概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件04F 重要分布

1、1第四章第四章 重要分布重要分布1. 1. 正態(tài)分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型正態(tài)分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型2. 2. 正態(tài)分布的數(shù)字特征正態(tài)分布的數(shù)字特征3. 3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系4. 4. 正態(tài)分布與正態(tài)分布與-分布的關(guān)系。分布的關(guān)系。2引理：引理：普阿松積分公式 |00220022222222,sin,cos,:,rrryxtedrerdrdeIrdrdryrxdydxeIdteI則積分元為令作極坐標(biāo)變換證3定義定義 如果連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度為222)(21)(xex其中其中 , 為常數(shù)為常數(shù), 并且并且 0, 則稱則稱x x服從正態(tài)分布服從正態(tài)分

2、布, 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作x xN( , 2).利用引理可以驗(yàn)證利用引理可以驗(yàn)證Ex x= , Dx x= 24特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) =0, =1時(shí)時(shí), 稱稱x x服從服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布, 記為記為x xN(0,1).其概率密度記為其概率密度記為 0(x), 且且20221)(xex5驗(yàn)證Ex=xxduedueuEdudxuxxudxexEuux222)(222221)(21,2則令6驗(yàn)證Dx=22222222222)(2222222|222,2)(xxdueueudedueuDdudxuxxudxexDuuuux則令70(x)的圖形20221)(xexx0(x)01180(x)除一般概率密

3、度的性質(zhì)外, 還有下列性質(zhì)(1) 0(x)有各階導(dǎo)數(shù)(2) 0(x)=0(x), 偶函數(shù)(3) 在(,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0,)嚴(yán)格下降.在x=0 處達(dá)到最大值:3989. 021)0(0(4) 在x=1處有兩個(gè)拐點(diǎn);(5) x軸是0(x)的水平漸近線0)(lim0 xx9可用書后附表二查出0(x)的各個(gè)值例1 xN(0,1), 求0(1.81), 0(1), 0(0.57), 0(6.4), 0(0).解 查書后附表二可得0(1.81)=0.077540(1)=0(1)=0.24200(0.57)=0.33910(6.4)=00(0)=0.398910一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)

4、分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系1. 如果xN(,2), hN(0,1), 其概率密度分布記為(x)和0(x), 分布函數(shù)分別記為F(x)及F0(x), 則FFxxxx00)()2(1)() 1 (11證FFFxdyyxtydtxdttxxeexxxxxx0000212)()()(,1)()()2(121121)() 1 (222令122. 如果如果x xN( , 2), 而而h h=(x x )/ , 則則h hN(0,1)證證: 為證明為證明h hN(0,1), 只要證明只要證明h h的概率密度為的概率密度為 0 0(x)或分布函數(shù)為或分布函數(shù)為F F0 0(x)即可即可.Fh h(x)=P(h

5、h x)=P(x x )/ x)=P(x x x+ )=F F( x+ )=F F0(x)可以證明可以證明, 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x x, 它的線它的線性函數(shù)性函數(shù)kx x+b(k 0)仍服從正態(tài)分布仍服從正態(tài)分布.13標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表如果xN(0,1), 則對(duì)于大于零的實(shí)數(shù)x, F0(x)的值可以由附表三直接查到. 而對(duì)于小于零的x則可通過對(duì)稱性來求得.0(x)0uF0(x)x14例例2 x xN(0,1), 求求P(x x 1.96), P(x x 1.96), P(|x x| 1.96), P( 1x x 2), P(x x 5.9).15概括起來, 如果xN(

6、0,1), 則0)(,5, 0)(,5)()()()0(1)(2)|(|0)(105 . 00)()(0000000 xxxxabbaPxxxPxxxxxxPFFFFxFxFFx時(shí)而當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)16例例3 x xN(8,0.52), 求求P(|x x 8|1)及及P(x x 10)17例例4 x xN( , 2), P(x x 5)=0.045, P(x x 3)=0.618, 求求 及及 4, 8 . 118正態(tài)分布與正態(tài)分布與G G-分布的關(guān)系分布的關(guān)系3. 如如x xN(0,1), 則則x x2 2(1)21212221212)()()(0; 0)(,0)(,21)(),1 , 0(2xx

7、xekxexxxxxxxxxexNxhxxxhhhx時(shí)當(dāng)時(shí)則當(dāng)其概率密度為令證 19推論：如果推論：如果x x1,x x2,.,x xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且且x xiN(0，1), (i=1,2,.,n),則則 x x1+x x2+.+x xn 2 2(n）推論推論(需要記住需要記住)：如果：如果x x1,x x2,.,x xm相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且且x xi 2 2(ni), (i=1,2,.,m),則則 x x1+x x2+.+x xm 2 2(n1+n2+.+nm)20F分布的定義分布的定義: 若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度(x)為).,(,0001)(212122112211nnFFn

8、nxxxnnkxxnnn簡(jiǎn)記為分布的個(gè)自由度為第二為服從具有第一個(gè)自由度稱x211994年經(jīng)濟(jì)類研究生試題_2,210102)(YPXXYxxxfX則出現(xiàn)的次數(shù)事件的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中表示以其它的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量1x222解64924121YPXP231995年經(jīng)濟(jì)類研究生試題_0101011)(,DXxxxxxfX則方差其它其概率密度為是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)x11124解61122)4131(2)4131(2)(2)1 (2)(2,)(0,)(|1043103210202222xxdxxxdxxxdxxfxDXxdxxfxEXDXEXxf因此也是偶函數(shù)則為偶函數(shù)由圖可知251997年經(jīng)濟(jì)類研究

9、生試題27192781321011,31,321 ,94)1 (0_1,951), 3(), 2(32YPYPpppXPYPXPpBYpBX解則若設(shè)隨機(jī)變量261999年經(jīng)濟(jì)類研究生試題設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為l的泊松分布, 且已知E(X1)(X2)=1, 則l=_提示: EX=DX=l, 且 EX2=(EX)2+DX=l2+l,l=1271999年經(jīng)濟(jì)類研究生試題設(shè)隨機(jī)變量Xij(i,j=1,2,.,n;n2)獨(dú)立同分布, EXij=2, 則行列式_212222111211EYXXXXXXXXXYnnnnnn的數(shù)學(xué)期望280EY292000年經(jīng)濟(jì)類研究生考研題設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間1,2上服從均勻

10、分布; 隨機(jī)變量_0, 10, 00, 1DYXXXY則方差12x30解98311)(131) 1(3213131) 1(321311, 00,321222222EYEYDYEYEYYPYPYP則如圖不難算出311998年經(jīng)濟(jì)類研究生試題 設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p, 進(jìn)行進(jìn)行100次獨(dú)立次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)重復(fù)試驗(yàn), 當(dāng)當(dāng)p=_時(shí)時(shí), 成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大的值最大, 其最大值為其最大值為_解 設(shè)成功次數(shù)為X, 則XB(100,p), DX=100p(1p)=100p100p2, 對(duì)p求導(dǎo)并令其為0, 得100200p=0, 得p=0.5時(shí)成功的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大

11、, 其最大值為55 . 05 . 0100npq3229. xiN(0,1)(i=1,2,3), 并且x1,x2,x3相互獨(dú)立,3231321)2()(313131)(),cov()31, 0(,3131, 0).,cov(,),cov(,)(,331222211311131131232131xxxxxxxxxxxxxxxxxhxhxxxxhxxxxxiiiiiiiiiiiEEEEENDDEE則解求33因此0),cov(,)(,)(, 03131)()(),cov(),32, 0(, 2323)(31222312hxxxxhxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxh因此獨(dú)立必互不相關(guān)而相互也相互獨(dú)立與則獨(dú)立也相互與則相互獨(dú)立與因此而它們都是正態(tài)分布互不相關(guān)與即而因iiiiiiiiiiiEEENEE3430. (x,h)有聯(lián)合概率密度.21,00021)(),2(),1 (),1 (,),1 , 0(),1 , 0(,.,21),(21222222222)(2122的指數(shù)分布服從參數(shù)為即的概率密度為則則因此相互獨(dú)立與由聯(lián)合概率密度看出解