中學(xué)考試圓有關(guān)地動點幾何壓軸題

1、實用標(biāo)準(zhǔn)北辰教育學(xué)科老師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名：年級：初三輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：陸軍授課日期授課時段授課主題中考25題壓軸題之涉及圓問題分析教學(xué)內(nèi)容與圓有關(guān)的常見輔助線添加方法輔助線秘訣一直徑或作直徑,我們要想到兩件事：1;直徑上有一個隱藏的中點圓心2;利用圓周角定理構(gòu)造直角三角形輔助線秘訣二作半徑1;連半徑,造等腰三角形2;作過切點的半徑輔助線秘訣三涉及弦長,弦心距；可造垂徑定理的模型,為勾股定理創(chuàng)造條件輔助線秘訣四切線的證實1;有父點：連半徑,證垂直2;無交點：作垂直,證半徑輔助線秘訣五數(shù)圓心角度數(shù),要想到同弧所對圓周角度數(shù),反之亦然.輔助線秘訣六出現(xiàn)等弧問題時,我們要想到1;在同圓或等圓中相

2、等的弧所對的弦相等,弦心距也相等.2;在同圓或等圓中相等的弧所對的圓心角,圓周角也相等.輔助線秘訣七三角比或求某個角的三角比,要想到把角放在直角三角形中,沒有作垂直 注意；同角或等角的三角比相同輔助線秘訣八圓中出現(xiàn)內(nèi)接正多邊形時；作邊心距,抓住一個直角三角形來解決輔助線秘訣九兩圓相切,常用的輔助線是；1;作公切線,連接過切點的半徑得到垂直關(guān)系2;作連心線輔助線秘訣十兩圓相交,常用的輔助線是；1;作兩圓公切弦2;作連心線例題講解定圓結(jié)合直角三角形,考察兩線段函數(shù)關(guān)系,三角形面積比值1 此題總分值14分,其中第1小題4分,第2、 3小題各5分1：如圖,在 Rt ABC中,.C =90,BC =4,

3、tan. CAB,點O在邊AC上,以點O為圓心的圓2過A、B兩點,點 P為AB上一動點1 求0 O的半徑；2聯(lián)結(jié)AP并延長,交邊CB延長線于點D,設(shè)AP =x , BD =y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域；3聯(lián)結(jié)BP,當(dāng)點P是AB的中點時,求備用圖文案大全定圓結(jié)合直角三角形,考察三角形相似,線段與三角形周長的函數(shù)關(guān)系2(2021?上海)如圖,在 Rt ABC中,/ ACB=90 .半徑為1的圓A與邊AB相交于點 D,與邊AC相交于點E, 連接DE并延長,與線段 BC的延長線交于點 P.(1)當(dāng)/ B=30°時,連接 AP,假設(shè)厶人丘卩與厶BDP相似,求 CE的長；(2 )假設(shè)

4、CE=2 BD=BC求/ BPD的正切值；(3 )假設(shè)tan / BPD=,設(shè)CE=x ABC的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.定圓結(jié)合直角三角形,考察兩線段函數(shù)關(guān)系,圓心距,存在性問題 3 .如圖,在半徑為 5的O O中,點 A B在O 0上,/ AOB=90,點C是弧AB上的一個動點, AC與0B的延長線 相交于點D,設(shè)AC=x BD=y1 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域；2如果O O與O 0相交于點A、C,且O 01與O 0的圓心距為2,當(dāng)BD= OB時,求O 01的半徑；33是否存在點 C,使得 DCBA D0C如果存在,請證實；如果不存在,請簡要說明理由.定圓中結(jié)合平行線

5、,弧中點,考察兩線段函數(shù)關(guān)系,圓相切4 此題總分值14分,第1小題6分,第2小題2分,第3小題6分在半徑為4的O O中,點C是以AB為直徑的半圓的中點, ODL AC,垂足為D,點E是射線AB上的任意一點, DF/ AB, DF與 CE相交于點 F,設(shè) EF=x,DF=y .(1) 如圖1,當(dāng)點E在射線0B上時,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域；(2) 如圖2,當(dāng)點F在O 0上時,求線段 DF的長；(3) 如果以點E為圓心、EF為半徑的圓與O 0相切,求線段 DF的長.E動圓結(jié)合直角梯形,考察圓相切和相似5 14 分2021?金山區(qū)二模如圖,在梯形ABCD中, AD/ BC, AB丄

6、BC, AB=4, AD=3 sin / DCB=5邊CD上一點(點 P與點C D不重合),以PC為半徑的O P與邊BC相交于點C和點Q.(1) 如果BP丄CD 求CP的長；(2) 如果PA=PB試判斷以AB為直徑的O O與O P的位置關(guān)系;(3) 聯(lián)結(jié)PQ如果 ADPD BQP相似,求 CP的長.動圓結(jié)合內(nèi)切直角三角形,考察相似,兩線段函數(shù)關(guān)系6. 2005中考(此題總分值12分,每題總分值各為 4分)AB相切于點D,在厶ABC中,/ ABC= 90°, AB= 4, BC= 3, O是邊AC上的一個動點,以點 0為圓心作半圓,與邊 交線段 OC于點E,作EP丄ED,交射線AB于點

7、P,交射線 CB于點F.1如圖 8,求證： ADEA AEP2設(shè)OA= x, AP= y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域；3當(dāng)BF= 1時,求線段AP的長.圖8動圓結(jié)合定圓,考察兩線段函數(shù)關(guān)系,圓相切7. 此題總分值14分,第1小題4分,第2小題5分,第3小題5分 如圖1,L O的半徑長為3,點A是L O上一定點,點P為L O上不同于點 A的動點.11 當(dāng)tan A時,求AP的長；22如果|_Q過點p、O,且點Q在直線AP上如圖2,設(shè)AP =x , QP = y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并 寫出函數(shù)的定義域；43 在2的條件下,當(dāng)tan A = _時如圖3,存在L M與J O相內(nèi)切,

8、同時與Q相外切,且0M丄0Q,3試求L M的半徑的長.A第25題圖動圓結(jié)合定圓,考察兩線段函數(shù)關(guān)系,相似,勾股定理,圓相交和正多邊形8. 如圖1,O 0的半徑長為1, PQ是O O的直徑,點M是PQ延長線上一點,以點 M為圓心作圓,與O O交于 A、B兩點,連接PA并延長,交O M于另外一點C.1 假設(shè)AB恰好是O 0的直徑,設(shè) OM=x AC=y,試在圖2中畫出符合要求的大致圖形,并求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)連接 OA MA MC假設(shè)OAL MA且厶0皿/與厶PMC相似,求 0M的長度和O M的半徑長；(3 )是否存在O M使得AB AC恰好是一個正五邊形的兩條邊？假設(shè)存在,試求0M的長

9、度和O M的半徑長；假設(shè)不存在,試說明理由.圖1圖2動圓結(jié)合三角形,考察相似,線段比,圓位置關(guān)系9.2006中考25.(此題總分值14分,第(1 )小題總分值4分,第(2)小題總分值7分,第(3)小題總分值3分) 點P在線段AB上,點O在線段AB的延長線上.以點 O為圓心,OP為半徑作圓,點 C是圓O上的一點.(1) 如圖,如果 AP=2PB PB=BO 求證： CA3A BCO(2) 如果AP=m( m是常數(shù),且 m>1, BP=1, OP是 OA OB的比例中項.當(dāng)點 C在圓O上運動時,求 AC BC的值結(jié)果用含m的式子表示;m的取值范圍.3在2的條件下,討論以 BC為半徑的圓B和以

10、CA為半徑的圓C的位置關(guān)系,并寫出相應(yīng)1解：1聯(lián)結(jié)0B在 Rt ABC 中,.C =90 ,BC =4, tan ZCAB =丄,21 分 AC=8.HAO = CAD,：. AOHo ADC1分.C = OHA,設(shè) OB =x,那么 OC =8- x . 在 Rt OBC 中,.C =90 ,OH _ AH CD AC.100-x2x2 2/曰8J100-x2得y =x定義域為0 : x : 4 5 .1分1分3T P是 AB的中點, AP=BP T AO=BQ / PO垂直平分 AB 設(shè).CAB = .,可求得 ABO = . , . COB =2: , . OBC =90 - 2:, .

11、AOP =90 -：,. ABD =90、：, . APB =2. APO =90 匕 . ABD =/APB . ABPA ABD 1 分 S.ABP 二 AP $. 1 分S Abd abABP = D .由 AF=BP可得 ZABP ZPAB . PAB 二 D .- BD = AB = 4 5 ,即 y =4、5 . 1 分由 y,100 X2x-4可得 x2 =50 -10 5,即 AP2 =50-10 5 .1 分1 分SAbpiAP $ 50-10后 5-爲(wèi)S.abdAB8082考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析

12、：(1)當(dāng)/B=30°時,/ A=60°,此時 ADE是等邊三角形, 那么/ PEC=Z AED=60 ,由此可證得/ P=Z B=30°； 假設(shè)厶AEP與厶BDP相似,那么/ EAP=/ EPA=/ B=Z P=30°,此時 EP=EA=1即可在 Rt PEC中求得 CE的長；(2)假設(shè)BD=BC可在Rt ABC中,由勾股定理求得 BD BC的長；過C作CF/ DP交AB于F,易證得 ADEA AFC, 根據(jù)得到的比例線段可求出 DF的長；進而可通過證 BC3A BPD根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得 BP、BC 的比例關(guān)系,進而求出 BP CP的長；

13、在Rt CEP中,根據(jù)求得的 CP的長及的 CE的長即可得到/ BPD的正切值；(3)過點D作DQLAC于Q,可用未知數(shù)表示出 QE的長,根據(jù)/ BPD(即/ EDQ的正切值即可求出 DQ勺長；在 Rt ADQ中,可用QE表示出AQ的長,由勾股定理即可求得 EQ DQ AQ的長；易證得 ADgA ABC根據(jù)得到的 比例線段可求出 BD BC的表達式,進而可根據(jù)三角形周長的計算方法得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式.解答：解：(1)vZ B=30°,/ ACB=90 ,/ BAC=60 ./ AD=AE/ AED=60 =Z CEP/ EPC=30 . BDP為等腰三角形./ AEP與 BDP相似

14、,/ EPA=Z DPB=30 , AE=EP=1在 Rt ECP中,EC= EP=;2 2(2)設(shè) BD=BC=x在Rt ABC中,由勾股定理,得：2 2 2(x+1)=x+ ( 2+1),解之得x=4, 即卩BC=4過點C作CF/ DP. ADE與厶AFC相似,塑型,即卩 AF=AC 即 DF=EC=2AC'AF BF=DF=2/ BFC與厶BDP相似,即：BC=CP=4BD BP 4 2 tan / BPD王：.CP_42(3 )過D點作DQL AC于點Q.那么厶 DQE-與 PCE相似,設(shè) AQ=a 貝U QE=1- a.一亠三|一', DQ=3( 1- a).在Rt

15、ADQ中,據(jù)勾股定理得： ACaQ+dQ 即：12=a2+3 (1 - a) 2,解之得-|1-：'.5/ ADQ與 ABC相 似,.2 . AB BC AC 1+x 5+5k ABC的周長即：y=3+3x,其中 x> 0.3考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓與圓的位置關(guān)系.專題：代數(shù)幾何綜合題；分類討論.分析：(1 )過0 O的圓心作OE!AC垂足為E.通過證實厶OD0A AOE求得©占,然后將相關(guān)線段的長度代入求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式,再由函數(shù)的性質(zhì)求其定義域；(2) 當(dāng)BD丄OB時,根據(jù)(1)的函數(shù)關(guān)系式求得 y=§, x=6.分兩種情況來解答

16、OA的值當(dāng)點O在線段OE上時,3 3OE=OE- OO=2;當(dāng)點O在線段EO的延長線上時,OE=OE+OO6;1 ISO -(3) 當(dāng)點C為AB的中點時,/ BOC=/ AOC= / AOB=45,/ OCA2 OCB_ 6化,然后由三角形的2 2內(nèi)角和定理求得/ DCB=45,由等量代換求得/ DCB=Z BOC根據(jù)相似三角形的判定定理AA證實 DCB DOC解答：解：(1)過O O的圓心作OE! AC垂足為E, AE=：_l, OE 冷 ：/ DEO=/ AOB=90,/ D=90°-Z EOD2 AOE OD3A AOE y關(guān)于x的函數(shù)解析式為:定義域為：AU/3. (1 分)

17、(2 )當(dāng) x=6. AE=, °E= .一 ' 一 ; -當(dāng)點O在線段0E上時,0E=0.°=2,.皿二虛+ 3當(dāng)點0在線段E0的延長線上時,0E=OE+006, °皿二護+ 3$二3廳O O的半徑為或弭號.(3)存在,當(dāng)點 C為：|,的中點時, DCBA DOC證實如下：當(dāng)點 C為小的中點時,/ BOCM AOC= / AOB=45 ,2ISO - 45" 又 OA=OC=QB./ OCA=/ OCB6匚 5° ,/ DCB=180 - / OCA- / OCB=45 ./ DCB=/ BOC 又/ D=Z D,.A DCBA DO

18、C存在點 C,使得 DCBA DOCOEL AC,利用點評：此題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理此題很復(fù)雜,解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線 相似三角形的判定定理及性質(zhì)解答,解答(2 )時注意分兩種情況討論,不要漏解.4. 解：1聯(lián)結(jié) OC T AC是O O的弦,ODL AC - ODAD 1 分11 DF/ AB CF=EF, DF= AE = AO OE . 1 分22點C是以AB為直徑的半圓的中點, COLAB 1分/ EF=x , AGCG4, CE=2x , O匡 JcE2 OC2 =】4x2 16 = 2lx2 4 . 1 分 y =24+2jx2 _4 =2 +；X2 _4 .定義

19、域為 x 蘭2 . 1+1 分112當(dāng)點 F在OO上時,聯(lián)結(jié) OC OF EF=?CE=OF =4,. OCOB=AB=4.分22B 時,BE=FE. /DF=2+_ 42 _4=2+2 3 . 1 分3當(dāng)O E與O O外切于點CE2 -OE2 =CO2 , 2x2 -x 42 =42, 3x2 -8x -32 =0 , %2=3舍去.33 DF=1(AB BE) J(8 4 4 7) J4 2 7 22331分)分當(dāng)O E 與OO 內(nèi)切于點 B 時,BE=FE. / CE2 _OE2 二 CO2 ,- (2x)2 (4 X)2 =42, x44、7,x2 =3211 DF= (AB - BE

20、) = (822-447舍去3-4 4 714-2. 7)二1分)1分)當(dāng)O E與OO內(nèi)切于點 A時,AE=FE. / CE2 _0E2 =C02 ,(2x)2 (4 x)2 =42, 3x2 8x32 =0 ,-4 4.7,x2 df=；ae32.7-2=3_-丁 7舍去.1分)分5. : (1 )作 DHL BC于 H,如圖 1, / AD/ BC, AB丄 BC, AB=4, AD=3 DH=4, BH=3在 Rt DHC中 , sin / DCH ',DC 5 DC=5, CH=- 1)二=3, BC=BH+CH=6/ BP丄 CD / BPC=90 , 而/ DCH=/ BC

21、P Rt DCHh Rt BCP.DC CH 旳 5 3:=:,即=, PC:；5(2)作PEL AB于E,如圖2 ,/ PA=PB AE=BE= AB=2,2/ PE/ AD/ BC, PE為梯形ABCD勺中位線, PD=PC PE=1 AD+BC =丄3+6=衛(wèi),2 2 2 PC= BC=2 2 EA+PC=PE以AB為直徑的O O與O P外切；3如圖1,作PF丄BC于F,貝U CF=QF 設(shè) PC=x 貝U DP=5- x,/ PF/ DH CPFA CDH,二_=_1,即二=I ,解得 CF=:,',CD CH 5 35 CQ=2CF=',5 BQ=B- CQ=6-&#

22、39;",5/ PQ=PC / PQC=/ PCQ/ AD/ BC, / ADP+/ PCQ=180 ,而/ PQC/ PQB=180 , / ADP=/ PQB當(dāng)厶 ADPA BQP=,即',BQ QP 6-魚 k5整理得 2x2- 25x+50=0 ,解得 xi= ' , X2=10 舍去,2經(jīng)檢驗x='是原分式方程的解.2當(dāng)厶 ADPA PQB"=即；='* *,即 IPQ BQ x 6整理得25x - 43x+90=0,解得18xi=,X2=5 舍去,經(jīng)檢驗x=是原分式方程的解.5PC= 1"如果 ADPDA BQP相似,C

23、P的長為'或一-2525.(1證實：連結(jié)0D7 AP切半圓于 D, ODA - PED=90 又;OD =OE, ODE "OED90 ODE =90 OED.EDA "PEA,又；.A=/A.：ADE L AEP(2) OD 二 CBOA ACOD =3= OD =3x =OE,同理可得：AD=4x x 555丫 ADE 丨 f AEP8AP =AE= y =5x =AE AD i 84 x -x554 64 216一 xy x = y x5 255(x 0)(3)由題意可知存在三種情況但當(dāng)E在C點左側(cè)時EF顯然大于4所以不合舍去5當(dāng)x 5時AP . AB(如圖)

24、 延長DO, BE交于H 易證.DHE三DJEHD 二 °x,； PBE =/PDH =905.：PFB L PHD1 PB6 二伐二 PB =2二 AP =6x x55P當(dāng)x ： 5時P點在B點的右側(cè)4延長DO,PE交于點H 同理可得ADHE二EJDPBF L PDHDC BC . DC BA w 二點 P 在射線 DH 上,且NC：DPZABGQP SA DP SC*1或鞏丐25、解：1作 OH1AP 于丹,TOH過圓心,AP是弦 AP<.4H, 1分在 KtAAO H中,tan - = . OA=3 .,設(shè) 0 H=k AH=2ki£rhrjrfZ . a r/

25、2 ;a 卜'應(yīng)i ZXJ： X J占-J "jJ, 一 "w " rw - 一 "» » -a- " bw ,丄 J* 蟲P.jA'M". I' /?2"""T刃<2聯(lián)結(jié)PO,聯(lián)結(jié)OQTOQ過點頁 Of .PQ-OQ, .ZQPO-ZQOP,'O.過點 F、r.POA6 二 ZQPO=Z 加AP AOOP = QO.ZQOP=ZA,又*；ZP=ZP? /.AQPOAOPA, 2 分"0-ATi|5$wfpy hw 寸wf wfvf wt

26、umy- - 25 j< <3作FF丄卻于Ff聯(lián)結(jié)OP, §0Af的半徑長為r4'/ tan f .'.設(shè) PF=4hAFn?® a>0 .'*OF=3-3a>3S RtAOPF 中 '. OP1 OFPF1 r 即 9二3_3可：+6口:,7.18X 二一5918一一 一r1 分5TG>M同時與GD相內(nèi)切3與GQ相外切,二鮎0=3-門 QNf=2 + r,1 分TG直丄口Q ;在 RrAOMQ 中MQ1 =0Mz OQ2 ?59q即廳=3廳+：幾."=工,即的半徑長為2分j211118.考點：相似三角

27、形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相交兩圓的性質(zhì)；正多邊形和圓. 專題：計算題；證實題.分析：(1)過點M作MNL AC,垂足為N,可得丄,-,再根據(jù)PML AB,又AB是圓0的直徑,可得p _ -.,2 2在Rt PNM中,再利用.、；：m :即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；PM(2) 設(shè)圓M的半徑為r,利用勾股定理求出 0M根據(jù) OMMA PMC可得 PMC是直角三角形.然后可得/ CPM / PCM都不可能是直角.又利用/ AOM=ZP/ P,可得即假設(shè)厶OMAfA PMC相似,其對應(yīng)性只能是點 0與點C對 應(yīng)、點M與點P對應(yīng)、點A與點M對應(yīng).從而求得 0M然后即可求得O M的半徑長.(3) 假設(shè)存在O M使得AB AC恰好是一個正五邊形的兩條邊,連接 OA MA MC AQ設(shè)公共弦 AB與直線0M 相交于點 G,由正五邊形求得/ AMB和/ BAC,再利用AB是公共弦,OML AB / AMO=36,從而求得/ AOMN AMO 在求證 MAMA MOA利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得.解答：解：(1)過點M作MNL AC,垂足為N,. 1F 1 -由題意得：PML AB,又AB是圓0的直徑, 0A=0P=1/ APO=45,PA,巴一v,在 Rt PNh中,.“ ,rln又 PM=1+x Z NPM=45,V2 I IT i,., y關(guān)于x的函數(shù)解析式為二尸:一遷(x&