(0.94)(0.94)p,試求以下事件111(4)直到第n次才取得r(1 r n)次成功。解:(1)PP(1p)r1(2)PCr 1Cr k1Pr(1 p)k(3)P_ rCnPrn r(1 p)(4 )PC；rn rp (1 p)16 ,對飛機進行 3 次獨立射擊，第一次射擊命中率為0.4，第二次為 0.5,第三次為 0.7.擊中

22、飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2,擊中飛機二次而飛機被擊落的概率為 0.6,若被擊中三次，則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。解：令Ai“恰有i次擊中飛機”，i 0,1,2,3B“飛機被擊落”顯然：P(A0)(1 0.4)(1 0.5)(1 0.7) 0.09P(A) 0.4 (1 0.5) (1 0.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7) (1 0.4) (1 0.5) 0.7 0.36P(A2) 0.40.5(1 0.7) 0.4 (10.5) 0.7(1 0.4) 0.5 0.70.41PW 0.40.50.7 0.14而P(B | A0)0, P(B|AJ 0.2,P

23、(B|A2)0.6 , P(B| A3) 1所以P(Ai)P(B | Ai) 0.458; P(B) 1P(B)30P(B) 1 0.458 0.54212習題1.3解答1.設X為隨機變量，且P(X k)JL(k 1,2,)，則(1)判斷上面的式子是否為X的概率分布；P(X為偶數)和P(X 5).42k(2)若是，試求解：令P(Xk)顯然pk11pkkk 1k 12所以P(Xk)(2) P(X為偶數Pk1,2,P(X 5)121142kp2kPk1,2,為一概率分布。22k125121414P(Xk)16 Ckk!e (k1,2,),且 求常數C.kk解:c e1 ,而e 1k 1k!k 0k

24、!0c 1 e.11,即c (1 e )0!2.設隨機變量 X 的概率分布為設一次試驗成功的概率為P(0 P1),不斷進行重復試驗，直到首次成功X的概率分布。3.為止。用隨機變量 X 表示試驗的次數，求解：P(X k) p(1 p)k1,k 1,2,4.設自動生產線在調整以后出現廢品的概率為p=0.1 ,當生產過程中出現廢品時立即進行調整，X 代表在兩次調整之間生產的合格品數，試求(1)X的概率分布；(2)P(X 5)解:(1)P(Xk) (1 p)kp (0.9)k0.1,k(2)P(X5)P(Xk)(0.9)kk 5O0,1,2,0.1 (0.9)55. 一張考卷上有 5 道選擇題，每道題

25、列出 4 個可能答案，其中有 1 個答案是正確的。求某學生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？1314的獨立重復試驗O查表得N 47.設隨機變量X服從參數為的 Poisson(泊松)分布,9.在長度為的時間間隔內， 某急救中心收到緊急呼救的次數服從參數為的Poisson分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計)，求解：因為學生靠猜測答對每道題的概率為p入1所以這是一個n 5,p -4沒有印刷錯誤的概率。12解：P(X 1)P(X2),即一e 1!2!P (X0)2e2、4P (e )8e8.本書上,設書籍上每頁的印刷錯誤的個數X服從有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數相同，求任意檢驗3.05

26、15 _C5(4)(、)414P(X 4) C5( )/446.為了保證設備正常工作，需要配備適當數量的維修人員。根據經驗每臺設備發(fā)生故障的概率為 0.01 ,各臺設備工作情況相互獨立。(1)若由 1 人負責維修 20 臺設備，求設備發(fā)生故障后不能及時維修的概率；(2)設有設備 100臺，1臺發(fā)生故障由 1 人處理，問至少需配備多少維修人員，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率不超過0.01?解：(1)1 (0.99)20(2)n 100, np64P(X N 1)20 0.01 (0.99)190.0175(按Poisson(泊松)分布近似)100 0.01 1(按Poisson(泊松)

27、分布近似)100100kk100 kC100(0.01)(0.99)k N 1k 10.011k!解：P(X 0)P(X1) 1 P(X1 2(2)P(X0一e0!1)1ln 221).12P(X 0)1 (1 ln 2)2In 2P(X 1)Poisson(泊松)分布。經統計發(fā)現在某4 頁，每頁上都(1)15(1)某一天從中午 12時至下午 3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午 12時至下午 5時收到 1 次緊急呼救的概率；9.在長度為 t 的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數X 服從參數為*的Poisson(泊松)分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計).求(1)某一天

28、從中午 12時至下午 3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午 12時至下午 5時收到 1 次緊急呼救的概率；16試求(1)a；(2) Y X21的概率分布。解：,八1(1)2a 3a a a 2a 1101 a o10(2)試求：(1) t 的值；(2) X的概率密度；(3)P( 2 X 2).解：11(1)一( t) 0.5 - 0.5 3 122t 1解:2p(x0)52p(x1)51 P(X 0) 1 e wX-2-10123p2a1103aaa2a的概率分布為:10.已知XY1038P_3-_3-10510511.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度曲線如圖1.3.8 所示.f (x)

29、 A0.5圖 1.3.8172311X -2211x -62x 1,0)x 0,3)其它解：令f(x)dx6).a即sin xdx 1013.乘以什么常數將使x變成概率密度函數？解:(3) P ( 2 X2)12.設連續(xù)型隨機變量11(x )dx122X的概率密度為sinx, 0,f(x)其他9dx1112cosx1,即cos a0,a2sin xdxcosx |1 2*6、32解：令x2cexdx(x 2)21e4dx14.隨機變量X N(,f(x)1e6試求2；若已知Cf (x)dxf (x)dx，求C.f(x)1-e6x24x 46(x 2)22( 3)223(2) f (x)試確定常數

30、a并求P(X18若f(x)dx f (x)dx ,由正態(tài)分布的對稱性c可知c 2.15.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為2x, 0 x 1 f (x) 0,其他16.設隨機變量X服從1,5上的均勻分布，試求P(x1X x2).如果(1)XI1 x25 ;(2) 1XI5x2.解：X的概率密度為1f(x)4,1 x 50 ,其他x211(1)P(XIX x2)dx(x21)I44511(2)P(XIX x2)-dx -(5XI)/417.設顧客排隊等待服務的時間X(以分計)服從1的指數分布。某顧客等5待服務,若超過 10分鐘,他就離開。他一個月要去等待服務5 次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開

31、的次數，試求Y的概率分布和P(Y 1).解：1P(X 10) 1 P(X 10) 1 11102e5 eP(Y k)C；(e2)k(1 e2)5k,k0,1,2,3,4,52 5_-P(Y 1) 1 (1 e )0.5167以Y表示對X的三次獨立重復試驗中“X1 ,2出現的次數，試求概率P(Y 2). _1解：P(X -)P(Y 2)12xdx -o4C2(1)2(2)C3()449-O6419F(x)曲線：F(x)2.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為0, X 1試求：(1)X的概率分布；(2)P(X 2| X 1).解：(1)X 113pT04 04_02(2) P(X 2|XP(X 1)2P

32、(X 1)3習題1.4解答1.P(X解:已知隨機變量X3) 0.5 ,試求的概率分布為P(X 1)X的分布函數；P(0.50.2 , P(X 2) 0.3,X 2)；畫出F(x)的曲線。F(x)0.20.5,1,2P(0.5X 2) 0.5F(x)0.4,0.8,1 X 1 1 x3 x 320X01232754368p1251251251255.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為2xBe0,xx00F(x)A試求：(1) A, B的值；(2) P( 1X1)；(3)概率密度函數f (x)解:(1)F( ) limx(A Be2x)1A 1又lim (A Be2xx 0)F(0) 0BA10,x

33、027,0 x 1125、81(2) F(x),1x 2125117,2x 31251,x 34.試求習題 1.3中第11 題X的分布函數，并畫出解：F (x)的曲線。0 x11 211xx 1x 0424121c xX0 x 312241x3F(x)214(1)4(2) P( 1 X 1)F(1) F( 1) 1 e(3)2xf(x) F(x)。6.0設X為連續(xù)型隨機變量，其分布函數為a,F(x) bxln x cxd,1;e;e.試確定F (x)中的a, b,c,d的值。解：F( ) 0a 1又F( ) 1 d1又lim (bxln x cxx11) a 0c 1又lim (bxln x xx e1) d 1be e17.設隨機變量X的概率密度函數為f(x)和P(X 1).解:a(1 x廠dx2)即arctanx |F(x)11+一arctanx, 21)11a(1試確定a的值并求F(x)?dt(1 t2)P(|X | 1)F(1) F(11 (_ arctan1)arctan(1)228.假設某地在任何長為t(年)的時間間隔內發(fā)生地震的次數