平方根知識點總結講義

1、平方根知識點總結【學習目標】1 了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根.2 了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用計算器求平方根.【要點梳理】要點一、平方根和算術平方根的概念1.算術平方根的定義x的平方等于a，即如果一個正,那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根數(shù)x2a （規(guī)定0的算術平方根0）；a的算術平方根a，讀作“a的算術平方根”，a還是記作叫做被開方數(shù).要點詮釋：當式.a有意義時，a 一定表示一個非負1V子數(shù)，即a >0, a > 0.2.平方根的定義女口 x - a , 那x叫a的平方.求一個a的平方根的運算，叫做.平方與果 2 么做根數(shù)

2、開平方開平方互為逆aa >0）的平方根的符號表a0），其a是a的算術平運算（達為(a中方根.要點二、平方根和算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系1 區(qū)別：（1）定義不同；（2）結 a a果不同：和2 聯(lián)系：（1）平方根包含算術平方根；（2 ）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3） 0的平方根和算術平方根均為 0 要點詮釋：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個 叫它的算術平方根；負數(shù)沒有平方根.（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術平方根來研究平方根.要點三、平方根的性質a ( a 0)a2 | a | 0( a 0)a ( a 0

3、)2a aW ）=2位，它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或者要點四、平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動向左移動1位.例如:62500 250 , 62525,6.252.5 , 0.06250.25 .【典型例題】類型一、平方根和算術平方根的概念1、若2 m 4與3 m 1是同一個正數(shù)的兩個平 方根，求m的值.【思路點撥】 由于同一個正數(shù)的兩個平方根互為m 4=( 3 m相反數(shù)，由此可以得到2 1),解方程即可求解.【答案與解析】解：依題意得2 m 4 = ( 3 m 1),解得m = 1; m的值為1.【總結升華】此題主要考查了平方根的性質：一個正數(shù)有兩個平方根，它們

4、互為相反數(shù).舉一反三:【變式】已知2 a 1 與 a+2是m的平方根，求m的值.【答案】2 a -1與a是m的平方根，所以a 1與a+ 2相等或互為相+ 22反數(shù).解：當2 a1 =a時，a=1，所以m22+ 2(2a -12 1 11當2 a -1-1 +(a +2)=0 時，a1，22所以m =2a 12(1)1239、x為何值時，下列各式有意義？(1) x2 ;(2) x 4 ; (3)x 11 x ;(4) x 1 、x 一 3 【答案與解析】解：0 ,所以當x取任何值由題意可知：x 40 ,所以x 4時，xA*(1) 因為x2時，x2都有意義.x 11 x0解得：01 x1 .所以1

5、 x1時x 11x有意、x 10<*遵*11廠1且x，解得x 3.x 304有意義.(3) 由題意可知:義.(4) 由題意可知:所以當x 1且x 3時，x 1有意義.x 3【總結升華】（1）當被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個含字母的代數(shù)式時，一定要討論，只有當被開方數(shù)是非負數(shù)時，式子才有意義.（2）當分母中含有字母時，只有當分母不為0時，式子才有意義.舉一反三：【變式】已知b 4 3a2 3a 2，求 1a1的算術平方根.b【答案】3a0,解：根據(jù)題意，得-*- 23a則a0.2=，所以3 1 1a b類型二、平方根的運 算的算術平方為值求下列各式的(1) 25224232 420.36 19

6、00 .5示的意義【答案與解-(2)注意運算順序 II / J J 川 I 析】芒解: (1) 25224232 4249 一 257 5351亠1 18111丁 9-(2) 200.369000.6300.2 64354352【總結升華】(1)混合運算的運算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，1.7同一級運算按先后順序進行.(2)初學可以根據(jù)平方根、算術平方根的意義 和表示方法來解，熟練后直接根【思路點撥】(1)20 1 143先要弄清楚每個符號表據(jù)a2a(a 0)來解.類型三、利用平方根解方程4中求下列各式(1) x2 361 0；)2 二64 0(3) 9 3x 2【答案與解析】解：(1

7、)v3610x23612(2) x 1289 ;36119(2)v x 1289 x 1289x + 1 = ± 17x = 16 或 x = 18.(3)v923x 2640264 3x 23x1492或x9本題的實質是一元二次方程，開平方法是解一元二次方程的【總結升華】 最基本方法(3)小題中運用了整體思想分散了難度. 舉一反(2)中變式】求下列等式(1)若x21.21x :，貝y x =?(2) x22()若x4169，則2【答案】13;( 3)(1)± 1.1 ; (2) ±2. 4)類型四、平方根的綜合應用5、已知是實數(shù)，r且-<_ 2a|b，解關

8、的方程x【答案與解 析】解：數(shù)，是實2a(a 2) x2a 6 | b2 代入(a 2) x b2 a 1 ,把 a 3, b【總結升華】本題是非負數(shù)的性質與方程的知識相結合的一道 題，應先求出 解方程.此類題主要是考查完全平方式、得一x + 2 = 4 ,x = 6.a、b的值， 再算術平方根、絕對值三者的非負性，只需令每 項分別等于零即 可.舉一反【變式】 2 若X21 y10，:求 x2011 y2012 的值.【答案】解：由X21y 10，得 X20 ,即10 , y 1 x 當 x = 1, y = 1 時，x2011y2012 當 x =一 1, y =一 1 時，y20x20111212011(1)2012 2 .0(1)2011( n2012.6、小麗想用一塊面 400 cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300 積為cm2的長方形紙片，使它長寬之比為的長方形紙片.【答案與解析】解：33 : 2，請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合 要求設長方形紙片的長為x ( x > 3x 2x 300 .0)cm，則寬為2 x cm，依題意得6x2300 .x250 .T x > 0 ,x 50 .長方形紙片的長為3 50 cm .t 50 > 49,50 7 .3 50 21,即