巧用幾何性質,優(yōu)化平面向量計算

1、教學2017 年 12 月參謀解法探究巧用幾何性質，優(yōu)化平面向量計算筅湖南省衡陽市一中譚祖榮通常我們把平面向量的運算分為幾何運算和代數(shù)運算（坐標運算），其難點在幾何運算上，靈活應用圖形的幾何特點與性質，往往是解決問題的關鍵.一、在三角形中靈活應用“四線，四心 ”例 1 已知 ABC 中，點 D 在 AB 上， CD 平分 ACB.若 CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，則 CD=（） .A. 1 a+ 2 bB. 2 a+ 1b3333C. 3 a+ 4 bD. 4 a+ 3b5555分析：本題是 2010年全國卷理數(shù)中的試題，主要CEFABD圖 1又四邊形ADFE 為菱形，于是AF

2、平分 BAC. 又 AP 與 AF 共線，所以 AP 平分 BAC ，點 P 的軌跡通過 ABC 的內心 .故選 C. ABAC例3 若動點 P 滿足 OP=OA+ + ，|AB|sinB |AC|sinC（ 0，+），則點 P 的軌跡一定通過 ABC 的考查向量的基本運算，考查角平分線定理.（） .解 ：A. 重心B. 外心因為 CD 平分 ACB ，由角平分線定理|AD|得=C.內心D.垂心|DB|CA|2，所以 D 為 AB 的三等分點，且AD=2 2分析：本題考查了平面向量的加減運算、向量的共=AB=（CB-線及點的軌跡 .|CB|1 233121 解 ：CA），所以，由 OP-OA=

3、AP ，如圖 2CD=CA+AD=3 CB+ 3 CA= 3 a+ 3 b，故選 B.|AB|sinB=|AC|sinC=|AD| ， AD 為 BC 邊上的高，于是AP=（AB+AC ）=·2AE.例若動點 ABAC， （ ，|AD|AD|滿足+ 2POP=OA+ 0A|AB|AC|+），則點 P 的軌跡一定通過 ABC 的）.（A. 重心B. 外心BDECC. 內心D.垂心圖 2 分析：本題考查了平面向量的加減運算 、向量的共因為 AE 為 BC 邊上的中線，所以AP AE. 所以點線及點的軌跡 .P 的 軌跡通過 ABC的重心 .故選解 ：AB，AC分別表示A.如圖 1，由 O

4、P-OA=AP ，又|AB|AC| ABAC例若動點滿足，4POP=OA+ AB ， AC 上的單位向量，從而AB+ AC=AD+AE=AF.|AB|cosB |AC|cosC|AB| |AC|（ 0，+）則點 P 的軌跡一定通過 ABC 的（） .A. 重心B. 外心68高中版教學2017 年 12 月解法探究參謀C. 內心D.垂心分析：本題考查了平面向量的加減運算 、向量的共線及點的軌跡 .BB BB BBBBBBBBABAC解：由 OP-OA=AP ，所以 AP= 3BB+BB3，|AB|cosB |AC|cosCBB BBBBBB BBBB BBBBBB3BB33BBAB·B

5、CAC·BC|AB|BC|cos （-B ）從而 AP·BC= |AB|cosB+=+|AC|cosC|AB|cosBBB BBBB BB|AC|BC|cosC 3BB =0 ，所以 APBC. 所以點 P 的軌跡通過|AC|cosC ABC 的垂心 .故選 D.例 5 在 ABC 中， A， B， C 的對邊分別為a，BBBB%BBb，c，重心為 G，若 a GA +b GB +姨3 c GC =0，則 A =3_.分析：本題考查了三角形的重心的性質 、平面向量的加減運算及共線向量定理 .BB BB BB解法 1：由 G 是三角形 ABC 的重心知 GA+GB+GC=0

6、，BBBBBBBBBB%3BBBBGC = - GA - GB ，a GA+ b GB +姨c （ - GA - GB ）=3333333%BB%BBa-姨 3姨 3c GA+ b-c GB=0.BB BB%姨 3c=b- 姨 3又 GA ， GB 不共線，所以a-c=0 ，于33是 cosA= b 2+c 2-a 2 = 姨 % 3 .2bc2又 0<A< ，所以A=.6BB BB BB解法 2：由 G 是三角形 ABC 的重心知 GA+GB+GC=0 ，%3 c，于是b2+c2-a2%令姨姨 3a=b=cosA=.32bc2又 0<A< ，所以 A=.6二、利用向量

7、的模的幾何意義構建幾何圖形例 6 已知平面向量 ，（0， ）滿足 |=1 ，且與 -的夾角為 120 °，則 |的取值范圍是 _.分析：本題是 2010 年浙江理數(shù)中的試題，主要考查了平面向量的四則運算及其幾何意義，突出考查了對問題的轉化能力和數(shù)形結合的能力，把題設條件表示在三角形中，即可迎刃而解.BB BBBB如圖 3 ，設 OA=，OB=，則 AB=-，從而在三角解：%形 ABC 中，由正弦定理|2 姨 3 sinB知sinB=，即 |=.sin60°33 %3因為 B（ 0°，120°） 所以|2 姨 30，3.CAAcaBbOOB圖 3圖 4設向

8、量 a，b，c 滿足|a|=|b=1| ，1 ，a-c，b-例 7a·b=-2c=60°，則 |c| 的最大值為（） .A.2%D.1B.姨3C.姨2分析：本題是2011年全國大綱卷理數(shù)中的試題，考查平面向量的知識，與2010 年浙江理數(shù)試題相同，更突出考查了對問題的轉化能力和數(shù)形結合的能力，利用題設條件及其幾何意義把問題轉化到三角形的外接圓中，應用幾何方法求最值.BB BBBBBBBB解：如圖 4，設 OA=a，OB=b，OC=c，則 CA=a-c， CB=b-c.，所以因為 |a|=|b|=1 ，a·b=- 11cos AOB=-，從而22AOB=120°.又a-c ， b-c =60°，所以 AOB+ ACB=180° ，所以 O， A，C ，B 四點共圓 .當 OC 為圓的直徑時， |c|最大 .%在三角形 AOB 中，